矩阵代数概述
矩阵代数的基本概念与应用
矩阵代数的基本概念与应用矩阵代数是现代数学的一个重要分支，是数学、物理、工程等领域中不可或缺的工具。
在计算机图像、多维数据分析、神经网络及人工智能等领域，矩阵代数的应用越来越广泛。
一、矩阵的定义及运算矩阵是一个由数个数构成的矩形排列，即由$m$行$n$列的数排成一个$m\times n$的矩形，通常用大写字母表示，如$A$，$B$等。
矩阵的加法：设$A=(a_{ij})$,$B=(b_{ij})$是同型矩阵，则$A+B=(a_{ij}+b_{ij})$。
矩阵的数乘：设$k$是一个实数，则$kA=(ka_{ij})$。
矩阵的乘法：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$矩阵，$B=(b_{ij})$是$n\times p$矩阵，则$AB=C$是$m\times p$矩阵，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。
矩阵的转置：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$的矩阵，则$A^T=(a_{ji})$是$n\times m$的矩阵。
二、矩阵的行列式及特征值矩阵的行列式：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，则$A$的行列式$\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$，其中$S_n$表示$n$个元素的置换群。
矩阵的特征值和特征向量：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，若存在一个非零向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$和一个标量$\lambda$，使得$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$是$A$的一个特征值，$x$是对应于$\lambda$的特征向量。
三、矩阵的求逆矩阵的逆：设$A$是$n$阶方阵，若存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称$B$是$A$的逆矩阵，$A$可逆。
第一章 矩阵代数
c11 c12
Adj
A
c21
c22
cn1 cn2
c1n c11 c21
c2n
c12
c22
cnn c1n c2n
cn1
cn2
cnn
例
1 2 3
A 1 3
5
1 5 12
3 5 1 5 1 3
5 12
B
1 0 0 3 1 4
（ii）假设我们将第二行乘上-3而得到：
有：
1 2 3
C
0
12
6
3 1 4
1 0 01 2 3
0
3
0
0
4
2
C
0 0 1 3 1 4
（iii）假设我们在第二行上加上7倍的第三行而得到：
1 2 3
D
21
11
30
3 1 4
有
1 0 01 2 3
32
A13
1
4
12 2 10
c13 (1)13 A13 1 10 10
26 A32 3 3 6 18 12
c32 (1)32 A32 (1) (12) 12
• 定理 令 A 为 n n矩阵，有
n
A aijcij 对于每个i, (由i行展开) j 1
n
aijcij 对于每个j, (由j列展开) i 1
例 找出下列矩阵的逆：
1 2 1
A
0
1
1
2 1 4
首先应该保证 A 0 ，下面我们使用标记A B ，表明B
是通过对A 施以基本行（列）运算而得到的。
线性代数中的矩阵：概念与基本性质
线性代数中的矩阵：概念与基本性质矩阵是线性代数中最基本、也是最常用的概念之一。
它是由若干个按照规定大小和次序排列的数构成的矩形阵列，常用大写字母表示。
下面将介绍矩阵的概念与基本性质。
一、矩阵的定义设有m行n列的数a_ij排成一个m×n的矩形阵列，则称这个m×n的阵列为一个矩阵，记作A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵A中，a_ij称为矩阵A的第i行第j列的元素，第i行的元素排列在一起，构成了矩阵A的第i行，第j列的元素排列在一起，构成了矩阵A的第j列。
二、矩阵的基本性质1、矩阵的加法设矩阵A=(a_ij)与B=(b_ij)的大小及相对应的元素都相同，则A 与B的和C=A+B的元素c_ij=a_ij+b_ij，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵加法具有结合律、交换律和分配律。
2、矩阵的数乘设k是一个数，矩阵A=(a_ij)，则kA的元素为(k·a_ij)，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵数乘同样具有分配律和结合律。
3、矩阵的乘法设矩阵A=(a_ij)的大小为m×p，矩阵B=(b_ij)的大小为p×n，矩阵C=(c_ij)的大小为m×n，则称C=AB，如果c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ipb_pj，1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵C中，第i行第j列的元素c_ij是矩阵A的第i行的元素和矩阵B的第j列的元素的乘积和。
矩阵乘法不具有交换律。
4、矩阵的转置设矩阵A=(a_ij)的大小为m×n，则称A的转置矩阵为A^T=(b_ij)，大小为n×m，其中b_ij=a_ji。
矩阵的转置具有分配律和结合律。
5、矩阵的逆设方阵A的大小为n×n，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=E，其中E是n阶单位矩阵，那么称矩阵A是可逆的。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
如果矩阵A是可逆的，则其逆矩阵唯一。
大学线性代数2矩阵代数知识点总结
2矩阵代数1. 设A，B为可以相乘的矩阵，AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。
同样，AB的每一行都是B的各行的线性组合，以A的对应行的元素为权。
例如，AB的第m列是以B的第m列为权的A的各列的线性组合；AB的第n行是以A的第n行为权的B的各行的线性组合。
2. 矩阵乘法恒等式：I m A = A = AI n3. 逆矩阵的概念仅对方阵有意义。
4. 若A可逆，则对每一R n中的b，方程Ax=b有唯一解x=A-1b5. 初等矩阵：将单位矩阵进行一次初等行变换所得的矩阵。
6. 对mxn矩阵A进行初等行变换所得的矩阵，等于对单位矩阵进行相同行变换所得初等矩阵与A相乘的结果。
设对单位矩阵I m进行初等行变换所得初等矩阵为E，对A进行相同初等行变换的结果可写为EA。
因为初等行变换可逆，所以必有另一行变换将E变回I。
设该“另一行变换”对应初等矩阵为F，结合上一行，F对E的作用可写为FE=I。
因此，每个初等矩阵均可逆。
7. 当n阶方阵A行等价于I n时，A可逆。
此时，将A变为I n的一系列初等行变换同时将I n变为A-1。
8. 求A-1：将增广矩阵[A I] 进行行化简，若A可逆，则[A I] ~ [I A-1]将 [A I] 行变换为[I A-1]的过程可看作解n个方程组：Ax=e1, Ax=e2, ... Ax=e n这n个方程组的“增广列”都放在A的右侧，就构成矩阵[A e1 e2 ... e n] = [A I]如果我们只需要A-1的某一列或某几列，例如需要A-1的j列，只需解方程组Ax=e j，而不需要求出整个A-1。
[注：根据此条可以导出利用克拉默法则求逆矩阵的公式]9. 可逆矩阵定理对于n阶方阵，以下命题等价：a) A可逆b) A与n阶单位矩阵等价c) A有n个主元位置d) 方程Ax=0仅有平凡解e) A各列线性无关f) 线性变换x|->Ax是一对一的g) 对R n中任意b，Ax=b至少有一个解（有且仅有唯一解？）h) A各列生成R ni) 线性变换x|->Ax将R n映上到R nj) 存在nxn阶矩阵B，使AB=BA=Ik) A T可逆l) A的列向量构成R n的一个基m) ColA=R nn) dim(Col(A))=no) rank(A)=np) Nul(A)=0q) dim(Nul(A))=0r) det(A)≠0 <=> A可逆s) A可逆当且仅当0不是A的特征值t) A可逆当且仅当A的行列式不等于零再次强调，以上命题仅对n阶方阵等价。
矩阵代数ppt课件
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
线性代数之矩阵总汇
线性代数之矩阵总汇⼀. 矩阵介绍1. 矩阵的定义由m × n个数a ij (i=1，2，...，m；j=1，2，...，m)排成的m⾏n列的数表成为m⾏列矩阵，简称m × n矩阵，为了表⽰是⼀个整体通常写法总是加⼀个括弧，并使⽤⼤写⿊体字符表⽰它，记作：A =a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a m 1a m 2⋯a mn这m × n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数a y 位于矩阵A的第i⾏第j列，简称为矩阵A的(i，j)元。
⽽元素是实数的矩阵成为实矩阵，元素是复数的矩阵成为复矩阵2. 矩阵的分类n 阶⽅阵(n 阶矩阵)⾏数和列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶⽅阵，n 阶矩阵A 记作A n ⾏矩阵(⾏向量)只有⼀⾏的矩阵，称为⾏矩阵，⼜称⾏向量，⾏矩阵记作：A =(a 1,a 2,⋯,a n )列矩阵(列向量)只有⼀列的矩阵，称为列矩阵，⼜称列向量，列矩阵记作:B =b 1b 2⋅⋅⋅b n 同型矩阵%两个矩阵的⾏数和列数都相等，就称它们是同型矩阵零矩阵元素全部都为零的矩阵称为零矩阵，记作O,注意不同型的零矩阵是不同的对⾓矩阵除主对⾓线的元素之外其余位置元素都为0的矩阵叫对⾓矩阵，如：A =10000200003004数量矩阵主对⾓线的元素都相等，其余位置元素都为0的矩阵叫数量矩阵，如：E =20000200002002单位矩阵主对⾓线的元素为1，其余位置的元素为0的矩阵叫做单位矩阵,通常单位矩阵使⽤E 来表⽰，如:E =10000100001001数量矩阵和单位矩阵都是对⾓矩阵的⼀种特例，因此数量矩阵和单位矩阵也叫对⾓矩阵。
单位矩阵⼜是数量矩阵的⼀种特例，所以单位矩阵⼜可以叫做数量矩阵对称矩阵设矩阵A 为n 阶⽅阵，满⾜A T =A ，即a ij =a ji (i ,j =1,2,⋯,n )那么A 成为对称矩阵，简称为对称阵，对称矩阵的特点是它的元素以主对⾓线为对称轴对应相等3. 矩阵的应⽤1. ⽰例⼀：求解多元⼀次⽅程组()()()()()a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋯⋯⋯a m1x1+a m2x2+⋯+a mn x n=b m 可以提取出如下⼏个矩阵:A=x1x2⋮x nB=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮a m1a m2⋯a mnC=b1b2⋮b nD=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮a m1a m2⋯a mn其中A称为未知数矩阵，B为系数项矩阵，C为常数项矩阵，D为增⼴矩阵2.实例⼆：航线问题四个城市间的单向航线如图所⽰，若1表⽰冲i市到j市有1条单向航线,0表⽰从i市到j市没有单项航线。
大一线性代数矩阵知识点总结
大一线性代数矩阵知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，它是一种方便表示和处理线性变换的数学工具。
在大一线性代数课程中，我们将学习矩阵的相关知识，本文将对一些重要的矩阵知识点进行总结。
1. 矩阵的定义和表示方式- 矩阵是由m行n列元素排列成的矩形阵列，用大写字母表示，如A、B等。
- 矩阵可以用方括号表示，如A=[a_ij]，其中a_ij代表矩阵A 的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的运算- 矩阵的加法：对应元素相加。
- 矩阵的数乘：矩阵中的每个元素乘以相同的数。
- 矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行乘法运算，结果的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
3. 矩阵的特殊类型- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
- 方阵：行数等于列数的矩阵。
- 单位矩阵：主对角线元素为1，其它元素为0的方阵，用I 表示。
4. 矩阵的转置- 矩阵的转置就是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵，用A^T表示。
5. 矩阵的行列式- 行列式是一个标量，表示一个方阵所围成的平行四边形的有向面积。
- 行列式常用符号为|A|或det(A)，其中A为方阵。
6. 逆矩阵- 对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
- A的逆矩阵记为A^{-1}。
7. 矩阵的特征值和特征向量- 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax=λx，其中λ为标量，则称λ为A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
8. 矩阵的特征分解- 对于一个可对角化的矩阵A，存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得A=PDP^{-1}，其中D为对角矩阵，P为特征向量矩阵。
9. 矩阵的秩- 矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，用rank(A)表示。
10. 线性方程组与矩阵- 线性方程组可以用矩阵的形式表示，例如AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
以上是大一线性代数矩阵知识点的简单总结。
矩阵在线性代数中起着重要的作用，它不仅可以用于表示线性变换，还可以用于解决线性方程组和求解特征值等问题。
矩阵代数简单介绍
线性代数复习1.1 矩阵的概念给定数域K 上nK 个数ij a ),,,2,1;,,2,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=把它们按一定次序排成一个n 行K 列的长方形数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nK n n KK a a a a a a a a a A 212222111211 ，称为数域K 上的一个n 行K 列的矩阵，简称为K n ⨯矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行、第j 列的元素。
1k ⨯矩阵（只有一行）称为k 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）称为n 维列向量。
零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为0。
00,0==+A A A 。
如果矩阵的行、列数都是n ，则称A 为n 阶方阵；n 阶方阵A 的元素按次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为|A|。
在n 阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为Λ；若对角矩阵的主对角线元素全为1，则称之为单位阵，记为I ；特别地，I λ称为数量矩阵1.2 矩阵的运算 ●矩阵的加、减运算以及数乘运算当矩阵A 和B 的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A ＋B 等于所有对应位置的元素相加、减。
数乘运算就是数k 乘矩阵A 中所有元素得到的矩阵。
AB B A +=+，)()(C B A C B A ++=++，A O A =+，OA A =-+)(，A A )()(kl l k =，AA A l k l k +=+)(，B A B A k k k +=+)(，A A =1，OA =0，A A -=-)1(．●矩阵相乘记sm ij a A ⨯=)(，ns ij b B ⨯=)(，nm ij c C ⨯=)(，且ABC =，那么A 和B 相乘得到的矩阵C 的元素可用公式表示为∑==sk kjikij b ac 1，),,1;,,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=。
注意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即BAAB ≠；ACAB A =≠且0不能推出CB =。
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矩阵代数概述一、基本定义定义1：矩阵：一个矩阵就是一个矩阵数组，更准确地讲，一个m*n 维矩阵就有m 行和n 列。
正整数m 被称为行维数，n 被称为列维数。
111212122212n n ij m m mn a a a a a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义2：方阵方阵具有相同的行数和列数。
一个方阵的维数就是其行数和列数定义3：向量（1）一个1*m 的矩阵被称为一个（m 维）行向量，并可记为：[]12,,...,m x x x x ≡（2）一个n*1的矩阵被称为一个（n 维）列向量，并可记为：12n y y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义4：对角矩阵当一个方阵A 的非对角元素都为零时，它就是一个对角矩阵。
我们总能将一个对角矩阵写成：1122000000ij mn a a A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义5：单位矩阵和零矩阵（1）用I （或为了强调维数而用I n ）表示的n*n 单位矩阵就是对角位置都是1，而其它位置都是0的对角阵；10002000n I I n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）一个用0表示的m*n 零矩阵，就是所有元素都为零的m*n 矩阵。
它并不一定是方阵。
二、矩阵运算1. 矩阵加法两个都是m*n 维的矩阵A 和B 可通过对应元素相加而相加：A+B=[a ij ]+[b ij ]。
更准确地，有：111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦数值例子：说明：不同维数的矩阵不能相加2. 数乘给定任意一个实数k （常被称为一个数量），数乘被定义为kA=[ka ij ]数值例子：3. 矩阵乘法为了使矩阵A 乘以矩阵B ，得到AB ，A 的列维数和B 的行维数必须相同。
因此，令A 为一个m*n 矩阵，而B 为一个n*p 矩阵，于是，矩阵乘法被定义为：1n ik kj k AB a b =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑ 换句话说，新矩阵AB 的第（i,j ）个元素，等于A 中第i 行的每个元素与B 中第j 列对应元素的乘积之和。
如下简图可以使这个过程更一目了然：11221...n ik kj i j i j in nj k a b a b a b a b ==+++∑数值例子：略我们可以将一个矩阵与一个向量相乘。
如果A 是一个n*m 矩阵，而y 是一个m*1向量，那么Ay 就是一个n*1的向量；如果x 是一个1*n 的向量，那么xA 就是一个1*m 的向量。
矩阵加法、数乘和矩阵乘法可以用各种方式组合，而且这些运算还满足几个熟悉的基本数值运算规则。
在如下性质表中，A ，B 和C 都具有运算所需要的适当的维数，而α和β则是实数。
这些性质中的大多数都很容易从定义得到说明。
矩阵乘法的性质：(1)( α+β)A= αA+βA;(2) α(A+B)= αA +αB;(3) (αβ)A=α(βA);(4) α(AB)= (αA)B(5)A+B=B+A;(6)(A+B)+C=A+(B+C);(7)(AB)C=A(BC);(8)A(B+C)=AB+AC;(9)(A+B)C=AC+BC;(10)IA=AI=A;(11)A+0=0+A=A;(12)A-A=0;(13)A0=0A=0;(14)即使AB 和BA 都有定义，仍然会AB ≠BA对于最后一个性质：如果A 是一个n*m 矩阵，而B 是一个m*p 矩阵，那么AB 就有定义，而BA 只有在n=p 时，才有定义；如果A 是一个m*n 矩阵，而B 是一个n*m 矩阵，那么AB 和BA 都有定义，但除非A 和B 都是方阵，否则它们具有不同的维数。
即便A 和B 都是方阵，除非在特殊情况下，否则AB ≠BA 仍成立。
定义6：转置令A=[a ij ]表示一个m*n 矩阵，用A'（读作A 撇）表示A 的转置，是将A 的行和列互换后得到的n*m 矩阵。
我们可以把它写成A'=[a ji ]。
数值例子：略转置的性质：(1) (A')'=A(2) ( αA)'= αA'，α为任意数;(3) (A+B)'=A'+B';(4) (AB)'=B'A'，A 和B 分别是m*n 和n*p 矩阵;(5) x'x=∑x i 2，x 是一个n*1向量;(6) 如果A 是一个各行分别由1*k 的向量a 1,a 2,...,a n 给出的n*k 矩阵，所以可以写成：12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是：A'=(a 1' a 2' ... a n ')定义7：对称矩阵一个方阵是一个对称矩阵的充分必要条件是：A'=A如果X 是任何一个n*k 矩阵，那么X'X 总有定义并是一个对称矩阵，通过应用转置的第一和第四条性质即可看出。
分块矩阵的乘法令A 表示一个行由1*k 向量a 1,a 2,...,a n 给出的一个n*k 矩阵，令B 表示一个行由1*m 向量b 1,b 2,...,b n 给出的n*m 矩阵：12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，12n b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 那么：1ni ii A B a b =''=∑ 上式中，a'i b i 对每个i ，都是一个k*m 矩阵。
因此，A'B 可写成n 个k*m 矩阵之和。
作为一个特殊情形，有：1ni i i A A a a =''=∑式中，a'i a i 对所有的i ，都是一个k*k 矩阵。
定义8：迹一个矩阵的迹是只对方阵定义的一个很简单的运算。
对任何一个n*n 矩阵A ，用tr(A)表示矩阵A 的迹，它是其主对角线元素之和。
从数学上看，即：()1n ii i tr A a ==∑迹的性质：(1)tr(In)=n;(2)tr(A')=tr(A);(3)tr(A+B)=tr(A)+tr(B);(4)对任意数量α，都有tr(αA)= αtr(A);(5)tr(AB)=tr(BA)，A 是m*n 矩阵，而B 是n*m 矩阵定义9：逆对方阵而方，逆矩阵是一个很重要的概念对一个n*n 矩阵A ，如果A -1A=AA -1=I n ，则A -1表示矩阵A 的逆，在这种情形下，A 就是可逆的或非奇异的。
否则，它就是不可逆的，或奇异的。
逆的性质：(1) 如果逆存在，它是唯一的;(2) 如果α≠0，且A 是可逆的，则(αA)-1=(1/α)A -1;(3) 如果A 和B 都是n*n 可逆矩阵，则(AB)-1=B -1A -1;(4) (A')-1= (A -1)';关于矩阵的逆的计算，这里从略。
三、线性独立与矩阵的秩对一组具有相同维数的向量而言，知道其中一个向量是否可表示成其余向量的线性组合很重要。
定义10：线性独立令{x 1,x 2,...,x r }是一组向量，若： α1x 1+α2x 2+...+αr x r =0当且仅当α1=α2=...=αr =0时，它们才是线性独立的向量。
如果上式对一组不全为零的系数成立，那么{x 1,x 2,...,x r }就是线性相关的。
{x 1,x 2,...,x r }线性相关的说法，等于说其中至少有一个向量可写成其他向量的线性组合。
定义11：秩(1)令A 是一个n*m 矩阵。
用rank(A)表示矩阵A 的秩，即A 线性独立的最大列数；(2)如果A 是一个n*m 矩阵，且rank(A)=m ，那么A 就具有列满秩；如果A 是一个n*m 矩阵，那么它的秩最大为m 。
如果一个矩阵的列构成一个线性独立集，那么它就是列满秩。
比如3*2矩阵：132600⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的秩最大为2，但实际上，它的秩为1，因为第二列是第一列的2倍。
秩的性质：(1)rank(A')=rank(A);(2)如果A 是一个n*k 矩阵，则rank(A)≤min(n,k);(3)如果A 是一个k*k 矩阵，且rank(A)=k ，则A 是满秩的。
四、二次型与正定型矩阵定义12：二次型令A 为对称矩阵。
与矩阵A 相关的二次型，就是对所有n*1向量x 定义的实值函数： ()2112n nii iij i j i i j i f x x Ax a x a x x ==>'==+∑∑∑ 定义13：正定和半正定(1)对于一个对称矩阵A ，如果对除x=0外的所有n*1向量x ，都有x'Ax>0，那么我们说A 是正定的；(2)对于一个对称矩阵A ，如果对所有n*1向量x ，都有x'Ax ≥0，那么我们说A 是半正定的。
如果一个矩阵是正定或半正定的，那它就自动被假定为对称的。
正定和半正定的性质(1)正定矩阵的主对角元素都严格为正，而半正定矩阵的主对角元素都非负；(2)如果A 是正定矩阵，则A -1存在并正定；(3)如果X 是一个n*k 矩阵，则X'X 和XX'都是半正定的；(4)如果X 是一个n*k 矩阵，且rank(X)=k ，则X'X 是正定的，因此也是满秩的。
五、幂等矩阵定义14：幂等矩阵令A 为n*n 对称矩阵，当且仅当AA=A 时，我们称A 为一个幂等矩阵。
如100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦就量个幂等矩阵，直接相乘就可验证。
幂等矩阵的性质：令A 为n*n 幂等矩阵：(1)rank(A)=tr(A);(2)A 是半正定矩阵我们可以构造一些很一般的幂等矩阵。
令X 表示一个rank(X)=k 的n*k 矩阵。
定义： P ≡X(X'X)-1X'M ≡I n -X(X'X)-1X'=I n -P于是，P 和M 是对称的幂等矩阵，且rank(P)=k 和rank(M)=n-k 。
这些秩很容易通过利用性质(1)得到：tr(P) =tr[(X'X)-1X'X]（根据迹的性质5）=tr(I k )=k （根据迹的性质1）。
接下来，很容易得到：tr(M)=tr(I n )-tr(P)=n-k六、线性形式和二次型的微分对于一个给定的n*1向量a ，考虑对所有n*1向量x 由f(x)=a'x 定义的线性函数。
f 对x 的导数是1*n 阶偏导数向量，也就是：()f x a x∂'=∂ 对于一个n*n 对称矩阵A ，定义二次型g(x)=x'Ax ，于是：∂g(x)/∂x=2x'A 是一个1*n 向量。