第七章 最小多项式
第七章最小多项式
注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.
如：
1 1 0 0
1 1 0 0
A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 2
,
B
0 0 0
1 0 0
0 2 0
0
0 2
的最小多项式皆为( x 1)2( x 2), 但A与B不相似.
本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系.
一、最小多项式的定义
定义： 设 A P nn , 在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.
二、最小多项式的基本性质
1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 g1( x), g2( x) 都是A的最小多项式. 由带余除法，g1( x) 可表成
f ( x) q( x)g( x) r( x), 其中 r( x) 0 或 (r( x)) (g( x)). 于是有 f ( A) q( A)g( A) r( A) 0 r( A) 0
由最小多项式的定义， r( x) 0. g( x) f ( x). 由此可知： 若 g( x)是A的最小多项式，则 g( x)整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即
g1( x) q( x)g2( x) r( x) 其中 r( x) 0 或 (r( x)) ( g2( x)).
于是有
g1( A) q( A)g2( A) r( A) 0 r( A) 0 由最小多项式的定义， r( x) 0,
即， g2( x) g1( x).
高等代数最小多项式
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最小多项式的性质
由于 α ̸= 0，故
mA(λ0) = λm0 + am−1λm0 −1 + · · · + a1λ0 + a0 = 0, 即 λ0 也是 A 的最小多项式的根. 另一方面，由于 A 的最小多项式是 A 的特征多项式的因式，故 A 的最小多项式的根都是特征多项式的根. 例 数量矩阵 kE 的最小多项式为 x − k，特别地，单位矩阵的最小多 项式为 x − 1，零矩阵的最小多项式是 x.
. .. . . ..
最小多项式的性质
应用同样的方法，可证下述引理 引理 设 g(x) 是矩阵 A 的最小多项式，那么 f(x) 以 A 为根的充分必 要条件是 g(x) 整除 f(x).
由此可知，矩阵 A 的最小多项式是 A 的特征多项式的一个因子. 命题 设 A 是 n 阶方阵，则 A 的特征多项式与最小多项式有相同的根.
. .. . . ..
最小多项式的性质
Байду номын сангаас
引理 设 A 是一个准对角矩阵
( A = A1
) A2
并设 A1 的最小多项式为 g1(x)，A2 的最小多项式为 g2(x)，那么 A 的最小多项式为 g1(x), g2(x) 的最小公倍式 [g1(x), g2(x)].
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
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最小多项式的性质
太原理工大学 高等代数第七章 9第九节 最小多项式
所以，矩阵J的最小多项式为 所以，矩阵 的最小多项式为(x-a)k.
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证毕. 证毕
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定理15 数Biblioteka P上n级矩阵 与对角矩阵相似的 定理 数域 上 级矩阵A与对角矩阵相似的 级矩阵 相似 充分必要条件为 的最小多项式是 上 充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次 因式的乘积. 因式的乘积 证明 根据引理 的推广的情形，条件的必要性 根据引理3的推广的情形，条件的必要性 引理 的情形 是显然的. 是显然的 现在证明充分性 现在证明充分性. 充分性 根据矩阵和线性变换之间的对应关系，我们 根据矩阵和线性变换之间的对应关系， 矩阵 之间的对应关系 可定义任意线性变换 的最小多项式， 可定义任意线性变换A的最小多项式，它等于其对 任意线性变换 应矩阵A的最小多项式. 应矩阵 的最小多项式
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如果矩阵A与 相似 即有B=T-1AT，那么对任 相似， 如果矩阵 与B相似，即有 ， 一多项式f(x)，就有f(B)=T-1f(A)T. 因此 ，就有 因此f(B)=0当且 一多项式 当 仅当f(A)=0. 仅当 相似矩阵有相同的最小多项式. 结论 相似矩阵有相同的最小多项式 注意，这个条件并不是充分的， 注意，这个条件并不是充分的，即最小多项 式相同的矩阵不一定是相似的 式相同的矩阵不一定是相似的. 下面的例子说明这 不一定是相似的 个结论. 个结论
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引理3 设A是一个准对角矩阵 引理 是一个准对角矩阵
A1 A= A2 并设A1的最小多项式为g1(x)，A2的最小多项式为 并设 最小多项式为 ， 最小多项式为
g2(x)，那么 的最小多项式为g1(x), g2(x)的最小公倍 ，那么A的最小多项式为 的 式[g1(x), g2(x)]. 证明 记g(x)=[g1(x), g2(x)]，首先 ，
不变子空间、若当、最小多项式(简介)
§7 不变子空间◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变子空间W ⇔是V 的子空间，且,W ∈∀ξ有W ∈)(ξσ.简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关）2.例子：设)(n V L ∈σ，则下列子空间W 都是σ的不变子空间： 1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ.【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V 可分解为若干-σ子空间i W 的直和，那么对V的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究.2.区别：W |σ与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即σξξσξ=⇒∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ⇒∉无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）设V 可分解为若干个σ-子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21，在每个不变子空间i W 中取基ki i i εεε,,,21，s i ,2,1=，并把他们合并为V 的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有准对角形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s A A1，其中i A ，s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式：Sr S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和：s V V V V ⊕⊕⊕= 21,其中}0)(|{=-∈=ξλσξi ri i E V V .§8 若当（Jordan ）标准形介绍若当（Jordan ）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλ1010000010000),(t J （λ是复数；注意对角元相同） 2. 若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、λ未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵. （若当形矩阵中包括对角矩阵） 【问题】若当形矩阵的特征值＝？例1求所有的三阶若当形矩阵.（若当块不计排列顺序） 二、主要结论定理13： ))((C V L n ∈∀σ，在V 中必定存在一组基，使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. （这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被σ唯一决定的，它称为σ的若当标准形）若用矩阵来描述，即定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论） 三、若当标准形的求法（第八章介绍）【特例】若A 可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00020100030100B ， 证明B X =2无解，这里X 为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan 矩阵这个性质，并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.已知Cayley Hamilton -定理：方阵A 的特征多项式是A 的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义：)(x ϕ是方阵A 的最小多项式0)(=⇔A f 且)(x ϕ次数最低、首项系数为1. 例 数量矩阵kE 的最小多项式是 二、基本性质引理1矩阵A 的最小多项式必唯一. 证法 带余除法引理2)(x f 是A 的零化多项式)(x f ⇔是A 的最小多项式)(x ϕ的倍式，即)(|)(x f x ϕ. 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法 带余除法例 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A 的最小多项式. 2)1(-x 【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？例 k 阶若当块kk a a a J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11的最小多项式是 （直接计算，k a x )(-） 三、主要结论定理 数域P 上矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积. 推论 复数域上A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根.例 设A 是n 阶幂等矩阵，且秩为r .试求A 的相似标准形，并说明理由；求A E -2. 解法：由A A =2知A 有最小多项式)1()(2-=-=λλλλλg 且无重根，所以A 相似于对角矩阵，且特征值只能是1或0.又r A r =)(，故存在可逆矩阵P 使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001rE AP P. 从而 rn rn rA E E E AP PE P A E P----=-⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-222002)2(11.矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P 使得1-=PBP A ，于是1-=P PB A k k .进一步有：当)(x ϕ是多项式时，1)()(-=P B P A ϕϕ.特例：当A 相似于对角矩阵时，由1-=P PB A k k 容易计算方幂k A . 2.求Fibonacci 数列通项：)1,0(1012==+=++a a a a a n n n解法 用矩阵形式表示递推关系式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+011101110111a a a a a a nn n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111A 的特征值为2512,1±=λ，对应的特征向量为'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±1,251，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-211λλAP P 由此可求nA ，即得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n a 25125151. 3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？解 设最初城市、农村人口分别为00,y x ，第k 年末人口分别为k k y x ,，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00118.01.02.09.0y x y x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--118.01.02.09.0k k k k y x y x 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8.01.02.09.0A ，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x k k k . 为计算k A ，可考虑把A 相似对角化.特征多项式)7.0)(1(--=-λλλA E . 1=λ对应的特征向量为)1,2(1'=α；7.0=λ对应的特征向量为)1,1(2'-=α取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1112),(21ααP ，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2111311P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21117.00011112317.00011k kkP P A令∞→k ，有07.0→k，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→12223121110001111231kA⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3132)(1222310000y x y x y x k k 可见当∞→k 时，城市与农村人口比例稳定在1:2.定理7：设A 为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T ，使得1T ATTAT -'=为对角阵.（注意：对角元恰好是A 的全体特征值） （常用于证明题）[证明思路]：利用对称变换的理论，等价于对称变换有n 个特征向量作成标准正交基（见教材）.也可用数学归纳法，将实对称矩阵A 用两次正交相似变换化为对角阵.证明：设σ在n 维欧氏空间V 的标准正交基下的矩阵是A ，则σ是对称变换. 1=n 时，)(αL V =，取V e ∈=αα/1，则V e ∈)(1σ，有11)(ke e =σ，1e 即为所求. 设1-n 时命题成立（含义？），考虑n 的情形.设法把n V 分解成11-+n V V ，才能使用归纳假设：1）σ对称σ−−→−引理有实数特征值1λ（才能保证特征向量)(1R V ∈α，正交矩阵要求实数矩阵）；2）取111/αα=e ，则是实．特征向量.设1V 是)(1e L 的正交补，则1V 是σ-子空间，维数为1-n ，且1|V σ是1V 的对称变换.于是利用归纳假设，1V 有1-n 个特征向量n e e ,,2 标准正交，联合n e e e ,,,21 即为V的特征向量、标准正交基.另证：直接从矩阵角度证明，数学归纳法：1=n 显然. 设1-n 时命题成立，A 必有实数特征值1λ（特征向量n R ∈1α），取111/αα=e ，则也是实．特征向量.扩充成nR 的标准正交基n e e e ,,,21 ，以它们为列作n 级矩阵1T ，则1T 正交，且),,,(),,,(),,,(1121111112111211111n n n Ae T Ae T e T Ae Ae Ae T e e e A T AT T -----===' λ注意到),,,(),,,(112111112111111n n e T e T e T e e e T T T E-----=== ，故111e T -是E 的第一列，于是11AT T '形如⎪⎭⎫⎝⎛B C 01λ,而A 对称，11AT T '也对称，得0=C ，且B 是1-n 级对称矩阵.由归纳假设，存在1-n 级正交矩阵Q ，使得),,(2n d i a gBQ Q λλ ='，取212,001T T T Q T =⎪⎭⎫⎝⎛=可得T 是正交矩阵，并且),,(1111n diag Q B Q AT T λλλ ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛'='又AT T AT T 1-='与A 相似，有相同的特征值，于是n λλ,,1 是A 的全部特征值.《欧氏空间》复习一、主要概念1）内积 2）长度 3）夹角 4）正交 5）度量矩阵 6）标准正交基 7）正交矩阵 8）正交变换 9）正交补 10）对称变换 11）最小二乘法 二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角；证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证！先正交化再单位化，反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（可验证！注意区别第五、七章的方法）7.利用正交线性替换化实二次型为标准形. *8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积？欧氏空间的哪些概念与内积有关？（长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补） 2.内积与标准正交基有何联系？ 3.标准正交基有何作用？ 4.如何构造子空间的正交补？5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点？6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别？ 四、例题选讲◎ A 正定1>+⇒E A证1：A 正定⇒特征值E A i +⇒>0λ的特征值11>+i λ 于是1111)1()1)(1(21=⋅>+++=+ n E A λλλ 证2：A 正定⇒0),,,(11>=-i n diag AT T λλλ 1111)1()1)(1()1,,1(),,(1211111=⋅>+++=++=+=+--- TT TTdiag E TTdiag E A n n n λλλλλλλ《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断二、复习依据作业（习题集）、例题、课外提高三、各章主线1.线性空间线性空间……定义、线性运算、基、维数、坐标子空间……两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和同构……构造、判定、意义2.线性变换线性变换……验证（定义）、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间特征值与特征向量……证明、求法（可验证）、结论、对角化判定及求可逆矩阵C 值域与核……基、维数、两者维数关系3.Jordan标准形不变因子初等因子Jordan标准形4.欧氏空间（注意：涉及的概念都与内积有关）内积……验证(四条公理）、长度、夹角、标准正交基（求法，可验证）正交变换……判定、不变性、正交矩阵（可验证）对称变换……判定、特征值、对角化（求正交矩阵[可验证].区别第5章方法）四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系：……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间（通过基）、欧氏空间（通过标准正交基）3.可验证的几种计算类型特征值（迹）、特征向量（代入方程组）、标准正交基（两两正交、长度为1）、正交矩阵（行[或列]向量组标准正交，或E'）AA=。
多项式的最大值与最小值
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汇报人：XX
利用顶点公式求出 顶点坐标，即为函 数的最大值或最小 值
判别式法在求多项 式的最大值与最小 值中具有广泛应用
多项式最值的实际 应用
在几何中的应用
立体几何：利用多项式函数 表示三维图形，研究其表面 积、体积等最值问题
平面几何：利用多项式函数 表示直线、圆、椭圆等图形， 研究其最值问题
解析几何：通过多项式函数 与几何图形的结合，解决距 离、角度、面积等最值问题
添加 标题
案例结论：多项式最值的应用在桥梁设计中具有实际意义，可以提高设计效率和安全性。
应用案例二
案例名称：桥梁设计
案例描述：在桥梁设计中，需要考虑到桥梁的承重能力，这可以通 过多项式最值的方法来优化设计，确保桥梁的安全性和稳定性。 案例名称：机械制造
案例描述：在机械制造中，多项式最值的方法可以用于优化机械零 件的设计，提高机械的性能和效率。
多添加项副式标的题 最大值与 最小值
汇报人：XX
目录
PART One
多项式的定义与性 质
PART Three
多项式最值的实际 应用
PART Five
多项式最值的求解 技巧与注意事项
PART Two
多项式的最大值与 最小值的求法
PART Four
多项式最值的应用 案例分析
多项式的定义与性 质
多项式的定义
利用导数求极值点，判断 单调性确定最值
运用基本不等式求最值， 注意等号成立的条件
结合实际背景，考虑约束 条件和定义域
注意事项
考虑函数的定义域：在求解最值之前，需要先确定函数的定义域，以确保最值存在且有意义。 判断函数单调性：在定义域内判断函数的单调性，有助于确定函数的最大值或最小值。 考虑极值点：极值点可能是函数的最值点，需要特别关注。 验证最值：找到的可能的最值点，需要代回原函数进行验证，确保是最值点。
§7.9 最小多项式(1)
矩阵A的最小多项式是唯一的。
第七章 线性变换
性质2 设 g( x ) 是矩阵A的最小多项式，则 f ( x ) 以A为根 g( x ) f ( x ) 。 的充要条件是： 证明：充分性。 若 g( x ) f ( x ) , 则 ∃ q( x ), 使
f ( x ) = g( x )q( x ) 。
⎛0 ⎞ ⎜0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ( J − λ E )2 = ⎜ 1 0 0 ⎟ ≠ 0, %%% ⎜ %%% ⎟ ⎜ 1 0 0⎟ ⎝ ⎠
⎛0 ⎞ ⎜1 0 ⎟ ⎜ ⎟ J − λE = ⎜ 1 0 ⎟ ≠ 0, %% ⎜ %% ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 ⎝ ⎠
⎛0 ⎞ ⎜# % ⎟ k −1 ≠0。 "" , ( J − λ E ) = ⎜ 0 % ⎟ ⎜ 1 0 " 0⎟ ⎝ ⎠ k f ( x ) = ( x − λ ) 。 , k ) 的最小多项式为 ： 故 J (λ线性变换 第七章
故 g(σ ) = θ , 因此 g(σ )V = {0},
第七章 线性变换
由定理7.7 .2的结论可知
V = V1 ⊕ V2 ⊕ " ⊕ Vs
其中 某个 Vi ,
Vi = {ξ (σ − λi ε )ξ = 0, ξ ∈ V }, i = 1," , s 。
把 V1 ," ,Vs 各自的基合起来组成V的基，每个基向量都属于 因而是 σ 的特征向量。 σ 在这个基下的矩阵就是对 角矩阵，故A与对角矩阵相似。
n ⎛ A An = ⎜ 1 ⎝ 0
0 ⎞ ⎛ kA1 , n ≥ 1, kA = ⎜ n⎟ A2 ⎠ ⎝ 0 0 ⎞ ⎛ g ( A1 ) ∴ g ( A) = ⎜ ⎟=0 g( A2 ) ⎠ ⎝ 0
线性变换
n1
k1 K
其中有一个n－1级子式不为0.
∴ 秩 (0 E B ) n 1. 从而 (0 E A) n 1. 故 (0 E A) X 0 的基础解系只含一个向量. 即，A的属于 0的线性无关的特征向量只有一个.
dimV0 1.
三、特征多项式与最小多项式 1、特征多项式
例4
设 End F (V ),，证明：
教材P167 习题5
1
（1） 可逆 无零特征值； （2） 可逆时，若 是 的特征值，则 是 1 的特征值.
例 5 设 L Vn ( P ) ，证明：
教材P163 习题1
（1） 存在 f x P x ，且次 f x n2 ，使得 f 0 ； （2） 如 果 f x , g x P x 的 最 大 公 因 式 为 d x ， 且
3）、数量乘法 的数量乘积 k 为： k k , 则 k 也是V的线性变换. 设 为向量空间V的线性变换，k P , 定义 k与
V
•基本性质
(i) ( kl ) k ( l ) (ii) ( k l ) k l (iii) k ( ) k k (iv) 1
（P159习题9）
例 2、设 A, B F nn ，证明：
（P162例3）
rank(A+B)≤rank(A)+rank(B).
例 3、 End K (V ), dimK V n ， 设 证明： 对任意 End K (V )， dimImσ≤dimKerτ+dimIm(στ).
则 也是V的线性变换. •基本性质
本原多项式 最小多项式
本原多项式最小多项式
本原多项式是一种有用的数学工具，可以用来描述函数，比较用来
研究和解决多项式问题。
本原多项式是一种平方数，可用来表示不同
多项式的函数。
它以特定的方式重复和叠加，以生成用来表示多项式
关系的表达式。
最小多项式是本原多项式的一种特殊形式，它既简短
又有效，是求解多项式的首选方案。
它只包含有限的函数，并且所有
次方根的乘积可以被表示成一个最小的多项式。
最小多项式在诸多数
学上的计算中发挥着重要作用，其常用来进行函数拟合，事件预测和
极值计算，使得一些未知变量可以接近推理从而得出合理结果，从而
加快计算速度。
最小多项式可以用来优化和简化多项式计算，以提高
性能和减少错误，同时模仿常见计算过程，并将较复杂的数学算法简
单化。
此外，它也可以有效地处理系统中的连续性方面，从而更好地
确定现有变量之间的关系。
大多数最小多项式问题都可以用经过优化
的数值，科学，和统计方法来处理，也可以用它来解决多项式表达式。
因此，最小多项式被广泛应用于数学，物理，化学，计算机等领域中，在多个研究中，都可以看到最小多项式的应用。
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证：记 g( x) [g1( x), g2( x)]
首先，
g(
A)
g( A1) 0
0 g( A2
)
0
即A为 g( x) 的根.
所以 g( x) 被A的最小多项式整除. 其次，如果 h( A) 0,
则
h(
A)
h( A1 0
)
0 h( A2
)
0
从而 h( A1) 0, h( A2 ) 0.
定义： 设 A P nn , 在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.
二、最小多项式的基本性质
1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 g1( x), g2( x) 都是A的最小多项式. 由带余除法，g1( x) 可表成
g1( x) q( x)g2( x) r( x) 其中 r( x) 0 或 (r( x)) ( g2( x)).
练习：
1 1 L 1
求矩阵
A
1 L1
1 L 1
L L L
1
L 1
的最小多项式.
解： 的特征多项式
x 1 1 L 1
f ( x) | E AE |
1 L
x1 L LL
1
1 1 L x 1
( x n)xn1
又 A 0, A nE 0, A2 0
其中 Vi { | V ,( ai E)( ) 0}.
把 V（1,此V2结,L论,V的S各证自明的步基骤合同起定来理就12是）V的一组基.
在这组基中，每个向量都属于某个 Vi ， 即是 的 特征向量. 所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.
从而A相似于对角矩阵.
8. A C nn与对角矩阵相似 A 的最小多项式没有重根.
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义 二、最小多项式的基本性质
引入
由哈密尔顿―凯莱定理，A Pnn, f ( ) | E A |
c 1
2.（引理2）设 g( x)是矩阵A的最小多项式，则 f ( x) 以A为根 g( x) f ( x).
证：充分性显然，只证必要性 由带余除法，f ( x)可表成
f ( x) q( x)g( x) r( x), 其中 r( x) 0 或 (r( x)) (g( x)). 于是有 f ( A) q( A)g( A) r( A) 0 r( A) 0
注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.
如：
1 1 0 0
1 1 0 0
A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 2
,
B
0 0 0
1 0 0
0 2 0
0
0 2
的最小多项式皆为( x 1)2( x 2), 但A与B不相似.
Q | E A | ( x 1)3( x 2),
又 A E 0,
( A E)2 A2 2A E
1 2 0 2 2 0 1 0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
2 0
0 2
0 0
1 0
0 1
0
∴ A的最小多项式为 ( x 1)2.
4. 相似矩阵具有相同的最小多项式.
证：设矩阵A与B相似，gA( x), gB ( x)分别为它们的 最小多项式.
g1( x) h( x), g2( x) h( x).
从而 g( x) h( x).
故 g( x)为A的最小多项式.
推广： 若A是一个准对角矩阵
A1
A2
O
As
且 Ai 的最小多项式为 gi ( x), i 1, 2,..., s
则A的最小多项式是为 [g1( x), g2( x),..., gs ( x)].
由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使 B T 1AT . 从而 gA(B) gA(T 1AT ) T 1gA( A)T 0 gA( x) 也以B为根， 从而 gB ( x) gA( x).
同理可得 gA( x) gB ( x). 又 gA( x), gB ( x)都是首1多项式， gA( x) gB ( x).
于是有
g1( A) q( A)g2( A) r( A) 0 r( A) 0 由最小多项式的定义， r( x) 0,
即， g2( x) g1( x).
同理可得， g1( x) g2( x).
g1( x) cg2( x), c 0 又 g1( x), g2( x) 都是首1多项式, 故 g1( x) g2( x).
零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵.
1 1 0
例2、求
A
0 0
1 0
0 1
的最小多项式.
解：A的特征多项式为
x 1 1 0 f ( x) | xE A | 0 x 1 0 ( x 1)3
0 0 x1
0
0
(J
aE
)k 1
MO 0 10
O L
0
0.
J 的最小多项式为 ( x a)k .
6.（定理13） A Pnn与对角矩阵相似 A 的最小多项式是P上互素的一次因式的积.
证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系，
设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A， 则 的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 g( x), 则 g( )(V ) 0.
若 g( x)为P上互素的一次因式的乘积： g( x) ( x a1)( x a2 )...( x as )
则 V V1 V2 ... VS ,
是A的特征多项式，则 f ( A) 0. 因此，对任定一个矩阵 A Pnn，总可以找到一个
多项式 f ( x) P[x], 使 f ( A) 0. 此时，也称 多项式 f ( x) 以A为根.
本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系.
一、最小多项式的定义
由最小多项式的定义， r( x) 0. g( x) f ( x). 由此可知： 若 g( x)是A的最小多项式，则 g( x)整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子.
例1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 x k; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x 1 ；
a
的最小多项式为 ( x a)k .
证：J的特征多项式为 ( x a)k (J aE)k 0.
而
0
1 0
J
aE
10 OO
0,
O
O 1
0
0
0 0
(J
aE )2
1
0 O
0 O
O
0,
LLLLL
O
O 1
O 0
而
A( A nE) 0.
A 的最小多项式为 x( x n).
| E B | ( x 1)2( x 2)2
即 | E A || E B | . 所以，A与B不相似.
5.（引理3）设A是一个准对角矩阵
A
A1 0
0 A2
并设 A1, A2 的最小多项式分别为 g1( x), g2( x).
则A的最小多项式为 g1( x), g2( x)的最小公倍式.
特别地，若 g1( x), g2( x),..., gs ( x) 两两互素，即
g1( x), g2( x),..., gs ( x) 1
则A的最小多项式是为 g1( x)g2( x)...gs ( x).
6.（引理4）k 级若当块
a
1 a
J
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1O OO
O
O 1