矩阵与向量的运算及操作
Mathcad2001-数学运算-向量和矩阵解读
其 中 的 “ Select a component to insert” 列 表 框 中 列 有 八 个 选 项 ， 常 用 的有Excel(输入Excel文件)、File Read or Write(读入数据文件或输出数据文件) 和Input Table(输入表)。前二项的使用 方法基本相同，用户只需逐次单击 “Next”按钮，便可完成数据文件的输 入。如选择“File Read or Write”项 后单击“Next”按钮，在下一对话框中 选择 “read from a file (读入数据
1.向量和矩阵
(1)创建向量和矩阵
在Mathcad2001中，根据线性代数的习 惯把单个变量称为标量，把包含多个变 量的一列变量称为向量，而把包含多列 的向量称为矩阵，向量和矩阵又合称为 数组。
创建向量和矩阵有下列几种方法：
(1)使用“Insert”菜单中的“Matrix” 命令，或单击“Matrix”工具面板中的 “ ”按钮，或按Ctrl＋M键，将打开 如图24所示的“Insert Matrix”对话框。
求矩阵的逆：若
， C 3 4 2 1 5 6
则
0.141 0.03 9 0.222
C 1 0.162 0.394
0.111
0.111 0.333 0.111
求矩阵各个向量对应的实部和虚部：
1 2
Re(A) 2 6
0 5
Im(B)4Fra bibliotek36 1
8
2
在Mathcad2001中，共提供与向量和矩阵有 关的内置函数39个，其中常用的有：
diag(v)：返回一个对角矩阵，对角元素 为向量v。 geninv(A)：返回矩阵A的逆矩阵。 rref(A)：返回矩阵A的阶形矩阵。 tr(M)：求矩阵斜对角线元素之和(迹)。 rank(A)：求矩阵A的秩。 eigenvec(M,z)：求矩阵M特征值z的特征 向量。 eigenvals(M)：求矩阵M的特征值。
线性代数中的矩阵与向量之运算技巧
线性代数中的矩阵与向量之运算技巧矩阵和向量是线性代数中最基础的概念之一。
了解它们的运算技巧是学好线性代数的前提。
本文将介绍一些常用的矩阵和向量运算技巧。
一、矩阵基本运算1. 加减法运算对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和(A+B)和差(A-B)分别对应位置上的元素相加减得到。
例如：A = [[1,2],[3,4]]B = [[-1,3],[4,-2]]则 A+B = [[0,5],[7,2]]，A-B = [[2,-1],[-1,6]]2. 数乘运算对于数k和一个矩阵A，它们的积(kA)就是把A的每个元素都乘以k得到。
例如：A = [[1,2],[3,4]]k = 2则 kA = [[2,4],[6,8]]3. 矩阵乘法对于两个矩阵A和B，若A的列数等于B的行数，则它们可以相乘得到一个新的矩阵C。
C的每个元素都是A的一行与B的一列对应元素的乘积之和。
例如：A = [[1,2,3],[4,5,6]]B = [[-1,3],[2,-4],[5,1]]则 AB = [[18,-8],[39,9]]注意：矩阵乘法不满足交换律，即A×B ≠ B×A。
二、向量基本运算1. 加减法运算对于两个相同长度的向量v和w，它们的和(v+w)和差(v-w)分别对应位上的元素相加减得到。
例如：v = [1,2,3]w = [-1,4,2]则 v+w = [0,6,5]，v-w = [2,-2,1]2. 数乘运算对于数k和一个向量v，它们的积(kv)就是把v的每个元素都乘以k得到。
例如：v = [1,2,3]k = 2则 kv = [2,4,6]3. 点积运算对于两个长度相同的向量v和w，它们的点积(v·w)是将两个向量对应位置元素的乘积相加得到的一个数。
例如：v = [1,2,3]w = [-1,4,2]则 v·w = 9本文介绍的是矩阵和向量的基本运算技巧，仅是线性代数的冰山一角，线性代数是一门内涵丰富的课程，需要大家认真研究，深入理解。
平面向量的向量积和矩阵运算
平面向量的向量积和矩阵运算平面向量是数学中的一个重要概念，在许多数学和物理问题中都得到了广泛应用。
在平面向量的运算中，向量积和矩阵运算是两个重要的操作。
一、向量积向量积，也称为叉乘或叉积，可以用来计算两个向量之间的乘积。
向量积的结果是一个新的向量，该向量垂直于原来的两个向量。
向量积的定义如下：设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，则向量A和向量B的向量积为C(x3, y3)，且有：x3 = y1 * z2 - y2 * z1y3 = z1 * x2 - x1 * z2z3 = x1 * y2 - x2 * y1其中，z1 = z2 = 0，因为向量积只能在三维空间中使用。
向量积的计算可以用来求解许多几何和物理问题，例如计算两个向量之间的夹角、判断两个向量是否平行、计算三角形的面积等等。
此外，向量积还可用于计算力的矢量合成等问题。
二、矩阵运算矩阵是一种方阵，也可以看作是向量的扩展。
矩阵运算是对矩阵进行各种运算操作的过程，包括加法、减法、乘法等。
1. 加法：两个矩阵相加时，要求两个矩阵的行数和列数相等，然后将对应位置上的元素相加得到新的矩阵。
2. 减法：两个矩阵相减时，要求两个矩阵的行数和列数相等，然后将对应位置上的元素相减得到新的矩阵。
3. 乘法：两个矩阵相乘时，要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等，然后按照一定的规则计算得到新的矩阵。
具体的计算规则可以参考矩阵乘法的定义。
矩阵运算在线性代数和线性方程组的求解中起着重要的作用。
矩阵运算还可以用于处理图像、信号处理等领域。
总结：通过向量积和矩阵运算，我们可以对平面向量进行一系列的操作和运算。
向量积可以用来计算两个向量之间的乘积，而矩阵运算则可以用来对矩阵进行加法、减法和乘法等操作。
这些操作在数学和物理问题中都具有广泛的应用，对于深入理解和解决相关问题具有重要的作用。
通过本文的介绍，我们对平面向量的向量积和矩阵运算有了初步的了解，希望可以为读者提供一定的帮助和指导。
向量与矩阵的定义及运算学习资料
α 1 (2α) 2
（1 5，1 1，1 6，1 （ 1）,1 4)
2 22 2
2
2.5, 0.5, 3, 0.5, 2 ,
β1(2 β ) ( 0 .5 ,0 .5 ,2 ,1 .5 , 2 ). 2
12
二 矩阵
定义3 设P是复数集C的一个子集合，其中包含 0与1。如果P中的任意两个数a,（ b这两个数也可 以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍 在P中，则称P是一个数域(number field).
向量与矩阵的定义及运算
n维行向量和n维列向量都可称为n维向量
(vector), n维向量常用小写黑体希腊字母，， ，L 表示。
例： ＝（1，3，8）;
(10, 23,45, 2);
x
＝ y
z
2
定 义 2 设 两 个 n维 向 量 ＝(a1, a2 ,L , an ), (b1 , b2 ,L , bn )
定义5 设A(aij)sn和B(bij)sn是(数域P上) 两个sn(同型)矩阵，则 (1)如果它们对应的元素分别相等，即aij bij, (i 1,2,L,s;j 1,2,L,n),则称A与B相等，记作 AB.
注意：和要简写成 必须满足：每项形式完全一样，不一样
的只是求和指标，而且求和指标连续从小到大增加一。 9
例 2 证 明 ： 任 意 n维 向 量 (k1,k2,L,kn)是 向 量 组 1(1,0,L,0),2(0,1,L,0),L,n(0,L,0,1)的
一 个 线 性 组 合 。 证明：由向量的线性运算，得
(k1, k2 ,L , kn ) (k1, 0,L , 0) (0, k2, 0,L , 0) L (0,L , 0, kn )
向量与矩阵计算
向量与矩阵计算在数学中，向量和矩阵是非常重要的概念和工具。
它们在各种领域的数学和物理问题中都扮演着重要的角色。
本文将详细介绍向量和矩阵的计算方法以及其应用。
1. 向量的表示和计算向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
在坐标系中，向量可以用有序数对表示。
例如，对于一个二维空间中的向量v，可以表示为v=(x, y)，其中x和y分别是向量v在x轴和y轴上的分量。
向量的计算包括加法、减法和数量乘法。
向量的加法是将两个向量相应分量相加，即v1+v2=(x1+x2, y1+y2)。
向量的减法是将被减向量的分量分别减去减向量的分量，即v1-v2=(x1-x2, y1-y2)。
数量乘法是将向量的每个分量乘以一个实数，即k*v=(k*x, k*y)，其中k是实数。
2. 矩阵的表示和计算矩阵是一个矩形的数表，由行和列组成。
一个m×n的矩阵有m行和n列。
矩阵中的元素可以是实数或复数。
矩阵可以用方括号表示。
例如，一个2×3矩阵A可以表示为：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23]矩阵的加法是将对应元素相加，即A+B=[a11+b11, a12+b12,a13+b13; a21+b21, a22+b22, a23+b23]。
矩阵的数量乘法是将矩阵的每个元素乘以一个实数，即kA=[ka11, ka12, ka13; ka21, ka22, ka23]，其中k是实数。
矩阵的乘法是两个矩阵相乘的操作。
如果矩阵A是一个m×n的矩阵，矩阵B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积矩阵C是一个m×p的矩阵。
矩阵的乘法遵循分配律和结合律。
3. 向量的点积和叉积向量的点积也称为内积，计算方法是将两个向量对应分量相乘，并将结果相加。
对于二维向量v=(x1, y1)和w=(x2, y2)，它们的点积为v·w=x1*x2+y1*y2。
向量的点积有很多应用，例如计算向量间的夹角、计算向量在某个方向上的投影等。
向量与矩阵的运算实验
数乘是标量与向量的乘法，其结果仍为一个向量。设$k$为标量， $vec{A}=(a_1, a_2, ..., a_n)$，则$kvec{A}=(ka_1, ka_2, ..., ka_n)$。
03
向量的模
向量的模表示向量的大小或长度。设$vec{A}=(a_1, a_2, ..., a_n)$，则
矩阵的加法、数乘和乘法
• 矩阵的加法：矩阵加法是矩阵运算中的一种二元运算，其结果仍为一个矩阵。 设$A=\begin{bmatrix} a{11} & a{12} & ... & a{1n} \ a{21} & a{22} & ... & a{2n} \ ... & ... & ... & ... \ a{m1} & a{m2} & ... & a{mn} \end{bmatrix}$和 $B=\begin{bmatrix} b{11} & b{12} & ... & b{1n} \ b{21} & b{22} & ... & b{2n} \ ... & ... & ... & ... \ b{m1} & b{m2} & ... & b{mn} \end{bmatrix}$， 则$A+B=\begin{bmatrix} a{11}+b{11} & a{12}+b{12} & ... & a{1n}+b{1n} \ a{21}+b{21} & a{22}+b{22} & ... & a{2n}+b{2n} \ ... & ... & ... & ... \ a{m1}+b{m1} & a{m2}+b{m2} & ... & a{mn}+b{mn} \end{bmatrix}$。
第3章 实验二矩阵与向量运算
第3章 实验二矩阵与向量运算实验目的：在MATLAB 里，会对矩阵与向量进行加、减、数乘、求逆及矩阵的特征值运算，以及矩阵的LU 分解。
3.1 矩阵、逆矩阵运算 例3.1 设矩阵A 、B 如下：1221,3415A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，分别求出B A +、B A *、A 的逆矩阵，A 矩阵的行列式的值。
在matlab 软件中的命令窗口输入： A=[1 2;3 4]; B=[-2 1;1 5]; A+B 得到： ans =-1 3 4 9A 的逆矩阵由命令inv(A)计算，例如：令A=[1 2;3 4]; 则 C=inv(A) 得到： C =-2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000对于任意非奇异的方阵，都可以用命令inv 计算其逆矩阵。
在matlab 里，矩阵乘法用乘法运算符表示，可以通过命令输入：A*B得到：ans =0 11 -2 23在matlab 里，可以通过命令输入：det(A)得到： -2在matlab 里，在矩阵的后面加一个撇号得到该矩阵的转置，例如： F=A ’ 使矩阵F 变为A 的转置。
下面的命令创建一个m ×m 的单位矩阵： s=eye(m)m ×n 的零矩阵用s=zeros(m*n)给出。
m ×n 的元素都是1的矩阵用写为： w=ones(m,n)如果A 是一个矩阵，则zeros(size(A))和ones(size(A))分别得到与A 大小相同的零矩阵和单位矩阵。
命令rand(m,n)创建一个m ×n 的随机矩阵。
命令hilb(m)创建一个Hilbert 矩阵的特殊矩阵。
3.2 矩阵的特征值设A 是一个n ×n 方阵，X 是一个n 维向量，乘积Y=AX 可以看作是n 维空间变换。
如果能够找到一个标量λ，使得存在一个非零向量X ，满足：AX=λX （3.1） 则可以认为线性变换T(X)=AX 将X 映射为λX,此时，称X 是对应于特征值λ的特征向量。
矩阵与向量的运算
矩阵与向量的运算矩阵与向量是线性代数中的重要概念，它们的运算涉及到了许多实际问题的解决。
在本文中，我们将探讨矩阵与向量的运算规则，并以实际应用为例，展示它们在不同领域的重要性。
一、矩阵与向量的基本概念矩阵是由m行n列的数按照一定顺序排列而成的矩形数表，用大写字母表示，如A。
向量是由n个数按照一定顺序排列而成的数表，用小写字母表示，如x。
矩阵中的每个数称为元素，向量中的每个数称为分量。
矩阵与向量的运算包括加法、减法和数乘三种基本运算。
二、矩阵与向量的加法矩阵与向量的加法是指将同型矩阵或向量的对应元素相加得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于两个同型矩阵A和B，它们的加法规则为：A + B = (a_ij + b_ij)，其中a_ij和b_ij分别表示A和B的第i行第j列的元素。
同样地，对于两个同型向量x和y，它们的加法规则为：x + y = (x_i + y_i)，其中x_i和y_i分别表示x和y的第i个分量。
三、矩阵与向量的减法矩阵与向量的减法是指将同型矩阵或向量的对应元素相减得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于两个同型矩阵A和B，它们的减法规则为：A - B = (a_ij - b_ij)，其中a_ij和b_ij分别表示A和B的第i行第j列的元素。
同样地，对于两个同型向量x和y，它们的减法规则为：x - y = (x_i - y_i)，其中x_i和y_i分别表示x和y的第i个分量。
四、矩阵与向量的数乘矩阵与向量的数乘是指将矩阵或向量的每个元素乘以一个常数得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于一个矩阵A和一个常数k，它们的数乘规则为：kA = (ka_ij)，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素。
同样地，对于一个向量x和一个常数k，它们的数乘规则为：kx = (kx_i)，其中x_i表示x的第i个分量。
五、矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是指将一个矩阵的每一行与一个向量进行点乘得到一个新的向量。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，它们的乘法规则为：Ax = (a_i1x_1 +a_i2x_2 + ... + a_inx_n)，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素，x_i表示x的第i个分量。
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%MATLAB支持教学中的矩阵类型P18
A=[123;456]%变量名=[第一行元素；第二行元素；……；第m行元素]
A=ones(2,3)%ones(m,n)创建m*n阶全1矩阵
A=ones(3)%ones(n)创建n*n阶全1(方)矩阵
A=zeros(3,4)%zeros(m,n)创建m*n阶全0矩阵
A=zeros(4)%zeros(m,n)创建m*n阶全0方阵
A=eye(1)%eye(n)创建n阶单位矩阵
B=eye(2)%eye(n)创建n阶单位矩阵
C=eye(4)%eye(n)创建n阶单位矩阵
A=rand(2,3)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数
A=rand(1,1)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数
A=rand(1,3)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数
A=rand(1)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数
A=rand(2)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数
A=rand(3)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数
%MATLAB矩阵的运算及操作P16
clc
A=[123;456];
B=[222;333];
C=[1423;2501;3612];
A1=1:49
y=reshape(A1,7,7)'
%取矩阵A中的行下标=i，列下标=j的元素A(行下标i,列下标j)
A(1,1)
A(2,3)
%取矩阵A中的第i行元素返回值为行向量A(行下标i;:)
A(1,:)
A(2,:)
%取矩阵A中的第j列元素返回值为列向量A(:;列下标j)
A(:,1)
A(:,3)
%同维加减
A+B
A-B
A*C%m*n阶与n*p阶相乘
%同维点乘点除点乘方
A.*B%点乘（结果是一个同维矩阵设为C）C（i,j）=A(i,j)*B(i,j)对于元素相乘
%format short A.\B%点除（结果是一个同维矩阵设为C）C（i,j）=A(i,j)/B(i,j) %format rat A.\B
A./B
A.^B%点乘方（结果是一个同维矩阵设为C）C（i）=A(i)^B(i)
%与标量K的加减乘除乘方
% A.^K每个元素乘方（当指数为分数时就是开放运算）
A.^2
A.^(1/2)
%A+K每个元素与标量K相加
A+3.5
%A-K每个元素与标量K相减
A-3.5
%A*K每个元素与标量K相乘
A*1.5
%A/K每个元素除以标量K
A/10
%size(A)求矩阵A的行数和列数返回值是向量返回值=[行数，列数]
size(A)
A'%求A的转置
clc
y1=reshape(A1,7,7)%从1开始读出7行7列元素
y=y1'%转置y1得到y
y(5,5)%取出y中第5行第5列的元素33
y(1,1:5)%取出y中第1行第1列到第5列的元素
y(:,1:5)%取出y中第所有行第1列到第5列的元素
y(1:7,1:5)%取出y中第所有行第1列到第5列的元素
y(1:6,1:5)%取出y中第1行到第6行第1列到第5列的元素
y([16],[15])%取出y中第1行和第6行中的第1列和第5列的元素
y([16],[25])%取出y中第1行和第6行中的第2列和第5列的元素
%设向量A、B为同维向量：A=[10,20,30]B=[321],K为标量P14
clc
A=[10,20,30];
B=[321];
K=3.5;
length(A)%求向量A的长度（元素个数）
%A(index)取向量A中下标=index的元素1=<index=<length(A)注意下标不能越界
A(1)
A(2)
A(3)
A+B%加
A-B%减
A.*B%点乘（结果是一个同维向量设为C）C（i）=A(i)*B(i)对于元素相乘
A./B%点除（结果是一个同维向量设为C）C（i）=A(i)/B(i)
A.^B%点乘方（结果是一个同维向量设为C）C（i）=A(i)^B(i)
A+K%与标量相加
A-K%与标量相减
A*K%与标量相乘
A/K%除以标量
A'%求A的转置。