复合函数单调性
第一步：取值
第二步：作差变形
第三步：定号
第四步：判断下结论
复习准备
3、现在已经学过的判断函数单调性有些什 么方法？ 另:
y
正比例函数：y=kx 反比例函数：y=k/x 一次函数ｙ＝kx＋b
(k≠0) (k≠0) (k≠0)
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)
x, cx d y , ax b a y x , x b y ax ( a 0, b 0). x
练习：
求函数 y x 4x 3的单调区间。
2
注意： 在原函数定义域内讨论函数的单调性
例2：设y=f(x) 的单调增区间 是(2,6)，求函 数y=f(2－x)的 单调区间。
解：y=f(2-x)是由y=f(u)和u=2-x 复合而成 由已知得2<u<6 2<2-x<6 x （－4， 0） y=f(u)在（2，）上是增函数， 6 u 2 x在x (4, 0)上是减函数， 由复合函数单调性可知， y=f (2 x)在（－4， 0）上是减函数。
解：依题意， f ( x 1) f ( x 2 1)
易错点
1 x 1 1 x 1 x2 1 0 x2 0 x 2 21 x 0或x 1
x 2
练习P106(6)
例4：已知f(x)在其定 解： f ( xy) f ( x ) f ( y ) 义域R＋上为增函数， f ( 4) f ( 2) f ( 2) 2 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y). f ( 8) f ( 4) f ( 2 ) 3 解不等式 f(x)+f(x－2) ≤3 又f ( x) f ( x 2) f ( x 2 2 x)
P106(8)
＋
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y), 2 且当x>0时,f(x)<0,f(1)=3 (1)求证:f(x)是R上的减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 证明：（ 1）令x=y=0可得f(0)=0,令x=-y可得
f(0)=f(x)+f(是R上的减函数
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y), 2 且当x>0时,f(x)<0,f(1)=3 (1)求证:f(x)是R上的减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
(2) f(x)在R上是减函数， f(x)在［－3， 3］上也是减函数 f(x)min =f(3),f(x)max =f(-3)
f(u) g(x) f[g(x)]
法 则 同 增 异 减
三个函数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]中，若有两个函数 单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函 数单调性相反，则第三个函数为减函数。
题型1.求单调区间
解：x 2x - 3 0 x -3 ，或x 1
2
例1、求函数y x 2x-3的单调区间。
复合函数的单调性
复合函数： 令 则 u=g(x) y=f(u)
y=f[g(x)]
内函数 外函数 原函数 以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
y=f[g(x)]
复合函数单调性定理：
①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增 ②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减
复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x) 的单调性共同决定。它们之 间有如下关系：
注意：求单调区 4， 0） 间时，一定要先 f (2 x )的单减区间是（－ 看定义域。
P103(4,6)
题型2.解不等式
例3：已知：f(x)是定 义在[－1,1]上的增函数，可转化为不等式组 且f(x－1)<f(x2－1), 1 x 1 1 求x的取值范围。 2
注： 在利用函数的 单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。 保证实施的是等价 转化
在R上任取两数x1,x 2且x1 <x 2则f(x 2 ) f(x1 ) =f(x 2 )+f(-x1 )=f(x 2 -x1 ) x1 <x 2 x 2 -x1 >0
又因为x>0时，f(x)<0, f(x2 -x1 )<0
即f(x 2 ) f(x1 )<0,f(x1 )>f(x 2 )
复习准备
1、函数单调性的定义是什么？ 对于给定区间I上的函数f(x)，若对于I 上的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是I上的增（减）函数， 区间I称为f(x)的增（减）区间。
复习准备
2、证明函数单调性的步骤是什么？ 证明函数单调性应该按下列步骤进行：
解此类题型关 键在于充分利用题 目所给的条件，本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 样就能用单调性解 不等式了。
由题意有 f ( x 2 x ) f (8)
2
f ( x )为R 上 的 增 函 数 x0 4 x 2 0 解得x 2， x2 2x 8
2
原函数的定义域为（－ ，－ 3 ］ ［ 1 ，＋）
令u x 2x - 3 , 则y u
2
y u在 ［ 0， ＋） 为 增 函 数 ， 而u x 2 2x - 3在 （ － ， －3 ］为减函数 在［ 1， ＋） 上 为 增 函 数
函数y x2 2x-3的单调递增区间为［1，＋）， 单调递减区间为（－，－3 ］
f(-3)=-f(3)=2
2 f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3 (- )= 2 3
函数f(x)在［－3， 3］上最大值为2，最小值为－2.
P105(3)
复合函数及抽象函数的单调性
复合函数的单调性复合函数的定义：设y=f(u)定义域A ，u=g(x)值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f[g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
若u=g(x)y=f(u)则y=f[g(x)]规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
“同增异减”例2. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．的单调区间。
：求函数例29121)(1x x f --=抽象函数例1：设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是增函数，又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a 的取值范围。
问：设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0)上是增函数，问在 区间(0，+∞）上f(x)是 增函数还是减函数？例2：设f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a 的取值范围。
.2)3()()4()()()3()()()()2(1)2()1()(2的取值范围求时，满足：上的函数：定义在例x x f x f y f x f y x y f x f xy f f x f R ≤-+<>+==+.)().()()(,,1)(0)(3上的增函数是求证：有、且对于任意时，上，当定义在：函数例R x f b f a f b a f R b a x f x R x f =+∈>>例4:.]1,2[)(,2)1(,0)(),()()(,)(上的值域在区间求时，且当均有、对于任意实数已知函数--=->>+=+xffxfxyfxfyxfyxxf.,9)1()3(.),0()()2.()()1().1,0()(1,9)27(,1)1()()()()(53的取值范围求且若上的单调性，并证明在判断的奇偶性判断时当且都有、对任意实数：已知函数例aafaxfxfxfxffyfxfxyfyxxf≤+≥+∞∈<<==-=复合函数的单调性小结复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。
复合函数的单调性解读
为此变形. 2 f ( x) x 1 x
1
2
x 1 x 2 当x 0且不断增大时 , x 1 x也随之增大,
所以 x 1 x反而减小 .
2
综合(1), (2)已知f ( x) x 1 x
2
在R内是减函数 .
练习3.证明函数f ( x) x 1 x在其定义域内
2
是减函数.
证明: ∵函数f (x)的定义域为R. 解法一：∴设x1,x2∈R且x1< x2则
f ( x1 ) f ( x2 ) x 1 x 1 ( x2 x1 )
2 2 2 1
x x
2 2 2 1
2 1 2 2
例3：设y=f(x)的单 增区间是(2,6)，求 函数y=f(2－x)的单 调区间。
解：令t ( x) 2 x, 则由已知得 f (t )在t （2， 6）上是增函数， 而t ( x) 2 x （2， 6） x （－4， 0） 又t ( x) 2 x在x (4,0)上 是单减的， 由复合函数单调性可知， f (2 x) f [t ( x)]在x （－4， 0） 上是单调递减的。 f (2 x )的单减区间是（－ 4， 0）
2 1 2 2
x1 x2 1 0, x2 x1 0, x 1 0, x 1 0
f ( x)在(1,1)上,当a 0时, 为减函数 . 当a 0时为增函数, 当a 0时为常数函数 .
复合函数单调性:1.利用已知函数单调性进行判断
例1：判断函数
( x 2) y 2 x 4x
练习：如果 f(x)=x2－(a－1)x+5 在区间（0.5，1） 上是增函数，那么 f(2)的取值范围是什 么？ 答案：[7,＋∞）
复合函数单调性
复习：
减函数：若对于定义域内某个区间上的任意两个自变量
的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（ x1 ）>f （ x2 ），则就说f（x）在这个区间上是减函 数。
单调性与单调区间：
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或者减函数， 则说函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性， 这一个区间叫做函数y=f(x)的单调区间
学习目的：
进一步掌握函数单调性的判定和证明 了解复合函数单调性的判断和证明 复合函数单调性的判断方法
重点难点： 重点： 证明函数单调性的方法和步骤 难点： 复合函数单调性的判断方法
若对于定义域内某个区间上的任意两个自变量 增函数：的值x1，x2，当x1< x2时，都有f（ x1 ）<f （ x2 ），则就说f（x）在这个区间上是增函 数。
例1: 已知函数f(x)在R上是增函数， g(x)在[a,b]上是减函数， 求证：f[g(x)]在[a,b]上是减函数.
证明：设x1,x2∈[a,b],且x1<x2，
∵g(x)在[a,b]上单调递减， ∴g(x1) >g(x2), 又f(x)在R上递增， 而g(x1)∈R，g(x2)∈R， ∴f[g(x1)]>f[g(x2)], ∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数.
规律如下：
y=f(u) 增↑ u=g(x) 增↑ 减↓ y=f[g(x)] 增↑ 减 ↓
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增， 异减”
复习：
判断函数在某个区间上的单调性的 步骤：
(完整版)复合函数单调性的判定方法
复合函数单调性的判定方法定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同．证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数．(2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数．由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性．例1讨论函数f(x)＝log0.5(x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为y＝log0.5u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数．又y＝log0.5u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间．解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数．推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．(1)若0＜a＜1．当x＜－1时，在构成复合函数的三个函数中，u和v＝x2－x－2是减函数，则f(x)是增函数．当x＞2时，y＝logau是减函数，则f(x)在构成复合函数的三个函数中，只有y＝loga是减函数．(2)若a＞1，当x＜－1时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数y＝logu是减函数，则f(x)是减函数．当x＞2时，构成a复合函数的三个函数都是增函数，则f(x)是增函数．。
复合函数单调性课件
复合函数单调性与极值的关系
总结词
复合函数的单调性与极值之间存在密切关系。
详细描述
当一个复合函数在某区间内单调递增或递减时，该函数在该区间内可能存在极值点。极值点是函数值发生变化的点， 它们对于确定函数的整体性质具有重要意义。
举例
设 $f(x) = x^3$，这是一个关于 $x$ 的单调递增的复合函数。在 $x = 0$ 处，该函数取得极小值点；而 在 $x < 0$ 或 $x > 0$ 的区间内，该函数是单调递增的。
复合函数的表示方法
设$y = f(u)$，$u = g(x)$，则复合 函数为$y = f(g(x))$。
复合函数的性质
连续性
复合函数在定义域内连续，即若 $f(u)$和$g(x)$在各自的定义域
内连续，则复合函数$y = f(g(x))$在定义域内也连续。
可导性
若$f(u)$和$g(x)$在各自的定义域 内可导，则复合函数$y = f(g(x))$ 在定义域内也可导。
导数的几何意义
表示曲线在某点的切线斜率。
03
导数的应用
判断函数的单调性、求极值、求拐点等。
02
单调性的概念与性质
单调性的定义
定义
如果对于任意$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$（或$f(x_{1}) geq f(x_{2})$），则称函数$f(x)$在区间$I$上单调递增（或单调递减）。
举例
设 $f(x) = x^2$，$g(x) = frac{1}{x}$，$h(x) = log_2(x)$ ，考虑复合函数 $f(g(h(x))) = (log_2x)^2$。在 $x > 1$ 的区 间内，该复合函数是单调递增的 ，而在 $0 < x < 1$ 的区间内， 该复合函数是单调递减的。
复合函数单调性
复合函数单调性一般地，设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω有以下四种情况：（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数；（2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。
注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
即我们所说的“同增异减”规律。
求y=122)21(--x x 的单调区间.解 ： 设y=u)21(.由u ∈R,u=x 2－2x －1,解得原复合函数的定义域为x ∈R.因为y=u)21(在定义域R 内为减函数,二次函数u=x 2－2x －1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x 2－2x －1=(x －1)2－2在x ≤1时单调减，由x ∈R, (复合函数定义域)x ≤1， (u 减)解得x ≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间. y=x17.0;((－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.)y=232x -;(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间) y=3)31(+x ,((－∞，+∞)为单调减区间.)y=227x x -；((－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)指数运算和指数函数1.根式的性质（1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a n n(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a a ap p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m且(5)负分数指数幂 n mn ma a 1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。
复合函数的单调性-高中数学知识点讲解
复合函数的单调性
1．复合函数的单调性
【知识点的认识】
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题方向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
1/ 1。
复合函数单调性的判断方法
【解】 （1）定义域： 0，
（4）外函数 y 2u 2 2u 1在
（2）此函数是由下列函数复合所得
y 2u 2 2u 1，（ u x） log 1 x
2
（3）内函数 （ u x） log 1 x 在
2
1 1 u ， 单调递减， u ， 单调递增 2 2 2 1 ， （5）原函数在 u ， x 2 2
增减相异复合减
贰
判断
HI
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
【解】 （1）定义域： ， 1 3，
（2）还原复合函数的复合过程：
x 2， 单调递增
（4） y log 1 u 在 u 0, 上单调递减
2
此函数是由下列函数复合所得
y log 1 u，（ u x） x 4x 3
2 2
（5） y log 1 x 2 4 x 3 在
2
u x） x 4x 3 在 （3）内函数 （
2
1 单调递增， 3， 单调递减 ，
复合函数 单调性的判断方法
复合函数单调性的判断方法
1
1
2
定义
2
判断
一
定义
HI
设 y f (u ) 定义域为Ａ， u g ( x) 的值域为Ｂ 若B A 则 y 关于 x 的函数 y f [ g ( x)] 叫做 函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间变量
复合函数的单调性与赋值法证明函数的单调性
一、复合函数 y f 的单调性 g x 将复合函数分解成 y f u , u g x
u g x
增 增 减 减
y f u 增 减 增 减
y f g x
增 减 减 增
复合函数单调性归纳为“同增异减”
（1）求 f
1
（2）证明： f x 在定义域内是增函数
练习2.函数f x 对任意实数a，b都 有 f a b f a f b 明： f x 是R上的增函数
例.求函数 y x 2 x 1 的单调 区间
2
练习：求 y x 2 x 8 的 单调区间
2
二、抽象函数单调性
例1.已知 y f x 在定义域 1,1 2 上是减函数，且f 1 a f a 1 求a的取值范围
练习：已知 y f x 在定义 域 0, 是增函数，且 2 f a f 2a 3 ，求a的取值 范围
例2: 已知定义在R上的函数 f ( x) 满足：对任 意 a, b R，都有 f (a b) f (a) f (b)，且当 x 0 时，f ( x) 0 ，试确定函数的单调性.
练习1：已知函数 f x 的定义域是 0, ， 当x>1时， f x 0，且 f xy f x f y
专题3复合函数的单调性
二、复合函数y=f[g(x)]单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性.
y f (u)
u g(x)
y f [g(x)] 法
增函数
增函数
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
例3.求函数y
1 2
x2 4x3
的单调递减
小结
判断函数的单调性有哪些方法 1、定义法
2、图象法
3、利用已知函数的单调性，通过 一些简单结论、性质作出判断.
4、利用复合函数单调性的规则进行 判断.
一、复合函数y=f(x)+g(x) 与y=f(x)-g(x)单调性:
结论1：若f(x)与g(x)在R上是增函数， 则 函数y=f(x)+g(x)也是增函数.
结论2：若f(x)与g(x)在R上是减函数，则 函数y=f(x)+g(x)也是减函数.
结论3：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减 函数，则函数y=f(x) －g(x)也是增函数.
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数.
题型1.求单调区间
例2.求函数y x2 2x 3的单调区间.
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定 义域，在定义域范围内求函数的单调性.
练习1.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。
专题3.复合函数单调性
一、复习： 1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自 变量x1,x2的值,