向量与矩阵的定义及运算学习资料

11
α 1 (2α) 2
（1 5，1 1，1 6，1 （ 1）,1 4)
2 22 2
2
2.5, 0.5, 3, 0.5, 2 ,
β1(2 β ) ( 0 .5 ,0 .5 ,2 ,1 .5 , 2 ). 2
12
二 矩阵
定义3 设P是复数集C的一个子集合，其中包含 0与1。如果P中的任意两个数a,（ b这两个数也可 以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍 在P中，则称P是一个数域(number field).
向量与矩阵的定义及运算
n维行向量和n维列向量都可称为n维向量
(vector), n维向量常用小写黑体希腊字母，， ，L 表示。
例： ＝（1，3，8）;
(10, 23,45, 2);
x
＝ y
z
2
定 义 2 设 两 个 n维 向 量 ＝(a1, a2 ,L , an ), (b1 , b2 ,L , bn )
定义5 设A(aij)sn和B(bij)sn是(数域P上) 两个sn(同型)矩阵，则 (1)如果它们对应的元素分别相等，即aij bij, (i 1,2,L,s;j 1,2,L,n),则称A与B相等，记作 AB.
注意：和要简写成 必须满足：每项形式完全一样，不一样
的只是求和指标，而且求和指标连续从小到大增加一。 9
例 2 证 明 ： 任 意 n维 向 量 (k1,k2,L,kn)是 向 量 组 1(1,0,L,0),2(0,1,L,0),L,n(0,L,0,1)的
一 个 线 性 组 合 。 证明：由向量的线性运算，得
(k1, k2 ,L , kn ) (k1, 0,L , 0) (0, k2, 0,L , 0) L (0,L , 0, kn )
k1(1, 0,L , 0) k2(0,1, 0,L , 0) L kn(0,L , 0,1),
n
也即是＝ kii . i 1
称 ε 1 ， ε 2 ， L ， ε n 为 n 维 线 性 空 间 R n 的 基 本 向 量 组 .
(5)称 (a1,a2,L,an)为 的 负 向 量 ， 记 作 .
向 量 的 加 法 以 及 数 与 向 量 的 数 乘 统 称 为 向 量 的 线 性 运 算 。
4
对任意的n维向量，，及任意的数k, l，
向量的线性运算满足下 如的运算规律：
(1)＋＝＋； (2)( ) ( ); (3) 0 ; (4) () 0;
(3)数 量 乘 法 ： 设 k为 数 ， 称 向 量 (ka1 , ka2 ,L , kan )为
k与 的 数 乘 ， 记 作 k (ka1, ka2 ,L , kan ).
注 意 ： 同 型 向 量 才 能 进 行 加 法 以 及 比 较 是 否 相 等
3
(4)分 量 全 为 零 的 向 量 (0 ,0 ,L,0)称 为 零 向 量 ， 记 作 0 (应 注 意 区 别 数 零 和 零 向 量 )；
例 子 ： 有 理 数 集 Q 、 实 数 集 R 、 复 数 集 C都 是 数 域 ， 分 别 称 为 有 理 数 域 、 实 数 域 、 复 数 域 。 而 整 数 集 Z不 是 数 域 。 我 们 主 要 用 到 的 是 实 数 域 和 复 数 域 。
13
定 义 4 数 域 P中 s n个 数 排 成 的 s行 n列 的 长 方 表 ，
10
补 例 ： 已 知 α+β （ 2， 1， 5， 2， 0） ， α-β （ 3， 0， 1， 1， 4） ， 求 α， β.
解2α（α+β） （α-β） （23， 10， 51， 21， 04） （5,1,6,1,4)，
2β（α+β）（α-β） （23， 10， 51， 21， 04） =（-1，1，4，3，-4）,
8
题 中 的 可 以 表 示 为 k11k22k33的 形 式 ， 称 可 由 向 量 1， 2， 3线 性 表 出 ， 或 称 是 1， 2， 3的 一 个 线 性 组 合 。
为了简化记号，可以用连加号 表示向量之和。
3
1 2 3可简记为 i.因此题中的向
a
21
a22
L
M M O
a
s
1
as2
L
a1n
a
2
n
M
a
sn
称 为 数 域 P上 的 s n矩 阵 (m atrix )， 通 常 用 一 个 大 写
黑 体 字 母 如 A或 Asn表 示 ， 有 时 也 记 作 A (aij )sn , 其
中 aij (i 1, 2,L , s; j 1, 2,L , n)称 为 矩 阵 A的 第 i行 第 j列
元 素(entry )。
14
特别地，当s n时，称
a11 a12 L
a
21
a22
L
M M O
a
n1
an2
L
a1n
a2
n
M
ann
为n阶矩阵或n阶方阵，a11 , a22 ,L , ann为A的主对角 线上的元素。n维行向量可视为1 n矩阵，n维列
向量可视为n 1矩阵。
15
矩阵的线性运算
(1)如 果 它 们 对 应 的 分 量 分 别 相 等 ， 即 ai bi , i 1, 2,L , n,
则称向量与 相等，记作＝。
(2)加 法 ： 称 向 量 (a1 b1 , a 2 b2 ,L , a n bn )为
与 的 和 ， 记 作 ＋ ＝(a1 b1 , a 2 b2 ,L , a n bn )。
5
(5 )1 ; (6 )k ( l ) ( kl ) ; (7)k ( ) k k ; (8 )( k l ) k l ;
注意：在上面的八条运算规律中只利用了向量 的加法和数乘。但是，利用负向量的概念，依
然可以定义向量的减法运算：－＝().
直观地说向量的减法就是对应的分量相减，
－＝(a1 b1,a2 b2,L ,an bn). 6
显然，向量还满足以下的性质：
0＝0， (1)＝－，k00;
若kα0,则k0,或α＝0。
7
例 11(1 , 1 ,2),2(1 ,2,0),3(1 ,0, 3), 12 212 3,求 。
解：(1,1,2)2(1,2,0)12(1,0,3)
(1,1,2)(2,4,0)(12,0,36) (1212,140,2036) (11,5,34).