2020高考数学--统计与概率专题强化训练

【2020高考数学】 统计与概率专题强化训练

1.汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表： (1)若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为3

5，问是否有95%

的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？

(2) 该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO 浓度的数据，并制成如图7所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO 浓度y %与使用年限t 线性相关，试确定y 关于t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的多少倍． 附：K 2

＝n （ad －bc ）2

（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）

(n ＝a ＋b ＋c ＋d )

参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： 1

2

211

???n

i i

i n

i x y nx y

b

a

y bx x nx

==-==--∑∑，.

不了解 了解 总计 女性 a b 50 男性 15 35 50 总计 p

q

100

P (K 2≥k 0)

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

2. 某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，

经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，

答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为3

4

，乙队中3人

答对的概率分別为432

,,

543

，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的

总得分．

（1）求ξ的分布列；

（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．

3.某单位从一所学校招收某类特殊人才，对20位已经选拨入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

逻辑思维能力运动协调能力一般良好优秀

一般 2 2 1

良好 4 b 1

优秀 1 3 a

例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学

生的概率为2

5

．

（1）求a，b的值．

（2）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率．

（3）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．

4.英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）

（1）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率； （2）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为4

5

，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为

3

5

，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和期望。

5.世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：

组别 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)

频数

2

250

450

290

8

（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；

（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布2

(51,15)N ，若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；

（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望. 附：若2

(,)X N ?σ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，

(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.

6. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5

标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.

某市环保局从市区2017年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.

（1）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；

（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；

（3）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.

7. 某大型商场今年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行

统计得到下表：

消费金额(单位：元)

购物单张数25 25 30

由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：

（1）估计今年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率；

（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小、材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值，当时，消费者可分别获得价值元、元和元的购物券，求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.

【2020高考数学】 统计与概率专题强化训练

1.汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表： (1)若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为3

5，问是否有95%

的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？

(3) 该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO 浓度的数据，并制成如图7所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO 浓度y %与使用年限t 线性相关，试确定y 关于t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的多少倍． 附：K 2

＝n （ad －bc ）2

（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）

(n ＝a ＋b ＋c ＋d )

参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： 1

2

211

???n

i i

i n

i x y nx y

b

a

y bx x nx

==-==--∑∑，. 【解析】(1)设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A ， 由已知得P (A )＝b ＋35100＝3

5，所以a ＝25，b ＝25，p ＝40，q ＝60.

K 2的观测值

k ＝100×（25×35－25×15）240×60×50×50

≈4.167>3.841，

故有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”.

(2)由折线图中所给数据计算，得t ＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y ＝1

5×(0.2＋0.2＋0.4＋0.6＋

0.7)＝0.42，

不了解 了解 总计 女性 a b 50 男性 15 35 50 总计 p

q

100

P (K 2≥k 0)

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

故b ^＝2.840

＝0.07，a ^＝0.42－0.07×6＝0, 所以所求回归方程为y ^

＝0.07t.

故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度为0.84%，因为使用4年排放尾气中的CO 浓度为0.2%，所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的4.2倍.

2. 某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，

经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为3

4

，乙队中3人答对的概率分別为432

,,543

，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．

（1）求ξ的分布列；

（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率． 【解析】（1）由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，

因为乙队3人答对的概率分别为432,,543

， 所以60

1

)321()431()541()0(=-?-?-==ξP ，

4324324323

(10)(1)(1)(1)(1)(1)(1)54354354320P ξ==?-?-+-??-+-?-?=，

43243243213

(20)(1)(1)(1)54354354330P ξ==??-+-??+?-?=，

5

2

324354)30(=??==ξP ．

所以ξ的分布列为

ξ

10

20

30

P

60

1 20

3 30

13 5

2 （2）设A 表示“甲队得分等于30，乙队得分等于0”，B 表示“甲队得分等于20，乙队得分等于10”，易知A ，B 互斥，

又3

319()()4

601280P A =?

=，22

331381()C ()44201280

P B =??=， 所以甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为

128

9

128090)()()(==

+=+B P A P B A P ． 3.某单位从一所学校招收某类特殊人才，对20位已经选拨入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表： 逻辑思维能力 运动协调能力

一般 良好 优秀 一般 2 2 1 良好 4 b 1 优秀

1

3

a

例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为

25

． （1）求a ，b 的值．

（2）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率．

（3）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．

【解析】（1）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62

()205

a P A +=

=．解得2a =．所以4b =． （2）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．

则2

122

2062

()1()195

C P B P B C =-=-=． （3）ξ的可能取值为0，1，2．

20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．

所以2

1222033(0)95C P C ξ===，111282

2048

(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95

C P C ξ===．

所以ξ的分布列为

ξ

0 1 2 P

3395

4895

1495

所以，0E ξ=?

33951+?48952+?

1495764

955

==． 4.英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）

（1）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率； （2）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为4

5

，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为

3

5

，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和期望。

【解析】（1）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A ，则由题

意可得()314

6664

123

11

C C C P A C +== （2）由题意可得ξ可取0，1，2，3，则有()2

122055125P ξ??==?=

??? ()2

12

4121319

155555125

P C ξ??==???+?=

???， ()21

24241356255555125P C ξ??==?+???=

???， ()2

4348355125

P ξ??==?= ??? 所以ξ的分布列为：

ξ

0 1 2 3

P

2125 19125 56125 48125

故21956481101231251251251255

E ξ=?

+?+?+?=. 5.世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：

组别 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)

频数

2

250

450

290

8

（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；

（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布2

(51,15)N ，若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；

（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望. 附：若2

(,)X N ?σ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，

(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.

【解析】（Ⅰ）设样本的中位数为x ，则2250450(40)

0.510001000100020

x -++?=， 解得51x ≈，所得样本中位数为5100. （Ⅱ）51μ=，15σ=，281μσ+=，

旅游费用支出在8100元以上的概率为(2)P x μσ≥+

1(22)2P x μσμσ--<<+=

10.9544

0.02282

-==，

0.0228650001482?=，

估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上. （Ⅲ）Y 的可能取值为0，1，2，3，

35385(0)28C P Y C ===，12353815

(1)28C C P Y C ===，

21353815(2)56C C P Y C ===，33381

(3)28

C P Y C ===

， ∴Y 的分布列为

Y 0 1 2 3

P

528 1528

15

28

156

515012828EY =?+?1519

2356568

+?+?=.

6. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5

标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.

某市环保局从市区2017年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）

.

（1）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；

（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求

ξ的分布列；

（3）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级. 【解析】（1）设B =这天空气质量为一级，()51153

P B =

=. （2）1553N M n ===，，，

ξ的可能取值为0，1，2，3， 则()()3510

3

15

C C 0,1,2,3.C k k

P k k ξ-===

分布列为：

ξ

0 1 2 3

P

2491 4591 2091 291

（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153

P =

=， 一年中空气质量达到一级的天数为,η则1360,3B η?? ???

:，1

3601203

∴?=（天）. 故一年中平均有120天的空气质量达到一级.

7. 某大型商场今年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行

统计得到下表： 消费金额(单位：元)

购物单张数

25

25

30

由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：

（1）估计今年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率； （2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小、材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值，当时，消费者可分别获得价值元、元和元的购物券，求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望. 【解析】（1）因消费额在区间的频率为，故中位数估计值为.

设所求概率为，而消费额在的概率为. 故消费额在区间内的概率为.

因此消费额的平均值可估计为.令其与中位数相等，解得. 故单笔消费额超过元的概率为0.05.

（2）根据题意，得()4455410C C 14C 21P X +===，()133********C C C C 102C 21P X +===， ()22

55410C C 10

0C 21

P X ===.设抽奖顾客获得的购物券价值为，则的分布列为

4 2 0

500

200

100

故()110105005002001002121213

E Y =?+?+?=

(元).