《大学物理2》 磁场习题课2
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大学物理稳恒磁场习题课
S
当 S 很小时，可得
B2S B1S 0
B1
B2
B
有 B2 B1 ，即同一条磁感应线上的
B
相等
如再在该磁场中做一有向矩形安培环路 abcda ， ☆ bc 、 让 ab 、cd 与磁感应线平行， da 与磁感应线垂直。 / 设沿 ab 段磁感应强度为 B ，沿 cd 段磁感应强度为 B ， 由磁感应线疏密不均匀可知 ， 磁感应强度沿该回路的线积分为 / B d l B ab B cd 0
也就不能推出 H d S 0
S
r 都相等，
。
因此，一般说来，不能得出 通过以闭合曲线 L 为边界的各曲面的通量均相等的结论
例如，一永磁棒，设棒内 M 为一常值，
对以 L 为边界的二曲面 S1 和S2 ，有
☆
S1
B dS B dS
S2
M 的方向与外磁场方向相反
Pm 为无矩分子在外磁场中出则的附加磁矩，
磁场强度 引入磁场强度辅助矢量 H
H
B
☆
在各向同性均匀介质中 M m H
m 称为磁化率，是一个纯数。
0
M
顺磁质中
m 1，抗磁质中 m 1 。 H 和 B 的关系为
T
)
2．毕奥一萨伐尔定律
电流元
电流元
☆
Idl
是矢量， 与
大小等于电流 I
导线元长度 dl 的乘积，
方向沿电流正方向。
毕奥一萨伐尔定律 电流元 Idl 在
P 点产生的磁感应强度为
0 4 107 N A2
0 Idl r 0 Idl r ˆ dB 3 2 4 r 4 r
磁场习题课
6. 15-15 将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀 磁场中，已知平面两侧的磁感应强度分别为B1,B2.求载流平面 上单位面积所受的磁力的大小和方向。
解 ： 设 原 均 匀 磁 场 为B0， 载 流
平面产生的磁场为B 0 j / 2
B1
B0
1 2
0
j
B2
B0
1 2
0
j
解：①螺绕环内的磁场强度
H NI 2.0 104 A / m L
②螺绕环内介质的磁化强度 M B H 7.76 105 A / m
0
③磁介质的磁化率
m
M H
38.8
④环状磁介质表面磁化电流面密度 jS M 7.76 10 5 A / m
总磁化面电流 I s js L 3.10 10 5 A / m
4.载流线圈受磁力矩的计算和磁矩的计算 四、几种典型电流的磁场
1.一段直线电流
B
0I 4r
cos1
cos2
2.无限长直电流
3.圆电流轴线上 4.圆电流圆心处 5.任意一段圆弧电流
B 0I
2r
B
0 IR 2
B 0I
2 R 2 x 2
3 2
2 R B＝ 0 I
为 方向为
B
0 I 4d
cos1
cos2
c os1
c os (
2
)
sin
cos2 cos( ) cos
A
1
I d
P
大学物理 磁学习题课
2
( I 1 I 2 ) ln 2
第11章 恒定电流的磁场
17
MN上电流元I3dx所受磁力：
0 I1
a M
dx N
c I2
d F I 3 B d x I 3 [ 2(r x) 2(2r x) ] d x
r
0 I1
I3 r Or b
r d
x
F I3 [
0
0 I1
2(r x)
0I2
2(2r x)
]d x
0I3
S
B
圆面
Φm
2 B S BR cos
1 B d S B R 2 2
n
60°
R
B
任意曲面
S
S
很多漏掉负号 类似本页二.1(1)磁通量
12
第11章 恒定电流的磁场
P42 一选择1.
H dl 2 I L1
H dl I L2
1
第11章 恒定电流的磁场
16
P44 二1、如图所示，载有电流I1和I2的长直导线ab和cd相互平行，相距为
3r，今有载有电流I3的导线MN = r，水平放置，且其两端MN分别与I1、I2 的距离都是r，ab、cd和MN共面，求导线MN所受的磁力大小和方向．
载流导线MN上任一点处的磁 感强度大小为： I 0 I 2 0 1 I1 B 2( r x ) 2( 2r x )
1
B
•直导线延长线上
a
第11章 恒定电流的磁场
P
6
2.
圆电流轴线上某点的磁场
B
大小：
( I 1 I 2 ) ln 2
第11章 恒定电流的磁场
17
MN上电流元I3dx所受磁力：
0 I1
a M
dx N
c I2
d F I 3 B d x I 3 [ 2(r x) 2(2r x) ] d x
r
0 I1
I3 r Or b
r d
x
F I3 [
0
0 I1
2(r x)
0I2
2(2r x)
]d x
0I3
S
B
圆面
Φm
2 B S BR cos
1 B d S B R 2 2
n
60°
R
B
任意曲面
S
S
很多漏掉负号 类似本页二.1(1)磁通量
12
第11章 恒定电流的磁场
P42 一选择1.
H dl 2 I L1
H dl I L2
1
第11章 恒定电流的磁场
16
P44 二1、如图所示，载有电流I1和I2的长直导线ab和cd相互平行，相距为
3r，今有载有电流I3的导线MN = r，水平放置，且其两端MN分别与I1、I2 的距离都是r，ab、cd和MN共面，求导线MN所受的磁力大小和方向．
载流导线MN上任一点处的磁 感强度大小为： I 0 I 2 0 1 I1 B 2( r x ) 2( 2r x )
1
B
•直导线延长线上
a
第11章 恒定电流的磁场
P
6
2.
圆电流轴线上某点的磁场
B
大小：
大学物理-磁学部分习题课
+
v
+ Fm ++
A+
p
+
B
E
+d
-
B v02 2Ed E
m
带电粒子达到最右端时其轨迹与右侧平板相切，
该处速度方向沿轨迹切线方向，与平板平面平行。
Eq
y
带电粒子在磁场，电场中受力
F
Fe
磁不场做力功。Fm
qvFmB与E速q度 方qv向始B终垂直，
x 电场力作功等于粒子动能的增量：
z
Eqd
2r sin
该力对O点的力矩 dM rdF 0 I 2dl
2 sin
任一段单位长的导线对O点的力矩：
M
l 1
dM
0 I 2dl
0I 2
l 2 sin 2 sin
13
5. 如图所示，有一通有电流 I 的直导线附近，有一半 径为 R，质量为m 的细小线圈。细小线圈可绕通过其 中心与直导线平行的轴转动。直导线与细小线圈中心
两导线间夹角为，通有相同的电流I。试求单位长度的导线
所受磁力对O点的力矩。
解：导线1在 dl 处激发的磁场的大小
1
B 0I 0I
2d 2r sin
I dF
O
I
d
Idl
B 2
r
M
电流元 Idl受到的磁力为
dF Idl B
大小： dF (Idl )B 0 I 2dl
根据：
M
r
F
B 0 i
2
二.磁场的性质
i 为线电流密度
1.
高斯定理
:
B
ds
0,
B 0
大学物理2习题答案
解 以螺绕环的环心为圆心，以环的平均半 径r 为半径的圆周为积分路径，根据磁介质 中的安培环路定理 l I Hd
L ( 内 )
得
H 2 π rN Inr 2 π I
Hn I
B H n I n N / 21 r 0 匝 / c m 1 0 0 0 匝 / m 0 r 0 r
L1
I L2 a 2a I
r
a
O
d FI d l B
该力对O点的磁力矩为
方向
x
x
d M r d F
2 μ I μ I 4 a 0 0 d M r I B d( x = 4 a x ) I d x = ( 1 ) d x 2 x 2 x
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11.2 填空题
(2) 矩形截面的螺绕环尺寸见图，则在截面中点处的磁感应 强度为 ；通过截面S 的磁通量为 。
I Hdl
L 内
有
H d l N I 其 中 ， I 3 A
L
所以有
L 1
d l 3 6 1 8 A ; H d l 3 9 2 7 A ; H
L 2
L 3
d l 3 1 3 3 9 A ; H d l 3 A . H
L 4
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第11章
恒定电流的磁场
11.1选择题
（1）有两条长直导线各载有5A的电流，分别沿x、y轴正 向流动。在 (40,20,0)cm处的 B 是[ ]。 z 解 视两长直导线为无限长。
沿x、y轴正向流动的电流分别用I1和I2表示。
则I1和I2在P点产生的磁感应强度分别为
I1
I2
大学物理习题课2(1)
解： 两个载同向电流的长直导线在
I
I
b
如图坐标x处所产生的磁场为: B 0 (1 1 ) 2 x x r1 r2
r2
a
r1
O
x
选顺时针方向为线框回路正方向，则:
BdS
0
Ia
r1 b
(
d
x
r1 b
dx
)
2 r1 x
r1 x r1 r2
0 Ia ln( r1 b r2 b )
(C) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺绕环．
√ (D) 适用于自感系数Ｌ一定的任意线圈．
6 、两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第
一个质点的振动方程为x1 = Acos(ωt + a)．当第一个质
点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质
点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为
之间的夹角．
16 （本题4分）如果从一池静水(n＝1.33)的表面反射出
来的太阳光是线偏振的，那么太阳的仰角(见图)大致
等于______3_7_°________在这反射光中的矢量的
方向应_____垂_直__于_入__射_面________．
阳光
三、计算题:
17 （本题10分）AA‘和CC’为两个正交地放
初相一样为π/2。
合振动方程： y Acos(2t 1 )
2
(2) x =λl /4处质点的速度：
v d y /dt 2Asin(2t 1 )
2
2Acos(2t )
20 （本题10分）用波长为500 nm (1 nm=10-9 m)的单色光 垂直照射到由两块光学平玻璃构成的空气劈形膜上．在观察反 射光的干涉现象中，距劈形膜棱边l = 1.56 cm的A处是从棱 边算起的第四条暗条纹中心． (1) 求此空气劈形膜的劈尖角q； (2) 改用600 nm的单色光垂直照射到此劈尖上仍观察反射光 的干涉条纹，A处是明条纹还是暗条纹？ (3) 在第(2)问的情形从棱边到A处的范围内共有几条明纹？ 几条暗纹？
《大学物理2》 磁场习题课1
( r R sin )
r dm
2
m为圆环的质量，
O
d
O
dm
m 2 R
dl
m 2
d
dm
R
r
(d l R d )
I
0
2
R sin
2
2
m 2
d
1 2
mR
2
O
24
由动能定理有
0
0
O
M d
0
0
1 2
I
2
0
I2
R
I1
I 2 R 0 I1
B3
0I
2 r
R3 r
2
2
2 2
R3 R2
（4）r >R3
B 4 2 r 0 ( I I ) 0 ,
B4 0
磁感强度Ｂ(r)的分布曲线如图。
14
7.设有两无限大平行载流平面，它们的面电流密度 均为j，电流流向相反，如图所示，求： （1）两载流平面之间的磁感应强度； （2）两面之外空间的磁感应强度。
F 2 BIR j
d F I dl B
d F y d F sin
d F I d lB
d l R d
20
9.将一电流均匀分布的无限大载流平面放入磁感应强度为 B0的均匀磁场中，电流方向与磁场垂直，放入后，平面两 侧磁场的磁感应强度分别为B1和B2（图），求该载流平面 上单位面积所受的磁场力的大小和方向。 分析磁场方向：
解：由磁场的高斯定理
S B d S 0
穿过半球面的磁感应线全 部穿过圆面S，因此有
r dm
2
m为圆环的质量，
O
d
O
dm
m 2 R
dl
m 2
d
dm
R
r
(d l R d )
I
0
2
R sin
2
2
m 2
d
1 2
mR
2
O
24
由动能定理有
0
0
O
M d
0
0
1 2
I
2
0
I2
R
I1
I 2 R 0 I1
B3
0I
2 r
R3 r
2
2
2 2
R3 R2
（4）r >R3
B 4 2 r 0 ( I I ) 0 ,
B4 0
磁感强度Ｂ(r)的分布曲线如图。
14
7.设有两无限大平行载流平面，它们的面电流密度 均为j，电流流向相反，如图所示，求： （1）两载流平面之间的磁感应强度； （2）两面之外空间的磁感应强度。
F 2 BIR j
d F I dl B
d F y d F sin
d F I d lB
d l R d
20
9.将一电流均匀分布的无限大载流平面放入磁感应强度为 B0的均匀磁场中，电流方向与磁场垂直，放入后，平面两 侧磁场的磁感应强度分别为B1和B2（图），求该载流平面 上单位面积所受的磁场力的大小和方向。 分析磁场方向：
解：由磁场的高斯定理
S B d S 0
穿过半球面的磁感应线全 部穿过圆面S，因此有
大学物理磁场作业(二)习题与解答
1、如图所示，半圆形线圈半径为R ，通有电流I ，在磁场B 的作用下从图示位置转过30°时，它所受磁力矩的大小和方向分别为（ (4)）（1）214R IB π，沿图面垂直向下；（2）214R IB π，沿图面垂直向上； （3）234R IB π，沿图面垂直向下；（4）234R IB π。
沿图面垂直向上。
2、如图所示，载流为I 2的线圈与载流为I 1的长直导线共面，设长直导线固定，则圆线圈在磁场力作用下将（ (1)）（1）向左平移；（2）向右平移；（3）向上平移；（4）向下平移。
3、质子和α粒子质量之比为1:4，电量之比为1:2，它们的动能相同，若将它们引进同一均匀磁场，且在垂直于磁场的平面内作圆周运动，则它们的回转半径之比为（(2) ）（1）1:4； （2）1:1； （3）1:2； （4）124、如图所示，a 、c 处分别放置无限长直载流导线，P 为环路L 上任一点，若把a 处的载流导线移至b 处，则（(4) ）（1）L B dl •⎰变，p B 变； （2）L B dl •⎰变，p B 不变； （3）L B dl •⎰不变，p B 不变； （4）LB dl •⎰不变，p B 变5、如图所示，ab 导线与无限长直导线GE 共面，ab 延长线与GE 交于O 点成45°，若分别通以电流I 1=20 A ，I 2=10 A ，ab 长92L = cm ，a 端距GE 为d=1 cm ，求ab 在图示位置时所受GE 产生的磁场作用力F 。
解答：此题直接运用无限长直导线磁场公式以及通电直导线和磁场作用公式即可。
2F I dl B =⨯⎰，其方向为垂直于ab 向左上，其大小如下计算：设ab 上dl 长度距GE 为r ，则有2()]2dl d r d dr =-=，r 的取值范围很明显是[0.01,0.1]。
于是有 0.10122224I F BI dl I dr r μπ==⎰⎰，代入相关数值并且积分得到， 41.310F N -=⨯。
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得
分离变量并两边积分
1 g sin Hv ln t H gsin
此即为导体棒下滑的稳 定速度，也是导体棒能 够达到的最大速度，其 v－t 图线如图所示。
1978年全国高考物理试题
由此得导体在t时刻的速度
v
mgRsin B 2l 2 cos2
B 2l 2 cos2 t mR (1 e )
0 I 0 a l2 t l1 ln e 2 a
在中固定a，仅对 t求导数得感生电动势
感生
7
3.有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等 流向相反的电流，且电流均以dI/dt的变化率增长。若有一边 长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。 求线圈中的感应电动势。
15
7.电磁涡流制动器是一个电阻率为 ，厚度为b的圆盘，此盘绕 通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场 B垂直于圆盘，小面积离轴r（r>>a）．当圆盘角速度为时， 试导出阻碍圆盘转动的磁力矩的近似表达式。 B 解: 将圆盘与磁场相对的部分当成 长、宽和高分别为a、a和b的小导 S 体，其横截面积为 S = ab，
d (v B) d l v B sin900 cos d l v B cosR d
d vBR
/2
-/2
cos d 2 Rv B
14
解3：连接OP使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的， 在任意时刻，穿过回路的磁通量
BS 常数
解1：穿过面元dS的磁通量为 d B d S B1 d S B2 d S
2 ( x d )
0 I
ddx
0 I ddx 2x
因此穿过线圈的磁通量为 2d 2 d Id 0 Id 0 Id 3 0 Φ dΦ dx dx ln d 2 ( x d ) d 2x 2 4 dΦ 0 d 3 dI 再由法拉第电磁感应定律，有 ln dt 2 4 dt
解1：如图所示，假想半圆形导线 OP在宽为2R的静止在“[”形导轨 上滑动，两者之间形成一个闭合回 路。设顺时针方向为回路正向，任 一时刻端点O或端点P距“[”形导 轨左侧距离为x，
B
p
R
v
o
v x
12
穿过该闭合回路的磁通量：
1 2 Φ (2Rx R ) B 2
d dx 2RB 2RvB dt dt
由上式可知，当
t
mgR sin v vm 2 2 B l cos 2
19
9.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向 与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁 场中，设B随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动 势的大小为
解:如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为 I r处产生的磁感应强度为B =0I/2r．在矩形 线圈中取一面积元dS=bdr，通过线圈的磁通 量为 c a c 0 Ibdr 0 Ib a c BdS ln 2 r 2 c M12=M21=M S c 互感系数为
参考：习题16.4
感应电流所受安培力的方向？
B
v B
I dl B
v
17
如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN 外，还受到一个与下滑速度有关的安培力FA ，这个力是阻碍 导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为
B 2l 2 FA BIl Bl vcos (1) R R
a
l2
l1
v
0l1I (t ) a l2 v l2 ln a a(a l ) 2 2
5
d 0l1I (t ) a l2 v l2 ln a a(a l ) dt 2 2
I (t ) I 0et
B
p
R
v
由于静止的“[”形导轨 上的电动势为零，则
o
2 RvB
式中负号表示电动势的方向 为逆时针，对OP段来说瑞点 P的电势较高。
v x
13
y
解2：建立如图所示的坐标 系，在导体上任意处取导体 元 dl，则 由矢量
B
v B
dl
p
o R
v
x
(v B )
o
的指向可知，端点P的电势较高。
M
a b
I
0b a c ln 2 c
dI M dt
M=？
当线圈中通以交变电流I = I0sint 0b ac (In ) I 0 cos t 时，直导线中的感应电动势大小为 2 c
11
6.如图所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感应强度 为B 的均匀磁场中，当导线以速率v水平向右平动时，求导线 中感应电动势的大小，哪一端电势较高？
8
解2:当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为
0 Id 3 Φ In 2 4
线圈与两长直导线间的互感为
Φ 0d 3 M ln I 2 4
当电流以 dI/dt 变化时，线圈中的互感电动势为
dI 0 d 3 dI M ln dt 2 4 dt
d
a l2 a
参考：习题16.10
I (t ) I 0et
Bl1 d r
a l2
a
I (t ) a l2 0 I (t ) l1 ln l1 d r 0 2 a 2r
其中a也是随时间变化的，而且da/dt=v，有
d 0l1 d I (t ) a l2 d a l2 ln I (t ) ln dt 2 d t a d a
2
解：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由 法拉第电磁感应定律求解，即
d d BdS dt dt S
但在求解时应注意下列几个问题：
1．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。
2．应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由 B d S 计算。对于均匀磁场则有 S B d S BS cos 其中 S cos S S 为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。
9
4.如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆。使这根 半圆形导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以频率f 旋转，整 个电路的电阻为R，求感应电流的表达式和最大值。 解：由于磁场是均匀的，故任意时 刻穿过回路的磁通量为 (t ) 0 BS cos
B
r
其中Φ 0等于常量，S为半 圆面积， G t 0 2ft 0 1 (t ) 0 Br 2 cos(2ft 0 ) 2 d 2r 2 fB sin(2ft 0 ) 根据法拉第电磁感应定律，有 dt 因此回路中的感应电流为 则感应电流的最大值为
16
方向与速度方 向相反．产生 的磁力矩为
8.如图所示，一长为，质量为m的导体棒CD，其电阻为R， 沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不 计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面 成 角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向为 竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律； （2）导体棒CD的最大速度vm。
I (t )
R
2 r 2 fB
R
sin(2ft 0 )
Im
2 r 2 fB
R
10
5. 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平 行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c （如图），当矩形线圈中通有电流I = I0sint时，求直导线中 的感应电动势。 参考：习题16.17
dB d d ( S1 cos1 S2 cos2 ) ( BS1 cos1 BS2 cos2 ) dt dt dt B ( S1 cos1 S2 cos2 ) 4.91 10 4V t
4
0 ，说明感应电动势方向与回路正向一致。
6
d 0l1I 0 a l2 vl2 t 以顺时针为正方向 ln a a(a l ) e dt 2 2
动生 (v B) d l
I (t ) I 0et
1 2
vB1l1 vB2l1 vl1 ( B1 B2 )
p
v
R
由法拉第电磁感应定律
d dt
B
可知: 0
又因 即
op直线 po半圆
op直线 po半圆 2RvB
o
Up>U0
由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所 产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势 就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势。
2. 如图所示，真空中一长直导线通有电流 I t I 0 e t ，式 中为t 时间，I0 、为正常量；另一长为l1、宽为l2的矩形导线 框与长直导线平行共面。设时刻 t 二者相距为a，矩形框正以 速率v向右运动，求此时刻线框内的感应电动势。 解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通 过线框的磁通量（由长直电流所提供）为
由法拉第电磁感应定律得
a
d 0l1I 0 a l2 vl2 t ln a a(a l ) e dt 2 2
l1 l2
v
显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内取顺 时针方向，可以通过楞次定律进行验证。 通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应 电动势，得出的是整个回路的总感应电动势，它可能 是动生与感生电动势的总和。
3
分离变量并两边积分
1 g sin Hv ln t H gsin
此即为导体棒下滑的稳 定速度，也是导体棒能 够达到的最大速度，其 v－t 图线如图所示。
1978年全国高考物理试题
由此得导体在t时刻的速度
v
mgRsin B 2l 2 cos2
B 2l 2 cos2 t mR (1 e )
0 I 0 a l2 t l1 ln e 2 a
在中固定a，仅对 t求导数得感生电动势
感生
7
3.有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等 流向相反的电流，且电流均以dI/dt的变化率增长。若有一边 长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。 求线圈中的感应电动势。
15
7.电磁涡流制动器是一个电阻率为 ，厚度为b的圆盘，此盘绕 通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场 B垂直于圆盘，小面积离轴r（r>>a）．当圆盘角速度为时， 试导出阻碍圆盘转动的磁力矩的近似表达式。 B 解: 将圆盘与磁场相对的部分当成 长、宽和高分别为a、a和b的小导 S 体，其横截面积为 S = ab，
d (v B) d l v B sin900 cos d l v B cosR d
d vBR
/2
-/2
cos d 2 Rv B
14
解3：连接OP使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的， 在任意时刻，穿过回路的磁通量
BS 常数
解1：穿过面元dS的磁通量为 d B d S B1 d S B2 d S
2 ( x d )
0 I
ddx
0 I ddx 2x
因此穿过线圈的磁通量为 2d 2 d Id 0 Id 0 Id 3 0 Φ dΦ dx dx ln d 2 ( x d ) d 2x 2 4 dΦ 0 d 3 dI 再由法拉第电磁感应定律，有 ln dt 2 4 dt
解1：如图所示，假想半圆形导线 OP在宽为2R的静止在“[”形导轨 上滑动，两者之间形成一个闭合回 路。设顺时针方向为回路正向，任 一时刻端点O或端点P距“[”形导 轨左侧距离为x，
B
p
R
v
o
v x
12
穿过该闭合回路的磁通量：
1 2 Φ (2Rx R ) B 2
d dx 2RB 2RvB dt dt
由上式可知，当
t
mgR sin v vm 2 2 B l cos 2
19
9.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向 与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁 场中，设B随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动 势的大小为
解:如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为 I r处产生的磁感应强度为B =0I/2r．在矩形 线圈中取一面积元dS=bdr，通过线圈的磁通 量为 c a c 0 Ibdr 0 Ib a c BdS ln 2 r 2 c M12=M21=M S c 互感系数为
参考：习题16.4
感应电流所受安培力的方向？
B
v B
I dl B
v
17
如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN 外，还受到一个与下滑速度有关的安培力FA ，这个力是阻碍 导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为
B 2l 2 FA BIl Bl vcos (1) R R
a
l2
l1
v
0l1I (t ) a l2 v l2 ln a a(a l ) 2 2
5
d 0l1I (t ) a l2 v l2 ln a a(a l ) dt 2 2
I (t ) I 0et
B
p
R
v
由于静止的“[”形导轨 上的电动势为零，则
o
2 RvB
式中负号表示电动势的方向 为逆时针，对OP段来说瑞点 P的电势较高。
v x
13
y
解2：建立如图所示的坐标 系，在导体上任意处取导体 元 dl，则 由矢量
B
v B
dl
p
o R
v
x
(v B )
o
的指向可知，端点P的电势较高。
M
a b
I
0b a c ln 2 c
dI M dt
M=？
当线圈中通以交变电流I = I0sint 0b ac (In ) I 0 cos t 时，直导线中的感应电动势大小为 2 c
11
6.如图所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感应强度 为B 的均匀磁场中，当导线以速率v水平向右平动时，求导线 中感应电动势的大小，哪一端电势较高？
8
解2:当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为
0 Id 3 Φ In 2 4
线圈与两长直导线间的互感为
Φ 0d 3 M ln I 2 4
当电流以 dI/dt 变化时，线圈中的互感电动势为
dI 0 d 3 dI M ln dt 2 4 dt
d
a l2 a
参考：习题16.10
I (t ) I 0et
Bl1 d r
a l2
a
I (t ) a l2 0 I (t ) l1 ln l1 d r 0 2 a 2r
其中a也是随时间变化的，而且da/dt=v，有
d 0l1 d I (t ) a l2 d a l2 ln I (t ) ln dt 2 d t a d a
2
解：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由 法拉第电磁感应定律求解，即
d d BdS dt dt S
但在求解时应注意下列几个问题：
1．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。
2．应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由 B d S 计算。对于均匀磁场则有 S B d S BS cos 其中 S cos S S 为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。
9
4.如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆。使这根 半圆形导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以频率f 旋转，整 个电路的电阻为R，求感应电流的表达式和最大值。 解：由于磁场是均匀的，故任意时 刻穿过回路的磁通量为 (t ) 0 BS cos
B
r
其中Φ 0等于常量，S为半 圆面积， G t 0 2ft 0 1 (t ) 0 Br 2 cos(2ft 0 ) 2 d 2r 2 fB sin(2ft 0 ) 根据法拉第电磁感应定律，有 dt 因此回路中的感应电流为 则感应电流的最大值为
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方向与速度方 向相反．产生 的磁力矩为
8.如图所示，一长为，质量为m的导体棒CD，其电阻为R， 沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不 计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面 成 角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向为 竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律； （2）导体棒CD的最大速度vm。
I (t )
R
2 r 2 fB
R
sin(2ft 0 )
Im
2 r 2 fB
R
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5. 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平 行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c （如图），当矩形线圈中通有电流I = I0sint时，求直导线中 的感应电动势。 参考：习题16.17
dB d d ( S1 cos1 S2 cos2 ) ( BS1 cos1 BS2 cos2 ) dt dt dt B ( S1 cos1 S2 cos2 ) 4.91 10 4V t
4
0 ，说明感应电动势方向与回路正向一致。
6
d 0l1I 0 a l2 vl2 t 以顺时针为正方向 ln a a(a l ) e dt 2 2
动生 (v B) d l
I (t ) I 0et
1 2
vB1l1 vB2l1 vl1 ( B1 B2 )
p
v
R
由法拉第电磁感应定律
d dt
B
可知: 0
又因 即
op直线 po半圆
op直线 po半圆 2RvB
o
Up>U0
由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所 产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势 就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势。
2. 如图所示，真空中一长直导线通有电流 I t I 0 e t ，式 中为t 时间，I0 、为正常量；另一长为l1、宽为l2的矩形导线 框与长直导线平行共面。设时刻 t 二者相距为a，矩形框正以 速率v向右运动，求此时刻线框内的感应电动势。 解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通 过线框的磁通量（由长直电流所提供）为
由法拉第电磁感应定律得
a
d 0l1I 0 a l2 vl2 t ln a a(a l ) e dt 2 2
l1 l2
v
显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内取顺 时针方向，可以通过楞次定律进行验证。 通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应 电动势，得出的是整个回路的总感应电动势，它可能 是动生与感生电动势的总和。
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