华南理工《离散数学》模拟题及答案

1. A．1＋101＝110

C．全体起立!

B．中国人民是伟大的。D．计算机机房有空位吗?

在上面句子中, 是命题的是( B)

2．设Q( x) : x是有理数, R( x) : x是实数。命题”某些实数是有理数”在谓词逻辑中的符号化公式是( D)

A．( ∀x) ( Q( x) → R( x) ) C．( ∃x) ( Q( x) → R( x) ) B．( ∀x) ( Q( x) ∧R( x) ) D．( ∃ x) ( Q( x) ∧ R( x) )

3.对于集合{1, 2, 3}, 下列关系中不等价的是( B)

A．R={<1,1>, <2,2>, <3,3>}

B．R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,4>}

C．R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3, 2>,<2,3>}

D．R={<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>,<1,3>, <3,1>,,<3,3>,<2,3>,<3,2>}

4．设A={1, 2, 3, 4, 5}, B={a, b, c, d, e}, 以下哪个函数是从A到B的

双射函数( B)

A．F ={<1, b>, <2, a>, <3, c>, <1, d>, <5, e>}

B．F={<1, c>, <2, a>, <3, b>, <4, e>, <5, d>}

C．F ={<1, b>, <2, a>, <3, d>, <4, a>}

D．F={<1, e>, <2, a>, <3, b>, <4, c>, <5, e>}

5．下列判断不正确的是( D)

A．{n 2 n∈ N}关于普通加法构成群

B．{n 2 n∈ N}关于普通乘法构成独异点

C．所有实数对< a,b >关于 运算, 其中< a,b > < c,d >=< a + c,b+ d >构成群D．实数集R关于 运算构成半群, 其中a b = 2(a + b)

二、判断题( 本大题20分, 每小题4分)

1、命题公式p→(⌝p∧q)是重言式。( ×)

( √) 2、 ( ( ∀x) A( x) → B) ⇔( ∃x) ( A( x) → B) 。

3、设A={a, b, c}, R∈ A×A且R={< a, b>,< a, c>},则R是传递的。( √)

4、n阶无向完全图K n的每个顶点的度都是n。( ×)

( ×) 5、根树中除一个结点外, 其余结点的入度为1。

三、解答题( 计算或者证明题: 本大题50分, 每小题10分)

1．设命题公式为⌝ Q ∧( P → Q) → ⌝ P。

( 1) 求此命题公式的真值表;

( 2) 求此命题公式的析取范式;

( 3) 判断该命题公式的类型。

P Q ⌝Q P→Q ⌝ Q ∧( P → Q) ⌝ P ⌝ Q ∧( P → Q) → ⌝ P

0 0 1

0 1 0

1 0 1 1 1 0 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

( 2) ⌝ Q ∧( P → Q) → ⌝ P⇔ ⌝( ⌝ Q ∧( ⌝P∨ Q) ) ∨⌝ P

⇔( Q∨ ⌝( ⌝P∨ Q) ) ∨⌝ P⇔ ⌝( ⌝P∨ Q) ∨( Q∨ ⌝ P) ⇔ 1( 析取范式) ⇔( ⌝P∧⌝Q) ∨( ⌝P∧Q) ∨( P∧⌝Q) ∨( P∧Q) ( 主析取范式)

( 3) 该公式为重言式

2．用直接证法证明:

前提: ( ∀x) ( C( x) → W( x) ∧R( x) ) , ( ∃x) ( C( x) ∧Q( x) )

结论: ( ∃x) ( Q( x) ∧R( x) ) 。

2、证(1)( ∃x) ( C( x) ∧Q( x) )

(2)C( c) ∧Q( c) P

ES (1)

(3)( ∀x) ( C( x) → W( x) ∧R( x) ) P

(4) C( c) → W( c) ∧R( c)

(5) C( c)

(6)W( c) ∧R( c)

(7)R( c) US(3) T(2)I T(4,5)I T(6)I T(2)I

(8)Q( c)

(9)Q( c) ∧R( c) T(7,8)I

EG(9)

(10)( ∃x) ( Q( x) ∧R( x) )

3．设R是集合 A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系。

(1)给出关系R;

( 2) 给出COV A

( 3) 画出关系R的哈斯图;

( 4) 给出关系R的极大、极小元、最大、最小元。

3、解R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>, <1,12>,<2,4>,<2,6>, <2,12>, <3,6>, <3,12>, <4,12>,<6,12>}∪I A

COV A={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<2,6>, <3,6>, <4,12>, <6,12>}

作哈斯图如右: 12

6

4

极小元和最小元为1;

2

极大元和最大元为 12

4．如图所示带权图, 用避圈法(Kruskal算法)求一棵最小生成树并计算它的权值。

解

1

3 2

5

4

C(T)=1+ 3+ 4+ 5+ 2 =15

5、设字母a,b,c,d,e, f在通讯中出现的频率为: a:30%,b:25%,c:20%,

d :10%,e:10%, f :5%。试给出传输这6个字母的最佳前缀码? 问传输1000个字符需要多少位二进制位?

解先求传输100个字符所需要的位数。a:30,b:25,c:20,d :10,e:10, f :5是依照出现频率得出的个数。构造最优二叉树如下:

5 10 10 20 25 30

15 10 20 25 30 100

45 55

25 20 25 30

25 45 30

45 55

25 10 11

30

01

10 20 25

00110

10

0001

5

0000

100

需要二进制位数为10W (T) =10⨯{4⨯(5+10)+3⨯10+ 2⨯(20+ 25+30)}= 2400