传热学11 一维稳态和非稳态导热

• 两个边界条件中：一个为r=R时，T=Tw，由于内热源均 匀分布，圆柱体表面温度均为Tw，圆柱体内温度分布对 称于中心线，另一个边界条件可表示为 r=0时，dT/dr=0。 将微分方程分离变量后两次积分，结果为：
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
qv 2 qv 2 dT T r C1 ln r C2 r r C1 4 dr 2 • 根据边界条件，在r=0时， dT/dr=0。可得C1=0；利用 另一个边界条件，在r=R时，T=Tw，可得
q q q s1 (Tw1 Tw2 ) Tw1 Tw2 q s1 1 2 s2 (Tw2 Tw3 ) Tw2 Tw3 q s2 2 3 s3 (Tw3 Tw4 ) Tw3 Tw4 q s3 3
s

s R A
• 热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
多层平壁的导热
• 多层平壁：由几层不同材料组成，房屋的墙壁－白 灰内层、水泥沙浆层、红砖(青砖)主体层等组成；
• 假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上 各处的温度相等；
11.1 通过平壁的一维稳态导热
三层平壁的导热流密度分别为：
λ1=0.7+0.64×10-3×(1400+1200)/2=1.53 W/m· ℃ λ2=0.14+0.12×10-3×(1200+100)/2=0.218 W/m· ℃
11.1 通过平壁的一维稳态导热
• Tw2与第二次假设的温度值相近，故第二次求得的 q和 Tw2即为正确的结果。
1400 100 q 959 0.46 0.23 1.53 0.218
11.1 通过平壁的一维稳态导热
对T求导，得： dT C1
dx
由
x 0 , T C2
q C1 1 (Tf1 -T ) 1 (Tf1 - C2 ) C2 Tf1 C1 1 由 x s , T C1s C2
q C1 2 (T Tf2 ) 2 (C1s C2 Tf2 ) 2 (C1s Tf1 C1 Tf2 ) 1 ( s )C1 Tf1 Tf2 2 1
Q qL L Tw1 Twn +1 n di 1 1 ln di i 1 2 πi
单位长度的热流量
第i层和i+1层之间接触面的温度
d3 di 1 d2 1 1 1 Twi 1 Tw1 qL ( ln ln ...... ln ) 21 d1 22 d2 2i di
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
二、第三类边界条件：周围介质温度为常数
该问题可看作在第三类边界条件下，通过 圆筒壁的一维稳态导热问题 Tw1 Tw2 Q1 1 (Tf1 Tw1 )d1L Q2 d2 1 ln 2L d1 Q3 2 (Tw2 Tf2 )d2 L
Tw 2 1400 939 0.46 1118℃ 1.51
二、第三类边界条件周围介质为常数
• 导热微分方程一维形式
d 2T 0 2 dx
T C1 x C2
边界条件
dT x = 0, q 1 (Tf1 T ) 1 dx x s , q dT (T T ) 2 2 f2 dx
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
一、第一类边界条件：表面温度 为常数
单层圆筒壁
• 一维、稳态、无内热源、常物性， 可得下面的方程，考虑第一类边界 条件： d dT
r 0 dr dr 第一类边 r r1，T Tw1 界条件： r r2，T Tw2
得出： r dT C 1
dr
对该方程积分两次
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
第一次积分
第二次积分 应用边界条件
dT r C1 T＝C1lnr C2 dr
Tw1 C1lnr1 C2；Tw2 C1lnr2 C2
Tw2 Tw1 C1 ; r2 ln r1 Tw1lnr2 Tw2 ln r1 C2 r2 ln r1 将系数带入第二次积分结果
11.1 通过平壁的一维稳态导热
x Tw1 Tw2 dT T T T T q w2 w1 w1 s dx s dT Tw2 Tw1 Q qA Tw1 Tw2 A s dx s
r
冶金传输原理
冶金传输原理第二部分传热学 第十一章：一维稳态和非稳态导热 吴铿 2011.04.05 北京科技大学冶金与生态工程学院
第十一章 一维稳态和非稳态导热
• 11.1 通过平壁的一维稳态导热
• 11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
• 11.3 非稳定导热的基本概念 • 11.4 薄材的非稳态导热
1
1 2 n 层 平壁 Tw1 Twn +1 导热 q n si 流密 i 1 i 度为
Tw1 Tw4 Tw1 Tw4 q 3 s1 s2 s3 si
3
i 1
i
Tw1 Twn +1 界面温度 Q n si si s1 s2 Twi 1 Tw1 q( ...... ) A i 1 i
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
• 例题3：有一半经为R，具有均匀内热源、导热 系数为常数的长圆柱体。假定圆柱体表面温度 为Tw，内热源强度为qv，圆柱体足够长，可以 认为温度仅沿径向变化，试求稳态导热时圆柱 体内温度分布。
• 解： 对于一维稳态导热，柱坐标系的导热微分方程 简化得到，即:
qv 1 d dT × （r ） 0 r dr dr
C1 Tf2 Tf1 , 1 s 1 ( )
C2 Tf1 Tf2 Tf1 1 s 1 1 ( )
1
2
1

2
在确定出C1和C2后，可得到壁内的温度分布：
11.1 通过平壁的一维稳态导热
Tf2 Tf1 T ( )( ) Tf1 1 1 s 1 1 x
dT C1 Tw2 Tw1 1 r2 dr r r ln r1 •通过圆筒壁的热流量： Q dT A dT 2 rL dr dr
Tw1 Tw2 Q 2 L r2 ln r1
或
Tw1 Tw2 Tw1 Tw2 Q 2 L r2 r2 1 ln ln r1 2 L r1
通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻
qL Q L Tf1 Tf2 d2 1 1 1 ln 1 d1 2 d1 2 d 2
由单层圆筒壁考虑多层圆 筒壁，见右公式
Tf1 Tf2 qL n d 1 1 1 ln i 1 1πd1 i 1 2πi di 2 πd n 1
获得两个系数
Tw2 Tw1 Tw1 ln r2 Tw2 ln r1 Tw2 Tw1 r T ln r Tw1 ln r2 r2 r2 r1 ln ln ln r1 r1 r1
得到圆筒壁内温度分布，温度分布按对数曲线变化
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
•温度梯度表达式：
qv 2 C2 Tw R 4
圆柱体内 温度分布
qv T Tw (R2 r 2 ) 4
• 例题4 高炉热风管道由四层组成：最内层为粘 土砖，中间依次为硅藻土砖和石棉板，最外层 为钢板。厚度分别为(mm)：s1=115；s2=230； s3=10；s4=10，导热系数分别为(W/m℃)： λ1=1.3；λ2=0.18；λ3=0.22；λ4=52。
qv 2 求解上述微分方程，得： T x C1 x C2 2 qv 2 C2 Tw s ; C1 0 2
11.1 通过平壁的一维稳态导热
式中积分常数C1和C2可由边界条件确定，它们分别为：
qv 2 2 s x 所以，平壁内温度分布为： T Tw 2
11.1 通过平壁的一维稳态导热
• 计算通过炉墙的热流密度：
Tw1 Tw 3 1400 100 q 884.2W / m 2 s1 s2 0.46 0.23 1 2 1.436 0.20
• 计算界面温度： s1 0.46 Tw 2 Tw1 -q 1400 884.2 1116.8℃ 1.436 1 • 计算将求出的Tw2与原假设的Tw2相比较，若两者相差 不大(工程上一般小于4%)，则计算结束，否则重复上 述计算，直至满足要求为止。现在两者相差甚大，需 重新计算。重设Tw2=1120 ℃，则：
• 解：按试算法，假定交界面温度为t2=900℃，计算每层 砖的导热系数 3 1400 900 1 0.7 0.64 10 1.436W/m℃ 2 900 100 2 0.14 0.12 0.20 W/m℃ 2
11.1 通过平壁的一维稳态导热
x 2 直接积分得： T C1 x C2
带入边界 条件： 边界 条件
C2 Tw1 C1 (Tw 2 Tw1 ) / s
第一类 x 0，T Tw1 边条件 x s，Tt Tw2
将结果带入微分方程，可 以得到下面的单层平壁的 导热方程式。
单位长度导热热阻
在工程计算中，常按单位长度来计算热 流量，并记为qL
Q Tw1 Tw2 qL d2 1 L ln 2 d1
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
多层圆筒壁
不同材料构成的多层圆筒壁，其导热 热流量可按总温差和总热阻计算 热流量
Tw1 Twn +1 Q n di 1 1 ln di i 1 2i L
• 可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令 温度分布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：