相遇问题 (2)
5.2 相遇问题(二)
2 相遇问题（二）学习目标:1、认识速度和、相遇时间、相遇路程，掌握三者之间的等量关系；2、利用数形结合思想，熟悉画线段图和矩形图的方法解决问题；3、在解决相遇问题的过程中，运用问题解决的模式，让学生经历发现问题、分析问题、解决问题的过程，发展学生的模型思想。
教学重点:1、掌握速度和、相遇时间、相遇路程三者之间的等量关系；2、利用数形结合思想，熟悉画线段图和矩形图的方法解决问题。
教学难点：如何解决较复杂的相遇问题教学过程：一、情景体验PPT展示图片，师根据书本讲解故事。
师：同学们，你知道这条小狗一共跑了多少路程吗？实际上小狗跑的时间就是小奥和朋朋相遇时所用的时间。
这里面就涉及到我们之前学习的行程问题中的相遇问题。
首先来看两道简单的应用题。
实用文档1、A、B两地相距500千米，甲、乙两车以每小时60千米、40千米的速度分别从A、B两地同时相向出发，几小时两车相遇？学生读题师：本题关键词“从A、B两地同时相向出发”，说明是什么问题？生：相遇问题。
师引导学生画出线段图师：之前已经学过相遇问题，现在我们再来复习回顾一下。
甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，那么甲乙两车合起来一小时行60+40=100（千米）。
所以两车相遇，即走完全程500千米需要的时间为500÷100=5（小时）。
列综合算式：500÷（60+40）=5（小时）500是指A、B两地的距离，也是甲乙两车所走的路程和，我们称为相遇路程。
60是甲车的速度，40是乙车的速度，所以60+40是两车的速度和。
5小时是两车的相遇时间。
因此可以得出：相遇路程÷速度和=相遇时间。
根据这个数量关系，还可以得到：相遇路程÷相遇时间=速度和，相遇时间×速度和=相遇路程。
2、A、B两地相距500千米，甲、乙两人相向而行，5小时相遇，已知甲每小时比乙快20千米，甲、乙的速度各是多少？学生读题实用文档师：读完题目，发现这仍然是什么问题？生：相遇问题。
相遇问题2
相遇问题（二）1、A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时行50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车后又折回向甲车飞去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？2、甲、乙两车分别同时从A、B两地相向而行，甲每小时行80千米，乙每小时行65千米，相遇时，离中点还有30千米。
A、B两地相距多少千米？3、甲、乙两人骑自行车分别从东、西两村同时出发，相向而行，相遇时据两村中点2.4千米。
已知甲的速度是乙的2倍，那么东、西两村相距多少千米？4、甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。
甲、乙两人从A地，丙从B地同时相向出发，丙从B地同时相向出发，丙遇乙后2分钟遇到甲，Ａ、B两地相距多远？5、甲、乙从东村、丙从西村同时出发，相向而行，甲每分钟走30米，乙每分钟走40米，丙每分钟行50米。
乙、丙相遇后，又过2.5分钟，甲、丙两人相遇，求东、西两村之间的距离。
6、甲、乙两车同时从A地到B地，甲车每小时比乙车少行10千米，乙车行驶3.5小时后到达B地并立即沿原路返回，在离B地20千米处与甲车相遇。
求甲车的速度7、有甲、乙两位同学在相距520米的两地之间竞走，两人同时分别从两地相向出发，甲每分钟走60米，乙每分钟走70米。
两位同学第一次相遇后继续前进，走到对方出发地点时，立即返回继续往回走，到第二次相遇时，走了多少分钟？8、甲、乙两地相距47.5千米，哥哥由甲地出发走向乙地，每小时走6.5千米，2小时后，弟弟从乙地出发走向甲地，弟弟3小时遇见哥哥，弟弟每小时走多少千米？9、龟兔赛跑，全程2000米，龟每分钟爬25米，兔每分钟跑320米，兔自以为速度快，在途中睡了一觉，结果龟到了终点时，兔离终点还有400米，兔在途中睡了多少分钟？10、甲、乙两城市相距312千米，一列快车从甲城开往乙城，一列慢车从乙城开往甲城，慢车比快车早1.4小时出发，快车走了2.2小时遇到慢车，已知快车比慢车每小时多行10千米，问相遇时两车各行了多少千米？11、育才小学有1828人，排成4路纵队，每横排之间相距0.5米，队伍每分钟走60米，走过一座桥，从队头进桥到队尾离开桥共8分钟，这座桥长多少米？。
相遇问题2
相遇问题知识要点相遇问题的特点是：两个运动的物体以不同的速度同时从两地沿着一条路线相向而行，两个物体的距离不断缩短，直到相遇。
基本数量关系式速度和×相遇时间=相遇路程相遇路程÷速度和=相遇时间相遇路程÷相遇时间=速度和例1：甲乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行55千米，乙车每小时行65千米，经过5小时两车在途中相遇。
求A、B两地相距多少千米？练习：1、快车每小时行52千米，慢车每小时行38千米，两车同时从相距630千米的两地相向而行，几小时后两车相遇？2、甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米。
两人2小时后相遇，两地相距多少千米？3、甲、乙两列火车同时由相距792千米的两地相向而行，9小时后相遇，甲车每小时行45千米，求乙车每小时行多少千米？例2：王伟和李明分别从甲、乙两地同时相向而行。
王伟每分钟走50米，李明每分钟走60米，两人在相距甲地800米处相遇。
求甲、乙两地相距多少米？练习：1、A、B两人同时从两地相向而行，A骑车每小时行14千米，B骑摩托车每小时行50千米，A离出发点56千米处与B相遇。
两地相距多少千米？2、小云和小强分别从家里出发，相向而行，10分钟后相遇，小云每分钟走80米，小强每分钟走50米，那么小云和小强家相距多少米？3、客车和货车同时从某地出发向背而行，客车每小时行56千米，货车每小时行50千米，当客车比货车多行42千米时，客车和货车相距多少千米？例3：一列客车从甲站开往乙站，每小时行85千米，同时一列货车从乙站开往甲站，每小时行75千米，两车在距中点25千米处相遇。
求甲、乙两站间的路程是多少千米？练习：1、两列火车从甲、乙两地同时出发，相对而行，第一列火车每小时行驶80千米，第二列火车每小时行驶75千米，两车在距离中点10千米的地方相遇。
求甲、乙两地间的距离。
2、小军和小光同时分别从甲、乙两村相对出发，小军每分钟走60米，小光每分钟走55i，两人在距中点20米处相遇，甲、乙两村相距多少米？3、一辆货车和一辆小轿车同时从A、B两城相对开出，货车每小时行50千米，小轿车每小时行80千米，当小轿车行到两城中点处时，与货车还相距90千米，A、B两城相距多少千米？例4：一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？课堂练习1、甲、乙两个车站相距550千米，两列火车同时由两站相向开出，5小时相遇。
行程之相遇问题(二)不同时相遇
行程之相遇问题(二)不同时相遇二、不同时的相向而行相遇此类问题的关键是有一物体先行，有一物体后行，但有共同的行驶时间，所以其基本数量关系是：两地距离=先行物体的速度×先行的时间＋（速度和）×同时行的时间后行的时间=甲乙共同行驶时间=（总路程-甲先行路程）÷（两人速度和）知道一物体速度比另一物体速度多多少时，其关系式主要有：快车速度=（全程＋多出来的速度×慢车行驶时间）÷（甲乙两车的总时间）慢车速度=（全程－多出来的速度×快车行驶时间）÷（甲乙两车的总时间）例1．一列火车于下午1时30分从甲站开出，每小时行60千米。
1小时后，另一列火车以同样的速度从乙站开出，当天下午6时两车相遇。
甲、乙两站相距多少千米？分析：总路程=先行物体的速度×先行的时间＋（速度和）×同时行的时间。
1时30分=1.5时60×1＋（60＋60）×（6-1.5-1）=60＋420=480（千米）答：甲、乙两站相距480千米例2．A、B两地相距1000千米，甲列车从A地开出驶往B地。
2小时后，乙列车从B 地开出驶往A地，经过4小时与甲列车相遇。
已知甲列车比乙列车每小时多行10千米。
甲列车每小时行多少千米？乙列车每小时行多少千米？分析：如果把乙列车的速度加上10千米每小时，那就相等于甲列车行了4×2＋2=10小时的路程，而这时路程=原来相距的全程+乙列车少的速度乘乙列车行驶的时间。
快车速度=（全程＋多出来的速度×慢车行驶时间）÷（甲乙两车的总时间）慢车速度=（全程－多出来的速度×快车行驶时间）÷（甲乙两车的总时间）慢车速度=快车速度-多出来的速度快车速度=慢车速度+多出来的速度甲：（1000＋10×4）÷（4×2＋2）=104（千米/小时）乙：（1000－10×6）÷（4×2＋2）=94（千米/小时）或：104-10=94（千米/小时）答：甲列车每小时行104千米，乙列车每小时行94千米。
六年级下册数学试题-小升初复习拓展：25. 相遇问题(二)全国通用
相遇问题（二）【知识要点】相遇问题的关系式：速度和×相遇时间=路程和路程和÷速度和=相遇时间路程和÷相遇时间=速度和【经典例题】【例1】两港相距482千米，甲、乙两快艇分别从A、B两港同时对开，行了2小时后，乙艇有事返回B 港，接着又继续开了3小时后两艇相遇。
甲艇每小时行50千米，乙艇每小时行多少千米？【例2】甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出。
甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。
两车在离中点32千米处相遇。
求A、B两地间的距离是多少千米？【例3】A、B两车同时从甲、乙两地相对开出，已知A车每小时行40千米，经过4小时，A车已驶过中点25千米，这时与B车还相距6千米，B车每小时行多少千米？【例4】甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米，乙队每小时行50千米，一个人骑摩托车每小时80千米，在两车队中间往返联络，问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？【例5】龟兔进行1000米赛跑。
小兔每分钟跑100米，乌龟每分钟跑10米。
当小兔跑到全程一半的时候，躺在路边睡着了。
当乌龟离终点还有40米的时候，小兔醒了，拔腿就跑。
它们谁胜利了？胜利者到终点时，另一个距终点还有多少米？【自我检测】1、双双与对对同时从家里出发相向而行，双双每分钟走52米，经过10分钟，双双已走过两家中点15米，这时与对对还相距20米，对对每分钟走多少米？2、甲、乙两人同时从相距1000米的两地相向而行，速度分别为每分钟120米，80米。
如果有一只狗与甲同时同向而行，速度每分钟500米，遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇到甲后又立即回头向乙跑去，这样不断来回，直到两人相遇为止，这时狗一共跑了多少米？3、兄弟俩从相距1400米的两地相向而行，甲每分钟行65米，乙每分钟行75米，甲出发4分钟后，乙才开始起步，乙带了一只狗和乙同时出发，狗以每分钟150米的速度向甲奔去，遇到甲后立即回头向乙奔去，遇到乙后又回头向甲奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住，问这只狗一共奔跑了多少米？4、龟兔赛跑，全程2000米，乌龟每分钟爬25米，兔子每分钟跑320米，兔子自以为速度快，途中睡了一觉，结果乌龟到了终点时，兔子离终点还有400米，兔子在途中睡了几分钟？5、两辆汽车从甲、乙两地相对开出，A车每小时行50千米，B车每小时行40千米，两辆汽车在距甲、乙两地中点20千米处相遇。
相遇问题(二)
行程问题---相遇问题（二）
例1：A、B两城相距458千米，甲车每小时行46千米，乙车每小时行38千米，两车先后从两城出发，相向而行，相遇时甲车行驶了230千米。
乙车比甲车早出发几小时？
例2：货车和客车同时从东西两地相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行42千米，两车在距离中点18千米处相遇，求东西两地相距多少千米？
例3：甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲乙在A地，而丙在B地，同时相向而行，丙遇到乙后10分钟和甲相遇。
求A、B两地间的路长多少米？
模拟训练：
1、小丽和小勇同时从相距2360米的两地相向而行，小勇每分钟走100米，小丽每分钟走80米，相遇时小丽走了960米。
小丽比小勇晚出发多少分钟？
2、两港口相距267千米，客船以每小时45千米的速度、货船以每小时33千米的速度先后从两港开出，相向而行，相遇时客船行了135千米。
货船比客船提前几小时出发？
3.甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米。
两人相遇时距离全程中点3千米。
求全程长多少千米？
4.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行56千米，两车距离中点16千米处相遇。
求AB两地相距多少千米？
5.甲每分钟走75米，乙每分钟走80米，丙每分钟走100米，甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相向出发，丙遇到乙后3分钟再遇到甲，求两镇之间相距多少米？
6.有三辆客车，甲、乙两车从东站，丙车从西站同时相向而行。
甲车每分钟行1000米，乙车每分钟行800米，丙车每分钟行700米，丙车遇到甲车后20分钟又遇到乙车。
求东西两站之间相距多少米？。
相遇问题 2
相遇问题相遇问题三要素：1、方向相反 2、时间一样 3、地点速度和×相遇时间=总路程总路程÷速度和=相遇时间总路程÷相遇时间=速度和难题画线段图：1、画一条线段表示总路程 2、画两个箭头表示速度 3、画红旗表示相遇点一、基本练习(1) 甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行9 0千米，几小时两列火车相遇？(2) 两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇。
两个车站之间的铁路长多少千米？(3) 甲、乙两列火车同时从相距9880千米的两地相向而行，经过52小时两车相遇。
甲列车每小时行9 3千米，乙列车每小时行多少千米？二、模仿练习1、两辆汽车同时分别从相距500千米的两地出发，相向而行，速度分别为每小时40千米和每小时60千米，几小时后两车相遇？2、甲乙二人从相距21千米的两地同时相背而行，经过4小时后两人相距85千米，甲每小时行7千米，乙每小时行多少千米？3、甲乙两船同时从相距984千米的两个码头相对出发，18小时后两船还相距390千米，甲船每小时行15千米，乙船每小时行多少千米？4、甲、乙两列汽车同时从两地出发，相向而行。
已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行32千米，相遇时甲车比乙车多行52千米。
求甲乙两地相距多少千米？5、A、B两地相距480千米，甲乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时行50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车返飞去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？6、一辆快车从甲镇开往乙镇，每小时行80千米，一辆慢车同时从乙镇开往甲镇，每小时行64千米，它们在离甲、乙两镇中点16千米处相遇，求甲乙两镇间的路程是多少千米？7、A、B两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行。
相遇问题2
面包车的速度×时间
小轿车的速度×时间
50千米
( x)
(x )
面包车用的时间＝小轿车用的时间
“两时人间约是定个同未时知坐数车我出们发可”以 说明用了什什么么表?示?
相遇时面包车行的路程
相遇时小轿车行的路程
遗
址
天
公
桥
园
50千米
方法一: 解:设经过x小时两车相遇。
40x＋60x = 50
100 X = 50
五年级数学上册
数学与交通
相遇问题
天
桥 遗ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
址
公
郭
园
庄
李
村
关于相遇，你是怎么理解的？
至少两个人； 要面对面运动。
如果说两人同时出发直 到相遇,说明了什么?
两人所用的时间相同。
张叔叔要给王阿姨送一份材料。两 人约定同时坐车出发。如图，遗址 公园距天桥50千米。
天 桥
遗 址 公 园
郭
庄
李
村
张叔叔
王阿姨
方法一： 解：设他们经过X分钟时间相遇。 70X+50X=2400
120X=2400 X=2400÷120 X=20
方法二： 2400÷（70+50）
=2400÷120 =20（分）
答：他们经过20分钟相遇。
举一反三
挖一条长165米的隧道，由甲、 乙两个工程队从两端同时施工。 甲队每天向前挖6米，乙队每天向 前挖5米，挖通这条隧道要用多少 天？
问题1
估计两人在哪个地方相遇？
天 桥
遗 址 公 园
郭
庄
李
村
小轿车的速度比面包车的速度快一些， 估计他们在李村附近相遇。
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相遇问题
教学目的：
1、使学生理解相遇问题的意义及特点。
2、学会分析相遇问题的数量关系，掌握相遇求路程的应用题的解答方法。
3、明白具体情况具体分析的道理，培养学生初步的辨证唯物主义观点。
教学重点：理解相遇问题的数量关系，建立解题思路，掌握解题方法。
教学难点：理解相遇问题中速度和、相遇时间和总路程之间的关系。
教学准备：计算机辅助教学软件一套。
教学过程：
一、动画引入，揭示课题1、通过电脑演示了解相遇问题中两个物体的运动情况。
电脑演示一声枪响后，两人相向而行，相遇前停下来。
提问：一声枪响后，你看到了什么?注意他们的出发时间和运动方向是怎样的?(板书：同时出发、相向而行)如果他们继续走下去，结果可能会怎样?(相遇、不相遇就停下来、相遇以后相交而过)结果究竟怎么样呢?请同学们继续观察。
电脑演示两人相遇。
(板书：结果相遇) 谁能完整的说说他们是怎样运动的? [评析：运用多媒体所具有的声、光、色、形的特点，创设动态情境，抓住"相遇问题"的关键，让学生形象地理解"同时出发"、"相向而行" 、"结果相遇"这几个相遇问题的几个基本要素，为例题教学扫除了文字障碍。
并且通过生动形象卡通画导入新课，大大激发了学生学习的兴趣。
]
2、揭示课题：
像这样，两人或两个物体同时从两地出发，相向而行，最后相遇，我们称这样的问题为相遇问题。
(板书课题：相遇问题)
过去我们学过一个物体运动的行程问题。
你们还记得一个物体运动时，速度、时间、路程三者之间有什么样的关系?(板书：速度×时间=路程) 今天研究的相遇问题中，运动物体变成了两个，他们的速度、时间和路程三者之间又有什么样的关系呢?今天咱们就一块儿来研究这个问题。
二、引导探究，教学新知
(一)教学准备题。
1、电脑配音显示准备题。
我是王一，我的速度是每分60米。
我是李二，我的速度是每分70米。
王一家距李二家390米，他俩同时从家里出发，向对方走去。
下面是他们两人走的时间和路程的变化情况表。
请同学们先看动画，再完成下表，然后讨论以下两个问题。
走的时间王一走的路程李二走的路程两人所走的路程和现在两人的距离1分60米和70米2分3分讨论：
①出发3分后，两人之间的距离变成了多少?说明了什么?
②相遇时，两人所走路程的和与两家的距离有什么关系?
2、观察填表，讨论分析。
(1)学生填写表格，并讨论屏幕上的两个问题。
(2)全班校对答案。
提问：2分时两人所走路程的和260米你是怎样计算的?
(①120+140=260米②130×2=260米)
(3)学生回答讨论的两个问题。
小结：刚才我们通过自己观察、填写、讨论，发现了两个物体同时出发、相向而行，相遇时，两人所走路程的和恰好就是两家的距离。
下面我们就利用这个规律自己来解决一些实际问题。
[评析：在准备题教学中，教师放手让学生自己观察、填写、讨论，不但使学生深刻理解了两人所走的路程与两家距离的关系，为研究解题方法作了充分的准备，而且充分体现了学生的自主学习精神。
]
(二)教学例5。
1、电脑出示例5及线段图：小强和小丽同时从自己家里走向学校。
小强每分走65米，小丽每分走70米，经过4分。
两人在校门口相遇。
他们两家相距多少米?
2、学生尝试解答，两生上台板书。
65×4 + 70×4 (65 + 70)×4 =260 + 280 =135×4 =540(米) =540(米)
3、学生自己分析解题思路：
①请用第一种方法的同学说说你是怎样想的? 提问：题中只有一个4，为什么算式中出现了两个4?
师：经过4分两人相遇，说明相遇时两人都行了4分，因此我们也可以把这个时间称为相遇时间。
相遇时间在这种解法中要用到两次。
②请用第二种方法的同学说说你的解题思路又是什么?
[评析：在学生已掌握路程、速度、时间三者间关系的基础上，联系学生已有的生活实际，通过自己探索，寻求出解答求相遇路程的思路，从而提高了学生分析问题和决问题的能力。
]
4、通过电脑演示强化两种解法的解题思路。
通过刚才的分析我们知道，相遇问题中求路程有几种解法?请看屏幕。
电脑演示：一种是先求出小强走的路程和小丽走的路程，再加起来就得到两人所走路程的和，也就是两家的距离;另一种解法是先把小强每分所走的路程和小丽每分所走的路程加起来，得到每分两人所走路程的和，因为经过4分相遇，再乘以相遇时间4，就得到了4分所走路程的和，也就是两家的距离。
[评析：通过大屏幕色彩鲜艳的线段闪铄演示，加深了学生对第一种方法的理解;"速度和"的概念是第二种解法的难点，通过将两人每分各行的路程"移动、合并"，形象地揭示了"速度和"的内涵。
教者灵活地利用多媒体图象的移动、合并、返回的运动特点，揭示"速度和、相遇时间、距离"之间的关系，加深了学生对第二种方法的理解。
]
5、总结数量关系式：请同学们观察这两种解法，你更喜欢哪一种?根据这种解法你发现在相遇问题中，速度、时间、路程三者之间有什么关系?(板书：和、相遇) 有了这个数量关系式，你知道相遇问题中路程需要知道哪些条件?
6、学生看书质疑。
三、巩固练习，深化提高
1、根据题意连线。
两列火车从两地同时相向开出。
甲车每小时行44千米，乙车每小时行52千米，经过2.5小时两车相遇。
44×2.5 两人的速度和52×2.5 两地的距离44 + 52 相遇时甲车所行的路程(44 + 52)×2.5
相遇时乙车所行的路程44×2.5 +52×2.5 2、用两种方法解答。
(59页做一做第1题)
3、只列式不计算。
(练习十三1、2题) 学生独立完成，集体订正。
反馈中
引导学生把第2题与前面的习题比较，明确虽然两车运动方向、出发地点等情况与前面习题不同，但它们都是求两个物体所行路程的和，都可以用速度和×时间=路程得到。
四、闯关游戏，拓思创新：电脑演示闯关画面，配音出示游戏规则。
1、第一关：猫和老鼠从两地相向而行，猫每分跑50米，老鼠每分跑6米。
跑了2分，还相距120米，求两地相距多少米? 提问：用速度和乘以时间得到了路程，为什么还要加120?
2、第二关：甲、乙两辆汽车从两地相对行驶。
甲车每小时行75千米，乙车每小时行69千米。
甲车开出后1小时，乙车才开出，再过2小时两车相遇。
两地相距多少千米?
3、第三关：甲乙两人从两地相向而行，甲每分行40米，乙每分行45米。
相遇以后相交而过，走了4分，两人相距90米，求两地相距多少米? 提问：为什么每一种算法都要减90?
4、小结：今后同学们在解答两个物体运动的行程问题时，首先要弄清他们运动的时间、方向和结果，再灵活运用相遇问题的思路进行解答。