第九章方差分析及回归分析

0.243
0.261
0.262
这里，试验的指标是薄板的厚度。机器为因素，不同的
三台机器就是这个因素的三个不同的水平。我们假定除
机器这一因素外，材料的规格、操作人员的水平等其他
条件都相同。这就是单因素试验。试验的目的是为了考
察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异。
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r
ni i 0 .
i1
而假设（1.2)等价于假设
H0：1 2 r 0, H1 :1,2, ,r不全为零。
(1 .2 )
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（四）检验方法
若H0成立，则r个总体之间无差异。这样，各个Xij 间的差异只是由随机因素引起的，若H0不成立，则 所有Xij的总变差中，除了随机波动引起的变差之外， 还包含了由于因素的不同水平作用所引起的变差。
,r)都取自同一正态总体N(,2).即
H0:12 r ; H1:1,2, r中 不 全 相 等 。
（1.2）
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r
r
记 1 nnii,其 中 nni，称为总平均。
i1
i1
再 引 入 ii,i 1 ,2 , ,r .
此 时 ， 有 n 11 n 22 n rr 0 ,i表 示 水 平 A i下 的 总 体 平 均 值 与 总 平 均 的 差 异 ， 习 惯 上 将 i称 为 水 平 A i的 效 应 。
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由 于 X ij~ N (i,2 ) ,即 有 X ij i~ N ( 0 ,2 ) ,
故 X i j i 可 看 成 是 随 机 误 差 。 记 X i j i i j , 则 X i j 可 写 成
Xij i ij , ij ~ N(0, 2)，各ij独立， （1.1）
i 1,2, , r, j 1,2, , ni.
其 中 ， i与 2均 为 未 知 参 数 。 则 上 式 称 为
单 因 素 试 验 方 差 分 析 的 数 学 模 型 。
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（三）统计假设
如果要检验的因素对试验结果没有显著影响， 则试验的全部结果Xij应来自同一正态总体。因此， 提出一项统计假设：所有的X（ ij j1, ,ni;i1,2,
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例1 设有三台机器，用于生产规格相同的铝 合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确至千 分之一厘米。得结果如下表所示。
铝合金板的厚度
机器1
机器2
机器3
0.236
0.257
0.258
0.238
0.253
0.264
0.248
0.255
0.259
0.245
0.254
0.267
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（二）方差检验的基本前提：
1、对变量因素的某一个水平，第 i 个水平进 行试验，得到的观察结果 Xi1,Xi2, Xini看作是从
正态总体 N(i,2)i1,2, r中取出的一个容
量为n i 的样本，且 i , 2均未知 i 1,2, r。
2、 对 于 表 示 r个 水 平 的 r个 正 态 总 体 的 方 差 ， 认 为 都 是 相 等 的 。
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例2 下面列出了随机选取的、用于计算器的 四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。
电路的响应时间
类型1 19 15 22 20 18
类型2 20 40 21 33 27
类型3 16 17 15 18 26
类型4 18 22 19
这里，试验的指标是电路的响应时间。电路类 型为因素，这一因素有四个水平。这是一个单 因素的试验。试验的目的是为了考察各种类型 电路的响应时间有无显著性差异。
3、 从 不 同 总 体 中 取 出 的 各 个 021/4/1
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设因素A有r个水平A1，A2，…，Ar，在每个水平Ai(i=1，2，…， r)下，进行ni (ni≥2)次独立试验，整理试验结果如下表所示。
试验结果
试验批号
样本 样本均 和值
作 下 面 的 记 号 ： X1r ni1
ni
Xij,
j1
X i
1 ni
ni
X ij .
j 1
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利 用 上 面 的 记 号 ， 模 型 （ 1 . 1 ） 可 以 写 成
Xij i ij,
ij ~N(0,2),各 ij独 立 ，(1 . 1 )
i 1 ,2 , ,r, j 1 ,2 , ,n i
B3 16,18,21 19,22,22 18,18,18 17,17,17
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这里试验指标是零件的日产量，工人和机器 是因素，它们分别有3个、4个水平。这是一个双 因素试验。试验目的在于考察不同工人在不同机 器上生产零件的日产量有无显著差异。
本节先讨论单因素试验的方差分析。
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例3 三名工人分别在四种不同的机器上生产同一种零件， 每人在每台机器上工作3天，其日产量如下表所示：
工人(B)
A1
机
器
A2
(A)
A3
B1 15,15,17 17,17,17 15,17,16
A4 18,20,22
B2 19,19,16 18,15,15 18,17,16 15,16,17
第九章 方差分析及回归分析
§1 单因素试验的方差分析
（一）单因素试验
在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素很多。 方差分析是根据试验的结果进行分析，鉴别
各个有关因素对试验结果影响的有效方法。
在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标。影响试验 指标的条件称为因素。因素可分为两类，一类是人们可以 控制的（可控因素）；一类是人们不可控制的。以下我们 所说的因素都是指可控因素。因素所处的状态，称为该因 素的。如果在一项试验中只有一个因素在改变时称为单因 素试验。如果多于一个因素在改变称为多因素试验。
1 2…
j…
ni
1
X 11 X 12 X 1 j X 1n1
T 1
X 1
因
2
X 21 X 22 X 2 j X 2n2 T 2
X 2
素
水
i
X i1 X i 2 X ij X ini
T i
X i
平
r
X r1 X r 2 X rj X rnr
T r
X r
其中Xij表示在水平Ai下进行第j次试验的结果(j=1， 2，…，ni，i=1，2，…，r)。