一元多项式的定义和运算
一元一元多项式
一元一元多项式
一元多项式是一个非负整数，形式表达式为$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+······+a_nx^n$，其中$a_i$（$i=0,1,2,······,n$）称为该多项式的系数，$n$称为该多项式的次数。
若$a_0=0$，即$f(x)=a_1x+a_2x^2+······+a_nx^n$，则称之为零多项式。
零多项式不定义次数。
如果两个多项式有相同的次数，并且同次项的系数完全相等，则称这两个多项式相等。
一元多项式的运算有加法（减法）、乘法。
加法是将两个多项式中对应的项相加，减法是将被减式各项减去减式各项，乘法是将两个多项式相乘。
一元多项式运算性质包括：1. 数域$P$上任意两个多项式相加（减），其结果仍为数域$P$上的多项式；2. 如果$f(x)$和$g(x)$的次数相同，且$f(x)\neq0$，则$f(x)+g(x)$的次数等于它们次数之和，$f(x)·g(x)$的次数等于它们次数的积；3. 运算满足交换律、结合律和分配律。
一元多项式在数学和物理学等领域中都有广泛应用，例如在求解方程、微积分和线性代数等方面。
第1关：基于链表的两个一元多项式的基本运算
第1关：基于链表的两个一元多项式的基本运算在计算机科学中，一元多项式是常见的代数表达式形式，通常用来表示多项式函数。
虽然一元多项式的计算看似简单，但如果使用数据结构来实现，将会大大提高计算效率。
这篇文档将详细介绍基于链表的两个一元多项式的基本运算。
一元多项式的定义：在代数学中，一元多项式是一种含有一个未知数的代数多项式。
它是指一个代数式，它是由保持仅仅又有限个多项式的乘积。
此外，一元多项式在基本运算方面具有封闭性，这也是为什么它被广泛应用的原因之一。
在这里，我们将讨论在计算机科学中对一元多项式的实现。
链表的定义：链表是一种线性数据结构，其中数据元素不是常规的数组索引组织，而是通过信息存储元素之间的链来相互连接。
每个元素被称为节点，并且每个节点包含一个下一个节点的指针。
基于链表的一元多项式的实现：基于链表的一元多项式的实现涉及到将每个多项式的系数和指数存储为链表中的节点。
这种实现的主要优点是，它可以轻松地进行添加和删除操作，可以有效地分配内存，而不会浪费存储空间。
考虑到一元多项式的基本运算包括加法，减法和乘法，我们将详细介绍每种操作的实现。
一、基于链表的两个一元多项式的加法操作在实现一元多项式加法时，我们需要创建两个链表来存储两个多项式。
链表节点应该包含两个属性：系数和指数。
然后我们可以使用以下方法将两个多项式相加。
1. 定义两个指针p1和p2分别指向多项式链表的头部。
2. 定义一个新链表，用于存储相加的项。
3. 当p1和p2都不为空时循环进行以下操作：a. 如果p1当前节点的指数小于p2当前节点的指数，则将p1的节点添加到新链表中并将p1指针向下移动一个节点。
b. 如果p1当前节点的指数大于p2当前节点的指数，则将p2的节点添加到新链表中并将p2指针向下移动一个节点。
c. 如果p1和p2当前节点的指数相等，则将两个节点的系数相加，并将结果添加到新链表中，并将p1和p2指针都向下移动一个节点。
的所有剩余项添加到新链表中。
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第一章 多项式§1 数域 §2 一元多项式一、数域1、定义：P 是由一些复数组成的集合，包含0和1，如果P 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P 中，则称P 为一个数域。
简单地说：P 是一个含0和1的非空集合，且对四种运算封闭。
2、例1：有理数的集合Q ，实数集合R ，复数集合C 均为数域。
例2：{}()2,2Q Q b a b a P =∈+=是一个数域。
证明：Pd c adcb d c bd ac d c d c d c b a d c b a d c d c P bc ad bd ac d c b a P d b c a d c b a P d b c a d c b a Qd c b a P d c b a P P ∈--+--=-+-+=++≠-≠+∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++∈∈++∀∈+=∈+=2222)2)(2()2)(2(2202,02)5(2)()2()2)(2)(4(2)()()2()2)(3(2)()()2()2)(2(,,,,2,22011;2000)1(2222有若故P 是一个数域。
练习：证{}Q b a bi a i Q ∈+=,)(是一个数域。
二、一元多项式注：在数域P 上进行讨论，x 是一个符号。
1、定义：0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，（-∈Z n ）称为数域P 上的一元多项式。
其中P a a a n ∈,,,10 ，用 ),(),(x g x f 表示。
若0≠n a ，则称n a 为首项系数，n 为多项式的次数，用))((x f ∂表示。
0a 为常数项。
2、相等：)()(x g x f =当且仅当次数相同，对应系数相等。
3、运算：设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ，m n ≥（1） 加法： )()()()()(00b a x b a x b a x g x f m m m n n n +++++++=+其中：011====+-m n n b b b())(),(max ))()((x g x f x g x f ≤+∂ （2） 乘法：snm s s j i j i m n m n m n m n m n xb a b a x b a b a x b a b a x b a x g x f ∑∑+==+-+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++++=0001001111)()()()()(若：0)(,0)(≠≠x g x f ，则))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂ 4、运算规律：（1）)()()()(x f x g x g x f +=+（加法交换律）（2）))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++（加法结合律） （3）)()()()(x f x g x g x f =（乘法交换律）（4）))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =（乘法结合律） （5）)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+（分配律） （6）若,0)(),()()()(≠=x f x h x f x g x f 则)()(x h x g =（消去律） 5、多项式环。
一元多项式的定义和运算讲解
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式 的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条 件是：在 中可以求得多项式 与 ，使
高等代数课件 第二章
三、 多项式的带余除法定理
定理 设f x, gx F[x] ，且 gx 0，则存在
qx, rxF[x], 使得
f x gxqx rx
这里 rx 0，或者 0 rx 0 gx. 并且满足上述条件的 qx和r(x) 只有一对。
注1： qx, rx分别称为 gx除f (x)所得的商式和
余式
注2： gx 0, gx| f x rx 0.
使以下等式成立:
f xux gxvx dx
三、多项式的互素
1. 互素的定义
定义 3 如果 Fx 的两个多项式除零次多项式外
不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
2. 互素的性质
(1)定理 2.3.3 Fx的两个多项式 f x与gx 互素
的充分且必要条件是：在 Fx中可以求得多项式 ux
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题
一、最大公因式的定义
定义 1 令 f x和 gx是F [x]的两个多项式，若 是F [x]的一个多项式hx 同时整除 f x和gx ，那么 hx 叫做 f x与gx的一个公因式.
f1x, f2 x,, fk x,及 q1x, q2 x,, qk x,
使得
fk1x fk x qk1xgx
而
0 f x 0 f1x 0 gx
由于多项式 f1x, f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0或0 fk x 0gx ，于是
qx q1x qk x及rx fk x
系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
高等代数一元多项式
证设
f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0, g(x) = bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b0,
其中 an ̸= 0, bm ̸= 0. 则 ∂(f(x)) = n, ∂(g(x)) = m.
. .. . . ..
次数公式
(1) 在考虑多项式 f(x) 和 g(x) 的和时，不妨设 n ≥ m 且令 bm+1 = bm+2 = · · · = bn = 0，则
f(x)
+
g(x)
=
∑n (ai
+
bi)xi.
i=0
从而 ∂(f(x) + g(x)) ≤ n = max(∂(f(x)), ∂(g(x))). (2) f(x)g(x) 的首项是 anbmxn+m，显然 anbm ̸= 0，因之，f(x)g(x) ̸= 0 而且它的次数就是 n + m.
. .. . . ..
多项式的运算律
1 加法交换律：f(x) + g(x) = g(x) + f(x). 2 加法结合律：(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)). 3 乘法交换律：f(x)g(x) = g(x)f(x). 4 乘法结合律：(f(x)g(x))h(x) = f(x)(g(x)h(x)).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
次数公式
一元多项式.ppt
主要内容
定义 多项式的运算 多项式的运算规律
一、定义
在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给
定的数域 P 作为基础. 设 x 是一个符号(或称文字) 我们有
定义 2 设 n 是一非负整数. 形式表达式
anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 ,
(1)
其中 a0 , a1 , … , an-1 , an 全属于数域 P ，称为系数
P 称为 P[x] 的系数域 .
注意：我们在集合 P[x] 中定义了加法和乘法，与整数 集Z中定义的加法和乘法比较一下就可以发现： 它们所满足的运算律是一样的.
从而我们是否可以设想：在整数集Z中的元素关于 这两种运算所具备的一些性质，是否可以类比的推广 到集合P[x] 中呢？
我们以下的工作就是将整数集Z中的重要结论 （算术基本定理）：每一个大于1的整数都可以唯 一地分解为一些素数的乘积.推广到P[x] 中.即每一 个多项式都可以分解为素（不可约）多项式的乘积.
asb0 as1b1 a1bs1 a0bs aibj . i js
所以 f (x) g(x) 可表成
f (x)g(x) mn aibj xs .
s0 i js
显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘 等运算后，所得结果仍然是数域 P 上的多项式.
+ (a1 + b1)x + (a0 + b0)
n
(ai bi )xi . i0
即文字的同次幂的系数相加.
பைடு நூலகம்
2. 乘法
f (x) ·g(x) = anbmxn+m + (anbm-1 + an-1bm )xn+m-1
数据结构一元多项式的运算
数据结构一元多项式的运算正文：1. 引言本文档旨在介绍数据结构中一元多项式的运算方法。
一元多项式是指在一个变量上的多项式，其中每一项由一个系数和一个指数组成。
我们将会讨论一元多项式的表示、存储和基本运算，包括多项式的加法、减法、乘法和求导等操作。
2. 一元多项式的表示和存储2.1 一元多项式的定义一元多项式是指在一个变量x上的多项式，每一项由一个系数和一个指数组成，例如：2x^3 - 5x^2 + 3x + 1.其中，2、-5、3和1分别是系数，3、2、1和0分别是指数。
2.2 一元多项式的表示方法一元多项式可以使用数组、链表或其他数据结构来表示。
在本文中，我们选择使用数组来表示一元多项式。
数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。
例如，多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 可以表示为 [1, 3, -5, 2]。
2.3 一元多项式的存储结构为了表示一元多项式，我们可以使用一个数组来存储多项式的系数。
数组的长度应该比多项式的最高指数大1.数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。
例如，数组 [1, 3, -5, 2] 表示的多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 中，索引0对应指数为3的项，索引1对应指数为2的项，以此类推。
3. 一元多项式的基本运算3.1 一元多项式的加法一元多项式的加法是指将两个多项式相加，并合并同类项。
具体操作如下：- 将两个多项式的系数相加，并将结果存储在一个新的多项式中。
- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。
3.2 一元多项式的减法一元多项式的减法是指将一个多项式减去另一个多项式，并合并同类项。
具体操作如下：- 将两个多项式的系数相减，并将结果存储在一个新的多项式中。
- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。
3.3 一元多项式的乘法一元多项式的乘法是指将两个多项式相乘，并合并同类项。
具体操作如下：- 遍历一个多项式的每一项，与另一个多项式的每一项相乘。
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例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z
则S是一个数环。 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。
当a=0时，S 0，即只包含一个零组成的数
环，这是最小的数环，称为零环。 问题：3、一个数环是否一定包含0元？
4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的 数环？
例2：证明 Z i a bi a,b Z,i2 1 是一个数环。
11 2,1 2 3,1 3 4, , N F
0 1 1,0 2 2,0 3 3,
对 x Q, x 0, x a , a,b Z,
b
故 xF,Q F.
, Z F
问题：10、在判断一个数集是不是数域时，实际上
要检验几种运算？ 定理1.1.3：设F是一个含有非零数的数集，则F
当 d 0 2 c Q ，也矛盾）。于是
d
a b 2 a b 2 c d 2 c d 2
cd cd
2 2
a1 b1
2, a1, b1 Q
问题：8、一个数域必包含哪两个元素？ 9、最小的数域是什么？
定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证明：设F是一个数域，则 a F, a 0. 于是 a a 0 F, a a 1 F.
例： 4a+3b，3x2 2x 1, 3 y 1 .
25
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是 形式表达式。
后来又把多项式定义为R上的函数：
f x a0 a1x anxn
但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代。
问题：1、高等代数中采用什么观点定义多项式？
2、多项式的形式观点与多项式的函数观点
问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数 集是不是数域？
7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？
例3：证明 Q 2 a b 2 a,b Q 是一个数域。
证明要点：先证 Q 2 有一个非零元 1 1 0 2 ，
对加、减、乘封闭。再证除法封闭：
设 c d 2 0 c d 2 0（否则当 d 0 c 0矛盾；
问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。
二、数域 定义2：设F是一个含有不等零的数的数集，如果F 中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中， 则称F是一个数域。 定义 ：设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非 零数； ② 对 a,b F, 且 b 0 ，则 a b F 则称F是一个数域。 例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域， 且是三个最重要的数域。
常数项或是否矛盾？
首项
定义1零：设次x项是一个文字（或符号）首，项n系是数一个非负整数
形式表达式
n
a0 a1x an xn ai xi i0
—（2.1）
其中 a0, a1, , an F ，称为数域F上的一元多项式。
ai 称为i次项系数。
高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方 面推广了中学的多项式定义：
是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除 数不为零）仍属于F。 问题：11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C
之间是否有别的数域？
例：对任意素数P， QP a b p a,b Q
是一个数域。Q QP R
在R与C之间不可能有别的数域。
设有数域F，使 R F C ，故
x F, x R, x C, 设x=a+bi，且 b 0
1. 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 2. 系数可以是任意数域。
例1.2.1：f x 1 2x 3x2 9x3 是Q上多项式；
有根。等等。
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 这样的限制。
在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中
（代即数运运算算是：设否A封是闭一）个非。空集合，定义在A上的一个代数运算 运整算数封例的闭如商：两就这是都如个不个指有果集整存A集一中合在合数定一中一中的是个，个任和整元则法两、素数称则个与差，该，元之集、它素这对合使做积证应对A某仍明。中这一是整任个运整意数运算两数集算后个封，的对元闭结但加素。果两、A仍个减在A、 乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭。
根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 数环和数域。
一、数环 定义1：设S是由一些复数组成的一个非空集合， 如果对 a,b S ，总有 a b, a实数集R，复数集
C都是数环。 问题：1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。
（ F1, F2 是数域，则F1 F2 是数域的充要条件是 F1 F2 或 F2 F1 ）。
§1.2 一元多项式的定义和运算
一、多项式的概念
中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减 法运算的整式）的代数和叫多项式。
§1.1 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 范围，学习数学也是如此。
比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、 有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
x2 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。 x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就
（若b=0，则 x aR，矛盾）。 a,b R, a,b F, bi F, bi b i F 可见F=C。
问题：12、设 S1 和 S2 是数环，试问 S1 S2, S1 S2 是不是数环？若是，给出证明，
若不是举出反例。 若 S1和 S2 是数域情况又如何？
S1 S2不是数域,反例:S1 a b 2 a,bQ , S2 a b 3 a,bQ