素数分布论

连续素数：由小到大不间断的素数称作连续素数。例如：２、3、5、7、11……还可以表示为： 其中 为素数i=1、2、3、……表示素数由小到大的次序。
一个数是否是素数，还没有一般的判别方法，但是对于一个给定的数，我们可以找出所有不超过它的素数，因而也就判定了给定数n本身是不是素数。
定理1：任大于1的整数n，除1外的最小正因数q为素数，并且当n为合数时 。
事实上， ，有已知的不等式，可以得到：
即数列 严格减少，再由已知的不等式， ，有
即数列 严格减少有下界，根据数列收敛公理，数列 存在极限。即
以上我们从定理3开始一直到定理7都为了下面证明一个关于素数分布的中心问题而做的准备工作。有了这些准备工作，我们的证明才有了坚实基础，才使我们的证明更加周密和严谨。那么这是一个什么定理呢？其实也不是一个新的名称，就是我们非常熟悉的素数定理。大家一定感到奇怪，素数定理不是已经证明了了吗？我们熟悉的素数定理是一个非常粗糙的公式，甚至可以说是一个错误的公式。因此，我们有必要重新来认识一下什么才是真正的素数定理。
定理6：（Euler乘积公式）设f(n)满足 ，且 ，则：
证明：由于 ，因此 绝对收敛。考虑连乘积中p < N的部分(有限项)，由于级数绝对收敛，乘积又只有有限项，因此可以使用与普通有限求和及乘积一样的结合律及分配律。利用f(n)的乘积性质可得：
其中右端求和对所有只含N以下素数因子的自然数进行(每个这样的自然数只在求和中出现一次，因为自然数的素数分解是唯一的)。由于所有本身在N以下的自然数显然都只含N以下的素数因子，因此 ，其中R(N)为对所有大于等于N但只含N以下素数因子的自然数求和的结果。由此我们得到：
定理5：设n为正整数， 为n的前部素数，那么 。
证明：设n为正整数， 为n的前部素数，若 , 是p的剩余类。不难知道，所有整数均匀分布在这p个剩余类中，若在1，2，…………，n内任取一个整数a则p∣a的概率定义为1/p,那么p不整除a的概率即为 ，若 是素数，每一个p能否有p不整除a可视为独立事件，故在
1800年,发现了一个近似公式:用π(x)表示不超过x的素数个数,当x足够大时, ；1849年,发现了对于足够大的x的"素数平均分布稠密程度"，素数平均分布稠密程度"也就是 ,这就是A.-M.勒让德和C.F.高斯猜测即通常所称的素数定理，它是素数分布理论的中心定理。这个猜想的证明最初毫无进展。在这方面首先做出贡献的是∏.Л.切比雪夫，他在1852年左右证明了存在两个正常数с1,с2，使得不等式 成立,其中x≥2。在1896年，J.（-S.）阿达马和C.J.de la瓦莱·普桑彼此独立而又几乎同时证明了素数定理。他们的证明都使用了高深的复变函数论知识。1949年，A.赛尔伯格和P.爱尔特希给出了素数定理的初等证明，除了极限、lnx和e的性质之外，没有用到其他的分析知识，但证明过程十分复杂。素数定理揭示了素数在自然数中的平均分布情况。尽管数学家对素数定理 给予了很高的评价，然而这个定理却是如此粗糙，与素数的分布相差很大，甚至可以说是错误的。虽然数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长的经验公式，但这不表示它们的数值随着x增大而相等。
素数分布论
作者姓名：弯国强
作者单位：漯河市舞阳县莲花镇仁和小学
E-mail：632158@
摘要：素数分布主要研究什么呢？我认为主要应从三个方面进行研究：一、素数的个数公式；二、素数的生成公式；三、素数分布的性质。精确的素数个数公式，是研究素数分布的基础，离开了素数个数公式的研究，素数分布的研究就是无源之水，素数个数公式的研究一直是素数分布中的一个重要问题，因此，我们首先要研究素数的个数公式；其次找到素数的生成公式一直是人们梦寐以求的理想；最后就是对素数的各种性质进行研究，这样才能对素数的分布有的一个全面的理解。本文围绕素数的分布，利用分析的观点，证明了真正的素数定理：
当n>1时，由定义易知， ，并且 充要条件是n为素数。为了理论上的完整，我们规定 。下面我们不加证明给出欧拉函数的两个定理，证明可以参考初等数论。
定理3：若 ，那么 。
定理4：设n为正整数， 为n的前部素数，那么 。
也可以简记为 。
设n为正整数，下面我们来证明n的后部素数与1的个数等于 。这个地方有很多人产生了错误的认识，错误地认为 是不超过n素数的个数或者错误地认为 是不超过n的后部素数的个数。
要使广义Euler乘积公式成立，只需证明 即可。后者是显然的，因为 ，而 表明 ，从而 由于f(n)满足 ，所以
等号右边是一个收敛的等比数，故我们可以得到
因此广义Euler乘积公式也可以写成：
在公式中取 就可以得到
推论3：
定理7：（欧拉常数）
证明：设
首先证明，
根据贝努利不等式可以得到
其次证明数列 收敛，即证明数列 严格减少有下界。
={不大于Ｎ能被素数 整除的数}, 表示Ｎ的前部素数，且 为连续素数。任意给定正整数Ｎ中，能被能被素数 整除的数的个数为｜ ，任意给定正整数Ｎ中，能被能被素数 整除的数的个数为 ，……任意给定正整数Ｎ中，能被能被素数 整除的数的个数为
表示正整数Ｎ的前部素数，m为前部素数的个数。由容斥原理可知
其中 表示正整数Ｎ中能被 或 或……或 整除的所有整数的个数，即不大于Ｎ的所有合数和前部素数之和的个数。那么 的补 就表示不大于Ｎ的后部素数加１的个数，
留下3，从3起，再划去3的倍数，第一个留下来未划去的是5，5没有小于自身的真因数，所以5是素数。
这样继续做下去，当我们把所有不大于 的素数的倍数都划去后，剩下的数就是所有不超过n的素数。这个方法就是古老的筛法，也叫埃拉托塞尼筛法。
素数的个数公式
素数分布一直是数论中最重要的和最有吸引力的中心问题之一.由于素数在自然数中时而多,时而少.素数的分布极不规则，素数的出现规律一直困惑着著名的数学家，而且也是一个长久困扰数学届的难题。人们从来没有发现一个精确的质数计算公式，这是由于素数的分布规律性太隐蔽了，以致很久都没有大的突破，不过还是发现了一些近似的计算公式。
费马研究了形如 的数（称为费马数）。1640年费马得到： 都是素数，于是费马猜想，所有 都是素数。但是1732年欧拉发现 是合数，1880年林都利证明了 也是合数，这说明 不是生成素数的公式。
把（1）式中p的范围扩大到n得
，代入（2）可以得到
根据定理7：（欧拉常数）
我们可以得到
把（5）式代入（4）式可以得到
所以
把（7）式代入（1）式可以得到
又因为不超过正整数n的素数的个数为 ，
所以 命题证毕。
素数的生成公式
我们知道，素数有无穷多个，为了更好地研究素数，在历史上曾有一个时期，人们企图找一个能表示素数的表达式：即找一个函数f(x)，当 取整数值时： 都是素数（但不一定包括所有的素数）。
即：后部素数的个数j=
又因为
，
， ， 即：
所以不大于Ｎ的所有素数的个数π(N)＝m+j＝m+
即：
命题证毕。
其次我们用分析的观点来给出素数的个数公式，也就是真正的素数定理。下面就从数论中著名的欧拉函数开始。那么什么是欧拉函数呢？
定义：设n为正整数，所有小于n而与n互素的正整数的个数，由n唯一决定，是定义在正整数集上的一个函数，称为欧拉函数，记作 。
摈弃了原来粗糙的素数定理的近似公式
深刻揭示了欧拉函数与素数个数之间的关系以及欧拉函数分析化的一个重要结论
，
找到人们梦寐以求的能够生成全体素数的素数公式
关键词：素数、合数、筛法、素数分布、素数定理、素数公式
中图分类号：O156.1
素数在纯数学中是一个使数学家迷恋的字眼，它是那么简单，又是那么神秘。说它简单是因为它是整数的基石，既便是上过小学的学生都知道什么是素数；但是它又那么神秘，从古至今，多少数学家都想弄明白它的规律，却始终无法弄明白它的分布规律是什么。素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。素数分布就像一首神奇的乐章，美妙动听，引诱着一代又一代的数学家为了研究明白它的分布规律而殚精竭虑，费尽心机，可是至今仍没有一个数学工作者真正清楚素数分布的规律是什么？研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。
定理8：设n为正整数， 表示不超过正整数n的素数的个数，那么
，
其中
证明：首先我们先要证明一个结论：
如果p是素数，n为自然数，那么
也即是： 这是一个把欧拉函数分析化的一个重要结论。
根据推论3：
我们可以把这个结论改写一下，
改写后当 时， 和 是两个等价的无穷小。
我们知道
变形后可以得到
我们把上式中的 所有素数按上式写出来，再相加求和可以得到
摈弃了原来粗糙的素数定理的近似公式
深刻揭示了欧拉函数与素数个数之间的关系以及欧拉函数分析化的一个重要结论
，
找到人们梦寐以求的能够生成全体素数的素数公式
人们研究问题常用的一个基本思想，就是从最简单的问题着手，并将复杂的问题转化为简单的问题去处理。对素数分布的研究也需要按照这个方法进行才能透砌地理解素数的实质。基本概念
；
记 ={不大于Ｎ能被素数 整除的数}， ={不大于Ｎ能被素数 整除的数}……
={不大于Ｎ能被素数 整除的数}, 表示Ｎ的前部素数，且 为连续素数。 表示 中能 整除的个数。
， ，
定理2：（素数的个数公式）所有不大于Ｎ的后部素数的个数j＝ 即：
，
所有不大于Ｎ的素数的个数π(N)＝m+j＝m+
即：
证明：记 ={不大于Ｎ能被素数 整除的数}， ={不大于Ｎ能被素数 整除的数}……
这些公式都是素数个数的近似公式，而不是精确公式，并不能称为素数个数的准确计算公式。要想得到素数个数的精确公式，我们可以用两种方法得到素数个数的精确公式，用集合的观点和分析的观点才可以彻底解决这个困惑数学家的难题。
首先我们用集合的观点来给出素数的个数公式。“集合”是一种数学语言，关于集合的详细概念，我就不多说了，我们只定义一下我们要用的概念：集合元素的个数。若集合A中有n个元素，记作： 在公式的推导中还要用到一个集合的原理，容斥原理：