2011年第22届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试试题与答案

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试

2011年4月10日 上午9：00至11：00 得分＿＿＿＿

一、选择题(每小题4分，共40分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1. 有理数a ，b 满足20a +11| b |=0 (b ≠0)，则

2b

a

是 (A) 正数 (B) 负数 (C) 非正数 (D) 非负数 。

2. 如图1，直线MN //直线PQ ，射线OA ⊥射线OB ，∠BOQ =30?。若以点O 为旋转中心，将

射线OA 顺时针旋转60?后，这时图中30?的角的个数是

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 。

3. 有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图2所示，那么代数式

1|1|++a a -a a ||+||b a a

b +--|

1|1--b b 的值是 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 。

4. 如图3，ABCD ，AEFG ，BIHE 都是平行四边形，且E 是DC 的中点，点D 在FG 上，点C 在HI 上。△GDA ，△DFE ，△EHC ，△BCI 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，S 4，则

(A) S 1+S 2>S 3+S 4 (B) S 1+S 2

(C) S 1+S 2=S 3+S 4 (D) S 1+S 2与S 3+S 4大小关系不确定 。

5. If x is a prime number, y is an integer, and x 21-x =32

2+y , than xy 2= (A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 。

(英汉小辞典：prime number 质数，integer ：整数) 6. 如图4，AB //CD //EF //GH ，AE //DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上。设与∠α相等的角的个数为m ，与∠β互补的角的个数为n ，若α≠β，则m +n 的值是

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 。

7. 甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%。最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙，若上述股票交易中的其它费用忽略不计，则甲 (A) 盈亏平衡 (B) 盈利1元 (C) 盈利9元 (D) 亏损1.1元 。 8. 梯形的上底长5，下底长10，两腰分别长3和4，那么梯形的面积是 (A) 18 (B) 22.5 (C) 26.25 (D) 30 。 9. 已知| x |≤3，| y |≤1，| z |≤4且| x -2y +z |=9，则x 2y 2011z 3的值是 (A) 432 (B) 576 (C) -432 (D) -576。

10. 如图5，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP =20?，

图1 O

N

M A B P

Q

图2

-1

a b 1 G A B

C

D E

F H H I S 1

S 2 S 3 S 4 图3

图4 F

D E G

α H A B

C β 未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式（包

括网络）转载。

∠ACP =50?，则∠A +∠P =

(A) 70? (B) 80? (C) 90? (D) 100? 。

二、填空题 (每小题4分，共40分)

11. 若y 2=2x -a ，则4x 2-4ax -4x 2y +2ay 2+y 4+a 2-1= 。

12. 如图6，有两个长度相同的滑梯BC 和EF ，滑梯BC 的高度 AC 等于滑梯EF 在水平方

向上的长度DF

，则∠ABC

+∠DFE =

度。

13. 能被7整除的各个数码均不相同的最小的十位数是= 。 14. 如图

7， ， ，●，?都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3?3平方厘米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为S 1，S 2，S 3和S 4。则S 1，S 2，S 3和S 4中最小的与最大的和是 平方厘米。 15. 已知x = -1时，3ax 5

-2bx 3

+cx 2

-2=10，其中a ：b ：c =2：3：6，那么23b

c

a = 。

16. 将长与宽分别为6与4的长方形纸片剪去3个等腰直角三角形后，剩余部分的面积最小是= 。

17. 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙。如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔13

1分钟相遇一次。现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了 分钟。

18. 如图8，长方形ABCD 的长为8，宽为5，E 是AB 的中点，点F 在BC 上，已知△DEF 的面积为16，则点D 到直线EF 的距离为 。

19. If A =n

8102011

2010812811810????? is a positive interger, then

themaximum value of positive interger n is 。

20. 自然数n 的各位数字中，奇数数字的和记为S (n )，偶数数字的和记为E (n )，例如S (134)=1+3 =4，E (134)=4，则S (1)+S (2)+…+S (100)= ，E (1)+E (2)+…+E (100)= 。

三、解答题 每题都要写出推算过程。 21. (本题满分10分)

甲乙两车在A ，B 两城连续地往返行驶。甲车从a 城出发，乙车从b 城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离A 、B 两城为200千米和240千米的C 处第二次相遇。相遇后，乙车改为按甲车的速度行驶，而甲车却提速了，之后两车又再C 处第二次相遇。之后如果甲车再

图5

A

B

20?

C

M

50?

A C

E

图6

图7

● ? B

图8

提速5千米/时，乙车再提速50千米/时，那么两车在C 处再次相遇，求乙车出发时的速度。

22. (本题满分15分)

如图9所示，∠C =90?，Rt △ABC 中，∠A =30?，Rt △A ’B ’C 中，∠A ’=45?。点A ’、B 分别在线段AC 、B ’C 上。将△A ’B ’C 绕直角顶点C 顺时针旋转一个锐角θ 时，边A ’B ’分别交AB 、AC 于P 、Q ，且△APQ 为等腰三角形。求锐角θ 的度数。

23. (本题满分15分)

若矩形的长、宽和对角线的长度都是数，求证：这个矩形的面积是12的倍数。

图9

B P Q A ’

45?

A

B

C

B ’ 30?

θ

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初一 第2试简答

一、选择题

1. B ，

2. A ，

3. D ，

4. C ，

5. C ，

6. D ，

7. B ，

8. A ，

9. D ， 10. C ， 二、填空题

11. -1， 12. 90， 13. 1023456798， 14. 7， 15.

364， 16. 25， 17. 12， 18. 5

32

， 19.

150， 20. 501；400， 21. 80千米/时。 22. 15?，60?。

23.

[证法1] 设矩形的长、宽和对角线长分别为a ，b ，c 且a ，b ，c 都是整数，则根据勾股定理知 a 2+b 2=c 2，我们只需证明a ，b ，c 中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。 (1) 先证“a ，b 中必有一个能被3整除”。

若a ，b 都不是3的倍数，则a 2与b 2必被3除余1，则c 2必被3除余2，但完全平 方数被3除只能余0或1，故矛盾。所以a ，b 中必有3的倍数，即ab 为3的倍数。 (2) 再证“a ，b 中必有一个能被4整除”。

将a 2+b 2=c 2中的a ，b ，c 的公约数约去，得x 2+y 2=z 2，其中x ，y ，z 两两互质。我 们只需证明“x ，y 中必有一个能被4整除”即可。首先x ，y 不能全是奇数，因为， 若x ，y 均为奇数，则x 2与y 2必都被4除余1，于是z 2必被4除余2，但完全平方 数被4除只能余0或1，故矛盾。所以x ，y 不能全是奇数。因为x ，y 互质，所以， x ，y 也不能全是偶数，因此x ，y 只能是一奇一偶，不妨设x =2p +1，y =2m (其中p ， m 均为整数)，此时z 是奇数，设z =2q +1 (q 为整数)，代入y 2=z 2-x 2中，得

4m 2=(2q +1)2-(2p +1)2=4(q 2+q -p 2-p )，即m 2=q (q +1)-p (p +1)，因为q (q +1)与p (p +1)都 是两个连续整数的乘积，所以q (q +1)与p (p +1)都能被2整除，于是m 2为偶数，因 此m 为偶数，设m =2n (n 为整数)，则y =2n =2?2m =4m ，于是y 能被4整除。

综上，a ，b 中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。又因为(3，4)=1，所以 a ?b 能被12整除，即这个矩形的面积必为12的倍数。

[证法2] 设a ，b 都不是4的倍数，则a ，b 均为奇数；或a ，b 中的一个为奇数，另一个为被4 除余2的数；或a ，b 都是被4除余2的数。

(1) 若a ，b 均为奇数，则a 2与b 2必被4除余1，则c 2必被4除余2，但完全平方数被 4除只能余0或1，矛盾。

(2) 若a ，b 中一个是奇数，另一个是被4除余2的数；不妨设a =2k +1，b =2(2m +1) (其 中k ，m 均为整数)，则a 2=4k 2+4k +1=4k (k +1)+1。因为连续整数之积k (k +1)能被2 整除，所以a 2被8除余1，而b 2=22(2m +1)2=16m (m +1)+4，于是b 2被32除余4，所 以a 2+b 2被8除余5，即c 2被8除也余5，但完全平方数被8除只能余0或1或4， 矛盾。

(3) 若a ，b 都是被4除余2的数。设a =2(2k +1)，b =2(2m +1) (其中k ，m 均为整数)， 则由a 2+b 2=c 2知c 2为偶数，于是c 为偶数，设c =2n ，则a 2+b 2=(2n )2=4n 2，即

22(2k +1)2+22(2m +1)2=4n 2，约去公因子4，得(2k +1)2+(2m +1)2=4n 2，变成两个奇数平 方和的情形，根据(1)得出矛盾。

综上，假设“a ，b 都不是4的倍数”不成立，所以“a ，b 中必有一个能被4整除”成立。

因为(3，4)=1，所以a b能被12整除。即这个矩形的面积必为12的倍数。