第二讲 矩阵与多项式运算
矩阵的运算优秀课件
(A
E )n
An
Cn1 An1
C
2 n
An2
Cnn1 A
E
3. 求矩阵A的n次幂的方法. 措施一 数学归纳法
先计算A2, A3等, 发现Ak的规律,再用数学归纳法证明之.
例1
设
A
1 0
11 , 求 An
解
A2
1 0
12 1
10
11 10
11
1 0
2 1
同理,
A3
A2
A
1 0
13
猜测
An
,
求An
1
1
n
1
n n
n
解
将A分解成A
E
1 n
B,
其中B
111
1
1
1
111,容易得出B2 nB
于是 A2
(E
1 n
B)2
E2
2 n
EB
1 n2
B2
E
2 n
B
1 n2
nB
E 1 B A(幂等矩阵),故An A.
n
措施三 利用乘法结合律 若A T , 其中 , 都是n 1矩阵(列矩阵).利用乘法结合律,
三、矩阵旳幂乘
1、定义 设A是一种n阶矩阵，对于正整数k, Ak AA A
k个
称为A旳k次幂。 2、幂乘旳运算规律：任意正整数 k , l ,有
Ak Al Akl , Ak l Akl
但一般来说 ( AB)k Ak Bk ,
例题 设A, B为n阶方阵, E为n阶单位矩阵,以下式子哪些成立 ?
由矩阵相等旳定义,得
x1 x3
x2 x4
得
矩阵的运算PPT课件
4
5
3
B-31
3
5-41 3
6 7- 7
例15 利3用6 下清 列 57 模空 型验223 证单464位37 矩54阵143 的性质.
单击
乘位
积矩
矩阵
阵-的2195的性某质334一3:0
A元21素417 39，
可E 3-得22133该
元5素
65
的
清
计4
3 4
算
空
过
程
单
位
矩
2阵-352的01*8
设
引
有
例
三
2
组
变量
总收
x入1 ,
与x 2
总, x
3利,
x润4
、
y1
, y2
, y3 、
z1
,
z2
，
它们之间的关系分别为 设某地区有甲、乙、丙
三
个
工
厂
,
每
个
工
厂
都
生 产 Ⅰ 、 Ⅱx1 、 Ⅲa1、1 yⅣ1 4a1种2 y产2 品 a.已13 知y 3每, 个 工 厂 的 年
产 量 (单位x:2 个 )a如21 下y1 表 所a 2示2 y:2 a 23 y 3 ,
例例 设设
AA
22 11 33
707055 ,,
BB
33 44 33
929255 ,,
CC 9494
5533..
((11 )) 问问三三 个个 矩矩 阵阵 中中哪哪些些能能进进行行加加法法运运算算,, 并并 求求
第二节 矩阵的运算
主要内容
2 矩阵的运算
例2
有 x1 , x2 , x3 到 y1 , y2 , y33; a12 x2 + a13 x3 y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 y = a x + a x + a x 31 1 32 2 33 3 3
a11 记 A = a21 a 31
A
a11 a21 即若 A = M a m1
T
或 A
'
a11 a12 L a1n a22 L a2 n a12 T 则A = M M M a am 2 L amn 1n
a21 L am1 a22 L am 2 M M a2 n L amn
k ( AB) = (kA) B = A(kB), k ∈ R
A0 = E ,规定
记为 Am （２）方阵 A 的 m 次幂， 定义为
674 4m 8 Am = AAL A
Ak Al = Ak +l
矩阵的幂显然有
( Ak )l = Akl
(3) 方阵 A 的矩阵多项式 m m −1 设 f ( x) = am x + am −1 x + L + a1 x + a0 定义
矩阵乘法不满足交换律 ２ 矩阵乘法 交换律 （1 ）矩阵乘法不满足交换律: Ⅰ) AB 有意义， BA 可能没意义； Ⅱ) AB, BA有意义, 它们可能不同型。 Ⅲ) AB 与 BA 同型但可能不相等 故我们特别强调乘积顺序, 称 AB 为A 左乘 B, B 右乘 A (2) 对数成立的公式对矩阵不一定成立的公式
例5
a b 解: 设A与B可交换，则B应是2阶方阵，不妨记 B = c d 由 AB = BA 即有
矩阵运算
即
A× B = C.
注意：
( ai1
ai 2
b1 j b2 j L ais ) M b sj
= ai1b1 j + ai 2b2 j + L + ais bsj
= ∑aikbkj = cij
k= 1 s
例1.求矩阵
1 0 3 −1 A = 2 1 0 2
所 以 0 17 T ( AB) ＝ 14 13 － 10 3
解法2：
( AB )
T
= B A
T
T
1 4 2 2 1 = 7 2 0 0 3 −1 3 1 −1 2
0 17 = 14 13. − 3 10
0 0 = 0 0
2. 运算律 1) 矩阵的乘法一般不满足交换律 2) （AB）C = A（BC） 3) λ (AB) = (λA) B = A(λ B), 4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA ( 其中λ为数 );
3. 设E为单位矩阵
T T T
= E − 4XX + 4X( X X) X
T T
T
= E − 4XX + 4XX
T
T
=E
五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。
2、运算律
T
1 A ).
= A;
n
2). λA = λ A;
例8 设
1 1 2,β 1 α = = 2 3 1 3
2.多项式矩阵
1
d 2 ( ) d r ( ) 0
0
称它为A(λ)的Smith标准型，其中r≥1，di(λ)(i=1,2,…,r)是首项 系数为1的多项式，且 di(λ)|di+1(λ)(i=1,2,…,r-1)。其中，主对角 线上的非零元素d1(λ),…dr(λ) 称为λ-矩阵A(λ)的不变因子。 例：用初等变换化多项式矩阵为Smith标准型
①矩阵的两行（列）互换； ②矩阵的某一行（列）乘以非零的常数k； ③矩阵的某一行（列）乘以多项式 f ( ) 后加到另一行（列）。
4.多项式矩阵的秩
如果多项式矩阵A（λ）有一个r阶子式不为零，而所有的r+1 阶子式全为零，则称A（λ）的秩为r，零矩阵的秩规定为零。
5.多项式矩阵的逆矩阵 设A（λ）是n阶λ-矩阵，如果存在n阶λ-矩阵B（λ），使A（λ） B（λ）= B（λ）A（λ）=I，则称A（λ）可逆，并称B（λ）是 A（λ）的逆矩阵，且逆矩阵唯一。
2
2
0
2 3 2 0
2
2 2 0 0
2
0 1 3 3 3 1 2
0
0
0 3
最后所得的矩阵为A(λ)的Smith标准型，
d1(λ)=1,d2(λ)=λ,d3(λ)=λ3+λ为A(λ)的不变因子。
2.Jordan标准型
形如
i Ji 1
i
1
1 i m m i i
D k ( ) d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ), k 1, 2, r
第二章矩阵及其运算
数乘矩阵与数乘行 列式的区别所在！！
23
第二章 矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B） 三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容 教学目标 教学重点
第二章 矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念； 矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成； 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点 矩阵乘法
教学内容、 安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
用数乘以 矩阵中 的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、 设
教学手段、
措施
第二章多项式矩阵
第二章多项式矩阵本章主要讲授多项式矩阵的基本概念和理论, 包括多项式矩阵的余数定理、Smith标准型定理和多项式矩阵的理想、互质等。
多项式矩阵的理论也是讲授第三章的重要基础。
§2.1 多项式矩阵记号：实数域R ，复数域C 。
记[]m nR λ×为n m ×的实系数多项式矩阵全体，[]m nC λ×为n m ×的复系数多项式矩阵全体。
容易验证,[]m nC λ×和[]m nR λ×分别为域C 和R 上的线性空间，[][]nn nn R C ××λλ分别为域C 和R 上的线性代数。
[]nm C A ×∈∀λλ)(,有[]λλC a ij ∈)(N N ijij ijij a a a a λλλ)()1()0()(L ++=其中令[]{})(deg max λij a N =. 则有()NNA A A A A λλλλ++++=L 2210, 其中()mxnl ijl Ca A ∈=)(。
多项式矩阵)(λA 可以看成为系数矩阵的多项式, N 称为是)(λA 的次数, 记为()[]λA N deg =注意：如果0)(=λA 则称)(λA 没有次数定义1（正则）若[]nn NN C A A A A ×∈+++=λλλλ01)(L , 且[]0det ≠N A , 则称)(λA 是正则的。
()λA 正则⇒[]n N A ×=))(det(deg λ 其中, det[()]A λ的n N ×次项系数即)det(N A定理1若)()(),(λλλA C B A nn 且×∈正则, 则∃唯一的)(1λQ 和)(1λR , 使)()()()(11λλλλR A Q B += (*)且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或, 同样, ∃唯一的)(2λQ 和)(2λR 使()())()(22λλλλR Q A B += (**)且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明： 若[][])(deg )(deg λλA B <, 则令01=Q , B R =1, 定理得证.若[][]N A B M =≥=)(deg )(deg λλ 记N M p −=, 然后令[]nn p p pp C QQQ Q ×−−∈+++=λλλλ)0(1)1()(1)(L由（*）式可以推出[][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−−−−=−==−−+−−−−−−−−−)()()()(1111)1(1)1()()0(11)(1)1(1)(λλλλA Q B R A A Q A Q A Q B Q A A Q B QA B Q N N p N p p N p p M N N p M p N M p L L可以验证Q 1(λ)和R 1(λ)满足定理要求.唯一性：即只需证0)(0)(0)()()()(1111==⇒=+=λλλλλλR Q R A Q B 时 假设Q 1(λ)≠00)()(1)0(1)1(1)(11≠+++=L L L Q Q Q Q Q λλλLL +=++NL N L A QR A Q λλλλ)(111)()()(由[]00det )(1≠⇒≠N L N A Q A 此时)()()(11λλλR A Q +不可能=0⇒矛盾 同理可证(**)式 #定理 2 nn C A ×∈][)(λλ正则, []nm C B ×∈λλ)(,则∃唯一的[]nm C R Q ×∈λλλ)(),(11使（*）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或；m m C A ×∈][)(λλ正则, []n m C B ×∈λλ)(, 则∃唯一的[]n m C R Q ×∈λλλ)(),(22使（**）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明：仿定理1 #以上两个定理可以叫作多项式矩阵的余数定理.定义2（多项式矩阵的秩）nm C A ×∈][)(λλ, r 称为A （λ）的秩并记)]([λA rank r =,系指)(λA 的任何k ≥ r +1阶子式均为C （λ）中的零, 而A (λ)至少存在一个r 阶子式是C [λ]中的非零多项式.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=112)(22λλλλA 非正则但r = 2 ⇒ 非奇异 {一般多项式矩阵}⊃{满行秩或满列秩多项式矩阵}⊃{非奇异多项式矩阵}⊃{正则多项式方阵}⊃{}A I n −λ§2.2 Smith 标准型定义3（单模态矩阵）mxmC M )()(λλ∈称为单模态的, 系指0)](det[≠∈=ααλCM 常数定义4（初等矩阵）mm C ×][λ中三类[][]mj i j i j i ij m i i i i e e e e e e e e K C e e e e e K L L L L L ,,,,,,,,0,,,,,,,)(11111111+−+−+−=≠∈=αααα[][]][)(,,)(,,,,)(11λλαλαλαC e e e e e e K m i j j i ij ∈+=−L L L对A (λ)左乘相当于作行初等变换, 右乘相当于作列初等变换, 其中第3类不同于mm C ×中的初等矩阵初等矩阵的性质： 1 它的逆仍为初等矩阵2初等矩阵与单模态矩阵的关系：初等矩阵是单模态矩阵, 多个初等矩阵之积也是单模态矩阵.定义5（等价）nm C B A ×∈][)(),(λλλ称为是等价的, 系指存在m m sC M M ×∈][,1λL , nn t C N N ×∈][,1λL 均初等矩阵, 使t s N N N A M M B L L 211)()(λλ=容易证明：1．反身性：任何A (λ)与自身等价2．对称性：B (λ)与A (λ)等价⇔ A (λ)与B (λ)等价3．传递性：C (λ)与B (λ)等价, B (λ)与A (λ)等价⇒ C (λ)与A (λ)等价.定义6（行列式因子）nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则对自然数j ≤ r , A (λ)中必有非零j 阶子式, A (λ)中全部j 阶子式的（首一）最大公因式d j (λ)称为A (λ)的j 阶行列式因子.定理3nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则其各阶行列式因子d j (λ), j ≤r 有 r j d d j j ≤−)()(1λλ其中1)(0=λd证明：A (λ)的j 阶子式可以写成j -1阶子式以多项式为系数的线性组合, 因此, )()(1λλA d j −任一j 阶子式)()(1λλj j d d −⇒#定义7（不变因子） nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则称)(/)()(1λλλσ−=i i i d d , r i ≤为A (λ)的不变因子.定理4 在nm C ×][λ中)()(.λλB A ⎯→←, 以)(),(λλ∧k k d d 分别表示A （λ）和B （λ）的k 阶行列式因子, 则1 [][])()(λλB rank A rank =2 [])()()(λλλA rank r k d d k k =≤=∧3 )(λA 和)(λB 有相同的不变因子.证明：容易验证初等矩阵左乘和右乘均不改变)(λA 的行列式因子, 所以结论1、2、3易证. #下面来证上述定理的逆命题.引理 1 nm ijC A ×∈=][))(()(λλαλ, 若0)(11≠λα又)(11λα不能除尽某个)(λαij , 则)()(λλA B ↔∃且[][])(deg )(deg 1111λαλβ<证明：根据不能为)(11λα除尽的元)(λαij 所处位置分为三种情形. (1) 设)(1λαi 不能为)(11λα除尽, 则有 [])](deg[)(deg )()()()(11111λαλδλδλγλαλα<+=i考虑初等矩阵[])(1λγ−i k[]))(~()(~)()(1λαλλλγiji A A K ==−其中)()(~1λδλα=i令)(~)(1λλA K B i = 则)()(.λλA B ⎯→← 且)(11λδβ=即[][])(deg )(deg 1111λαλβ< (2)设)(1λαj 不能为)(11λα除尽,证明与(1)相仿. (3) 若)(1λαi 和)(1λαj 都可被)(11λα除尽, 其中n j mi ≤≤但kl α∃不能为)(11λα除尽, 令[])()(1)(~1λλγλA K A k −=,其中)(λγ是1k α除以11α的商, 即)()()(111λαλγλα=k .此时 )(~λA 元)(~λαij 有111~αα=k , )1(~1γααα−⋅+=l kl kl . 令))(()(~)(1λγλλij k A K C =⋅=于是11111~ααγ==k ,)1(~11γαααγ−⋅+==l kl kl l . 于是l 1γ不能为11γ除尽, ⇒（2） #引理2 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01)(001)(1212n n mm I N I M M L ML δδλγγλ 均为初等矩阵之积, 其中γi , δj 为多项式 证明：[][][])()()()(1331221λγλγλγλm m K K K M L =[][][])()()()(21211,11λδλδλδλK K K N n n n n L −−= [][][])()()(1313212λδλδλδn n K K K L = #引理3 nm C A ×∈][)(λλ,若 n j m i ij ≤≤αα11, 则有)(00)(.'11λαλA B B ⎯→←⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=, 且B’的元均能被11α除尽. 证明：因为 n j m i ij ≤≤αα11, 所以)()()(11λλαλC A ⋅=.记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D gf C T 1)(λ, 其中1)1(][)(×−∈m C g λλ,)1(1][)(−×∈n C f λλ,)1()1(][)(−×−∈n m C D λλ.令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(m I g M λ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(n TI f N λ. 由引理2可知, M 、N 为初等矩阵之积.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−='111100001)(B gf D MAN T αλα, 其中])[(11'Tgf D B −=λα, 且B ’的元均能被11α除尽. #定理5（Smith 标准型定理）nm C A ×∈)()(λλ,[]r A rank =)(λ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡↔000)()(λλS A (Smith 标准形)其中[])(),(),()(21λσλσλσλr diag S L =, 且1),()(1−≤+r i i i λσλσ 证明：假设m ≥ n , 对A (λ)的列数n 用归纳法 (Ⅰ) n=1时,令[]Tm A )(),()(1λαλαλL =,则1 若m i i ≤≤2)()(1λαλα则由引理3[]TA 0,0,)(11.L αλ⎯→←2 若有i α不能为1α除尽,由引理1可知有[][])(deg )(deg )()(1111.λαλβλλ<⎯→←A B若)(λB 满足条件1则结论成立, 否则又可有[][])(deg )(deg )()()(11)1(11..1λβλβλλλ<⎯→←⎯→←A B B这样重复下去, 就能有矩阵与A （λ）等价且满足条件1 所以, n =1时定理成立 (Ⅱ)假设n = l -1时定理成立 (Ⅲ)当n = l 时 1 若lj mi ij ≤≤αα11则由引理3有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎯→←'00)(11.B A αλ其中B ’的元均能被11α除尽, 由于B ’之列数l -1且[]1'−=r B rank , 按(Ⅱ)有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎯→←000'1.S B[][])1()1(321,,−×−∈=r r r C diag S λσσσL且1,2|1−=+r i i i L σσ显然2σ是B ’的一阶行列式因子, 而行列式因子对于等价矩阵是不变量, 这表明2σ是B '各元的最大公因子, 同此211|σα, 令111ασ=则定理得证.2 若存在ij α不能为11α除尽, 则由引理1可知,存在)()(.λλA B ⎯→←且[][]1111deg deg αβ<, 仿照n=1情形中条件2, 总能找到)()(~.λλA A ⎯→←使l j m i ij ≤≤,,~)(~11αλα.这就归结到条件1. #推论 1 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡000)(λS 是nm C A ×∈][)(λλ的Smith 标准形, 则)(),(),(21λσλσλσr L 是 A （λ）的不变因子, )()()(21λσλσλσk L 是A （λ）的k 阶行列式因子.推论2 对nm C A ×∈][)(λλ，则其Smith 标准形唯一. 推论 3 若n m C A ×∈][)(λλ和nm C B ×∈][)(λλ的行列式因子或不变因子相同，则)()(.λλB A ⎯→←定理6 在n n C ×][λ中下述提法等价1 mm C M ×∈][)(λλ是单模态2 m I M ↔&)(λ 3 M (λ)是初等矩阵之积4 []mm C M M ×−∈][)()(1λλλ和证明: 1°⇒2°: 由于[]m M rark =)(λ则有],,,[)(21.m diag M σσσλL ⎯→← 由det[M (λ)]为常数, []{}m diag σσσL ,,det 21=m σσσL 21为常数（非零）m σσσL ,,21⇒均非零常数（首一）⇒2°2°⇒3° 显然3°⇒4° 初等矩阵之逆仍为初等矩阵4°⇒1° [][]1)(det )(det 1=⋅−λλM M[]=⇒)(det λM 非零常数 #§2.3 多项式矩阵的理想与互质（自学） 定义8（理想） 设nn C M ×⊂][λ是nn C ×][λ的子空间, 又具性质nn C B M A MA B ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M是nn C ×][λ的一个左理想.若M 具性质nn C B M A MB A ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M 是nn C ×][λ的一个右理想例：{}nn LC B A B X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ（其中n n C A ×∈][)(λλ）是nn C ×][λ的一个左理想.{}nn R C B B A X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ是nn C ×][λ的一个右理想.其中A (λ)称为它们的生成元.定理7 若nn C M ×∈][)(λλ是单模态, 则1° n n LL C A A M A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ2° n n R R C A M A A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ证明：1°L L L A M A M M A A M L))()(())()()(())(())()((1λλλλλλλλ⊂=⊂− ()()L L A M A )()()(λλλ=⇒ 2° 同上可证 # 定理8 n n C M ×∈][)(λλ则M 是单模态当且仅当()()R L n n M M C )()(][λλλ==×证明：n n Rn L n C I I ×==][)()(λ 当：()L n n nM C I )(][λλ=∈×()()1)(det )(det )()(=⇒=∴λλλλM N M N I n())(det λM ⇒为非零常数)(λM ⇒单模态“仅当”：由定理7, 令n I A =)(λ即可 #定义9（多项式矩阵生成的理想）若,,][)(r i C A nn i≤∈×λλ则 ()()()L r L L A A A M )()()(21λλλ+++=L 称为r i A i ≤),(λ生成的左理想, 而()()()R r R R A A A N )()()(21λλλ+++=L 称为由r i A i ≤),(λ生成的右理想定义10（互质）r i A i ≤),(λ称为左互质, 是指()()()n n Rr R R C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL而r i A i ≤),(λ称为右互质, 是指()()()n n Lr L L C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL定理9 r i A i ≤),(λ左互质当且仅当多项式矩阵方程n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.右互质当且仅当n r r I A Y A Y A Y =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.证明：r i A i ≤),(λ左互质()()()R r R R n n A A A C )()()(][21λλλλ+++=⇔×L)()()()()()(2211λλλλλλr r n X A X A X A I +++=⇔L 有解同理可证右互质情形. #定理10 r i C A nn i ≤∈×][)(λλ, 则下面各条件等价1° r i A i ≤),(λ是左互质的2°若[]rnn r C A A A A ×∈=][)()(),()(21λλλλλL则[]C nA rank ∈∀=00)(λλ3°[][]0,0,)()(),(),(21L L n rI A A A A ⎯→←=⋅λλλλ 证明:1°⇒2°⇒3°⇒1°1°⇒2° 由定理9可知有n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=)()()()(21λλλλr X X X X 则有n i I X A =)()(λλn I X A C =∈∀)()(o o o λλλ2°⇒3° 由[]C n A rank ∈∀=o o λλ)([]0,0),()(L λλS A ⎯→←⇒⋅其中[])(),(),()(21λσλσλσλn diag S L = 且[]n S rank =)(0λn i i ≤⇒)(λσ均无任何根(在C 中))(λσi ⇒均为非零常数 ⇒考虑首一 n I S =)(λ3°⇒1° 存在单模态矩阵nn C M ×∈][)(λλ和rnrn C N ×∈][)(λλ, 使 [][]0,,0,)()()(),(),(21L L n r I M N A A A λλλλλ=记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=)(,),()(,),()(,),()(1221111λλλλλλλrr r r r N N N N N N N L LL L nn ij C N ×∈][)(λλ则)()(),()(111111λλλλ−−==M N X M N X r r L 可使n r r I X A X A =++)()()()(11λλλλL#同理可以证明下面定理定理11 r i C A n n i ≤∈×][)(λλ,则下述条件等价:1 r i A i ≤),(λ是右互质的2 C n A rank A A A r ∈∀=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=00~1~)()()()(λλλλλM3 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→←00)(.~M n I A λ定义11 (公因子) n n C A ×∈][)(λλ,若存在nn C C B ×∈][)(),(λλλ,使)()()(λλλC B A =,则B (λ)称为A (λ)的一个左因子, C (λ)称为A (λ)的一个右因子.若B (λ)同为A i (λ)r i ≤的左因子, 则B (λ)称为A i (λ)r i ≤的左公因子. 若F(λ)为A i (λ)r i ≤的左公因子且A i (λ)的任意左公因子都是F (λ)的左因子, 则F (λ)称为)(λi A 的最大左公因子.相似的可以有右公因子和最大右公因子的概念.定理12 n n i C A ×∈][)(λλr i ≤为左互质当且仅当其最大左公因子是单模态矩阵,而右互质当且仅当其最大右公因子是单模态矩阵.证明：左互质情形“当”：设D(λ)是单模态矩阵且为A i (λ),r i ≤的最大左公因子, 则有r i C B n n i ≤∈×][)(λλ使)()()(λλλi i B D A =令[]rn n r C A A A ×∈=][)(),()(1λλλλL 则[]n A rank ≤)(λ无妨记A(λ)的Smith 标准形为[]0,0),(L λS , 于是有单模态矩阵n n C M ×∈][)(λλ和rn rn C N ×∈][)(λλ, 使[])(0,0),()()(λλλλN S M A L =.记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=rr r r r r N N N N N N N N N N L L L 212221211211)(λ,则有()()r r N N N MS A A A 1121121,,,,L L =⇒MS 是)(λi A 的左公因子⇒n n C F ×∈∃][)(λλ使MSF=D因为 det(D )为非零常数所以 det(S(λ))也为非零常数n I S ⎯→←⇒⋅)(λ [][]0,0,)(),(1L L n rI A A ⎯→←⋅λλ 由定理10 )(λi A ⇒左互质“仅当”：由n n iC A ×∈][)(λλr i ≤为左互质 可以推出 r i C X nn i ≤∈∃×][)(λλ使n r r I X A X A X A =++L 2211设D 是)(λi A 的最大左公因子, A i =DB i则上式变成[][]1det ))(det(1111=++⋅=++r r nr r X B X B D I X B X B DL L λ())(det λD ⇒为非零常数)(λD ⇒单模态.类似地可证右互质情形.#作业：1．求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−20012021λλλλ和的不变因子和Smith 标准形。
线性代数第二章矩阵及其运算2-3
二、逆矩阵的概念
定义 7 设 Ａ是 n 阶方阵，若存在 n 阶方
阵Ｂ，使得 AB＝BA＝E （３） 则称矩阵 A 可逆，且称 B 是 A 的逆矩阵，记作 B＝A－１．
如果不存在满足（３）的矩阵 B，则称矩阵
A 是不可逆的．
现在的问题是，矩阵 A 满足什么条件时可逆？ 可逆方阵的逆阵是否唯一，如何求逆阵？可逆 矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．
A A 2E O,
2
4 移项 得 A 1 1 分解因式 得
2 1 2
3 2 A 2E, A AB A 2 B, 求 B. 0 , AB A 2 B, 求 B. 3
A( 得 解 已知方程变形A E) 2E,
例 3 设 n 阶矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明
练习： 设n阶方阵A满足A2+2A-4E=0，则必有( A) A=E C) A-E可逆 B)A=-3E D) A+3E不可逆 )
解答：因为A与E是可交换的，依题意可得： A2+2A-4E=0 A2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E， 根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C
伴随矩阵法.
练习： A,B均为n（n≥3）阶方阵，且AB=0，则A与B（ A) 均为零矩阵 C) 至少有一个奇异阵 B) 至少有一个零矩阵 D) 均为奇异阵 ）
解答：可以等式两边同取行列式 AB=0 |AB|=0 |A||B|=0，故选C
练习： A,B,C为同阶方阵，A可逆，则下列命题正确的是( A) 若AB=0，则B=0 C) 若AB=CB,则A=C 解答：可以等式两边同乘A-1 AB=0 A-1AB = A-10 EB=0，故选A B)若BA=BC,则A=C D) 若BC=0,则B=0或C=0 )
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>>a* >>a*b=[13 23; 29 51] >>a/b=[>>a/b=[-0.50 0.50;3.50 –1.50] >>a\b=[>>a\b=[-1 -1;2 3] >>a^ >>a^3=[37 54; 81 118] >>a.*b=[3 >>a.*b=[3 10;15 36] >>a./b=[0.33 >>a./b=[0.33 0.40;0.60 0.44] >>a. >>a.\b=[3.00 2.50;1.67 2.25] >>a.^3= >>a.^3= [1 8; 27 64]
%生成对角矩阵：对角元素向量
>> A=[1 2 3;2 3 4;3 4 5];V=diag(A) V= 1 3 5
rand(m,n)
%随机矩阵：产生一个m×n的均匀分布随机矩阵
>> rand(2,4) ans = 0.9501 0.6068 0.8913 0.4565 0.2311 0.4860 0.7621 0.0185
% 2x4随机矩阵
>> a=1:1:10; >> b=0.1:0.1:1; >> c=[b a];
%组成一个新的数组
c= Columns 1 through 8 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 Columns 9 through 16 0.9000 1.0000 1.0000 2.0000 3.0000 Columns 17 through 20 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000
在矩阵变量后加“' ”来表示转置运算
>> B=A' B= 1 4 2 5 3 6 转置：对于实矩阵用（'）符号或（. ） 转置：对于实矩阵用（ ）符号或（. '） 求转置结果是一样的；然而对于含复数 的矩阵，则（'）将同时对复数进行共轭 的矩阵，则（ ）将同时对复数进行共轭 处理，而 （. '）则只是将其排列形式进行 ）则只是将其排列形式进行 转置。 >>b=[1+2i 2-7i]' b= 1.0000 - 2.0000i 2.0000 + 7.0000i >>b=[1+2i 2-7i].' b= 1.0000 + 2.0000i 2.0000 - 7.04 12 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11]
>>x(4)=100 %给x的第4个元素重新赋值为100 x= Columns 1 through 13 1 4 12 100 6 4 7 5 8 6 9 Columns 14 through 15 8 11
7
10
x=[1 4 12 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11] >>x(3) % x的第三个元素
ans = 12
>>x([1 2 5]) % x的第1，2 ，5个元素
ans = 1 4 6
>>x(1:5)
ans = 1 4
%x的前5个元素 12 3 6
>>x(10:end) %x的第10个元素后的元素
-0.5000 -0.3000 -0.1000 0.1000 0.3000 0.5000
>> [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2);
>>Z = X .* exp(-X.^2 - Y.^2);
>>mesh(Z) %画出3D图
二. 矩阵的子矩阵寻访与赋值
1.子数组寻址
A= 1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
A(:,[2 3])=ones(2) A= 1 4 1 1 1 1 4 7 5 8
%双下标赋值方式：把 A 的第 2 、 3 列元素全赋为 1 6 9 7 10 8 11
三、矩阵的运算
1.矩阵的转置
>> A=[1 2 3;4 5 6] A= 1 2 3 4 5 6
B = A(2,1:3) % 取出部份矩阵B B= 2
A= 4 5 1 2 4 A(:, 2) = [ ] % 删除第二列（：代表所有行） A= 1 2 4 2 5 2 4 5 1 3 4 1 5 6 3 4 5 4 6 7 5
A([1 3], :) = [] % 删除第一和第三行（：代表所有列） A= 2 4 5 5 4 6 5 7
2. 快速矩阵生成法 （1）数组的冒泡生成法： x=a:inc:b >> y=1:1:8
y= 1 >> y=0:0.2:1 y= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 2 3 4 5 6 7 8
>> x=[1:8;4:11]
x= 1 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11
A= 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7
矩阵赋值
A= 1 2 A= 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7
A(2,3) = 5 3 4
% 改变位於第二列，第三行的元素值 2 5 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 A = [A; 4 3 2 1 1 3 4 5] % 再增加一列 3 4 3 2 5 2 4 5 1 3 4 1 5 6 3 4 5 4 6 7 5
8
%加入第16个元素
5
8
6
9
7
10
8
数组赋值
x=[1 4 12 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11] >>x([1 4])=[1 1] %把当前 x 数组的第一、四个元素都赋值为 1 x= Columns 1 through 13 1 4 12 1 6 4 Columns 14 through 15 8 11 >> D(:) ans = 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6
[X,Y]=meshprid(-1:0.4:1,-.5:0.2:0.5); %用于3D绘图
>> X X= -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
-0.6000 -0.6000 -0.6000 -0.6000 -0.6000 -0.6000
-0.2000 -0.2000 -0.2000 -0.2000 -0.2000 -0.2000
0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000
0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
>> Y Y= -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.3000 -0.3000 -0.3000 -0.3000 -0.3000 -0.1000 -0.1000 -0.1000 -0.1000 -0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.3000 0.3000 0.3000 0.3000 0.3000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
7
5
8
6
9
7
10
>> D=[1:4;2:5;3:6;4:7] D= 1 2 %直接赋值 3 4 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7
矩阵赋值 >>A=[1:8;4:11]
A= 1 4 2 5 3 6 4 7 5 8
>> A(:)=[1:4;2:5;3:6;4:7] %全元素赋值，保持A的“行宽，列长”。A和D 两个数组的总元素相等，但“行宽，列长”不一定相同。
四. 矩阵函数
1. elfun基本函数库 基本函数库
>> A=1:1:5;B=0:10:50; >> sin(A) %对矩阵A中各元素求正玄函数值 ans = 0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589
>>a=[1 2 3;4 5 6] ' a= 1 2 3 4 5 6
>>a=[1 2 3;4 5 6].' a= 1 2 3 4 5 6
2. 矩阵的算术运算
四则运算与幂运算
如：a=[1 如：a=[1 2;3 4]；b=[ 3 5; 5 9] 4]； >>c=a+b >>c= 4 7 8 13 >>d=a>>d=a-b >>d= -2 -3 -2 -5
>>x(3)=[ ]
%删掉掉3个元素
x= Columns 1 through 13 1 4 100 6 4 Column 14 11 >>x(16)=1 x= Columns 1 through 13 1 4 100 6 4 7 Columns 14 through 16 11 0 1
7
5
8
6
9
7
10
0.6000 4.0000
0.7000 5.0000
0.8000 6.0000
>> a+b*i
ans =
%复数数组的生成
Columns 1 through 5 1.0000 + 0.1000i 2.0000 + 0.2000i 3.0000 + 0.3000i 4.0000 + 0.4000i 5.0000 + 0.5000i Columns 6 through 10 6.0000 + 0.6000i 7.0000 + 0.7000i 8.0000 + 0.8000i 9.0000 + 0.9000i 10.0000 + 1.0000i