数学建模——几何图示法
初中数学几何模型
全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是°、°、°、°及有一个角是°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇度旋度，造等边三角形遇度旋度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋度，造中心对称说明：IS 8模型变形BEFcEB说明：说明：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnn口叩皿皿皿皿皿中点模型 边构诗中｛fflt 逢阳点闵iS 中幽城 几何最值模型 VH *h 轴对称模型 对称最值 线mi 差模型 fflftffw 同侧"异侧两蜒段之利罐短视它 同侧、异删芮线投之羞媪小槐型 四边形周怏垠小根地 三角形眉长 必小檢哩三线穀之和 她知爬制过桥模取旋转最值说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
简拼模型三角形j四边形E 面积等分说明：说明：3045602说明：ACOCOAA 模型一：手拉手模型-旋转型全等<2)等濮的AA Mfr=血°拟述°均为等媵直甬M 册A 结险(DA (UCtAO^l>j 超乙他»③。
E 平分£忖了儿(1)―况> Sfr ：LDW 牛底皿力能转至右囲检置A 皓论：> 右图中①bOCWMe\QAC AOSD 』 >⑨延氏M 交购于点G 必肖5氏-LBOA⑵特燥惜况＞条件m 3MB ,厶伽■剜，将AXD 龍讳至右團位蛊a gife ：右gcp fflAfJCD^iOJ^AC?JCiM£33②延长M 交加于点瓦愁有3EC -LUGA f BD 000B (5)-—--——=—-=tan ZlfX D®ACOCOA 3f^SDLAC.灘接也JC >临加*†g ・a+o>s ⑥矢"訐c&J 冊哒相垂直的四嬷)<3)任翦腰三角晤†辭，。
数学建模之方法(五步法)ppt课件
120 若要x≥0,只要0<r≤0.014, 110 最佳售猪时间可由x=(7- 100 500r) /25r给出,对r>0.014 , 90 0
5
10
15
20
在[0,+∞)上都有 f‘(x)<0, 最佳售猪时间为x=0. 图 1-5给出了r =0.015的情况.
变量、单位、等式、不等式、假设和目标表达式 等构成完整的问题。
数模方法之五步法 ※2018/11/25※
5/25
①例1.1中，全部的变量包括：猪的重量w(磅)， 从现在到出售猪期间经历的时间t(天), t天饲养猪的花费C(美元), 猪的市场价格 p(美元/磅),售出生猪所获得的收益R(美元), 我们最终获得的净收益P(美元)。 其他相关的参(非变)量:如猪的初始重量(200磅)等。 ②写出关于上述变量所做的假设，考虑到参量在模型 中的影响。猪的重量从初始的200磅按每天5磅增加有
表1-1 售猪问题中最佳售猪时间x关于价格的下降速率r的灵敏性 r (美元/天) 0.008 0.009 0.01 x (天 ) 15.0 11.1 8.0 r (美元/天) 0.011 0.012 ※2018/11/25※ x (天 ) 5.5 3.3
数模方法之五步法
16/25
将上表1-1中的数据绘制在如下图1-4中。 x(天) 16
第二步、选择建模方法.
第三步、推导模型的公式:
⑴把第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模 方法需要的形式； 图1-3 五步方法图 数模方法之五步法 ※2018/11/25※
13/25
⑵你可能需要将第一步中的一些变量名改成与第二步所用 的记号一致； ⑶记下任何补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述 的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。
数学建模——几何图示法-PPT
模型I 如图2建立坐标系：以O为原点，正 东方向为x轴正向.
图2 6
在此时刻t(h)台风中心的坐标为 P (x, y)
x
300
2 10
20
2 t, 2ຫໍສະໝຸດ y30072 10
20
2 t. 2
此时台风侵袭的区域是
(xx)2 (yy)2 [r(t)2] ,
其中r(t)=10t+60.
7
若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 (0x)2(0y)2(1t 06)2 0 ,
2
图1
3
问题分析与假设
1. 根据问题解决目的：问几小时后 该城市开始受到台风的侵袭，以及台 风侵袭的范围为圆形的假设，只要求
出以台风中心 p（动点）为圆心的圆
的半径r，这个圆的半径划过的区域自 然是侵袭范围.
4
2. 台风中心是动的，移动方向为向西 偏北 45，速度为20km/h，而当前半径 为60km，并以10km/h的速度不断增大， 即半径的增加速度为 r(t)60,t1为0 t 时间.于是只要 op10t，6便0是城 市O受到侵袭的开始.
数学建模——几何图示法
利用几何图示法建模.有不少实际问题的 解决只要从几何上给予解释和说明就足以 了，这时，我们只需建立其图模型即可， 我们称这种建模方法为图示法.这种方法既 简单又直观。
1
例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监 测，当前台风中心位于城市O（如图1）的 东偏南 (cos 2)方向300km的海面P处， 并以20km/h的速10度向西偏北45方向移动.台 风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并10km/h的速度不断增大. 问几小时 后该城市开始受到台风的侵袭？
13
• 解决铺瓷砖问题中所用方法在数 学上称为“奇偶校验”,即是如果两 个数都是奇数或偶数，则称具有相 同的奇偶性.如果一个数是奇数,另一 个数是偶数,则称具有相反的奇偶性. 在组合几何中会经常遇到类似的问 题.
用几何图示法解代数问题
也谈用几何图示法解代数问题很多代数问题用纯代数知识来解答很繁琐，也很难解决。
因此，许多代数问题用几何图示法来解决非常容易，下面举几例进行探讨。
一、线段图示法例1、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲车在已过中点15千米处，相遇后甲车再行89时到达B地，乙车又行了2时到达A地，求甲、乙两车每时各行多少千米？分析：行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，且有基本关系：路程=速度×时间。
本题设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，由于同时出发到相遇时，甲车在已过（如图1）所示的线段AB中点M的15千米处C点，继续前进后，甲车行的距离为CB=89x千米，乙车行的距离为CA=2y千米。
因此，甲车开始行驶的距离BC的时间为yx89时所用时间相同，而M是AB的中点，即AM=BM，MC=15千米，则AM=2y－15，BM=89x+15，由图所示易知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-y x xy x y 8921589152，解这个方程组，得⎩⎨⎧==608011y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x ，经检验，⎩⎨⎧==608011y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x 都是原方程组的解，但⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x 不合题意，舍去。
所以，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时。
二、三角形图法法例2、已知正数x ，y 满足条件x+y=4，求1122++y x 的最小值。
分析：若直接求解，比较困难，但注意到所求式子的特点，则可构造直角三角形求解，就容易多了。
建立（如图2）所式的两个直角三角形。
由图3可知三角形面积关系：S △ABC =21BC ·AD=21AB ·ACsin ∠BAC.即21（x+y)×1=211122++y x sin ∠BAC ，∴1122++y x=BAC y x sin +=BACsin 4≥4. 可见，当且仅当∠BAC=90°，即sin ∠BAC=1时所求的式子有最小值4.三、矩形图示法例3、证明平方差公式a2－b2=(a+b)(a－b)分析：通过计算（图3）两个图形（阴影部分）的面积相等，验证平方差公式。
《几何作图方法》课件
垂直平分线作图
总结词
利用直尺和圆规，通过已知直线和点，绘制垂直平分线。
详细描述
首先确定一个已知直线和一点，然后使用圆规在已知直线上 任意取两点，分别以这两个点为圆心画两个圆，交于另一点 ，连接该点和已知点，即为与已知直线垂直的直线。
角平分线作图
总结词
利用直尺和圆规，将任意角平分。
详细描述
首先确定角的顶点，然后使用圆规在角的两边上等距取点，直到取到角的顶点， 连接这些点和角的顶点即可将角平分。
通过构造等腰三角形和直角三角形，利 用圆的性质和角平分线的性质，找到圆 上一点到圆外两定点的角平分线。
VS
详细描述
首先，分别作两定点关于圆的对称点，然 后连接对称点和圆心，再过圆心作圆的切 线，最后利用角平分线的性质找到角平分 线。
圆上一点到圆外两定点的三角形内外角平分线作图
总结词
通过构造等腰三角形和直角三角形，利用圆 的性质和三角形内外角平分线的性质，找到 圆上一点到圆外两定点的三角形内外角平分 线。
几何作图可以根据不同的分类标准进行分类，如根据用途、复杂度、表 现形式等。
常见的几何作图类型包括平面几何作图、立体几何作图、函数图像等。
每种类型的几何作图都有其独特的特点和应用范围，例如立体几何作图 可以用来描述三维空间中的物体和现象，而函数图像则可以用来表示函 数关系和变化规律。
02
基础几何作图方法
几何作图的误差分析
测量误差
由于测量工具的精度限制，导 致测量结果存在误差。
计算误差
由于计算方法的精度限制，导 致计算结果存在误差。
操作误差
由于操作过程中的误差，导致 作图结果存在误差。
工具误差
由于工具本身的误差，导致作 图结果存在误差。
数学建模第二章图形绘制
-0.1
0.1
y2=x.*x.*log(x);
-0.2
0
plot(x,y2,'r-'),grid on -0.3
-0.1
-0.4
-0.2
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
1.5
三、曲面绘制
命令 plot3(x,y,z) mesh(x,y,z) surf(x,y,z) meshc(x,y,z) surfc(x,y,z) surfl(x,y,z) hidden on/off
contourf(x,y,z)
绘制正投影于xoy面上的经过填充的等高线。
[c,h]=contour(z)
z为曲面s上的点阵，c为xoy面上的等高线阵，h为高度列向量， c和h将作为下面语句中的输入参数。
clabel(c)
给xoy面上的等高线增添标注，位置任意，但十分粗略，欠清 晰
clabel(c,h)
plot3(x,y,z)
0 5
4
0
2
0
-2
-5 -4
[x,y]=meshgrid(-4:0.4:4,-5:0.5:5); z=0.3*exp(-0.15*(x.^2+y.^2)); mesh(x,y,z)
0.4
0.3
0.2
0.1
0 5
4
0
2
0
-2
-5 -4
0.4
surf(x,y,z) 0.3
0.2
100
80
60
40
20
0 1000
500
0
-500
0
-1000 -500
1000 500
常见几何图形的作图方法
常见几何图形的作图方法正多边形的画法斜度和锥度椭圆的画法圆弧连接正多边形的画法1.正六边形画法利用外接圆半径作图正多边形的画法1.正六边形画法已知外接圆直径，利用圆规、三角板作图。
正多边形的画法1.正六边形画法已知外接圆直径，利用丁字尺、三角板作图。
正多边形的画法1.正六边形画法已知外接圆直径，利用丁字尺、三角板作图。
正多边形的画法1.正六边形画法已知对边距离作图正多边形的画法1.正六边形画法已知对边距离作图正多边形的画法2.正五边形画法已知外接圆直径作图正多边形的画法2.正五边形画法已知外接圆直径作图正多边形的画法3.正n边形画法已知外接圆直径作图正七边形为例正多边形的画法3.正n边形画法已知外接圆直径作图正七边形为例斜度和锥度1.斜度斜度的画法举例画出作图基准线 作斜度1:5辅助线BA 求出AB 两点线 BA作辅助线的平行线 加深、标注尺寸斜度和锥度1.斜度斜度的画法举例画出作图基准线作斜度1:5辅助线求出AB两点线作辅助线的平行线加深、标注尺寸斜度和锥度2.锥度锥度的画法举例画出作图基准线 作锥度1:5辅助线 BA求出AB 两点线 作辅助线的平行线 加深、标注尺寸BA斜度和锥度2.锥度锥度的画法举例画出作图基准线 作锥度1:5辅助线 求出AB 两点线 作辅助线的平行线 加深、标注尺寸BA1:5椭圆的画法已知椭圆长轴AB、短轴CD。
四心圆弧法椭圆的画法已知椭圆长轴AB、短轴CD 。
四心圆弧法圆弧连接绘制机器零件轮廓时，常遇到一条线段（直线或曲线）光滑地过渡到另一条线段的情况。
如图中的R8把圆弧和直线光滑连接起来，R10把两段直线光滑的连接起来。
这种用圆弧光滑地连接相邻两线段的方法称为圆弧连接。
圆弧连接１．圆弧连接的基本作图原理圆弧与直线相切圆弧与圆弧外切圆弧与圆弧内切圆弧连接２．圆弧连接的基本作图方法圆弧连接两直线圆弧连接２．圆弧连接的基本作图方法圆弧连接两直线圆弧连接２．圆弧连接的基本作图方法圆弧与两圆弧外切圆弧连接２．圆弧连接的基本作图方法圆弧与两圆弧外切圆弧连接２．圆弧连接的基本作图方法圆弧与两圆弧内切圆弧连接２．圆弧连接的基本作图方法圆弧与两圆弧内切圆弧连接２．圆弧连接的基本作图方法圆弧连接一直线一圆弧圆弧连接２．圆弧连接的基本作图方法圆弧连接一直线一圆弧小结正多边形的画法斜度和锥度椭圆的画法圆弧连接。
让图示法彰显解题的魅力
让图示法彰显解题的魅力图示法是指在解决数学或其他科学问题时，通过画图把问题可视化，从而更加直观地理解和解决问题的方法。
图示法具有简单易懂、直观明了、易于记忆等优点，对于初学者来说尤其有益处。
下面我将结合一些例子，介绍如何利用图示法来解决问题。
（一）平面几何方面的应用1. 求圆的面积若已知圆的半径，可以通过如下公式求出圆的面积：S=πr²，其中π≈3.14。
若未知圆的半径，但已知圆的周长，可以利用图示法求出圆的面积。
首先假设有一条周长为L的线段，将这条线段折成一个类似矩形的形状，因为矩形的面积等于长×宽，所以当这个类似矩形的长和宽一定时，其面积也是一定的。
而这个形状的长和宽就分别是圆的直径和半径，因此可以得到一个方程式：L=πd，d为圆的直径，即d=2r，所以有L=2πr，因此可以根据L求出r，然后再套用圆的面积公式即可。
若已知三角形的底边和高，可以通过如下公式求出三角形的面积：S= 1/2bh，其中b 为底边长度，h为高度。
但若不知道高度的长度，可以通过图示法来求解。
如图所示，假设已知三角形的三边a、b、c，从a边的顶点O点引垂线，则垂足为H，连接OH，再在OH和OB中间取点E使OE=OH，连接CE，如图（2）所示。
则三角形ACO与三角形 OEB的高重合，所以三角形ACO 和三角形 OEB的底相等，即AO=OE，从而可以根据勾股定理求出AE的长度，即AE²=OE²-OA²=OE²-OB²/4，而OE=r， OB=c/2，因此可以得到AE²=r²-c²/4，从而可以求得AE的值，进而只需计算三角形ACO的面积即可。
1. 消元方程如图所示，当有如下两个直线：y=2x+3要求求出x、y的值，可以利用图示法解题。
如图所示，将这两个方程表示的直线画出来，并根据它们的交点求出x、y的值即可。
2. 求平均数如何求一组数的平均数？可以利用如下图示法：将这些数画成一条线段，则平均数就是这条线段的中间位置。
数学建模数学建模简介ppt课件
2006
B A B A B
2007 2008
2009
A B A
制动器试验台的控制方法分析 眼科病床的合理安排 储油罐的变位识别与罐容表标 定 2010 年上海世博会影响力的定 量评估
2010
B A B A B
如何写好数学建模竞赛答卷
一、写好数模答卷的重要性 二、答卷的基本内容，需要重视的问题 三、对分工执笔的同学的要求 四、关于写答卷前的思考和工作规划 五、答卷要求的原理
数学建模
任课教师: 朱 伟
联系方式: zhuwei@; 13062398142
主要参考书籍: 1. 数学建模与数学实验, 赵静, 但琦 2. 数学实验, 萧树铁 3. 数学建模方法及其应用, 韩中庚 4. 数学建模导论, 陈理荣
数学建模(Mathematical Modelling)
数学建模的一般步骤
实际问题
抽象、简化、假设 确定变量、参数 建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数
用实际问题的实测数据等来检验该数学模 型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生经济、社会效益
数学模型（Mathematical Model）
• 数学模型是对于现实世界的一个特定对象， 一个特定目的，根据特有的内在规律，做出 一些必要的假设，运用适当的数学工具，得 到一个数学结构。 • 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数 学表达式（或是用数学术语对部分现实世界 的描述），即用数学式子（如函数、图形、 代数方程、微分方程、积分方程、差分方程 等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对 象或系统在某一方面的存在规律。
数学建模是利用数学方法解决实际问题的 一种实践。即通过抽象、简化、假设、引 进变量等处理过程后，将实际问题用数学 方式表达，建立起数学模型。数学建模所 涉及的问题都是现实生活中的实际问题， 范围广、学科多，包括工业、农业、医学、 生物学、政治、经济、军事、社会、管理、 信息技术等方面。
数学建模之绘图
绘制三维图形时生 成空间曲面的格点。
等价于
[X,Y,Z]=meshgrid(x,x,x)
等价于
说明： x是区间[x0,xm]上分划点组成的m维向量； y是区间[y0,yn]上分划点组成的n维向量； 输出变量X与Y都是n×m矩阵； 矩阵X的行向量都是向量x； 矩阵Y的列向量都是向量y。
legend作用是：对图形进行图例标注
例2的绘图结果
图形的重叠绘制hold hold 在hold on与 hold off之间进行切换 hold on 保留当前图形和它的轴,使此后图形叠放在当前图形上 hold off返回Matlab的缺省状态。此后图形指令运作将抹掉当前窗中的旧图形，然后画上新图形。
说明：2、当x为n维向量,y为n * m矩阵时，plot(x,y) 按向量x分别与矩阵y的每一列匹配，画出m条曲线或折线。
例 x=[ 3 4 7]; y=[4 5 6 5 4 7 9 5 1 4 2 5]; plot (x,y)
可以。 x=a:h:b 函数f(x)在绘图区间[a,b]上的自变量点向 量数据 y=f(x) 对应的函数值向量 步长h可以任意选取，步长越小，曲线越光滑。
meshgrid的调用形式是：
[X,Y]=meshgrid(x,y)
[X,Y]=meshgrid(x)
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z)
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是城
市O受到侵袭的开始.
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模型I 如图2建立坐标系：以O为原点，正 东方向为x轴正向.
图
精品课件
2
在此时刻t(h)台风中心的坐标为P (x, y)
x
300
2 10
20
2 t, 2
y
300
72 10
20
2 t. 2
此时台风侵袭的区域是
(xx)2 (yy)2 [r(4，即12小时后该城市开始
精品课件
模型II 设在时刻t(h)台风中心为
（如图2），此时台风侵袭的圆形半径
为10t+60，因此，若在时刻t城市O受
到台风侵袭，应有
OP10t60
由余弦定理知
O P 2 P P 2 P 2 O 2 P P P c O o O P s .P
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注意到 O P30,P 0 P2t0
海面P处，并以1200km/h的速度45向 西偏北
方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当
前半径为60km，并10km/h的速度不断增大.
问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
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图1
问题分析与假设
1. 根据问题解决目的：问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭，以 及台风侵袭的范围为圆形的假设，只
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若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 (0x)2(0y)2(1t 06)2 0 ,
即( 3 0 2 0 2 0 2 t) 2 ( 3 0 7 2 0 2 0 2 t) 2 ( 1 t 6 0 ) 2 ,0
102
10 2
整理可得 t23t62880,
由此解得 12 t 受到台风的侵袭.
数学上称为“奇偶校验”,即是如果
两个数都是奇数或偶数，则称具有
相同的奇偶性.如果一个数是奇数,
另一个数是偶数,则称具有相反的奇
偶性.在组合几何中会经常遇到类似
的问题.
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在铺瓷砖问题中,同色的两个格子 具有相同的奇偶性,异色的两个格子具有相 反的奇偶性长方形瓷砖显然只能覆盖具有 相反奇偶性的一对方格.因此，把19块长方 形瓷砖在地面上铺好后,只有在剩下的两个 方格具有相反的奇偶性时,才有可能把最后 一块长方形瓷砖铺上.由于剩下的两个方格 具有相同的奇偶性,因此无法铺上最后一块 长方形瓷砖这就从理论上证明了用20块长 方形瓷砖铺好如图所示地面是不可能的.任 何改变铺设方式的努力都是徒劳的
co O s P P cos4 (5 )co sco4s5sinsi4 n5
2 212 24,
10 2
12 0 2 5
故
OP2(20t)23020220t3004
5
202t2960t0302.0
因此 22t0 2 96 t 0 30 2 0(0 1t 06)2 0 .
解得 12t2.4
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例2：铺瓷砖问题
• 要用40块方形瓷砖铺设如图所示图形的 地面, 但当时商店只有长方形瓷砖,每块 大小等于方形的两块.一人买了20块长方 形瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄去始终 无法完整铺好.
• 问题在于用20块长方形瓷砖正好铺成图 所示的地面的可能性是否存在?只有可能 性存在才谈得上用什么方法铺的问题.
精品课件
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为此,在图上白、黑相间的染色. 然后仔细观察,发现共有19个白格和21 个黑格.一块长方形瓷砖可盖住一白一 黑两格,所以铺上19块长方形瓷砖.(无 论用什么方法),总要剩下2个黑格没有 铺.而一块长方形瓷砖是无法盖住2个黑 格的,唯一的办法是把最后一块瓷砖一 断为二。
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•
解决铺瓷砖问题中所用方法在
数学建模——几何图示法
利用几何图示法建模.有不少实际问题 的解决只要从几何上给予解释和说明就足 以了，这时，我们只需建立其图模型即可， 我们称这种建模方法为图示法.这种方法既 简单又直观。
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例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据
监测，当前台风中心位于城市O（如图1）
的东偏南(cos 2)
方向300km的
要求出以台风中p 心 （动点）为圆心
的圆 的半径r，这个圆的半径划过的
区域自然是侵袭范围.
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2. 台风中心是动的，移动方向为向
西偏北 ，速度为20km/h，而当前 半径为4560km，并以10km/h的速度不断
增为于大是，只即要半径的增o加p速1度0tr(,6t)0t为6时，01 便间0 t.
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数学中许多的著名的不可能的证明都要用到
奇偶校验,例如欧几里德证明著名的结论：2
是无理数，就是用的奇偶性(读者不妨自己 动手做一下).
• 由上可以看出,奇偶校验方法巧妙而简 单,极富创造力.在估计事情不可能成 立时,可考虑使用奇偶性这一方法来论 证.
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