-泰勒公式
泰勒公式
一、泰勒公式
x − sin x lim x→0 x3
x − f ( x) x − ( x + x3 + x5 ) lim = lim 3 x →0 x →0 x x3
在 3.1 节微分中， 已知
若 f ( x ) 在 x 0 可导，有
(1)
f ( x ) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
(a )
x (4)
= a x (ln a ) 4
a (ln a ) 4 r4 ( x ) = x 4!
ξ
4
(ξ 在 0 与 x 之间)
(2) 注意求哪一点处的泰勒公式．
例如求 e 在 x = 1 处带皮亚诺型余项的 n 阶泰勒公式．
x
e = e⋅e
x
x −1
1 1 2 n n = e 1 + ( x − 1) + ( x − 1) + " + ( x − 1) + o ( x − 1) 2! n!
f
(k )
( x) =
( −1)
k −1
( k − 1)!
k
(1 + x )
f
(k )
(0) = ( −1)
k −1
( k − 1)!
ln(1 + x ) = x −
1 2 1 3 n n −1 1 n x + x − " + ( −1) x + o( x ) n 2 3
( 5)
f ( x ) = (1 + x )µ
或 f ( x) ≈ P( x)
泰勒公式
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
泰勒公式介绍
泰勒公式介绍
泰勒公式（Taylor's theorem）是微积分中的一个重要定理，由英国数学家布鲁尔·泰勒（Brook Taylor）于18世纪初提出。
它是一种以多项式近似表示函数的方法，可用于在某一点附近展开函数为无限项的幂级数。
泰勒公式表达了任何可导函数在某一点附近可以通过多项式来近似表示的理论。
具体而言，设函数f(x)在[a, b]上具有n+1阶导数，则对于任意的x_0∈(a, b)，存在一个介于x和x_0之间的c，使得：
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f''(x_0)(x-x_0)^2/2! + ... +
f^n(x_0)(x-x_0)^n/n! + R_n(x)
其中f'(x_0)表示f(x)在x_0点的一阶导数，f''(x_0)表示f(x)在x_0点的二阶导数，以此类推，f^n(x_0)表示f(x)在x_0点的n 阶导数。
此外，R_n(x)表示余项，表示了使用泰勒公式进行多项式近似时的误差。
根据泰勒公式，通过选取适当的多项式项数n，可以使得多项式在某一点附近与原函数的值非常接近，从而可以将复杂的函数问题转化为简单的多项式问题。
这在数值计算和近似计算中具有极大的应用价值。
需要注意的是，泰勒公式只能在某一点附近进行多项式近似，因此近似的有效性局限于x不太远离x_0的范围。
此外，在一些边界或奇点附近，泰勒级数可能会出现发散现象，导致近似
失效。
因此，在应用泰勒公式时需要谨慎选择合适的展开点和多项式项数。
第三节 泰勒公式
f(
k
)
(x) n(n 1)(n k
f (k)(0) n(n 1)(n
1)(1 x)n牛k顿二项展开式是
k 1). 泰勒公式的特例!
ff(1((x x)x))n f(a )
f
1(f
0(a))
( x
f
a
)n(0f )(ax)
(x naf()n2(01))
x2
1!
1! 2!
2!
n(nf
1()k()n(0k )1) xn k!
1!
2!
f (n)(a) (x a)n
多项式 f (x) 的泰勒公式
n!
例1. 按x 1的方幂展开f ( x) x3 3x2 2x 4.
解: f ( x) x3 3x2 2x 4 f (1) 6;
f (x) 3x2 6x 2
f (1) 7;
f ( x) 6x 6
f (x) f (x0) x x0
f ( x0 )
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 ),
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ). (3.1)
一次多项式 p1( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
(
x0
)
lim
x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
a1
.
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) a2(x x0 )2 o[(x x0 )2].
f
( x)
f
( x0 ) f ( x0 )( x ( x x0 )2
x0 )
泰勒公式
f
(k )
(k = 0 , 1 , 2 , … , n) (0) sin(x k ) 2 x 0
k si n 2
0 ,
k = 2m
(－1)m , k = 2m+1
数学分析（上）
可得
x sin x x 3!
3
3
(1)
5
n 1
x n cos x 2 n 1 (1) x (2n 1)! (2n 1)!
数学分析（上）
x 0 I， 设 f ( x ) 在区间 I 上具有 n+1 阶导数，
多项式 ( n) f ( x0 ) n Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n! 称为 f ( x )在x0处 n次Taylor多项式,公式(1)称为 f ( x ) 按 ( x x0 ) 的幂展开的 n阶泰勒公式， Rn ( x ) 称为拉格朗日型余项 . 注 1) n = 0 时 , 得到 Lagrange 中值定理 . 因此 Taylor公式是 Lagrange 定理的推广 . 2) n = 1 时 , 得到微分近似计算公式 .
2 n 1
x x sin x x 3! 5!
2 4
(1)
n 1
x 2 n 1 o x (2n 1)!
2n
2 n 1
x x n x 2 n 1 cos x 1 (1) o( x ) 2! 4! (2n)!
o( x )
数学分析（上）
Rn
( n 1 )
( x) f
( n 1 )
( x)
( n)
令 g（x）= ( x －x0 )n+1 , 则
泰勒公式两种展开式
泰勒公式两种展开式泰勒公式是数学中的一个重要定理，它可以用来将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式，从而更好地近似原函数。
本文将介绍两种常见的泰勒公式展开式。
一、泰勒公式展开式泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式。
它的公式表达式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中，f(a)表示在点a处函数的值，f'(a)表示在点a处函数的一阶导数，f''(a)表示在点a处函数的二阶导数，以此类推。
Rn(x)表示余项。
二、麦克劳林公式展开式麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况，它把泰勒公式中的a取为0，即在原点处展开。
其公式表达式如下：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ... + f^n(0)x^n/n! + Rn(x)其中，f(0)表示在原点处函数的值，f'(0)表示在原点处函数的一阶导数，f''(0)表示在原点处函数的二阶导数，以此类推。
Rn(x)表示余项。
总结：以上是两种常见的泰勒公式展开式，它们都是将一个函数在某一点处展开成多项式的形式。
对于一些无法直接求解的函数，利用泰勒公式展开式可以进行近似求解，以达到更好的精度。
同时，泰勒公式也可以用于数值计算、微积分等领域，具有广泛的应用价值。
6.3 泰勒公式
二、皮亚诺型余项泰勒公式
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n + Rn ( x), + L+ n! n 其中 Rn ( x) = o[( x − x0 ) ] ( x → x0 ).
{
L + an ( x − x0 )n ≈ f (x)
系数怎么定? 问题 (1) 系数怎么定 (2) 误差 如何估计 表达式是什么 误差(如何估计 表达式是什么? 如何估计)表达式是什么
5
6.3 泰勒公式
1. n 猜想 近 1. x0 似 程 Pn ( x0 ) = f ( x0 ) 度 越 2. 来 ′ Pn ( x0 ) = f ′( x0 ) 越 好 3.
f ′′(0) 2 f (n) (0) n x + o( xn ) f ( x) = f (0) + f ′(0) x + x + L+ 2! n! ( x → 0)
带有皮亚诺型余项的麦克劳林( 带有皮亚诺型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式 麦克劳林 )
代入上公式, 代入上公式 得
x2 xn n x e = 1 + x + + L+ + o( x ) ( x → 0). 2! n!
分析 即证
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! ( n)
f
Rn ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ).
8个泰勒公式常用公式
8个泰勒公式常用公式泰勒公式是一种在微积分中非常重要的工具，它可以利用函数在其中一点的导数来近似地表示函数在该点附近的取值。
在数学和物理等领域，泰勒公式广泛应用于函数的近似计算和数值求解等问题。
下面我们介绍一些常用的泰勒公式及其应用。
1.一阶泰勒公式一阶泰勒公式也称为泰勒展开式，用于近似地表示函数在其中一点附近的取值。
设函数$f(x)$在$x=a$处可导，则函数$f(x)$在$x=a$处的一阶泰勒公式为$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的导数。
一阶泰勒公式常用于近似计算和数值求解等问题中。
2.二阶泰勒公式二阶泰勒公式是泰勒展开式的推广，用于更精确地近似表示函数在其中一点附近的取值。
设函数$f(x)$在$x=a$处二阶可导，则函数$f(x)$在$x=a$处的二阶泰勒公式为$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2$$其中$f''(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的二阶导数。
二阶泰勒公式在高精度数值求解和近似计算等问题中广泛应用。
3.泰勒级数泰勒级数是将一个函数在其中一点处展开成无穷级数的形式，用于表示函数在该点附近的取值。
设函数$f(x)$在$x=a$处具有无限阶导数，则函数$f(x)$在$x=a$处的泰勒级数为$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...$$泰勒级数是一种非常重要的数学工具，能够用无穷阶导数展开的形式表示函数，具有广泛的应用价值。
4.泰勒多项式泰勒多项式是将函数在其中一点处展开成有限项多项式的形式，用于近似地表示函数在该点附近的取值。
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介于x与x0之间)
注：(1)拉格朗日型余项Rn (x) o (x x0)n
称Rn (x) o (x x0)n 为佩亚诺型余项；
f (x)
f (x0 )
f
'(x0 )(x x0 )
f
''( x0 2!
)
(
x
x0
)2
L
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o
(
x
x0
)n
.
f (x)按(x x0 )的幂展开的 带佩亚诺型余项的泰勒公式
f (x)在含x0的某个开区间(a,b)内具有直到 (n 1)阶的导数.
对x (a,b),有
f (x)
f (x0 )
f
'(x0 )(x x0 )
f
''( x0 2!
)
(x
x0
)2
L
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(
x).
其中，Rn (x)
f (n1) (n
1)!
(
x
x0
)n1.(
例12. 求 lim n ( n n 1).
n
0型
法1 用洛必达法则 11
分析: 为用洛必达法则 , 必须改求 lim x2 (x x 1).
x
但对本题用此法计算很繁 !
法2
原式
11
lim n2 (nn 1)
n
lim
n
1
en
ln n
1
n
1 2
n
n
e
1 n
ln
n
1
eu 1～ u
lim
n
1 n
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
f
(
n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
x0
)n Mf((nn1x)1()n!)1
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
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(2)是微分中值定理的推广;
(3)在泰勒公式中若取 x0 0 则有
f (0) f (0)x f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
缺陷：(1)精确度不高； (2)没有给出误差的估计式.
设f (x)在含x0的开区间内有直到(n 1)阶导数.
问题：
(1) f (x) Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 L an (x x0 )n ?
(2) f (x) Pn (x) o (x x0)n ? 给出误差的具体表达式？
2! 3!
n! (n 1)!
ex 1 x 1 x2 1 x3 L 1 xn
2! 3!
n!
2.写出f (x) sin x带拉格朗日型余项的 n(n 2m)阶麦克劳林公式.
sin x
x
x3 3!
x5 -L 5!
(1)m1
x2m1 (2m 1)!
R2m
sin( x (2m 1) )
其中，R2m＝
1.求f (x) ex带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.
解：f (x) f '(x) f ''(x) L f (n) (x) ex.
于是，f (0) f '(0) f ''(0) L f (n) (0) 1.
f (n1) ( x) e x.
ex 1 x 1 x2 1 x3 L 1 xn e x xn1.(0 1)
ln
n
n
1 2
lim
n
ln n
1
n2
0
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§3-3 泰勒公式
f (x)在x0点可导，则
f (x) f (x0) f '(x0)(x x0) o(x x0). f (x) f (x0) f '(x0)(x x0) o(x x0).
f (x) f (x0 ) f '(x0 )(x x0 ).
2 x2m1.(0 1)
(2m 1)!
作业： 第143页：5.
(1)Pn (x0 ) f (x0 ); Pn '(x0 ) f '(x0 ); Pn ''(x0 ) f ''(x0 ); L Pn(n) (x0 ) f (n) (x0 ).
a0 f (x0 ); a1 f '(x0 ); 2!a2 f ''(x0 );
L n!an f (n) (x0 ).
a0
f (x0 ), a1
f
'(x0 ), a2
f
''(x0 ) ,L 2!
, an
f (n
f (x0 )
f
'(x0 )(x x0 )
f
''(x0 2!
)
(x
x0
)2
L
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n.
f (x)按(x x0 )的幂展开的带拉格
泰勒中值定理：朗日型余项的n阶泰勒公式