二项式定理常见题型
二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理的高考常见题型及解题对策题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cC C C n nnnn n n 3)1( (279313)21-++-+-；题型二：求二项展开式的特定项1． 求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；（2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；2． 求中间项例7．（00京改编）求（103)1xx -的展开式的中间项；3． 求有理项例8．（00京改编）求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；4． 求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例9．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例12．（99全国）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；例13．（04天津）若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；例14．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；题型四：利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；题型五：利用二项式定理证明整除问题例16．（02潍坊模拟）求证：15151-能被7整除。
二项式定理的常见题型及解法特全版
Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ， 填 2 2 2
（备用题） ： （05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3
1 的展开式中没有 常数项， 且 2≤n≤8， n N* ， ．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。 （备用题） （05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2） 一般的系数最大或最小问题 例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有
二项式定理的常考题型
二项式定理的常考题型
二项式定理是代数中常见且重要的定理之一，它可以用来展开二项式的幂。
在数学考试中，常常会出现与二项式定理相关的题目。
下面介绍几种常见的与二项式定理相关的考题类型。
1. 二项式系数的求解：考生需要根据给定的条件，求解二项式展开
式中某一项的系数。
这类题目通常需要考生运用组合数的性质，结合二项式定理进行计算。
2. 二项式展开的特定项：考生需要根据给定的条件，求解二项式展
开式中某一特定项的值。
这类题目通常需要考生根据二项式定理按照对应的系数进行计算，并注意运用组合数的性质。
3. 二项式定理与多项式的展开：考生需要将一个多项式展开成二项
式的形式。
这类题目通常需要考生运用二项式定理的逆定理，即将一个多项式写成二项式的形式。
4. 二项式定理与数列的关系：考生需要根据给定的数列，利用二项
式定理推导数列的通项公式或者递推关系。
这类题目通常需要考生观察数列的特点，利用二项式定理进行变形推导。
除了上述常见考题类型，二项式定理还可以与其他数学概念进行结合，
如排列组合、数学归纳法等。
因此，在学习二项式定理时，需要注意将其与其他数学概念进行联系，深化对二项式定理的理解，并灵活运用于解决各类数学问题。
二项式定理应用的六种题型
二项式定理的应用二项式定理)()(110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n ⑴这个公式叫做二项式定理.⑵展开式：等号右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，展开式中一共有1+n 项.⑶二项式系数：各项的系数}),,2,1,0{(n k C kn ∈叫做二项式系数.展开式的通项n b a )(+展开式的第1+k 项叫做二项展开式的通项，记作k k n k n k b a C T -+=1.题型1求某项系数例1.二项式8312(xx-中展开式的常数项是)(答案：常数项为7)1()21(68627=-⋅=C T .例2.在62)1(xx +的展开式中，3x 的系数是)(答案：20.例3.若二项式7)1(xx -的展开式中的第四项等于7,则x 的值是)(答案：51-=x .题型2多个多项式例4.72)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，3x 的系数是)(答案：3x 的系数为7048373433==+++C C C C .例5.设432231404321))()()((A x A x A x A x A a x a x a x a x ++++=++++则=2A ；=3A ；答案：4343243212)()(a a a a a a a a a A +++++=，4324314213212a a a a a a a a a a a a A +++=.例6.9)2(z y x -+的展开式中324z y x 的系数为)(.答案：324z y x 的系数为5040-.例7.求当52)23(++x x 的展开式中x 的一次项的系数为)(.分析：解法①：5252]3)2[()23(x x x x ++=++，r rrr x x C T )3()2(5251-++=，当且仅当1=r 时，1+r T 的展开式中才有x 的一次项，此时x x C T T r 3)2(421521+==+，所以x 的一次项为x C C 3244415⋅，它的系数为2403244415=⋅C C .解法②：)22)(()2()1()23(555415505554155055552C x C x C C x C x C x x x x ++++++=++=++ 故展开式中含有x 的项为x x C xC C 2402244555545=+，故展开式中x 的系数为240.例8.求式子3)21(-+xx 的常数项为)(答案：631()21(xx x x -=-+，设第1+r 项为常数项，则rr r r rr r r xC xxC T 266661)1(1()1(--+-=-=，得3026=⇒=-r r ，所以20)1(36313-=-=+C T .例9.52)1)(1(x x x -++的展开式中，4x 的系数是)(分析：已知表达式展开式中每一项由两部分相乘而成，要想凑得4x ，不妨从其中一个式子切入进行分类讨论（以)1(2x x ++为例）1：)1(2x x ++出1，则5)1(x -出4x ，该项为：44455)(11xx C =-⋅⋅⋅2：)1(2x x ++出x ，则5)1(x -出3x ，该项为：4323510)(1xx C x -=-⋅⋅⋅3：)1(2x x ++出2x ，则5)1(x -出2x ，该项为：42325210)(1x x C x =-⋅⋅⋅综上所述：合并同类项后4x 的系数是5.例10.102)1(+-x x 的展开式中3x 的系数是)(分析：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为10个因式如何分配所出项的问题：若要凑成3x 有以下几种可能：⑴：1个2x ，1个)(x -，8个1，所得项为：3888192110901)(xC x C x C -=⋅-⋅⑵：3个)(x -，7个1，所得项为：377733101201)(x C x C -=⋅-，所以3x 的系数是210-.例11.求43)1()21(x x -+的展开式中2x 的系数是)(分析：因为3)21(x +的展开式的通项是3,2,1,0,2)2(33=⋅⋅=⋅m x C x C mmmmm，4)1(x -的展开式的通项是4,3,2,1,0,)1()(44=⋅-⋅=-⋅n x C x C n n nn n ，令2=+n m ，则有0=m 且2=n ，1=m 且1=n ，2=m 且0=n ，因此43)1()21(x x -+的展开式中2x 的系数等于6)1(2)1(2)1(20422311411322403-=-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅C C C C C C .例12.求10463)11()1(xx ++展开式中的常数项是)(答案：4246例13.已知nxx x x 1)(1(32+++的展开式中没有常数项，*∈N n 且82≤≤n ，则=n 分析：n xx 1(3+的展开式的通项为rn r n r r n r n x C x x C 43---⋅=⋅⋅，通项分别与前面三项相乘可得24144,,+-+--⋅⋅⋅r n r n r n r n rn rn x C x C xC ，因为展开式中不含常数项，82≤≤n 所以r n 4≠且14-≠r n 且24-≠r n ，即8,4≠n 且7,3≠n 且6,2≠n ，所以5=n 题型3系数特征例14.在204)3(y x +的展开式中，系数为有理数的项有项.答案：6项例15.求二项式93)(x x -的展开式中的有理项.分析：62793192191)1()()(x r rrrrr xC x x C T --+-=-=，令)90(,627≤≤∈-r Z r得3=r 或9=r 当3=r 时，44393484)1(,4627x x C T r -=-==-，当9=r 时，3399910)1(,3627x x C T r -=-==-.例16.nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项，系数最大的项.分析：二项展开式的通项rrrn r x C T 21=+，由第6项与第7项的系数相等得，8226655=⇒=n C C n n ，所以展开式中二项式系数最大得项为44448511202x x C T ==，设第1+r 项系数最大，则⎩⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--118811882222r r r r r r r r C C C C ，解之得65≤≤r 即5=r 或6，所以系数最大得项为55558617922x x C T ==或66668717922x x C T ==.例17.在nb a 2)(+的展开式中，求二项式系数最大的项.分析：二项式的幂指数是偶数n 2，则中间一项的二项式系数最大，即1122++=n nT T ，也就是第1+n 项.例18.在nxx)12(3-的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是.分析：只有第5项的二项式最大，则512=+n，即8=n ，所以展开式中的常数项为第7项等于721(268=C .题型4求系数和常用赋值举例：⑴设nn n r r n r n n n nn nb C b a C b aC a C b a +++++=+-- 11)(，①令1==b a ，可得：nnn n n nC C C C ++++= 212②令1,1-==b a ，可得：nn n n n n n C C C C C )1(0321-+-+-= ，即13120-+++=+++n n n n n n n n C C C C C C （假设n 为偶数），再结合①可得：1131202--=+++=+++n n n n n n n n n C C C C C C ⑵设nn n xa x a x a a x x f ++++=+= 2210)12()(①令1=x ，则有：)1()112(210f a a a a nn =+⨯=++++ ，即展开式系数和②令0=x ，则有：)0()102(0f a n=+⨯=，即常数项③令1-=x ，设n 为偶数，则有：)1()1)1(2(3210-=+-⨯=++-+-f a a a a a nn ，所以)1(((13120-=+++-+++-f a a a a a a n n ）），即偶次项系数和与奇次项系数和的差，由①③即可求出）n a a a +++ 20(和）131(-+++n a a a 的值例19.已知0199101052)123(a x a x a x a x x ++++=+- ，求29753121086420)()(a a a a a a a a a a a ++++-+++++的值.分析：令1=x ，得510102=+++a a a ，令1-=x ，得59753110864206)()(=++++-+++++a a a a a a a a a a a ，所以555297531210864201262)()(=⨯=++++-+++++a a a a a a a a a a a 求展开式系数和，充分利用赋值法.赋值时，一般地，对于多项式nn nx a x a x a a px x g ++++=+= 2210)1()(有以下结论：⑴)(x g 的二项式系数和为n2；⑵)(x g 的奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和12-=n ；⑶)(x g 的各项系数和为)1(g ；⑷)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ；⑸)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g .例20.已知1111221092)1()1()1()2)(1(-++-+-+=-+x a x a x a a x x ，则1121a a a +++ 的值为.分析：本题虽然等式左侧复杂，但仍然可通过对x 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2=x ，得到011210=++++a a a a ，只需要再求出0a 即可.令1=x 可得20-=a ，所以21121=+++a a a .例21.设443322104)22(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为.分析：所求))(()()(43210432102312420a a a a a a a a a a a a a a a +-+-++++=+-++，在恒等式中令1=x 可得443210)22(+=++++a a a a a ，令1-=x 可得44321022(-=+-+-a a a a a ，所以16)22(22()()(442312420=-+=+-++a a a a a 例22.若55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则||||||||||||543210a a a a a a +++++等于.分析：虽然5)32(x -的展开式系数有正有负，但5)32(x -与5)32(x +对应系数的绝对值相同，且5)32(x +展开式的系数均为正数.所以只需计算5)32(x +的展开式系数和即可.1=x 可得系数和为55，所以55432105||||||||||||=+++++a a a a a a .例23.若)(2206220N n C C n n ∈=++，且n n n x a x a a x +++=- 10)2(，则n n a a a a )1(210-+-+- 等于.分析：由2206220++=n n C C 可得262+=+n n 或202)62(=+++n n ，解得4=n ，所求表达式只需令1-=x ，可得81)]1(2[)1(4210=--=-+-+-n na a a a .例24.已知nn nx a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-29121 ，则n 的值为.分析：在恒等式中令1=x 可得系数和12)12(222221210--=+++=++++-n nn a a a a ，与条件联系可考虑先求出0a ，n a ，令0=x ，可得n a =0，展开式中n a 为最高次项系数，所以1=n a ，所以12211210---=+++++-n a a a a n n ,所以n n n -=---+291221，即3221=+n ，解得4=n .例25.55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则5432105432a a a a a a +++++的值是.分析：设55443322105)32()(x a x a x a x a x a a x x f +++++=-=所以45342321454322)32(5)(x a x a x a x a a x x f ++++=⋅-='，令1=x 可得54321543210a a a a a ++++=而在55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-中，令0=x ，可得243350-=-=a ，所以2335432543210-=+++++a a a a a a .例26.已知10102210)(x a x a x a a x g ++++= ，9910)(x b x b b x h +++= ，若)()()1()21)(1(1019x h x g x x x +-=-+，则=9a .分析：由条件中恒等式的特点可得对应项的系数相等，在)()1(10x g x -中，与9a 相关的最高次项为19x ，故以此为突破口求9a ，等式左边19x 的系数为18181919)2()2(-+-C ，而右边19x 的系数为9910109)1(-⋅+C a a ，所以181819199910109)2()2()1(-+-=-⋅+C C a a ，只需再求出10a 即可，同样选取含10a 的最高次项，即20x ，左边20x 的系数为19)2(-，右边20x 的系数为10a ，所以1910)2(-=a ，从而解得18923⨯-=a .题型5逆用例27.=++⋅+⋅+-12321666n nn n n n C C C C .答案：)17(61-n例28.=++++-n n n n n n C C C C 1321393 .答案：314-n 题型6应用例29.证明：)(98322*+∈--N n n n 能被64整除分析：21111101211111011111211111011122888981)1(888898888898)18(989983-++++-+++++++-++++++++++=--++++++=--+++++=--+=--=--n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C n n C C C n C C C C C n n n 由于各项均能被64整除所以)(98322*+∈--N n n n 能被64整除.例30.已知*∈N n ，求证：1522221-++++n 能被31整除.分析：132122121222155152-=-=--=++++-n n n n 113131311)131(111-+⨯++⨯+=-+=--n n n n n n C C )3131(311211---++⨯+⨯=n n n n n C C 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.。
二项式定理十大典型问题及例题
解：由条件知 ，即 ， ，解得 ，由
，由题意 ，
则含有 的项是第 项 ,系数为 。
练：求 展开式中 的系数
解： ，令 ,则
故 的系数为 。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式 的展开式中的常数项
解： ，令 ，得 ，所以
练：求二项式 的展开式中的常数项
练：写出在 的展开式中，系数最大的项系数最小的项
解：因为二项式的幂指数 是奇数，所以中间两项( )的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有 的系数最小， 系数最大。
练：若展开式前三项的二项式系数和等于 ，求 的展开式中系数最大的项
解：由 解出 ,假设 项最大，
，化简得到 ，又 ， ，展开式中系数最大的项为 ,有
如果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。
专题一
题型一：二项式定理的逆用；
例：
解： 与已知的有一些差距，
练：
解：设 ，则
题型二：利用通项公式求 的系数；
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有 项。
②顺序：注意正确选择 , ,其顺序不能更改。 与 是不同的。
③指数： 的指数从 逐项减到 ，是降幂排列。 的指数从 逐项减到 ，是升幂排列。各项的次数和等于 .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 项的系数是 与 的系数（包括二项式系数）。
8、自然数n为偶数时，求证：
8、原式=
9、求 被9除的余数
二项式定理高考题型及解题(精编版)
二项式定理高考题型及解题（精编版）题型一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x + =])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xx x x2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(xx -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn n n n n n 3)1( (279313)21-++-+-； 解：原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
题型二：求二项展开式的特定项 1．求指定幂的系数或二项式系数 （1）求单一二项式指定幂的系数例4．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；解：r r rr x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r x C 3189)21(--令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221-（2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。
二项式定理经典习题(29题)
一．选择题（共19小题）1．（ax+y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（）A．2B．±2C．D．±2．的展开式中x3的系数为（）A．5B．﹣5C．15D．﹣153．已知二项式（x+）n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是（）A．1B．C．D．34．（x﹣1）5展开式中x4项系数为（）A．5B．﹣5C．10D．﹣105．的展开式中常数项为（）A．﹣240B．﹣160C．240D．1606．（1+x）5展开式中x2的系数为（）A．﹣10B．﹣20C．20D．107．的展开式中含x5项的系数是（）A．﹣112B．112C．﹣28D．288．的展开式中x3的系数为（）A．﹣160B．﹣64C．64D．1609．二项式的展开式中的常数项是（）A．﹣15B．15C．20D．﹣2010．若的展开式中常数项为240，则正整数n的值为（）A．6B．7C．8D．911．（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（）A．B．C．D．12．展开式中的常数项是（）A．﹣160B．﹣140C．160D．14013．（x﹣2y﹣1）5的展开式中含x2y2的项的系数为（）A．﹣120B．60C．﹣60D．3014．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（）A．14B．16C．18D．2015．设n为正整数，（2x2+）n的展开式中存在常数项，则n的最小值为（）A．2B．3C．4D．516．在（2x+1）4的展开式中，x2的系数为（）A．6B．12C．24D．3617．在的展开式中，的系数为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣10D．3018．的展开式中，x2的系数等于（）A．﹣45B．﹣10C．10D．4519．（x+2y）（x﹣y）5的展开式中x2y4的系数为（）A．﹣15B．5C．﹣20D．25二．填空题（共10小题）20．已知（a+x）（1+x）6的展开式中x2的系数为21，则a＝．21．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为.（用数字作答）22．（x﹣2y+1）5展开式中含x2y项的系数为．23．的展开式中项的系数为．24．的展开式中，常数项为（用数字作答）．25．（x﹣1）（x+2）8的展开式中x8的系数为（用数字作答）．26．在的展开式中，xy7的系数为．27．（x2﹣y）（）6的展开式中，其中不含x的项为．28．在的展开式中，常数项等于．（用数字作答）29．（x2+y+3）6中x4y的系数为（用数字作答）．。
考向38 二项式定理全归纳(十五大经典题型)(原卷版)
考向38二项式定理全归纳经典题型一：求二项展开式中的参数 经典题型二：求二项展开式中的常数项 经典题型三：求二项展开式中的有理项 经典题型四：求二项展开式中的特定项系数 经典题型五：求三项展开式中的指定项经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 经典题型七：求二项式系数最值 经典题型八：求项的系数最值经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 经典题型十：求奇数项或偶数项系数和 经典题型十一：整数和余数问题 经典题型十二：近似计算问题 经典题型十三：证明组合恒等式 经典题型十四：二项式定理与数列求和 经典题型十五：杨辉三角（2022·全国·高考真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．（2022·浙江·高考真题）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，12345a a a a a ++++=___________．知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的r n r rnC a b -做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=，其中的系数r n C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， （2）二项式()n a b +的展开式的特点： ①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：①（）②（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r rr nT C a b -+=()0,1,2,3,,r n =⋯ 公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是；②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n ．注意：①二项式()n a b +的二项展开式的第r +1项和()n b a +的二项展开式的第r +1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项是（只需把b -看成b 代入二项式定理）． 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0nn n C C =；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即nn b a )(+011()(1)(1)n n n r r n r rn n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅*N n ∈122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++rn C r n r r n C a b -r n r r n C b a -1(1)r r n r rr n T C a b -+=-11m m m n nn C C C -+=+． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=．③二项式系数和令1a b ==，则二项式系数的和为0122rn n n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ==-，，则0123(1)(11)0n nn nn n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅=．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T +的二项式系数2n nC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T +，112n T ++的二项式系数12n nC-，12n nC+相等且最大．（2）系数的最大项求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A +⋅⋅⋅，，，，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来． 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令，可得：②令11a b ==，，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得： ．（2）若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++++，则①常数项：令0x =，得0(0)a f =．②各项系数和：令1x =，得0121(1)n n f a a a a a -=+++++．③奇数项的系数和与偶数项的系数和()011222nn n n r n r rn nnn n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++1a b ==012n n n n n C C C =+++()012301nnn n n nn C C C C C =-+-+-02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++n 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++=（i ）当n 为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++=；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=． （可简记为：n 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii ）当n 为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a --+++=；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a +-+++=．（可简记为：n 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若1210121()n n n n f x a a x a x a x a x --=+++++，同理可得．注意：常见的赋值为令0x =，1x =或1x =-，然后通过加减运算即可得到相应的结果．1、求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（）.（1）第项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 2、解题技巧：（1）形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．（2）对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． （3）若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --.经典题型一：求二项展开式中的参数0,1,2,,k n =m1．（2022·湖南·模拟预测）已知6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则实数=a （ ） A ．2 B ．-2C ．8D ．-82．（2022·全国·高三专题练习）62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为－160，则a ＝（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．23．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （ ）A ．2B ．-2C ．2或-2D ．4经典题型二：求二项展开式中的常数项4．（2022·广东广州·高三阶段练习）若2nx x ⎛⎝的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（ ） A ．160-B ．160C ．1120-D ．11205．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知53a x x ⎛⎝（a 为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（ ） A ．-90B ．-10C ．10D ．906．（2022·山东青岛·高三开学考试）在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80B ．80-C ．160D ．160-7．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（ ） A ．120-B ．20-C ．15D ．20经典题型三：求二项展开式中的有理项8．（2022·江苏南通·高三阶段练习）21031(2x x的二项展开式中有理项有（ ） A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项9．（2022·全国·高三专题练习（理））若65(32)n x x 的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数n 的取值为（ ） A ．4B ．6或8C ．7或8D ．810．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）已知二项式()nx n N x *⎛∈ ⎝的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中有理项的系数之和为（ ） A ．119B ．168C ．365D ．52011．（2022·全国·高三专题练习）在243(2x x的展开式中，有理项共有（ ） A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项12．（2022·全国·高三专题练习（理））若21nx x ⎫⎪⎭展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4经典题型四：求二项展开式中的特定项系数13．（2022·湖北·高三开学考试）已知二项式13nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（ ） A ．405-B ．405C ．81-D ．8114．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在812x x ⎫⎪⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．454B ．458-C ．358D ．715．（2022·全国·高三专题练习）在2()n x x -的展开式中，若二项式系数的和为32，则1x的系数为（ ） A ．80-B ．80C ．40-D ．4016．（2022·全国·高三专题练习（理））()()()239111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中2x 的系数是（ ） A ．45B ．84C ．120D ．21017．（2022·全国·高三专题练习）若()1nx +的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是（ ） A ．7B ．21C ．35D ．21或35经典题型五：求三项展开式中的指定项18．（2022·全国·高三专题练习）511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ）A ．5B ．-5C ．15D ．-1519．（2022·江西南昌·高三阶段练习）5144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含3x -的项的系数为（ ） A ．1-B ．180C ．11520-D ．1152020．（2022·全国·高三专题练习）()423x y z +-的展开式中，所有不含z 的项的系数之和为（ ） A ．16B ．32C ．27D ．8121．（2022·全国·高三专题练习）()421x y x ++的展开式中22y x的系数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1222．（2022·全国·高三专题练习）在()5223x x --的展开式中含10x 和含2x 的项的系数之和为（ ） A ．674-B ．675-C ．1080-D ．148523．（2022·全国·高三专题练习）()635x y -的展开式中，22x y 的系数为（ ）A ．135-B ．75-C ．75D ．135经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 24．（2022·浙江邵外高三阶段练习）()()6x y x y +-的展开式中34x y 的系数是________．（用数字作答）25．（2022·全国·高三专题练习）()6213x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为__________．26．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）232345012345(1)(23)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则4a =_________.27．（2022·全国·高三专题练习）已知522a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的各项系数和为3-，则该展开式中的常数项为______.28．（2022·河北邢台·高三开学考试）()631x x x ⎛+ ⎝展开式中的3x 项的系数是______.29．（2022·浙江·杭十四中高三阶段练习）25()y x x x y ⎛⎫⎪⎭+ ⎝+的展开式中24x y 的系数为___________.（用数字作答）30．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理）） 6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为______.31．（2022·全国·高三专题练习）已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.32．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为20，则m =___________.经典题型七：求二项式系数最值33．（2022·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1034．（2022·全国·高三专题练习）7(12)x +展开式中二项式系数最大的项是（ ） A ．3280xB ．4560xC ．3280x 和4560xD ．5672x 和4560x35．（2022·湖南·高三阶段练习）设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．836．（2022·全国·高三专题练习）5a x x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数等于其二项式系数的最大值，则a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．2-经典题型八：求项的系数最值37．（2022·全国·高三专题练习）已知(13)n x -的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．38．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）()91-x 的展开式中系数最小项为第______项． 39．（2022·全国·高三专题练习）若4()x xn 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和40．（2022·全国·高三专题练习）若7270127(1)x a a x a x a x -=++++，则1237a a a a ++++=_________.（用数字作答）41．（2022·全国·高三专题练习）设()20202202001220201ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若12320202320202020a a a a a +++⋅⋅⋅+=则非零实数a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．-142．（2022·全国·高三专题练习）已知202123202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++，则20202019201820171023420202021a a a a a a ++++++=（ ）A ．202120212⨯B ．202020212⨯C ．202120202⨯D ．202020202⨯43．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若()()()220222022012022111x x x a a x a x ++++++=+++，则（ ）A ．02022a =B ．322023a C =C ．20221(1)1ii i a =-=-∑D ．202211(1)1i i i ia -=-=∑经典题型十：求奇数项或偶数项系数和44．（2022·浙江·模拟预测）已知多项式()4228012832-+=++++x x a a x a x a x ，则1357a a a a +++=_______，1a =________．45．（2022·全国·模拟预测）若()()9911x ax x +-+的展开式中，所有x 的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a 的值为______．46．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知2220122(2)1+)1+)...1+)n n n x a a x a x a x +=++++（（（，若15246222...21n n a a a a a -+++++=-，则n =_____________.47．（2022·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（ ） A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-经典题型十一：整数和余数问题48．（2022·全国·高三专题练习（理））设0122191919191919C C 7C 7C 7a =++++，则a 除以9所得的余数为______．49．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）20222除以7的余数为_______． 50．（2022·福建漳州·三模）711除以6的余数是___________．51．（2022·全国·高三专题练习）091827899995555C C C C ++++被7除的余数是____________．52．（2022·天津市第七中学模拟预测）已知n 为满足()12320222022202220222022C C C C 3T a a =+++++≥能被9整除的正整数a 的最小值，则()()221nxx x -+-的展开式中含10x 的项的系数为______．53．（2022·全国·高三专题练习）若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________.54．（2022·浙江·高三专题练习）设a ∈Z ，且0≤a ≤16，若42021+a 能被17整除，则a 的值为 _____.经典题型十二：近似计算问题55．（2022·河南南阳·高三期末（理））81.02≈__________（小数点后保留三位小数）． 56．（2022·山西·应县一中高三开学考试（理））6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________．57．（2022·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.经典题型十三：证明组合恒等式58．（2022·全国·高三专题练习）（1）设m 、*n N ∈，m n ≤，求证：1111m mn n n C C m +++=+； （2）请利用二项式定理证明：()2*3213,n n n n N >+≥∈.59．（2022·江苏省天一中学高三阶段练习）已知*0()()nk k n n k f x C x n N ==∈∑.（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求()g x 中含4x 项的系数； （2）求：012112323n m m m m n C C C nC -++++++++.60．（2022·江苏·泰州中学高三阶段练习）（1）设()(12),()n f x x f x =+展开式中2x 的系数是40，求n 的值；（2）求证：11(1)0(2,)nk k n k kC n n N +*=-=≥∈∑经典题型十四：二项式定理与数列求和61．（2022·全国·高三专题练习（理））令n a 为()11n x ++的展开式中含1n x -项的系数，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．()32n n + B ．()12n n + C ．1n n + D ．21nn + 62．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的第5项是61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则28a a +=（ ） A ．20B ．20-C ．40D ．40-63．（2022·河北保定·二模）若n 为等差数列4,2,0,--中的第7项，则二项式21(2)n x x-展开式的中间项系数为（ ）A ．1120B ．1120-C ．1792D ．1792-64．（2022·江西新余·二模（理））已知等差数列{}n a 的第5项是6122x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则该数列的前9项的和为（ ） A ．160B ．160-C ．1440D ．1440-经典题型十五：杨辉三角65．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n ，第2n 行中最大的数为x ，第21n 行中最大的数为y ，且137x y =，则n 的值为______．66．（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为______.67．（2022·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．68．（2022·全国·高三专题练习）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1,3,3,4,6,5,10, ，记此数列的前n项之和为n S，则23S 的值为__________.1．（2022·北京·高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-2．（2020·山东·高考真题）在821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）A ．56B ．56-C ．70D ．70-3．（2020·北京·高考真题）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5-B ．5C ．10-D ．104．（2020·全国·高考真题（理））25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．205．（2022·天津·高考真题）523x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为______.6．（2021·天津·高考真题）在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．7．（2020·天津·高考真题）在522x x ⎛ ⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________． 8．（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．9．（2021·浙江·高考真题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.10．（2020·浙江·高考真题）设52345123456(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a =________；123a a a ++=________．。
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二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，·1k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。
6．二项式定理的十一种考题的解法： 【题型一：二项式定理的逆用】【例1】：12321666 .nn n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=解：012233(16)6666n n n n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距，123211221666(666)6nn n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-【练1】：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=解：设1231393n nn n n n n S C C C C -=++++，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-(13)14133n n n S +--∴==【题型二：利用通项公式求n x 的系数】【例2】：在二项式n+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知245n nC -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r rrrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得， 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
【练2】：求291()2x x-展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222r r r r r r r rr r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。
【题型三：利用通项公式求常数项】 【例3】：求二项式210(x 的展开式中的常数项？解：5202102110101()()2r r r r r r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C ==【练3】：求二项式61(2)2x x -的展开式中的常数项？解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-【练4】：若21()n x x +的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==，令2120n -=，得6n =. 【题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项】【例4】：求二项式9展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或， 所以当3r =时，2746r -=，334449(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736r -=，3933109(1)T C x x =-=-。
【题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和】 【例5】：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n nn a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=② 将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。
【练5】：若n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
解：024*******r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，565451462nT C x -+==⋅，611561462T x -+=⋅【题型六：最大系数，最大项】【例6】：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数。
【练6】：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112n n T T ++=，也就是第1n +项。
【练7】：在(2n x 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则152n +=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =【例7】：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，43457T C a b =系数最大。
【例8】：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+ 1111212111212124444r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x ==【练8】：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设1r T +项最大，1102rr r r T C x +=⋅111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x == 【题型七：含有三项变两项】【例9】：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为1445423C C x 它的系数为1445423240C C =。