圆周运动-万有引力-计算题

圆周运动和万有引力与航天
计算题
1．（12分）北京时间2008年9月25日21点10分，中国自行研制的第三艘载人飞船神舟七号，在酒泉卫星发射中心载人航天发射场由“长征二号F”运载火箭发射升空。

中国航天员翟志刚、刘伯明、景海鹏搭乘神舟七号飞船联袂出征太空，实现中国航天员首次空间出舱活动。

这是中国“神舟”飞船首次三人满载执行载人航天飞行任务，也是中国“长征”系列运载火箭第一百零九次航天发射。

9月28日17时36分许，神舟七号返回舱顺利着陆，完成载人航天任务。

（1）神舟七号在绕地球飞行过程中离地高度约为340Km，试估算飞船在飞行过程中的运行速度是多少？飞船绕地球飞行一周所需的时间为多少？
（2）神州飞船在返回过程中主降落伞将飞船下降速度降低至约10m/s，在离地面1.2m 时，反冲火箭开始工作。

假设反冲火箭工作时飞船的加速度是均匀的，飞船接触地面时的速度为2m/s,若航天员和其身上装备的总质量为80Kg，试根据相关数据计算飞船的反冲火箭工作时航天员对其座椅的压力约为多大？（G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球表面重力加速度g=10m/s2，地球半径R＝6.4×103km，π2≈10，计算结果保留两位有效数字）
2．（10分）在光滑的水平面上，用一根轻绳系着一个质量为3kg的小球以10m/s的速度绕O点做匀速圆周运动，半径为4m,若运动到A点，突然将绳再放长4m, 绳绷紧后小球转入到另一轨道上做匀速圆周运动。

求：
⑴小球从放绳开始到运动到O点另一侧与AO两点共线的B点所用的时间？
⑵在B点绳子所受到的拉力。

A v
3、（08宁夏卷）23.（15分）天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。

双星系统在银河系中很普遍。

利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。

（引力常量为G）
4、（04全国卷）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。

假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为υ0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。

已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。

火星可视为半径为r0的均匀球体。

（16分）
5、（07上海） （10分）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处。

（取地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计）
⑴求该星球表面附近的重力加速度g /；
⑵已知该星球的半径与地球半径之比为R 星:R 地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M 星:M 地。

6、（00天津、江西卷） （12分）2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬
40=α，已知地球半径R 、地球自转周期T 、地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c 。

试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。

7、（01北京、内蒙古、安徽卷） （12分）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。

1、解：(1)飞船在运行过程中万有引力提供向心力 地球表面的物体受到的万有引力近似等于重力
飞船运行速度： 飞船在运行过程中万有引力提供向心力 由(2) (3)得：飞船运行周期
由运动学公式
有反冲火箭工作时飞船的加速度 负号表示加速度方向竖直向上
对航天员进行受力分析，由牛顿第二定律有： 得航天员受到座椅对他竖直向上的支持力为 由牛顿第三定律有航天员对座椅的压力为
2解：⑴小球做匀速圆周运动，突然放绳则小球以原有的速度做匀速直线运动到C ，在C 点处一瞬间8m 绳突然拉直，沿绳方向的速度v y P 突变为0，而小球将以v x 做匀速圆周运动，到达B 点，
由几何关系可知：S 1=AC=m OA OC 3422=- (1分) ∠AOC=60°=π/3
s v S t 10
3411== （1分）
∠BOC=120°=2π/3 (1分)
在C 点，由矢量三角形可知：v x =vcos60°=v/2 (2分)
s v R t x
5
38
22
2⨯⨯=
=
πθ （1分） s t t t 04.415
16103421=+=
+=π
总 （1分） A B
v
O
v v x
v y
C
mg R
Mm
G =2s m h R gR V /108.7)
(3
2⨯=+=2
2
24)()(T
h R m h R Mm G π+=+s gR
h R T 3
2
32104.5)(4⨯=+=πax
v v 22
2
0=-2
22/4020s m x
v v a -=-=ma
mg F =-N
a g m F 4000)(=+=N
F F 4000/==
(2)在B 点，则有：N R mv T 375.98
25
322=⨯== （3分）
3. 解析：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为w 1,w 2。

根据题意有
w 1=w 2
①
r 1+r 2=r
②
根据万有引力定律和牛顿定律，有
G
12112
2
1r w m r
m m = ③
G
12
212
21r w m r
m m =
④
联立以上各式解得
2
121m m r
m r +=
⑤
根据解速度与周期的关系知
T
w w π221=
=
⑥
联立③⑤⑥式解得
3
22214r G
T m m π=+
4. G ── M r m 02′ = m ′g ′ ① G ── M r m 2 = m ( ── 2πT )2r ② υ12 =2 g ′h ③ υ = √───────── υ12 +υ02 ④ υ =
√
─────── ─────── 8π2
2h T r 0
2 r
3 +υ02 5. 解：⑴0
2v t g
=
故：/
21
2 m/s 5
g g =
=
⑵2GM
g R
=，所以2gR M G =
可解得：M 星:M 地＝1⨯12:5⨯42＝1:80，
6. 参考解答：
设m 为卫星质量，M 为地球质量，r 为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有，
2
2
ωmr r
mM G
= ○1 式中G 为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等有
T π
ω2=
○2 因mg R
Mm
G =2
得2
gR GM = ○3
设嘉峪关到同步卫星的距离为L ，如图所示，由余弦定理 αcos 222rR R r L -+= ○4 所求时间为
c
L
t =
○5 由以上各式得
c
a gT R R R gT R t cos 4243
122
223
2
22
2⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=
ππ ○6
7. 参考解答：
设两星质量分别为21M M 和，都绕连线上O 点作周期为T 的圆周运动，星球1和星
球2到O 的距离分别为21l l 和．由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得
12
1
221)2(l T M R M M G
π= ①
22
22
21)2(l T M R
M M G
π= ②
R l =+21
③
联立解得
2
3
2214GT
R M M π=+ ④
评分标准：本题12分．①、②、③、④各占3分．。