一元多项式的定义和运算讲解
高等代数多项式 一元多项式 整除的概念
又 f ( x), g( x) 均为实系数多项式 ， 从而必有 g( x) h( x) 0. f ( x) g( x) h( x) 0. (2) 在 C上不成立．如取 f ( x) 0, g( x) ix, h( x) x
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
使得 f1 x q1 x g x r1 x
其中 r1 x < g( x) 或者 r1( x) 0. 于是
f x b1axnm q1 x g x r1 x.
即有 q( x) b1axnm q1 x , r x r1 x 使
f ( x) q( x)g( x) r( x),
成立． 由归纳法原理，对 f ( x), g( x) 0, q( x),r( x)
的存在性得证．
再证唯一性．
若同时有 f x q x g x r x,
其中 r x g x或r x＝0.
③ 若 a0 a1 an 0 ，即 f ( x) 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数．
区别：
零多项式 f ( x) 0 零次多项式 f ( x) a, a 0 , ( f ( x))=0.
2．多项式的相等
若多项式 f ( x) 与 g( x) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x)与 g( x)相等，记作 f ( x) g( x).
n
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 ai x i ,
i0 m
g( x) bm xm bm1 xm1 b1x b0 bj x j ,
第1关：基于链表的两个一元多项式的基本运算
第1关：基于链表的两个一元多项式的基本运算在计算机科学中，一元多项式是常见的代数表达式形式，通常用来表示多项式函数。
虽然一元多项式的计算看似简单，但如果使用数据结构来实现，将会大大提高计算效率。
这篇文档将详细介绍基于链表的两个一元多项式的基本运算。
一元多项式的定义：在代数学中，一元多项式是一种含有一个未知数的代数多项式。
它是指一个代数式，它是由保持仅仅又有限个多项式的乘积。
此外，一元多项式在基本运算方面具有封闭性，这也是为什么它被广泛应用的原因之一。
在这里，我们将讨论在计算机科学中对一元多项式的实现。
链表的定义：链表是一种线性数据结构，其中数据元素不是常规的数组索引组织，而是通过信息存储元素之间的链来相互连接。
每个元素被称为节点，并且每个节点包含一个下一个节点的指针。
基于链表的一元多项式的实现：基于链表的一元多项式的实现涉及到将每个多项式的系数和指数存储为链表中的节点。
这种实现的主要优点是，它可以轻松地进行添加和删除操作，可以有效地分配内存，而不会浪费存储空间。
考虑到一元多项式的基本运算包括加法，减法和乘法，我们将详细介绍每种操作的实现。
一、基于链表的两个一元多项式的加法操作在实现一元多项式加法时，我们需要创建两个链表来存储两个多项式。
链表节点应该包含两个属性：系数和指数。
然后我们可以使用以下方法将两个多项式相加。
1. 定义两个指针p1和p2分别指向多项式链表的头部。
2. 定义一个新链表，用于存储相加的项。
3. 当p1和p2都不为空时循环进行以下操作：a. 如果p1当前节点的指数小于p2当前节点的指数，则将p1的节点添加到新链表中并将p1指针向下移动一个节点。
b. 如果p1当前节点的指数大于p2当前节点的指数，则将p2的节点添加到新链表中并将p2指针向下移动一个节点。
c. 如果p1和p2当前节点的指数相等，则将两个节点的系数相加，并将结果添加到新链表中，并将p1和p2指针都向下移动一个节点。
的所有剩余项添加到新链表中。
一元多项式——精选推荐
第一章 多项式§1 数域 §2 一元多项式一、数域1、定义：P 是由一些复数组成的集合，包含0和1，如果P 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P 中，则称P 为一个数域。
简单地说：P 是一个含0和1的非空集合，且对四种运算封闭。
2、例1：有理数的集合Q ，实数集合R ，复数集合C 均为数域。
例2：{}()2,2Q Q b a b a P =∈+=是一个数域。
证明：Pd c adcb d c bd ac d c d c d c b a d c b a d c d c P bc ad bd ac d c b a P d b c a d c b a P d b c a d c b a Qd c b a P d c b a P P ∈--+--=-+-+=++≠-≠+∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++∈∈++∀∈+=∈+=2222)2)(2()2)(2(2202,02)5(2)()2()2)(2)(4(2)()()2()2)(3(2)()()2()2)(2(,,,,2,22011;2000)1(2222有若故P 是一个数域。
练习：证{}Q b a bi a i Q ∈+=,)(是一个数域。
二、一元多项式注：在数域P 上进行讨论，x 是一个符号。
1、定义：0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，（-∈Z n ）称为数域P 上的一元多项式。
其中P a a a n ∈,,,10 ，用 ),(),(x g x f 表示。
若0≠n a ，则称n a 为首项系数，n 为多项式的次数，用))((x f ∂表示。
0a 为常数项。
2、相等：)()(x g x f =当且仅当次数相同，对应系数相等。
3、运算：设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ，m n ≥（1） 加法： )()()()()(00b a x b a x b a x g x f m m m n n n +++++++=+其中：011====+-m n n b b b())(),(max ))()((x g x f x g x f ≤+∂ （2） 乘法：snm s s j i j i m n m n m n m n m n xb a b a x b a b a x b a b a x b a x g x f ∑∑+==+-+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++++=0001001111)()()()()(若：0)(,0)(≠≠x g x f ，则))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂ 4、运算规律：（1）)()()()(x f x g x g x f +=+（加法交换律）（2）))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++（加法结合律） （3）)()()()(x f x g x g x f =（乘法交换律）（4）))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =（乘法结合律） （5）)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+（分配律） （6）若,0)(),()()()(≠=x f x h x f x g x f 则)()(x h x g =（消去律） 5、多项式环。
一元多项式的定义和运算讲解
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式 的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条 件是：在 中可以求得多项式 与 ，使
高等代数课件 第二章
三、 多项式的带余除法定理
定理 设f x, gx F[x] ，且 gx 0，则存在
qx, rxF[x], 使得
f x gxqx rx
这里 rx 0，或者 0 rx 0 gx. 并且满足上述条件的 qx和r(x) 只有一对。
注1： qx, rx分别称为 gx除f (x)所得的商式和
余式
注2： gx 0, gx| f x rx 0.
使以下等式成立:
f xux gxvx dx
三、多项式的互素
1. 互素的定义
定义 3 如果 Fx 的两个多项式除零次多项式外
不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
2. 互素的性质
(1)定理 2.3.3 Fx的两个多项式 f x与gx 互素
的充分且必要条件是：在 Fx中可以求得多项式 ux
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题
一、最大公因式的定义
定义 1 令 f x和 gx是F [x]的两个多项式，若 是F [x]的一个多项式hx 同时整除 f x和gx ，那么 hx 叫做 f x与gx的一个公因式.
f1x, f2 x,, fk x,及 q1x, q2 x,, qk x,
使得
fk1x fk x qk1xgx
而
0 f x 0 f1x 0 gx
由于多项式 f1x, f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0或0 fk x 0gx ，于是
qx q1x qk x及rx fk x
系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
高等代数一元多项式
证设
f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0, g(x) = bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b0,
其中 an ̸= 0, bm ̸= 0. 则 ∂(f(x)) = n, ∂(g(x)) = m.
. .. . . ..
次数公式
(1) 在考虑多项式 f(x) 和 g(x) 的和时，不妨设 n ≥ m 且令 bm+1 = bm+2 = · · · = bn = 0，则
f(x)
+
g(x)
=
∑n (ai
+
bi)xi.
i=0
从而 ∂(f(x) + g(x)) ≤ n = max(∂(f(x)), ∂(g(x))). (2) f(x)g(x) 的首项是 anbmxn+m，显然 anbm ̸= 0，因之，f(x)g(x) ̸= 0 而且它的次数就是 n + m.
. .. . . ..
多项式的运算律
1 加法交换律：f(x) + g(x) = g(x) + f(x). 2 加法结合律：(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)). 3 乘法交换律：f(x)g(x) = g(x)f(x). 4 乘法结合律：(f(x)g(x))h(x) = f(x)(g(x)h(x)).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
次数公式
数据结构一元多项式的运算
数据结构一元多项式的运算正文：1. 引言本文档旨在介绍数据结构中一元多项式的运算方法。
一元多项式是指在一个变量上的多项式，其中每一项由一个系数和一个指数组成。
我们将会讨论一元多项式的表示、存储和基本运算，包括多项式的加法、减法、乘法和求导等操作。
2. 一元多项式的表示和存储2.1 一元多项式的定义一元多项式是指在一个变量x上的多项式，每一项由一个系数和一个指数组成，例如：2x^3 - 5x^2 + 3x + 1.其中，2、-5、3和1分别是系数，3、2、1和0分别是指数。
2.2 一元多项式的表示方法一元多项式可以使用数组、链表或其他数据结构来表示。
在本文中，我们选择使用数组来表示一元多项式。
数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。
例如，多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 可以表示为 [1, 3, -5, 2]。
2.3 一元多项式的存储结构为了表示一元多项式，我们可以使用一个数组来存储多项式的系数。
数组的长度应该比多项式的最高指数大1.数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。
例如，数组 [1, 3, -5, 2] 表示的多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 中，索引0对应指数为3的项，索引1对应指数为2的项，以此类推。
3. 一元多项式的基本运算3.1 一元多项式的加法一元多项式的加法是指将两个多项式相加，并合并同类项。
具体操作如下：- 将两个多项式的系数相加，并将结果存储在一个新的多项式中。
- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。
3.2 一元多项式的减法一元多项式的减法是指将一个多项式减去另一个多项式，并合并同类项。
具体操作如下：- 将两个多项式的系数相减，并将结果存储在一个新的多项式中。
- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。
3.3 一元多项式的乘法一元多项式的乘法是指将两个多项式相乘，并合并同类项。
具体操作如下：- 遍历一个多项式的每一项，与另一个多项式的每一项相乘。
一元多项式的定义和运算
多 问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？ 项 式
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 高 等 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。 代 二、数域 数 定义2： 设F是一个含有不等零的数的数集，如果F
中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中， 则称F是一个数域。 定义 2： 设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非 1 零数； ② 对 a, b F , 且 b 0 ，则 a b F 则称F是一个数域。 多 例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，
高 等 代 数
第一章 多项式
学时：28学时 教学方法和手段
由于多项式与整数在许多方面有相似之处，因此在建 立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比。
基本内容和教学目的
1
本章主要讨论一元多项式的概念和运算，建立多项式 因式分解理论，并讨论与之有密切关系的求根问题。 这是中学有关知识的加深和扩充。
有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
1
x 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
2
多 项 式
就可以分解。 x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等。
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 高 等 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 代 这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 数
多 项 式
本章的重点和难点
重点:一元多项式的因式分解理论. 难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多 项式等概念之间的联系与区别.
§1.1 数环和数域 高 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 等 代 范围，学习数学也是如此。 数 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、
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若是 f1 x 0且 f1 x g x . 则对 f1 x 重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式：
0 0
f1 x , f 2 x ,, f k x , 及 q1 x , q2 x ,, qk x ,
使得
而
f k 1 x f k x qk 1 x g x
便给出了所说的表示。
现在证明定理的后一部分．假设f (x)有两种符合定 理中要求的表示法：
f x g xq1 x r1 x g xq2 x r2 x
那么
q1 x q2 xg x r2 x r1 x
0
上式右边或者为零，或者次数小于 g x ; 而左边或者是零，或者次数不小于 0 g x ; 因此必须两边均为零，从而
g x b0 b1 x b2 x bm x
2
f x a0 a1 x a 2 x 2 a n x n
m
且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为
f x g x a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x an bn x
2
n
这里当m < n 时，bm1 bn 0
多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f x a0 a1 x a 2 x a n x
2
n
f x g x c0 c1 x c2 x cn n x
2.1.2 相等多项式
定义
若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全 相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和 g (x)就说是相等 . f (x) = g (x)
2.1.3 多项式的次数
a n x 叫做多项式 a0 a1 x a 2 x a n x
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
2.2.1 多项式的整除概念
设F是一个数域. F [x]是F上一元多项式环.
定义1 设f x, g x F[ x] ，如果存在 hx F[ x] ，使得
f x g x hx ，则称 g x 整除 f x ，记为
2.1.6 多项式的运算性质
定理 设f x 和g ( x) 是数环R上两个多项式,并且
f x 0, g x 0 .那么
（i）当 f x g x 0 时,
0 f x g x max 0 f x , 0 g x
2.1.1 认识多项式 2.1.2 相等多项式 2.1.3 多项式的次数 2.1.4 多项式的运算
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
2.1.6 多项式的运算性质
二、教学目的
掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.
三、重点、难点
一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。
2.1.1 认识多项式
0 0
并且满足上述条件的 qx 和r ( x) 只有一对。
注1：qx , r x 分别称为 g x 除f ( x)所得的商式和
余式
注2： g x 0, g x | f x r x 0.
证：先证定理的前一部分.
（i）若 f x 0 , 或 0 f x 0 g x . 则可以取
g x | f x ，此时称 g x 是 f x 的因式，否则称
g x 不能整除 f x ，记为
2.2.2 多项式整除性的一些基本性质
（1） hx | g x, g x | f x hx | f x （2） hx | f x, hx | g x hx | f x g x （3） hx | f x, g x F[ x] hx | f xg x （4） hx | f i xi 1,2,, k , g i xi 1,2,, k hx | f1 g1 f k g k （5） 0 c F , f x F[ x] c | f x （6） 0 c F , f x F[ x] cf x | f x （7） f x | g x, g x | f x f x cg x0 c F
2
nm
这里
ck a0bk a1bk 1 ak 1b1 ak b0 , k 0, 1, 2,, n m
多项式的减法
f x g x f x g x
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律: f x g x g x f x （2）加法结合律: f x g x hx f x g x hx （3）乘法交换律: f x g x g x f x （4）乘法结合律:
所以由推论1必有 g x hx 0 ,即
g x hx
例
当 a, b, c 是什么数时，多项式
f x ax bx c b x x
3 2 3
2
（1）是零多项式？
（2）是零次多项式？
2.2 多项式的整除性
一、内容分布
2.2.1 多项式的整除概念 2.2.2 多项式整除性的一些基本性质 2.2.3 多项式的带余除法定理 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响
（ii）
0ຫໍສະໝຸດ f xg x f x g x
0 0
证:
设 0 f x n, 0 g x m
2 m
g x b0 b1 x b2 x bm x , bm 0
f x a0 a1 x a 2 x 2 a n x n , a n 0
n
2
n
an 0
的最高次项,非负整数n叫做多项式
a0 a1 x a 2 x a n x an 0 的次数. 记作
2 n
0 f x
注：
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做 零多项式，记为 0 .
2.1.4 多项式的运算
多项式的加法
给定数环R上两个多项式
qx 0, r x f x 0 0 g x. 把f x 和g ( x) f x , 且 （ii）若 f x 0
按降幂书写: f x a0 x n a1 x n1 a n1 x an g x b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
q1 x q2 x及r1 x r2 x
2.2.4 系数所在范围对整除性的影响
设F和F 是两个数域，并且 F F ，那么多项式环 F[ x] 含有多项式环F [x]．因此Ｆ上的一个多项式 f x 也是
F 上的一个多项式． f x , g x F[ x]，则如果在F [x]里 g x 不能整除 f x
f xg xhx f xg xhx
（5）乘法对加法的分配律: f xg x hx f xg x f xhx
注意：要把一个多项式按“降幂”书写
a n x n a n1 x n1 a1 x a0
n a x a 0 时， n 叫做多项式的首项. 当 n
第二章 多项式
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 一元多项式的定义和运算 多项式的整除性 多项式的最大公因式 多项式的分解 重因式 多项式函数 多项式的根 复数和实数域上多项式 有理数域上多项式 多元多项式 对称多项式
2.1 一元多项式的定义和运算
一、内容分布
2.2.3 多项式的带余除法定理
定理 设f x, g x F[ x] ，且 g x 0 ，则存在
qx , r x F[ x], 使得 f x g xqx r x
这里 r x 0 ，或者 r x g x .
0 f x 0 f1 x 0 g x
由于多项式 f1 x, f 2 x,的次数是递降的, 故存在k使
f k x 0或 0 f k x 0 g x ，于是
qx q1 x qk x 及r x f k x
，那么在 F[ x] 里 g x 也不能整除 f x . 不能整除 f x , f x 不能等于0．因此在 F[ x] 里 g x 事实上，若 g x 0 ，那么由于在F [x]里 g x
显然仍不能整除 f x .
假定 g x 0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立： 并且 r x 0 ．但是F [x]的多项式 qx 和r ( x) 都是
式乘法定义得 f xg x 0 . 若是 f x 0且g ( x) 0 那么由上面定理的证明得
f x g x 0
推论2
f xg x f xhx, f x 0 g x hx
证 由 f xg x f xhx 得 f xg x hx 。但 f x 0
（ 2）
f x g x 的次数显然不超过n，另一方面， 由（1），
由an 0, bm 0得anbm 0 ，所以由(2)得 f x g x
的次数是n + m .
推论1
f x g x 0 f x 0
或 g x 0
证 若是 f x和g ( x)中有一个是零多项式，那么由多项
且 m n 那么
f x g x a0 b0 a1 b1 x a 2 b2 x 2 a n bn x n （1）