三角函数的诱导公式] · [基础] · [知识点+典型例题]

三角函数的诱导公式
知识讲解
一、同角三角函数的基本关系式
平方关系：22sin cos 1x x +=，22sec tan 1x x -=，22csc cot 1x x -= 商数关系：
sin tan cos x x x =，cos cot sin x
x x
= 倒数关系：1
1
1
sec ,csc ,tan cos cos cot x x x x x x ===
注意：①“同角”，至于角的形式无关重要，如22
sin 4cos 41αα+=等；
②这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
π
tan cot 1(,)2k k ααα⋅=≠
∈Z ；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
cos α=22sin 1cos αα=-，
sin cos tan α
αα=
等．
④特殊角的三角函数值
二、诱导公式
1.角α与2π()k k α+⋅∈Z 的三角函数间的关系
sin(2π)sin k αα+=,cos(2π)cos k αα+=,tan(2π)=tan k αα+
2.角α与α-的三角函数间的关系
sin()sin αα-=-,cos()cos αα-=,tan()tan αα-=-
3.角α与(21)π()k k α++∈Z 的三角函数间的关系
[]sin (21)πsin k αα++=-,[]cos (21)πcos k αα++=-,[]tan (21)πtan k αα++=
4.角α与
2π
α+
的三角函数间的关系
πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,πcos sin 2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,πtan cot 2αα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭
诱导公式的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”，具体指的是对于任意三角函数，以 πsin 2y m ϕ⎛⎫=⋅+ ⎪
⎝⎭为例，若m 为π2的偶数倍，则函数名不改变，根据角ϕ所在象限判断 变换后的三角函数的符号，若m 为π
2的奇数倍，则函数名改变成余弦，符号同理仍然看
象限．
典型例题
一．选择题（共10小题）
1．（2018•甘肃模拟）已知cos（）=，则sinθ=（）
A．B．C．﹣D．﹣
【解答】解：∵cos（）=，∴cos（﹣θ）=2﹣1=﹣=sinθ，即sinθ=﹣，
故选：C．
2．（2018•南充模拟）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么f（2018）=（）
A．1 B．2 C．0 D．﹣1
【解答】解：f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，
若f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）=﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，则asinα+bcosβ=1，
那么f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bcosβ=1，
故选：A．
3．（2018•陕西三模）计算cos2025°=（）
A．B．C．D．
【解答】解：cos2025°=cos（360°×6﹣135°）=cos（﹣135°）=cos135°=．故选：B．
4．（2018•延安模拟）已知：sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ=（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=cosθ﹣3cosθ=﹣2cosθ=sin（﹣θ）=﹣sinθ，∴tanθ=2，
则sinθcosθ+cos2θ===，
故选：D．
5．（2018•广东二模）若，则=（）A．B．C．D．
【解答】解：若，则=﹣cos（）=﹣．
故选：D．
6．（2018春•海珠区期末）已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cos（π﹣θ）的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：∵角θ的终边过点（4，﹣3），
∴cosθ=
∴cos（π﹣θ）=﹣cosθ=﹣，
故选：B．
7．（2017秋•通州区期末）sin 330°=（）
A．﹣B．C．﹣D．
【解答】解：sin330°=sin（360°﹣30°）=﹣sin30°=﹣，
故选：A．
8．（2017秋•东城区校级期末）cos600°等于（）
A．B．C．﹣D．﹣
【解答】解：cos600°=cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣，
故选：D．
9．（2018春•桂林期末）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）
A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=﹣sinC
C．cos（+C）=sinB D．sin=cos
【解答】解：∵角A，B，C是△ABC的三个内角，∴A+B=π﹣C，∴cos（A+B）=cos（π﹣C）=﹣cosC，故排除A；
又sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，故排除B；
∵sin=sin=cos ，故D满足条件；
由于+C有可能为钝角，故cos（+C）可能小于零，而sinB＞0，故C不一定成立；
故选：D．
10．（2017秋•西城区期末）计算sin（π﹣α）+sin（π+α）=（）
A．0 B．1 C．2sinαD．﹣2sinα
【解答】解：sin（π﹣α）+sin（π+α）=sinα﹣sinα=0．
故选：A．
二．填空题（共3小题）
11．（2018•黄浦区一模）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，
∴cosα=，
又α∈（﹣，0），
∴sinα=﹣，
∴tanα==﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（2018•嘉定区一模）已知，则=．
【解答】解：∵sinα=，
∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．
故答案为：﹣
13．（2017•上海模拟）若，则=．
【解答】解：∵，
∴=﹣cosα=﹣．
故答案为：﹣．
三．解答题（共2小题）
14．（2013春•罗庄区校级月考）已知，计算：
（1）sin（5π﹣α）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：因为sin（π+α）=﹣，所以﹣sinα=﹣，即sinα=，
（1）sin（5π﹣α）=sin（π﹣α）=sinα=；
（2）sin（）=cosα==；
（3）cos（）=cos（）=﹣sinα=﹣；
（4）tan（）===．
15．（1977•福建）求cos（﹣840°）的值．
【解答】解：cos（﹣840°）=cos840°=cos（2×360°+120°）=．。