高数-泰勒公式 (1)
高数基础知识总结
( ) sin x
=
x−
x3 3!
+
x5 5!
+Λ
+ (−1)n
x 2n+1
(2n +1)!
+
0
x 2n+1
( ) cos x = 1−
x2 2!
+
x4 4!
−Λ
+ (−1)n
x 2n
(2n)!
+
0
x 2n
( ) ln(1 + x) = x − x2 + x3 − Λ + (− )1 n+1 xn + 0 xn
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义 设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
(log a
lim
f (x) g(x)
=
A
（或
∞
）
7．利用导数定义求极限
基本公式： lim ∆x→0
f (x0 + ∆x) −
∆x
f (x0 ) =
f ′(x0 )
[如果
值，如果对于区间 [a,b]上的任一点 x ，总有 f (x) ≤ M ，
则称 M 为函数 f (x) 在 [a,b]上的最大值。同样可以定义最
整数），则
lim
n→∞
xn
=
A 存在，且 A ≤
M
准则 2．（夹逼定理）设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
高数上3.3 泰勒公式
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
f
(n)
(x 0
)
(x
x
)n
R
(x)
n!
0
n
用类似的证明方法，我们可以证得另外一种带有 皮亚诺余项的泰勒公式.
设 f (x (n) ) 存在，则 0
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
例 2 求 f ( x) e x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n)( x) e x ,
f (0) f (0) f (0) f (n)(0) 1,
注意到 f ( (n1) x) e x 代入泰勒公式， 得
e
x
1
x
x2 2!
xn n!
ex (n 1)!
但这种近似等式存在明显不足, 首先是精度 不高,误差会比较大，其次是误差无法估计.
能否用其它较简单的曲线函数来近似替代 复杂的连续函数f(x)呢？
事实上多项式函数
Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
是一种处处连续可导分析性质很好的函数， 在n>1时，它是一条连续的曲线函数。 因此在讨论较复杂的连续函数f(x)在某一个 邻域内的分析性质时，经常用多项式函数来 近似代替较复杂的连续函数。
f
(5)
(
)
6
2
.
例1 写出函数 f ( x) x3ln x 在 x0 1 处的四阶
泰勒公式.
解
f
(4) ( x)
6 x
,
f (4)(1) 6,
f
(5)(
x)
6 x2
高数微积分泰勒公式
当对余项要求不高时, 可用Peano型余项
f(x ) k n 0f(k k )( !x 0 )(x x 0 )k o [x ( x 0 )n ]
称 为 f(x)按(xx0)的 幂 展带开 有P的 eano型余项 的n阶泰勒公式. 书上P209定理3.8
f(x ) f(x 00 ) f(x 00 )x ( x 00 ) f2 ( ! x 00 )(x x 00 ) 2
当xx0时,其误差(x是 x0比 )高阶的无 . 穷
以直代曲 如 当| x| 很小时, ex 1x, ln1(x)x（. 如下图）
y y ex
y
yx
y1x O
xO
yln 1 (x)
x
一次多项式
f(x 0)f(x 0)x (x 0) f (x)
不足 1. 精确度不高；2. 误差不能定量的估计.
希需望要解在 Pn决x(0x附 的) 问近a用题0 适 a当如如1 (的何何x 高提估x次高计0 )多精误 a项度差2 (式x?? x0 )2
同理 2!a2f(x0)L L ,n!anf(n)(x0)
得 akk1!f(k)(x0)(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )代入 Pn(x)中得
Pn(x)f (x0) f(x0)(xx 0)f 2(!x0 ) (xx0)2
L f (n ) ( x
n!
0
)
(x x 0 )n
Pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2 (!x0)(xx0)2 Lf(nn )(!x0)(xx0)n
设xx0, Rn(x),(x)在 [x0,x]上 连 , 续
在 (x 0,x )内,可 且 (x )导 0 .用1次 柯西定理
Rn(x) (x)
Rn(x) Rn(x0)
高数微积分公式大全3篇
高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。
下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。
1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。
极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。
导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。
泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。
5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。
柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。
高数里边的常规理论
高数里边的常规理论
高数马勒戈壁定理指的是费马定理、泰勒公式、拉格朗日定理、罗必达法则。
费马定理：当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
泰勒公式：可以用若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
拉格朗日定理：存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理(群论)。
洛必达法则：是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
德国人沃尔夫斯凯尔曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。
费马大定理与黎曼猜想已经成为广义相对论和量子力学融合的m 理论几何拓扑载体。
考研数学利用泰勒公式求函数极限的方法探讨
考研数学利用泰勒公式求函数极限的方法探讨
0 引言
极限是微积分中一个非常重要的内容，极限的方法是微积分最基本的方法，如何计算极限是高等数学教学的重点和难点，也是考研高数的一个重要的考点，研究生入学考试数学试题几乎每年都有函数极限的题目，而且考查形式多种多样。
综合性题目一般考查的都是几种极限计算方法的综合，要求考生具有灵活运用知识解决问题能力。
纵观历年的试题，会发现很多综合性的题目应用泰勒公式与等价无穷小替换便可迎刃而解。
1 重要函数的泰勒公式
泰勒公式是考研数学的重要技术性工具，考研中通常应用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。
2 无穷小的运算
设m，n为正整数，则
3 实例
一般应用泰勒展开式求型未定式极限，可将f（x）展开到x的k 次方。
例2（2012考研数学三）计算
分析：所求极限是一个型未定式极限x，将分子加以处理会发现有等价无穷小存在，即
例3（2015年考研数学二）设函数f（x）=x+aln（1+x）+ bxsinx，g（x）=kx3，若f（x）与g（x）是x→0时的等价无穷小，求a，b，k的值。
解：由题意f（x）与g（x）是x→0时是等价无穷小，得
此题用洛必达法则也可求解，但过程非常繁琐。
综上所述，对于型未定式极限呈现的形式，且用洛必达法则求解较复杂或不可用，也没有常用的等价无穷小代换时，运用带有佩亚诺余项的泰勒公式求极限非常方便简洁。
应用泰勒公式时若一般形式为则（fx）展开到x的k次方，遵循上下同阶原则；若一般形式为（fx）-g（x），则将（fx），g（x）分别展开到他们的系数不相等的的最低次幂为止，遵循幂次最低的原则。
考研高数总复习泰勒公式(讲义)PPT课件
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注 意 到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!
考研高数知识点超强归纳
(t )
连续，
公 式 2 ． lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n = e ； lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞u = e ；
n→∞⎝ n ⎠
u→∞⎝ u ⎠
lim (1
+
v
)1 v
=
e
v→0
则 dy dx
=
f [ϕ2 (x)]ϕ2′ (x) −
f [ϕ1(x)]ϕ1′(x)
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和
2
( )e x ′ = e x
de x = e x dx
考研数学知识点-高等数学
ψ ′(t)存在，且ϕ ′(t) ≠ 0 ，则
(arcsin x)′ = 1
1− x2
d arcsin x = 1 dx 1− x2
(arccos x)′ = − 1
d arccos x = − 1 dx
1− x2
1− x2
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a, ]b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义 设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
且有
dy = dy du = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x)
dx du dx
对应地 dy = f ′(u)du = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x)dx
由于公式 dy = f ′(u)du 不管 u 是自变量或中间变量
6．隐函数运算法则
设 y = y(x) 是由方程 F (x, y) = 0 所确定，求 y′ 的方
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麦克劳林公式
f ( 0 ) f ( 0 ) x
x
2
f
(0)
x
n
n!
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x
f ( 0 ) 2!
x
2
f
(n)
(0)
x
n
误差 R n ( x )
M ( n 1) !
n!
x
n 1
M为 f
( n 1)
( x ) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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1 n! (n) p n ( x0 )
1 2!
p n ( x0 )
1 2!
f ( x 0 ) , , a n
பைடு நூலகம்1 n!
f
(n)
( x0 )
故 p n ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
1 n!
2 f ( x 0 )( x x 0 ) n
k
( k 1 , 2 , )
ln( 1 x ) x
x
2
n
x
3
( 1)
n 1
x
n
2
3
n
x
n 1
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
( 1)
n 1 (1 x ) n 1
f ( 0 ) 2!
( 0 1)
(n)
( 0 1)
f ( 0 ) 2!
x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
( 0 1)
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f
(k )
(k )
( x ) sin( x k
π 2
)
f
k 2m 0, ( m 1 , 2 , ) ( 0 ) sin k 2 ( 1) m 1 , k 2 m 1
f ( x ) f ( x 0 ) f ( )( x x 0 )
( 在 x 0 与 x 之间 )
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
f ( ) 2!
( x x0 )
2
可见
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
n f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x x 2 2 ! f ( x 0 ) ( x x n) ! ( x 0 )( x x 0 ) f ( x ) f ( x0 ) f 0 ( n 1 ) ( x ) 2 ! , 则有误差估计式 M 若在公式成立的区间上 f (n) ( n 1 ) f ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) M n 1 ( x x 0 ) n ! Rn ( x) ( n x1) ! ( 在 x 0 与 x 之间 ) ( n 1) !
( 在 x 0 与 x 之间 )
误差
( 在 x 0 与 x 之间 )
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d f
返回
结束
在泰勒公式中若取 x 0 0 , 记 x ( 0 1) , 则有
f ( 0 ) f ( 0 ) x
f ( 0 ) 2!
x
2
f
(n)
(0)
x
n
a1 2 a 2 ( x x 0 ) n a n ( x x 0 )
n 1 n2
2 ! a 2 n ( n 1) a n ( x x 0 ) n !a n
a0 p n ( x0 ) f ( x0 ) ,
a2
1 2!
a1 p n ( x 0 ) f ( x 0 ) ,
R n (1)
3 ( n 1) !
10
6
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e 11
1 2!
1 9!
2 .7 1 8 2 8 2
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e 1 1
1 2! 1 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 7 0 . 5 10
Rn
( n 1 )
( 2 在 x 0 与
n 1
( n 1)( 1 x 0 ) 0
(n) Rn (
(n)
1 之间 )
n ) Rn ( x0 )
( n 1 ) 2 ( n x 0 ) 0
( )
( n 1) !
( 在 x 0 与 n 之间 ) x
π
sin x x
x
3
x
5
( 1)
m
m 1
x
2 m 1
3!
5!
( 1 m 1 sin( ) xcos(2 x )π)
2
( 2 m 1) !
x
f
2 m 1
R2m ( x)
其中 R 2 m ( x )
麦克劳林公式
( 0 1)
( 2 m 1) !
阶的导数 , 则当
f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
时, 有
f ( x 0 ) 2! ( x x0 )
2
f
(n)
( x0 )
n!
( x x0 ) R n ( x )
n
①
其中 R n ( x )
f
( n 1 )
( )
( n 1) !
n 1
Rn ( x ) Rn ( x0 ) ( x x0 )
n 1
0
n
R n ( 1 ) ( n 1)( 1 x 0 )
n
( 1 在 x 0 与 x 之间 )
R n ( 1 ) R n ( x 0 )
R n ( 2 ) ( n 1 ) n ( 2 x 0 )
f ( 0 ) 2!
(n)
f ( 0 ) f ( 0 ) x
x
2
(0)
x
n
( 0 1)
n!
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类似可得
cos x 1
x
2
2!
x
4
( 1) m
x
2m
4!
m 1
(2m ) !
R 2 m 1 ( x )
其中
R 2 m 1 ( x )
f ( x 0 ) 2!
( x x0 )
2
f
(n)
( x0 )
n!
( x x 0 ) o [( x x 0 ) ]
n
n
④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
④ 式成立
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f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
解: 近似公式的误差
R3 ( x ) x
4
cos( x )
x 24
6
,
总误差限为 7 0 . 5 10 6 10 6 5 10 6 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6 . 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
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例2. 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
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f
(n)
( x 0 )( x x 0 )
2. 余项估计
令 R n ( x ) f ( x ) p n ( x ) (称为余项) , 则有
R n ( x0 ) Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) 0
(n)
Rn ( x) ( x x0 )
f ( 0 ) 2!
( 0 1)
(1 x )
f
(n)
n 1
x
n 1
( 0 1)
f ( 0 ) f ( 0 ) x
x
2
(0)
x
n
n!
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已知 f 因此可得
(k )
( x ) ( 1)
k 1
( k 1) ! (1 x )
( x x0 )
n 1
( 在 x 0 与 x 之间 ) ②
公式 ① 称为
的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到
R n ( x ) o [( x x 0 ) ]
n
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )