单项式多项式概念讲解

单项式与多项式的概念

1、单项式的有关概念

（1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式。单独的一个数或字母．．．．．．．．．也叫做单项式。例如：a x abx n m a ,9,4,,,33

2

-

注意：单项式不含加减运算，只含字母与字母或字母的乘法（包括乘方）运算 （2）单项式的系数：单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。例如：单项式22

7,2

1xy y x -的系数分别是

7,2

1

-，当单项式系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如ab 就是ab ⋅1，系数是1；n -就是n ⋅-1，系数是－1.

（3）单项式的次数（指数）：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如x 4的次数是1，z y x 3

23的次数是2+3+1＝6；数学的次数是0，如3，－9等可以当作0

次单项式。

一个单项式的次数是几就叫做几次单项式，如2

23

1

b a 中，a 与b 的指数和为4，则2

23

1b a 是四次单项式。

例1：指出下列各单项式的系数和次数

7

,,5,33

2322y x bc a ab a π- 提示：圆周率π是常数，当单项式中含有π时，π是单项式的系数，且在计算单项式的次数时应注意不要加上π的指数。

2、多项式的有关概念

（1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。如5232

+-x x 是多项式，它的项分别是2

3x ，x 2-和5，其中5是常数项。

（2）多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。如

23224+-x y 的次为是3，即“32x ”的次数。一个多项式中含有几项，最高次数是几次就

叫几次几项式。如6623

4

+-y y 叫做四次三项式。

在多项中，含有字母的项的次数是几次就叫做几次项。如5232-+-b ab b a 中，b a 2

3就是它的三次项，二次项是ab 2-，一次项是b ，常数项是－5.

（3）多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列叫降幂排列；反之，则称为升幂排列。

例2 、已知多项式y x xy 5

1

432

2

--，试按下列要求将其重新排列（1）按字母x 作降幂排列；（2）按字母y 作升幂排列

3、整式的概念

单项式与多项式统称为整式

判断一个式子是不是整式应注意几点（1）分母不含字母；（2）根号里面不含字母

①单项式

②多项式

4、几种约定俗成的读与写

（1）字母与数字相乘，或字母与字母相乘，乘号不用“⨯”，而是用“⋅”，或省略不写，如“a 4乘以b ”可写成“b a ⋅4”或“ab 4”。但数字与数字相乘一般用“⨯”，且不得省略，如“34⨯”不能简写成“43”或“34⋅”

（2）字母与数字相乘，一般数字写在字母之前，如“n m 2

35”不要写成“352

n m ”；系数为带分数的，一般写成假分数，如“213

与2

x 的积”写成“227x ”而不写成“22

13x ”，以免造成混淆。

（3）多项式中，“a 与b 的差”是指“b a -”，而不是“a b -” “a 、b 的平方和”是指“2

2

b a +”，而不是“2

b a +”

“a 与b 的平方的差”是指“2b a -”，而不是“2

2b a -” “a 与b 的差的立方”是指“3

)(b a -”，而不是“3

b a -”

例1：指出下列各式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？

π

2222

22

2

,5,52,71,19,3,,r R x x x x n m xy b a x y x -+--++-+

例2、多项式5)13(72

++-+x n kx x m 是关于x 的三次三项式，并且一次项系数为－7，求m+n-k 的值

变式：已知多项式635

1221

2--+-

+x xy y x m 是六次四项式，单项式m n y x -523与该多项式的次数相同，那么m 、n 的值分别为（ ） A 、5，3 B 、3，2 C 、2，1 D 、0，

2

1 例3、（1）某班共有x 个学生，其中女生人数占45%，用代数式表示该班的男生人数是 （2）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m 的代数式表示）

课堂训练

1、多项式1342

2

3

--y x x 是几次几项式；并说出最高次项和常数项是什么？

2、把多项式3

3

2

2

543y x xy y x -+-重新排列；（1）按y 的降幂排列；（2）按x 的升幂排列。

3、21

(32)n m x y +-是关于x 、y 的系数为1的5次单项式，则2

m n -的值

4、已知多项式21

231365

m x y xy x +-

+--是六次四项式，单项式253n m x y -与该多项式的次数相同，求m 、n

5、已知44m

a b 与32

72

n a b +-是同类项，求m 、n 的值

6、已知1

13

3264

m m m x x x -+--+是关于x 的三次四项式，求当12x =-时，这个多项式的值

7、若当1x =时代数式3

7ax bx ++的值为4，则当1x =-时，代数式3

7ax bx ++

8、代数式2

346x x -+的值为9，则2

4

63

x x -+的值。