2.5坡度、坡角-
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坡度与坡角解析
第二步：利用正弦，通过坡角、斜边求对边
Pα
M
牛刀小试
1、某水坝的坡度为i = 1∶ 3 ，则坡角为 30°。
2、已知 ABC 中，∠C = 90°, ∠A的坡度i=1∶1, 则
∠A= 45° 。 第一二题：利用正切，通过坡度求坡角
3、如图，高2米的某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度
i=1∶2，则AB的长为 2 5 米。 B 第一步：利用正切，通过坡度
P
lM
查表可求得 ∠α 约为29°3′ ；第一步：利用正切，通过坡度求坡角
在直角三角形PMN中， ∠M=90°∠P= 29°3′ 。 PN=240m.由于NM是∠P的对边，PN是斜边，因此，
sin
α
=
NM PN
=
NM 240
.
即MN=
240·sinα
；可求
N
得 NM 240sin 293 116.5m.. 240米
坡度越大，山坡越陡．
(1)
(2)
自学指导
例６．一山坡的坡度i＝1:1.8，小刚从山坡脚下点P上 坡走了240m到达点N，他上升了多少米（精确到 0.1m）？这座山坡的坡角是多少度（精确到1'）？
分析
N
已知坡度i = 1:1.8，用α 表示坡角的大小，
h
由于 tan α =
1 1.8
0.5556.
。
5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，求斜坡高为
_______米。
如果桃源水库某大坝的横断为等腰梯形，
大坝的顶宽(即等腰梯形的上底长)为11.6m，
巩固练习
大坝的坡度i=1:1.6，等腰梯形的高为12m.你能 求出坝基的底宽AB和坡角α吗？
九下数学课件坡度和坡角有关的问题(课件)
C． 1: 2 D． 1: 3
【变式 2】如图，河 坝横断面迎水 坡 AB 的坡比为 1： 2 （坡
比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比），坝高 BC＝
．
4m，则坡面 AB 的长度是
_____m
题型一 一个坡度问题
75m
【变式 4】如图，在平地上种植树木时，要求 株距（相邻两棵
树之间的水 平距离）为 10m，若在坡度为 i=1:2.5 的山坡上种
题型三 坡度修改问题
【变式 1】自开展“全民 健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众
步行健身，某地政府决定对一段如图 1 所示的坡路进行改造．如图 2 所示，改造前的斜
坡 AB=200 米，坡度为 1: 3 ；将斜坡 AB 的高度 AE 降低 AC=20 米后，斜坡 AB 改造为
【例 3】为了学生的安全，某校决定将一段如图所示的步梯路段进
行改造．已知四边形 ABCD 为矩形，DE＝10 m，其坡度为 i1＝1∶ 3，
将步梯 DE 改造为斜坡 AF，其坡度为 i2＝1∶4，则斜坡 AF 的长是
20.62mຫໍສະໝຸດ ________．(结果精确到 0.01 m，参考数据： 3≈1.732， 17≈4.123)
计算判断：
3
当 sin α＝ ，木箱底部顶点 C 与坡面底部点 A 重合时，
5
木箱上部顶点 E 会不会触碰到汽 车货厢顶部？
题型四 坡度安全问题
又∵∠EKF＝∠AHB＝90°，∴△EFK∽△ABH.
∴
EF EK
1.6 EK
＝ ，∴ ＝ .
AB AH
1 0.8
解得 EK＝1.28.
∴BJ＋EK＝0.6＋1.28＝1.88.
【变式 2】如图，河 坝横断面迎水 坡 AB 的坡比为 1： 2 （坡
比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比），坝高 BC＝
．
4m，则坡面 AB 的长度是
_____m
题型一 一个坡度问题
75m
【变式 4】如图，在平地上种植树木时，要求 株距（相邻两棵
树之间的水 平距离）为 10m，若在坡度为 i=1:2.5 的山坡上种
题型三 坡度修改问题
【变式 1】自开展“全民 健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众
步行健身，某地政府决定对一段如图 1 所示的坡路进行改造．如图 2 所示，改造前的斜
坡 AB=200 米，坡度为 1: 3 ；将斜坡 AB 的高度 AE 降低 AC=20 米后，斜坡 AB 改造为
【例 3】为了学生的安全，某校决定将一段如图所示的步梯路段进
行改造．已知四边形 ABCD 为矩形，DE＝10 m，其坡度为 i1＝1∶ 3，
将步梯 DE 改造为斜坡 AF，其坡度为 i2＝1∶4，则斜坡 AF 的长是
20.62mຫໍສະໝຸດ ________．(结果精确到 0.01 m，参考数据： 3≈1.732， 17≈4.123)
计算判断：
3
当 sin α＝ ，木箱底部顶点 C 与坡面底部点 A 重合时，
5
木箱上部顶点 E 会不会触碰到汽 车货厢顶部？
题型四 坡度安全问题
又∵∠EKF＝∠AHB＝90°，∴△EFK∽△ABH.
∴
EF EK
1.6 EK
＝ ，∴ ＝ .
AB AH
1 0.8
解得 EK＝1.28.
∴BJ＋EK＝0.6＋1.28＝1.88.
坡度坡比
1、坡角：坡面与水平面的夹角。
图 19.4.5 2、坡度（或坡比）： 坡面的铅垂高度（h）和水平距离（l）的比。
表示坡度时，通常写成1:m 的形式 3、坡度与坡角的关系： i h tan l
4、应用： （1）能将h、l、c、i各量的计算问题转化为解 直角三角形的问题，这些量中若已知两个量， 可求其他量. （2）在有些实际问题中没有直角三角形，学会 添加辅助线构造直角三角形.
解直角三角形的应用
坡度(坡比)和坡角
i 1: 3
B
6
C
i=1:2.5 23
A
D
i= h : l
坡面
1、坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
α
h
水平面
l
2、坡度（或坡比）
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（l）
h 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—— l 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
B C
i 1: 3
A α D
拓展练习
1、如图,某截面为梯形的水坝上底宽AD=6米, 高为4米,斜坡AB的坡比i=1∶1.2，斜坡DC的 坡角为45° (1)求坝底BC的长； (2)若将坝高再提高0.5米，得梯形EBCF。此 时坝宽EF为多少米？
2、某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道 的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2 米，坡角为45°。实际开挖渠道时，每天比原 计划多挖土20立方米，结果比原计划提前4天 完工，求原计划每天挖土多少立方米。
h α
L
例题 一段铁路路基的横断面为等腰梯形 ABCD，路基顶宽BC为2.8米，路基高为 1.2米，斜坡AB的坡度ｉ=1：1.6 (1)计算路基的下底宽(精确到0.1米)； (2)求坡角(精确到1°) 2.8
坡度和坡角
D
4.2米 A
32 °
12.51米
C
28 ° B
9
D
12.51米
C
4.2米 A
32 ° E
∟
∟
28 °
F
B
解：作DE AB,CF AB,垂足分别为E、F .由题意可知
DE CF 4.（2 米），CD EF 12.5（1 米）.
在Rt△ADE中， i DE 4.2 tan 32 , AE AE
α
A
EF
D
=184′，AD=132.5 m，AB=23 10 m
3
问题探究
4
如图，坡面的铅锤高度（ h）和水平长度（ l） 的比叫做坡面坡度（或坡比）,记作 i ,即 i h .
l 坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i 1 : 6
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .
i h:l h
l
5
7
④堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）
若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=__43___,AD=
____5___;
若AB=10，CD=4，i= 1
5
3
,则h=___5___.
D
C
h
i
∟
∟
AE
F
B
8
例1：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2 米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角 分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）
完成该工程需要多少土方？
ED C
α FA
B
11
解：作DG AB于G,作EH AB于H . CD∥AB, EH DG 5米.
ED C
DG 1 , AG 6米. AG 1.2
解直角三角形的应用——坡度、坡角
3.坡度与坡角的关系：
i=h:l=tanα
坡度越大，坡角就越 大 ，坡面 就越陡
自学检测：
知识点一 坡度与坡角
1.以下对坡度的描述正确的是（ B ）
A.坡度是指斜坡与水平线夹角的度数
B.斜坡是指斜坡的铅垂高度与水平宽度的比
C.斜坡式指斜坡的水平宽度与铅垂高度的比
D.坡度是指倾斜角度的度数
2、若斜坡的坡角为 5 6 ∘ 1 9 、，坡度i=3:2，则（ C ）
x- 2
AF =
=
°=
ta n ∠ D A F
ta n 3 0
3 (x - 2 )
AF=BE=BC+CE
即 3 (x - 2） = 2 3 &6.
DE=6米
物体通过的路程为 3 5 .
再试牛刀:
知识点二 坡度、坡角及实际问题
1. 如图，河堤横切面迎水坡AB的坡比是1：
，堤
3
高BC=10m,则坡面AB的长度是（ C ）
A.15m
B. m 2 0 3
C.20m
D. 1 0 3 m
2、如图是拦水坝的横切面，斜坡AB的水平宽度为
12m,斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为（ B ）
拓展提升:
如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内 一颗树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前 的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30度，朝着这 棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰 角为60，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 1: 3 ,且B、C、E三点在同一条直线上，请根据以上 条件求出树DE的高度（测角器的高度忽略不计）
A. 4 3 m
B.6 5 m
C. 1 2 5 m
青岛版-数学-九年级上册-教案2.5 解直角三角形的应用 (1)
二、课内探究（2）解答过程的思路：实际问题解直角三角形问题1、创设问题情景，引出新知：上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，出示图片，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？思考回答转化问题答案求出有关的边或角AB ECDA CDB四、思维扩展，举一反三五、巩固提高３、根据已知条件和所学知识，这种形状的图形能不能解？仿照例１根据下图和图中的已知，编写一道应用“解直角三角形”知识的题。
（要求叙述完整）例2、如图，河对岸有水塔AB 。
在C 处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进12m 到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°， 求塔高。
通过编写题目来加深学生对解直角三角形应用的理解与掌握，达到扩散思维的作用1、积极思考，踊跃回答，并计算结果。
2、四人小组讨论，给出结果。
450 3006米（自主探究，合作学习，采用小组合作的方法）教学程序教师活动学生活动一、学前准备二、自学探究1.指南或指北的方向与目标方向线构成小于900的角，叫做__ ____,如图：点A在点O的___________,点B在点O的南偏西45º或方向.2阅读课本80页中有关坡度的内容，说一说什么是坡角，什么是坡度或坡比，坡度与坡角的正切有什么关系? 请把重点知识写在下面.______________________________________________________________________________1、某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝，大坝的横断面ABCD是梯形（如图），坝顶宽BC=6米，坝高25米，应水坡AB的坡度i=1：3，被水坡CD的坡度i=1：2.5.（1）.求斜坡AB和CD的长（精确到0.01米）；（2）.求拦水大坝的底面AD的宽.做一做，看谁做得快组内探索，交流推荐学生回答BC10米A D E5.6米i=1:2.5α β三、练习自测1.一名滑雪运动员从坡度为1：5的山坡上滑下，如果这名运动员滑行的距离为150米，那么他下降的高度是多少（精确到0.1米）？2.如上图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中数据，求：（1）.角α和β的大小（精确到1 ） （2）、坝底宽AD 和斜坡AB 的长（精确到0.1米） 3.入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？A 、B 两市相距100公里，在A 市东偏北30º方向，B 市的西北方向是一森林公园C ，方圆30公里.若在思考回答、推举同学讲解先独立解答，不会的相互帮助 所思所想四、拓展延伸五、归纳小结A、B两市间修一条笔直的高速公路.它会不会穿过森林公园.1.这节课我的收获和疑问：___________________________我将____________________________________________________ ______解决我的困惑。
坡度与坡角
C
i=1:2.5
α
23
EF D
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和 矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结 合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△C的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
A
α
23
EF D
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高 23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度 i=1∶2.5，求：坝底AD与斜坡AB的长度。（精确
到0.1m ）
分析：（1）由坡度i会想到产
生铅直高度，即分别过点B、
C作AD的垂线。
A
6
i 1 : 3B
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h—
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值
显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：坝 底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
C.80sin 20m
D.80cos 20m
5、如图是一个拦水大坝的横断面图,AD∥BC, (1)如果斜坡AB=10m,大坝高为8m,则斜坡AB的 坡度 iAB ____ . (2)如果坡度 iAB 1: 3,则坡角B ____ .
(3)如果坡度 iAB 1: 2, AB 8m,则大坝高度为___.
直角三角形的应用 第3课时
第2课时 与方位角、坡角有关的运用举例
6.如图,某海关缉私艇巡逻到达 A 处时接到情报,在 A 处北偏西 60°方向的 B 处发现一艘可疑 船只正以 24 海里/时的速度向正东方向前进,上级命令要对可疑船只进行检查,该艇立即沿北 偏西 45°的方向快速前进,经过 1 个小时的航行,恰好在 C 处截住可疑船只,求该艇的速度.(结 果保留整数, 6 ≈2.449, 3 ≈1.732, 2 ≈1.414)
(1)求点B距水平面AE的高度BH;
解:(1)过 B 作 BG⊥DE 于 G, Rt△ABH 中,i=tan∠BAH= 1 = 3 ,
33 ∴∠BAH=30°, ∴BH= 1 AB=5 米.
2
(2)求广告牌CD的高度.
(测角器的高度忽略不计,结果精确到 0.1 米.参考数据: 2 ≈1.414, 3 ≈1.732)
解:(2)由(1)得 BH=5,AH=5 3 , ∴BG=AH+AE=5 3 +15, Rt△BGC 中,∠CBG=45°, ∴CG=BG=5 3 +15. Rt△ADE 中,∠DAE=60°,AE=15, ∴DE= 3 AE=15 3 . ∴CD=CG+GE-DE=5 3 +15+5-15 3 =20-10 3 ≈2.7 m. 答:宣传牌 CD 高约 2.7 米.
∴需用土石方 V=Sl=1 498.9×150=224 835(m3),
答:斜坡 CD 的坡角约为 21°48′,坡底宽约为 128.6 m,建造这个堤坝需用土石方 224 835 m3.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 12:34:09 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/32021/9/32021/9/3Sep-213-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/32021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021
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∵斜坡BC的坡度为：1：4，
∴CE：BE=1：4，
设CE=x，则BE=4x，
由勾股定理得：x2+（4x）2=12 解得：x=
E F
∴CD=CE+DE=BF+CE= + 答：点C相对于起点A升高了 （ + ）km．
课堂检测
1.一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动 物体升高了___1__米．
2.如下图，小明爬一土坡，他从A处 爬到B处所走的直线距离AB=4米，此 时，他离地面高度为h=2米，则这个 土坡的坡角为_3__0_°_．
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，应用直角 三角形的有关性质，解直角三角形；
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
课堂小结
3.
4.
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
2.5 解直角三角形
——坡度、坡角
坡面
α 水平面
铅垂高度（h）
1.坡度（或坡比）： 坡度通常写成1： m 的形式.
2.坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.
3.坡度与坡角的关系：
h α
L
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=___4_5__度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 __1_: _3_3__。
65 米，则
4.如下图，河堤的横断面中，堤高
BC是5米，迎水斜坡AB的长丝13米
，那么斜坡AB的坡度是（ C ）
A.1：3
B.1：2.6
C.1:2.4
D.1:2
B
C
A
课堂小结
1. 坡比、坡角的概念及其应用，特别是：
i＝
h l
=tanα
它体现了坡比和坡角间的关系.
2.
1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为 解直角三角形问题）；
【解】
分别为点E、F.
D 12
4 A 45⁰ E 12
C 30⁰ B
F
这样就只 需求AE、 BF的长！
练习1：
如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC宽为6m，
坝高23m，斜坡AB的坡度ί= 坡度为ί’=1:1，
1 :，3斜边CD的
求斜坡AB的长，坡角α 和坝底AD宽。
B
C
i=1: 3
i=1:1
α A
E
F
D
例2:利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.5米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道 内坡度为1∶0.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面 (等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖 去的土方数．
中考链接
（2014•镇江）如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜
坡向上走了0.65千米到达点B，sinα=
5，然后又沿着坡度为 13
i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点到点C
上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
解
如图所示：过点B作BE⊥CD于点E， BF⊥AD于点F，
由题意得：AB=0.65千米，BC=1千米，
∴sinα= = = ，
∴BF=0.65× =0.25（km），
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是__1_: __3__。
4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路
程为 __9__5___米。
5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高
为__1_0_1_0__米。
例题解析
例1 如图，一段路基的横断面是梯形，高为4 米，上底宽为12米，其坡面的坡角分别为 45⁰和30⁰.求路基下底的宽.