浅议一元二次同余方程
新教材苏教版数学必修第一册3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 教学课件
()
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1<x2),则一元二次不等式
ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}.
()
提示:(1)×.当m=0时是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式.
(2) ×.因为a>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集为R.
1 2
,x2=1,所以根据函数y=(2x
+1)(x-1)的图象,可得原不等式的解集为 {x|x＜ 1 或x＞1} .
2
3.不等式-3x2+5x-4>0的解集为________. 【解析】原不等式变形为3x2-5x+4<0. 因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,所以由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0 的解集为 . 答案:
B.1个
C.2个
D.无法确定
【解析】选B.因为b2-4ac=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,
所以二次函数y=ax2+bx+c有一个零点.
2.(教材二次开发:习题改编)二次函数y=(2x+1)(x-5)的零点为 ( )
A. 1 ,-5
2
B.- 1 ,5
2
C.2,- 1
5
D.-2, 1
【思考】
(1)有人说:当Δ>0时表中的x1,x2有三重身份,你能说出是哪三重身份吗? 提示:x1,x2既是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点),又是一元 二次方程的两个解,还是一元二次不等式解集的区间端点.
一元同余方程的定义
即 ≡ 4( 12).
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课堂练习
计算: 求解同余方程7 ≡ 4 ( 12).
解: 因为(7, 12) = 1, 所以7 ≡ 4 ( 12)有唯一解.
为求此解, 我们只需求得不定方程7 − 12 = 4的一个特解.
由辗转相除法知:
12 = 7 × 1 + 5, 7 = 5 × 1 + 2, 5 = 2 × 2 + 1
为了求得9 ≡ 12 ( 15)的一个特解,
考虑不定方程9 − 15 = 12, 其等价为3 − 5 = 4.
通过观察知: 0 = 3, 0 = 1为一个特解.
从而, 由定理2.4.2知, 9 ≡ 12 ( 15)的全部解为:
≡ 3 ( 15)
≡ 3 + 5 ≡ 8 ( 15)
10
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一次同余方程的公式解
实际上, 定理2.4.1和定理2.4.2分别对应于一元一次同余方
程 ≡ ( )的两种情形: (, ) = 1和(, ) > 1.
这里, 定理2.4.1可以看作定理2.4.2的基础, 而定理2.4.2则
是针对更一般的同余方程.
此外, 对于多元一次同余方程
设为 ≡ 0 ( /).
易见 ≡ 0 ( )是原方程的解, 这是因为(/)|(0 − )/.
故该同余方程有解当且仅当|.
8
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一元一次同余方程的公式解
证明: 如果原同余方程有解0, 则由前面的结论知|,
因此新同余方程才有意义.
该定理的证明过程给出了一种求
即 ≡ 29 ( 80).
6
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一元一次同余方程的公式解
例2.4.1
第5节 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
15
基础知识诊断
@《创新设计》 考点聚焦突破
(2)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时,原不等式化为x＋1≤0,解得x≤－1. ②当 a＞0 时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0， 解得 x≥2a或 x≤－1. ③当 a＜0 时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0. 当2a＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤2a；
3
基础知识诊断
@《创新设计》
Δ＜0
没有实数根 __R__ __∅__
考点聚焦突破
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
(x－a)·(x－b)>0 (x－a)·(x－b)<0
解集
a<b
a＝b
a>b
{_x_|_x_<_a_或__x_>_b_} __{_x_|x_≠__a_}__ _{_x_|x_<_b_或__x_>_a_}_
答案 B
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基础知识诊断
考点聚焦突破
3.(老教材必修5P79A4改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________. 解析 由题意,得3x2－2x－2>0, 令 3x2－2x－2＝0，得 x1＝1－3 7，x2＝1＋3 7， ∴3x2－2x－2>0的解集为
－∞，1－3 7∪1＋3 7，＋∞. 答案 －∞，1－3 7∪1＋3 7，＋∞
6
基础知识诊断
考点聚焦突破
@《创新设计》
3.不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔a＝b＝0，或a>0，
二次同余方程组
二次同余方程组二次同余方程组1. 定义二次同余方程组是指由多个模意义下的二次同余方程组成的方程组。
2. 解法（1）中国剩余定理中国剩余定理可以处理模数两两互质的同余方程组。
对于模数不互质的情况，需要将方程组分解为多个模数互质的方程组，然后分别使用中国剩余定理求解，最后合并解得到原方程组的解。
（2）特殊方法对于形如x^2 ≡ a (mod m)的方程，可以通过以下步骤求出解：（i）通过求解x ≡ ±b (mod m)的线性同余方程求出一组特殊解b。
（ii）求出x ≡ ±(m-b) (mod m)为通解。
3. 示例解二次同余方程组：x^2 ≡ 2 (mod 5),x^2 ≡ 2 (mod 7).①分别解出x^2 ≡ 2 (mod 5)和x^2 ≡ 2 (mod 7)的解：对于x^2 ≡ 2 (mod 5)，有x ≡ ±2 (mod 5)。
对于x^2 ≡ 2 (mod 7)，有x ≡ ±3 (mod 7)。
②构造中国剩余定理：设x ≡ a (mod 5)，x ≡ b (mod 7)，其中a和b是上一步中求出的解。
根据中国剩余定理，存在解x ≡ (7a×3+5b×2) (mod 35)。
则x ≡ 41 (mod 35)为原方程组的解。
③验证：x ≡ 41 (mod 35)满足x^2 ≡ 2 (mod 5)和x^2 ≡ 2 (mod 7)。
因为41 ≡ 1 (mod 5)，所以41^2 ≡ 1^2 ≡ 1 (mod 5)。
因为41 ≡ 6 (mod 7)，所以41^2 ≡ 6^2 ≡ 1 (mod 7)。
故x ≡ 41 (mod 35)是原方程组的解。
4. 总结二次同余方程组是数学中常见的问题，求解时可以使用中国剩余定理、特殊方法等多种方法。
在使用中国剩余定理时，需要注意将方程组分解为多个模数互质的部分，然后求解得到每个部分的解，并最终合并得到原方程组的解。
第4讲二次同余与平方剩余
227
227
5−1 227 −1 ⋅ 227 2 ( )(−1) 2 5
2 = ( ) = (−1) = −1 。 东北大学数学系 5
52 −1 8
朱和贵
4.4二次互反律的证明
定理4 (二次互反律) 设p与q是不相同的两个素数，则
⎛ p⎞ ⎛ q⎞ ( p −1) / 2⋅( q −1) / 2 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ( −1) ⎝ q ⎠ ⎝ p⎠
东北大学数学系
朱和贵
4.1 一般二次同余式
定义１ 给定整数m，对于任意的整数a，(a，m) = 1，若方程x2 ≡ a (mod m)有解，则称a是模m的二 次剩余；否则，称a是模m的二次非剩余. 例1验证1是模4的平方剩余,-1是是模4的非平方剩余 例 2 1,2,4 是模7的平方剩余,-1,3,5是模7的非平方 剩余 解 因为,12≡1, 22≡4, 32≡2, 42≡2， 52≡4 ， 62≡1 （mod7），
证明: 定理4也是要证明
⎛ p ⎞⎛ q ⎞ ( p −1) / 2⋅( q −1) / 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ( −1) ⎝ q ⎠⎝ p ⎠
东北大学数学系
朱和贵
4.4二次互反律的证明
因为
∑[ ] q ( ) = (−1) i=1 p
qi p
p −1) / 2
( q −1) / 2
( p ) = (−1)
⎜ ⎟ = (− 1) ⎜ p⎟ ⎝ ⎠
证明: r1, r2, …, rk表示a,2a,…,,(p-1)/2a的模p最小剩余 小于或等于(p-1)/2的数, 而s1, s2, …, sm表示它们中 大于(p-1)/2的数, 显然k+m=(p-1)/2, 且:
一元二次同余式解法举例
Ｙ＝－ ＋３ （ 为整数） １ ｔ ｔ ，可得解为 ： ＝３ ｙ＝３ １ ｔ三－ （ ｏ ９ ． （ ＋３ － ） ３ｍ ｄ ）
由孙子定理得 三９ ｌ Ｃ ＋４ ７ Ｃ （ ｄ ６ ． × × １ × × ２ｍｏ ３ ）
这里 Ｃ Ｃ １， 分别为 ：０ ３ ，一 代人上式得 ： ，一 ；２ ３
给出两种解法 ：第一 ，先把 （）化成二项 的二次 同余式 ，然后再把它根据它的模 ｍ或 ４ １ ｍ或 ａ ｍ或
４ｍ的质因数 ，拆成若干个与它等价的以质数幂模 的二项二次同余式ｍ ａ ；第二 ，先 由模的质 因数把 （ １ ）拆
成若干个 以质数幂模的三项二次同余式 ， 然后再分别化成若干个二项的二次 同余式求解［ ２ １ ．举例加 以说明 ． 例 １ 解同余式 ３ ＋ Ｏ ＋ ２ （ ｄ ６． ｌｘ １ 三０ ｍｏ ３）
【 作者简介】 张世 红 （９８ ，女 ，山东莒县人 ，齐齐哈 尔高等师范专科 学校副教授 ，从事基础数 学研 究。 １６ －）
・
３ ・ ０
Ｙ三２ 一 ７ ｌ２兰２ — 三２ （ ｄ ０ ） １ ７ ４ ３ｍｏ １ ８ ，
Ｙ三２ ＋ ７ Ｉ２兰２ － １ ７Ｉ － ４三３（ ｄ ０ ） Ｉ ｍｏ ｌ８ ．
Ｉ ＋ｌ ｘＩ ２ ｘ ３ Ｏ －１ 兰３ ＋２ － ｘ兰Ｏｍｏ ４ ， （ ｄ）
Ｉ ＋ｌ ｘ ２ ｘ ＋３ （ ｄ ） ３ Ｏ ＋１ 兰３ ＋ 三Ｏｍｏ ９ ．
第一个 同余式 ， 不能为奇数 ，所 以解为 ｘ－ （ ｏ ４ ， Ｏｍ ｄ ） 第二个 同余式中 ， 必为 ３的倍数 ，可设 ＝ ｙ， 而解得 ２ｙ ＋ ｙ＋ ；３ ＋ ；Ｏｍ ｄ ） ３ 从 ７ ３ ３ ｙ ３ （ ｏ ９． 即Ｙ－ｌ （ ｄ ） Ｉ 三Ｏｍｏ ３ ，那么 Ｙ三一 （ ｄ ） － ｌ ｍｏ ３ ．
同余方程的解法
同余方程的解法
同余方程是一个古老的数学问题，即求解这样一个数学性质：给定两个正整数a和m，存在一个整数x，满足x除以m余a，即x=am+a。
这样的整数x叫做同余数，以am+a形式表示的方程叫作同余方程。
例如：求解x除以7余3，即求解7x＝3(mod 7)，则x=7*1+3=10。
二、如何求解同余方程
1、约分同余方程，当m和a互质时，则有x=a*(m^(-1))+a，m^(-1)叫做逆元，记作m^(-1)=y，则x=ay+a。
2、用乘法逆元的原理求解逆元：已知a、m互质，m,y非零且ay ≡1（mod m），则y就是m的乘法逆元。
3、用欧几里得最大公约数求解逆元：已知a、m互质，则用欧几里得最大公约数求解ay+b=1，则y即可作为m的乘法逆元。
4、用因子分解求解：将m分解质因子，将a分解质因子。
然后
将m分解得到质因子，使和a的质因子相乘，计算出ay+b，即可将y 作为m的乘法逆元。
三、应用
同余方程的解法所解决的问题在实际生活中具有重要的应用。
例如，密码学领域，大多数采用RSA加密方案，该方案中，m、a、y这三个值都需要用到同余方程的解法，来保证运算的安全性。
此外，同余方程的解法也可以用于求解模等式组（即统计意义上的等式组），
并广泛应用于偏微分方程、几何有理函数及局部多多边形等数学领域。
四、结论
从上文可以看出，同余方程的解法仍然具有很强的实用性，能够解决数学和工程领域中的许多问题，且解决的结果均有可靠的理论支撑。
同余方程的解法具有重要的应用价值，并且具有广泛的应用前景，值得深入研究。
一元二次方程中蕴含的几种思想方法
一元二次方程中蕴含的几种思想方法一、降次法降次法是把高次方程转化为低次方程的基本方法，解一元二次方程的方法实际上就是把一元二次方程降次为一元一次方程来解.例1 一元二次方程230x x的根是（）Ａ．3x Ｂ．1203x x ，Ｃ．1203x x ，Ｄ．1203x x ，分析：把原方程化为x （x-3）=0的形式，就可降次为一元一次方程x=0或x-3=0,问题迎刃而解. 答案为Ｄ.二、配方法配方法是本章的一个难点，配方的目的是使方程的一边变成完全平方式，其根据是乘法公式a 2±2ab+ b 2=(a ±b)2.其步骤是：1.二次项系数化为1，并把常数移到方程的右边；2.在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程的左边能配成一个完全平方式；3.当方程右边的常数为非负数时，方程有解，这时用直接开平方法求解；当方程右边的常数为负数时，方程无解。
例2 用配方法解方程：2210xx ．解：两边都除以2，得211022xx（二次项系数化为1）移项，得21122xx（把常数移到方程的右边）配方，得221192416xx（在方程的两边都加上一次项系数一半的平方）即219416x1344x或1344x（直接开平方法）11x ，212x ．三、换元法换元法的基本思路是通过设辅助未知数，使复杂的问题转化为简单的、已知的问题.如解可化为一元二次方程的分式方程.例3 用换元法解方程1)2()2(2＝＋－＋xx xx ，设xx y 2＋＝，则原方程可化为（）．A ．012＝－－y y B ．012＝＋＋y y C ．012＝－＋y y D ．012＝＋－y y 分析：若把原方程展开再解，项数增加、次数增高，解答起来会很复杂，设xx y 2＋＝，通过换元将原方程化为整式方程012＝－－y y 再解，方便多了. 故选 A.四、转化思想解方程的过程就是不断的通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程.在本章，转化无处不在，一元二次方程转化为一元一次方程来解；特殊转化为一般，一般转化为特殊，例如通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解字母系数的一般形式的一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0的方法，进而得出一元二次方程的求根公式；将分式方程转化为整式方程；把实际问题转化为一元二次方程问题，等等.例4 经计算整式1x 与4x的积为234x x．则一元二次方程2340xx 的所有根是（）Ａ．11x ，24x Ｂ．11x ，24x Ｃ．11x ，24x Ｄ．11x ，24x 分析：通过已知可把2340x x 转化为（1x）（4x）=0，从而有1x=0或4x=0 ，解得11x ，24x ，故选Ｂ.五、类比思想要注意新旧知识的联系，把新旧知识进行类比，如用直接开平方法解一元二次方程时，可类比平方根的概念和意义；解可化为一元二次方程的分式方程时，可类比解可化为一元一次方程的分式方程的方法和步骤等.例5 先阅读，再填空解题：（1）方程2120xx的根是13x ，24x ，则121x x ，1212x x ；（2）方程22730x x 的根是112x ，23x ，则1272x x ，1232x x ；（3）方程2310x x 的根是1x ，2x ．则12x x ，12x x ；根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程2m x nx p （0m，且m n p，，为常数）的两个实数根是12x x ，，那么12x x ，12x x 与系数m n p，，有什么关系？请写出你的猜想并说明理由．分析：由求根公式可得12353522x x ，，计算就有121231x x x x ，．由数到式，类比猜想可得：1212n p x x x x mm，．理由如下：一元二次方程20m x nx p（0m，且m n p ，，为常数）的两实数根是22124422nnm pn n m px x m m ，．22124422nnm p nnm px x m m，22n n mm ．22124422nn m p n n m px x mm，2222()(4)4n n m p m222(4)4nnmp p mm．。
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浅议一元二次同余方程ax2+bx+c≡0（mod m）的公式解法解：（1）为方便讨论需要（实则没有影响，只是为了方便笔算需要），不妨设a,b,c在-[m/2]~[m/2]之间取数，也就是模m后的取数；（2）①如果（a，m）=1即a和m互素，则必存在a的逆运算a-1使得a*a-1≡1（mod m），那么在原来方程两边同时乘以a-1使得二次项系数为1，得到
x2+b*a-1x+c*a-1≡0（mod m）……………………（*）取b*a-1≡B（mod m）,c*a-1≡C（mod m）,所以
原来方程就简化为
x2+Bx+C≡0（mod m）…………………………（*’）讨论：如果B为偶数很好办，对于B为奇数，当m为奇数时也可以通过加减mx得到一次项系数为偶数；而当m为偶数时，则要方程两边再同时乘以4使其可以配方成为完全平方式。
以下通过两种情况进行分析：
（i）当2|B时，不妨设B=2u，则方程（*’）配方得到（x+u）2≡u2-C （mod m）
≡（ba-1/2）2-（ca-1）*a-1a
≡(a-1)2(b2-4ac) /4 (mod m) …………①当存在整数v和n使得
(a-1)2(b2-4ac) /4 ≡v2 (mod m) …………②(a-1)2(b2-4ac) /4 +m*n=v2成立，则原方程有解为 x≡-u±v
≡-（ba-1）±（a-1) √(b2-4ac)/2≡(a-1)*−b±b 2−4ac
2
（mod m）
这个形式和一元二次方程的求根公式很接近，只是这里的a-1（表示的是逆）不同于代数式意义上的倒数a-1。