数学方差分析及回归分析
第九章 复习-方差分析及回归分析
s
n j X . j nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ X ij nX 0
j 1 i 1
因此得知SA的自由度是 s -1.
由（1.3）,（1.6）及Xij的独立性得知
X ~ N ( , / n)
2
s j 1
（1.14）
E ( S A ) E[ n j X .2j nX 2 ]
j 1
s
（1.13） 可以计算 E( S E ) (n s) 2. SA的统计特性. 它是s个变量 n j ( X . j X )
2
的平方和，且仅有一个线性约束条件:
j 1 s j 1
s
nj
nj ( X. j X ) nj ( X. j X )
j 1 s nj
i 1
( X ij X . j ) 2 / 2 ~ 2 (n j 1)
i 1
nj
（1.11）中各项独立，根据 分布的可加性，得 s
2
S E / 2 ~ 2 ( ( n j 1))
j 1
即S E / 2 ~ 2 ( n s ),
n n j （1.12）
j
Xij - μj可以看成是随机误差. 记为Xij - μj =εij ，
则Xij 可以写为
Xij = μj +εij
εij ~N(0, ζ2),各ε
ij独立
(1.1)
i=1,2,…,nj , j=1,2,…,s
(1.1)称为单因素方差分析的数学模型.
方差分析的任务
X i1 ~ N (1 , 2 ), X i 2 ~ N (2 , 2 ),..., X is ~ N ( s , 2 ) I. 检验s个总体
假设检验-方差分析及回归分析
1.645 时，拒绝 H0。
率有显著提高，此时犯（第一类）错误的 5% 。 概率不会超过
若取 0.005 ， 查表得
z 0.005 2.57 ， 仍有 z 3.125 2.57 ， 所以在显著性水平 0.005 下
也拒绝 H0，从而可断定犯错误的概率 不会超过 0.5% 。
( n1 1) s ( n2 1) s ， n1 n2 2
2 1 2 2
若 t t ( n1 n 2 2) ，则拒绝 H0
2
右边检验
H 0 : 1 2 0 ， H 1 : 1 2 0
若 t t ( n1 n 2 2 ) ，则拒绝 H0
第八章 假设检验
第九章 方差分析及回归分析
第八章 假设检验
§1 假设检验
§2 正态总体均值的假设检验
§3 正态总体方差的假设检验
§5 分布拟合检验
§1 假设检验 实际推断原理 概率很小的事件在一
次试验中实际上可认为是不会发生的。本章 的内容，一是已知总体的分布类型，而对包 含的未知参数作某些假设，二是未知总体的 分布类型，而对总体的分布作出假设。 所谓假设检验就是提出假设后，根据实 际推断原理作出接受还是拒绝的判断。
2
均未知。 2 2 2 2 H0 : 1 2 ， H1 : 1 2
s 检验统计量 F ， s
若 F F ( n1 1, n 2 1)
2
2 1 2 2
或 F F1 ( n1 1, n 2 1) ，
2
则拒绝 H0。
若
2 2
F1 ( n1 1, n2 1) F F ( n1 1, n2 1) ，
品检中常用的数学模型分析
品检中常用的数学模型分析在品质控制中，数学模型是评估和分析产品或过程的质量的重要工具之一。
数学模型可以帮助品质控制人员了解产品或过程中的潜在问题，并为制定改进措施提供依据。
本文将介绍品质控制中常用的数学模型分析方法，包括统计过程控制、回归分析、方差分析和贝叶斯网络分析。
统计过程控制（SPC）是品质控制中最常用的数学模型分析方法之一。
它通过收集和分析产品或过程的数据，确定其稳定性和可靠性。
SPC通常使用控制图来监控过程的变化。
控制图是一种图形化工具，可以帮助品质控制人员识别出过程中的特殊原因变异，并及时采取相应的措施进行调整。
常见的控制图包括X-Bar图、R 图和P图等。
X-Bar图用于监控过程的平均值，R图用于监控过程的变异性，而P 图则用于监控过程的不良率。
通过分析控制图上的点的分布情况，品质控制人员可以判断过程是否处于控制状态，进而采取相应的控制措施。
回归分析是一种用于研究变量之间关系的数学模型分析方法。
在品质控制中，回归分析可以帮助确定影响产品质量的因素，并建立预测模型。
通过收集产品或过程的数据并进行回归分析，可以找到与产品质量相关的变量，并建立预测模型，从而预测产品或过程的质量状况。
回归分析可以采用线性回归、非线性回归或多元回归等方法进行。
通常，品质控制人员会选择最合适的回归模型，并通过相关系数和回归系数等指标评估模型的拟合度和预测准确性。
方差分析（ANOVA）是一种用于比较多个样本均值是否相等的数学模型分析方法。
在品质控制中，方差分析可以用于确定不同因素对产品质量产生的影响，并找出最重要的因素。
方差分析基于平方和、均方和和F值等统计指标来评估样本均值的差异性。
通过进行方差分析，品质控制人员可以确定最佳因素组合，从而优化产品的质量。
方差分析还可以用于分析不同分组之间的差异，进一步确定改进策略。
贝叶斯网络是一种用于建立概率推断模型的数学模型分析方法。
在品质控制中，贝叶斯网络可以用于分析不同因素之间的依赖关系，并预测产品或过程的质量。
第9章-方差分析与线性回归
Xij X E
s nj
ST s
n
E
j
j 1
i 1
X ij X
j1 i1
s nj
X ij2 nX
j1 i1
X ij 2
2
2
s nj
X
EE(X
)j
s11ninj1jEs1Xinj1ijjE21(Xiinj1)X
1 n
s
nj ( j )
j 1
s nj
E( Xij2 ) nE( X 2 )
X12 X 22
As : N s , 2
X1s X 2s
X n11
X n2 2
X nss
每个总体相互独立. 因此, 可写成如 下的 数学模型:
ij
~
X ij j ij N (0, 2 ), 各ij独立
i 1, 2, , nj，j 1, 2, , s
方差分析的目的就是要比较因素A 的r 个水平下试验指标理论均值的 差异, 问题可归结为比较这r个总体 的均值差异.
i
ij (0, 2 ),各ij独立
1, 2, , nj，j 1, 2, , s
n11 n22 ... nss 0
假设等价于 H0 :1 2 s 0
H1 :1,2,
,
不全为零。
s
为给出上面的检验，主要采用的方法是平方和 分解。即
假设数据总的差异用总离差平方和 ST 分解为
第九章 回归分析和方差分析
关键词： 单因素试验 一元线性回归
方差分析(Analysis of variance, 简 称:ANOVA),是由英国统计学家费歇尔 (Fisher)在20世纪20年代提出的,可用于推 断两个或两个以上总体均值是否有差异 的显著性检验.
方差分析与回归分析
以及浓度和温度的交互作用对产量无显著性影响，也就是说为
了提高产量必须控制好浓度。
2 、双因素无重复试验的方差分析 在双因素试验中,对每一对水平组合只做一次试验,即不 重复实验,得到
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总平方和 误差平方和
例9.3 某化工企业为了提高产量，选了三种不同浓度、四种不同 温度做试验。在同一浓度与温度组合下各做两次试验，其数据如
下表所示，在显著性水平α=0.05下不同浓度和不同温度以及它们
间的交叉作用对产量有无显著性影响？
B A
A1 A2 A3
B1
14,10 9,7 5,11
B2
11,11 10,8 13,14
检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。
解: 计算各个水平下的样本均值，得
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计算 ST=106.4, SA=68.4, SE =38.0
单因素试验的方差分析表：
方差来源 平方和 自由度 F值 临界值
显著性
因素A 误差
总计
68.4 4 38.0 10
106.4 14
4.5 F0.05(4,10)=3.48 ※ 4.5 F0.01(4,10)=5.99
变量Y服从正态分布
，即Y的概率密度为
其中
，而 是不依赖于x的常数。
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在n次独立试验中得到观测值（x1,y1）,（x2,y2）,… （xn,yn），利用极大似然估计法估计未知参数a1, a2，… ak,时，
有似然函数
似然函数L取得极大值，上式指数中的平方和
取最小值。
即为了使观测值（xi , yi）(i=1,2,…,n)出现的可能性最大，应当选 择参数a1,a2,…,ak，使得观测值yi与相应的函数值
方差分析与回归分析
方差分析与回归分析在统计学中，方差分析（ANOVA）和回归分析（Regression Analysis）都是常见的统计分析方法。
它们广泛应用于数据分析和实证研究中，有助于揭示变量之间的关系和影响。
本文将对方差分析和回归分析进行介绍和比较，让读者更好地理解它们的应用和区别。
一、方差分析方差分析是一种统计方法，用于比较两个或更多组别的均值是否存在显著差异。
它通过计算组内变异和组间变异的比值来判断不同组别间的差异是否具有统计显著性。
在方差分析中，通常有三种不同的情形：单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况。
例如，我们想要比较不同教育水平对收入的影响，可以将教育水平作为自变量分为高中、本科和研究生三个组别，然后进行方差分析来检验组别之间的收入差异是否显著。
双因素方差分析适用于有两个自变量的情况。
例如，我们想要比较不同教育水平和不同工作经验对收入的影响，可以将教育水平和工作经验作为自变量，进行方差分析来研究其对收入的影响程度和相互作用效应。
多因素方差分析适用于有多个自变量的情况。
例如，我们想要比较不同教育水平、工作经验和职位对收入的影响，可以将教育水平、工作经验和职位作为自变量，进行方差分析来探究它们对收入的联合影响。
方差分析的基本原理是计算组内变异和组间变异之间的比值，即F 值。
通过与临界F值比较，可以确定差异是否显著。
方差分析的结果通常会报告组间平均差异的显著性水平，以及可能存在的交互作用。
二、回归分析回归分析是一种统计方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它通过建立一个数学模型来描述自变量对因变量的影响程度和方向。
回归分析分为简单线性回归和多元线性回归两种类型。
简单线性回归适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。
例如，我们想要研究体重与身高之间的关系，可以将身高作为自变量、体重作为因变量，通过拟合一条直线来描述二者之间的关系。
多元线性回归适用于有多个自变量和一个因变量的情况。
统计学中的ANOVA与线性回归的比较与选择
统计学中的ANOVA与线性回归的比较与选择统计学是一门与数理逻辑相结合的学科，旨在通过收集和分析数据来解释现象，预测未来，以及做出合理的决策。
ANOVA（方差分析）和线性回归是统计学中常见的两种数据分析方法。
本文将对这两种方法进行比较，并讨论在不同情境下如何选择适合的方法。
一、ANOVA（方差分析）方差分析是一种用于比较两个或多个组之间差异的统计方法。
它的主要目的是确定组之间是否存在显著差异，特别是在处理离散型因变量和一个或多个分类自变量的情况下。
方差分析通过计算组间差异所占总差异的比例来评估差异的显著性。
在进行ANOVA分析时，需要满足以下假设：1. 观测值之间是独立的。
2. 每个组内的观测值是来自正态分布的。
3. 方差齐性：每个组的观测值具有相同的方差。
ANOVA方法的计算复杂度较高，需要进行多个参数的估计和显著性检验。
它的结果可以得出组之间的差异是否显著，但并不能提供具体解释这种差异的原因。
二、线性回归线性回归是一种用于建立自变量和因变量之间线性关系的统计方法。
它可以帮助我们了解自变量对于因变量的影响程度，并进行预测。
线性回归可以处理连续型因变量，并适用于一个或多个连续型或离散型自变量。
在线性回归中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系，并使用最小二乘法来估计回归方程的参数。
通过评估回归方程的显著性以及各个自变量的系数，我们可以判断自变量对于因变量的影响是否显著。
然而，线性回归方法也有其局限性。
它假设因变量与自变量之间存在线性关系，但在实际情况中，线性关系并不总是存在。
此外，线性回归还要求各项观测值之间相互独立，误差项为常数方差，以及误差项服从正态分布。
三、比较与选择在选择ANOVA还是线性回归方法时，需要考虑以下几个因素：1. 因变量的类型：如果因变量是离散型变量，可以考虑使用ANOVA方法。
如果是连续型变量，可以考虑使用线性回归方法。
2. 自变量的类型：如果自变量是分类变量，可以使用ANOVA方法进行比较。
方差分析和回归分析
方差分析和回归分析方差分析和回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
它们分别用于比较多个样本之间的差异以及建立变量之间的函数关系。
本文将对方差分析和回归分析进行介绍和比较。
一、方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较多个样本均值是否存在差异的统计方法。
方差分析通过比较组间和组内的方差来判断样本均值是否存在显著差异。
方差分析需要满足一些基本假设，如正态分布假设和方差齐性假设。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析是指只有一个自变量（因素）对因变量产生影响的情况。
多因素方差分析则包含两个或两个以上自变量对因变量的影响，可以用于分析多个因素交互作用的效应。
方差分析的步骤包括建立假设、计算各组均值和方差、计算F值和判断显著性等。
通过方差分析可以得到组间显著性差异的结论，并进一步通过事后多重比较方法确定具体哪些组之间存在显著差异。
二、回归分析回归分析（Regression Analysis）是一种用于分析自变量和因变量之间关系的统计方法。
回归分析通过建立一种数学模型，描述自变量对因变量的影响程度和方向。
回归分析可用于预测、解释和探索自变量与因变量之间的关系。
回归分析可以分为线性回归和非线性回归。
线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系的情况，可以用一条直线进行拟合。
非线性回归则考虑了自变量和因变量之间的非线性关系，需要采用曲线或其他函数来进行拟合。
回归分析的步骤包括建立模型、估计参数、检验模型的显著性、预测等。
回归模型的好坏可以通过拟合优度、回归系数显著性以及残差分析等指标进行评估。
三、方差分析与回归分析的比较方差分析和回归分析都是常用的统计方法，但它们有一些区别。
主要区别包括：1. 目的不同：方差分析用于比较多个样本之间的差异，判断样本均值是否存在显著差异；回归分析则用于建立自变量和因变量之间的函数关系，预测和解释因变量。
2. 自变量个数不同：方差分析一般只有一个自变量（因素），用于比较不同组别之间的差异；回归分析可以包含一个或多个自变量，用于描述自变量对因变量的影响关系。
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j 1, 2,L , s
s
误差平方和 SE
nj
2
Xij X• j
j1 i1
性质1：ST SA SE
s
证明： ST
nj
2
s
Xij X
nj
2
Xij X• j X• j X
j1 i1
j1 i1
s nj
2
s nj
2
s nj
Xij X• j
X•j X 2
设第j组有n j 只老鼠寿命分别为
Xij i 1, 2,..., nj j 1, 2, 3 这是一个典型的最简单分组试验方案。 分组的依据为药物：a,b,无。
通常，分组的依据称为“因素”，因素的不同 状态称为因素的“水平”。此例因素（药物） 有三个水平：a,b,无。 只有一个因子，按因子的不同水平来分组的试验 称为“单因素试验”。在试验中，对试验对象所 观测记录的变量称为“响应变量”（例中的寿命）
药物x 1 2 3 4 5
治愈所需天数y 5，8，7，7，10，8 4，6，6，3，5，6 6，4，4，5，4，3 7，4，6，6，3，5 9，3，5，7，7，6
A1 : N 1, 2 A2 : N 2, 2 L As : N s , 2
X11
X12
L
X1s
X 21
X 22
L
X 2s
M
M
L
M
X n11
X n2 2
L
X nss
检验假设 H0 : 1 2 ... s H1 : 1, 2,..., s不全相等。
记
1 n
s
njj
j 1
s
— —总平均， 其中 nj
H1
: 1, 2 ,L
,
不全为零。
s
（二）平方和分解
s
定义：总偏差平方和 ST
nj
2
Xij X
j1 i1
1 s nj
1s
X
n
j 1
i1
X ij
n
nj X• j
j 1
效应平方和 SA
s
nj
X•j X
2
s
nj
X•
2 j
nX
2
j 1
j 1
X• j
1 nj
nj
X ij ,
i 1
s j 1
nj i1
[
2
(
j
)2
]
2
n[ n
2]
s
s
s
n 2 n 2 2
nj j
nj j2 2 n 2
n
j
2 j
n
1
2
j 1
j 1
j 1
E(SE )
s
E
nj
X ij X • j
2
s
(nj 1) 2 (n s) 2
j1 i1
s
j1
E(SA ) E(ST SE )
Xij X• j X• j X
j1 i1
j1 i1
j1 i1
SA SE
s nj
s
nj
Xij X• j X• j X X• j X
Xij X• j 0
j1 i1
j 1
i 1
从而，检验拒绝域的形式为：SA c. SE
s
性质2：E ST
n
j
2 j
n
1
2
j 1 s
第九章 方差分析及回归分析
单因素试验的方差分析 双因素试验的方差分析 一元线性回归 多元线性回归
§1 单因素试验的方差分析
（一）单因素试验
例 假设某药物研究者为检验a,b两种化学物质 的抗癌效果，要做动物试验。通常的作法如下 所述：他将一些患有某种癌的白鼠随机地分成 三组。其中两组分别注射a,b两种化学物质，而 第三组则不作处理，作为对照。记第一组：注 射a物质，第二组：注射b物质，第三组：不做 处理。经过一段时间观察后，他得到寿命数据
nj i1
X ij2
T••2 n
SA
s
nj
X•
2 j
nX
2
j 1
T s 2 •j
n j1 j
T••2 n
SE ST SA
例1 设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗 效。假设将30个病人分成5组，每组6人，令同组 病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到 痊愈所需时间，得到下面的记录：(=0.05)
一般地，对一个单因素试验，假设因素有s(s>2)
个水平，n个对象参与了试验。假定对应于因素
第j个水平的组中有 n j 个试验对象，响应变量数
据为 X1j , X2 j ,L , Xnj j，j 1,2,L , s。
通常假定 ij
~
X ij j ij
N
(0,
2
),
各
独立
ij
i 1, 2,L , nj，j 1, 2,L , s
E(X )
1 n
s j 1
nj i 1
E( Xij )
E SA
n
j
2 j
s
1
2
j 1
ESE n s 2
1 n
s
nj ( j )
j 1
证明：E ST
s nj E j1 i1
Xij X
2
E
s j 1
nj i 1
X ij2
nX
2
s j 1
nj i1
E( Xij2 ) nE( X 2 )
2
Xij X• j
2 ~ 2 (nj 1), j 1,..., s.
i1
nj
由于各Xij相互独立，所以
Xij X• j 2,j 1,..., s相互独立，
i1
由 2分布可加性，SE
2
~
2
s
(nj 1) ，即 2 n s。
j1
由性质2，E
SA
s 1
1
s 1
s
n
j
2 j
j 1
2
,
E
SE n
s
2
当H
0成立时，E
SA
s 1
2；当H1成立时，E
SA
s 1
2
.
由此，对H0 :1 2 L
s 0, H1 :1,2,L
,
不全为零。
s
在给定水平时，检验拒绝域为 F
SA SE
(s 1) (n s)
F (s 1, n s)
单因素试验方差分析表
方差 来源 因素A 误差
nj2 j Nhomakorabeas
1
2
j 1
性质3
(1)
S
A与S
相互独立；
E
(2) SE ~ 2 (n s)；
2
(3)当H
为真时，S
0
从而，当H0为真时，F
A 2
~
SA
SE
(s (n
2 (s 1)。
1) ~ F (s s)
1,
n
s).
证明：只证（2）.
s
因为 SE
nj
2
X ij X • j
j1 i1
nj
总和
平方 和
SA
SE
ST
自由 度 s-1
n-s
n-1
均方
SA SA s 1 SE SE n s
F比
SA SE
计算ST
,
S
A
,
S
的简便公式：
E
nj
s nj
记T• j Xij , j 1, 2,L , s, T••
X ij
i1
j1 i1
ST
s j 1
nj i1
Xij2 nX 2
s j 1
j 1
n
j j ——水平Aj的效应, j 1, 2,..., s
此时有 n11 n22 ... nss 0
模型为：Xij j ij
i
ij
(0,
2
),
各
独立
ij
1, 2,L , nj，j 1, 2,L , s
n11 n22 ... nss 0
假设等价于 H0 :1 2 L s 0