数学实验素数的分布
大学数学实验报告----迭代(一)——方程求解
Do M n , n, 2, 100
运行结果：
M n_Integer : Module y, k , m 2; k m ^ n 1 ;
x Mod k, n ;
Print n, " ", PrimeQ n , " ", x, "
", GCD m, n
Do M n , n, 2, 100
2 True 0 2 3 True 1 1 4 False 0 2 5 True 1 1 6 False 2 2 7 True 1 1 8 False 0 2 9 False 4 1 10 False 2 2 11 True 1 1 12 False 8 2 13 True 1 1 14 False 2 2 15 False 4 1 16 False 0 2 17 True 1 1 18 False 14 2 19 True 1 1 20 False 8 2 21 False 4 1 22 False 2 2 23 True 1 1 24 False 8 2 25 False 16 1 26 False 2 2 27 False 13 1 28 False 8 2 29 True 1 1 30 False 2 2 31 True 1 1 32 False 0 2 33 False 4 1 34 False 2 2 35 False 9 1 36 False 32 2 37 True 1 1 38 False 2 2 39 False 4 1 40 False 8 2
99 False 3 27 100 False 1 67 Null2
m=4 时
输入程序：
M n_Integer : Module y, k , m 4; k m ^ n 1 ; x Mod k, n ; Print n, " ", PrimeQ n , " ", GCD m, n , " ", x Do M n , n, 2, 100
数学实验素数
素数姓名：学号：班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：素数(Prime)是构造所有数的“基本材料”，犹如化学上的化学元素和物理学中的基本粒子，有关素数的许多看似简单却极富刺激性的奇妙问题，向一代代数学家提出了挑战，始终吸引着他们的目光。
本实验将探讨素数的规律及其相关的某些有趣问题，如素数的判别，求素数的个数等。
实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：素数：如果一个大于1的自然数只能被1及它本身整除，则该数称为素数，否则被称为合数。
算数基本定理：从数学史的黎明时期开始，数学家就一直在探索自然数的奥秘，远在古希腊时代，欧几里得就证明了每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积，并且在不计较素数排列顺序时这种分解是唯一的，这就是所谓的算数基本定理。
算数基本定理表明素数是构造自然数的基石，正如物质的基本粒子一样。
Mathematica的素数函数：Mathematica系统提供了两个常用的与素数有关的函数：（1）[n]，就是返回从第一个素数2数起的第n个素数；（2）PrimeQ[n]，就是判断自然数n是否为素数，是则返回True，否则返回False。
使用系统函数输出某个指定范围内的所有素数，只要定义如下的函数即可：筛法求素数：2000多年前，希腊学者埃拉托色尼(Eratosthenes 公元前约284-192年)给出了一个寻找素数的简便方法—筛法：写下从2、3、…、N，注意到2是一个素数，划去后面所有2的倍数，越过2，第一个没有被划去的数是3，它是第二个素数，接下来再划掉所有3的倍数，3之后没有被划去的数是5，然后再划掉除5外所有5的倍数，以此类推。
显然，划掉的都是较小整数的倍数，它们都不是素数，都被筛掉了，而素数永远不会被筛掉，它们就是要寻找的不超过N的所有素数。
试除法求素数：假设我们已经找到了前n个素数，为了下一个素数我们从开始一次检验每一个整数N，看N是否能被某个整除。
如果N能被前面的某个素数整除，则N为合数，否则N即为下一个素数。
数学毕业论文题目汇总
数学毕业论文题目汇总一、引言数学作为一门基础学科，在现代社会中具有重要的地位和作用。
数学毕业论文作为学生毕业的重要要求之一，要求学生在特定的领域或问题上进行深入研究，探索数学的新理论、新方法和新应用。
本文汇总了一些适合作为数学毕业论文的题目，旨在为即将毕业的学生提供一些启示和参考。
二、概率与统计1. 随机过程在金融衍生品定价中的应用研究主要研究基于随机过程的金融衍生品的定价模型，以及在金融市场中的应用。
2. 高维数据分析方法与应用探索高维数据分析的新方法，研究高维数据的降维、特征选择及模式识别等问题。
3. 贝叶斯统计在医学试验中的应用研究着重研究贝叶斯统计在医学试验设计和数据分析中的应用，探索其优势和局限性。
三、微分方程与动力系统1. 非线性偏微分方程的解析与数值方法研究综述非线性偏微分方程的解析解和数值解法，并进行其应用的案例研究。
2. 哈密顿系统的周期解及稳定性分析研究哈密顿系统的周期解的存在性和稳定性，并对其在动力学中的应用进行讨论。
3. 离散动力系统的混沌行为研究探索离散动力系统中的混沌现象，研究其混沌边界、混沌吸引子等特征。
四、代数与几何1. 使用代数几何方法研究曲面的分类问题基于代数几何的理论，对曲面的分类问题进行研究，归纳整理曲面的分类结果。
2. 拓扑流形的同调与同伦不变量研究探讨拓扑流形的同调群和同伦群等不变量的计算方法及其应用。
3. 代数编码理论在通信中的应用研究研究代数编码理论的基本原理和方法，并将其应用于通信系统中的纠错编码和加密通信等方面。
五、数论与密码学1. 模运算在分布式密码算法中的应用分析模运算在分布式密码算法中的应用，研究其安全性和效率。
2. 整数分解算法的改进和应用研究整数分解算法的改进策略，提高其分解大整数的效率，并探索其在加密算法中的应用。
3. 素数分布规律的研究探究素数的分布规律，研究和验证数学家们提出的各种猜想和定理。
六、应用数学1. 图论在物流网络优化中的应用以图论为基础，研究物流网络中的路径规划、资源分配及效率优化等问题。
实验二 素数问题
练习九 在二维坐标面上标出点列 ( n, π ( n)), n = 1,2,L, N ,(取 不同的 N ,如1000,10000等).也可以用折线将点连 起来.观察 π (n) 趋于无穷的趋势,将它同 y = x , y = x 比较,你会有什们结论?类似地观察点列 ( n, π ( n) / n) 和 ( n, π ( n) / n ) 以及 ( n, π ( n) /( n / Log( n))) .你能据此猜 测趋于无穷的极限的阶吗?
Mersenne素数是极其稀少的.借助大型计算机, 截止96年11月,数学家仅发现了34个Mersenne素数. 它们对应的 n是：
2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203, 2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,19937,21701, 23209,44497,86243,123049,216091,756839,859433, 1257787,1398269.
早在十七十八世纪，数学家Fermat和Ruler等 就研究过这类公式．1640年Fermat在给Mersenne 的信中指出，对所有的整数 n, Fn = 2 2 + 1 永远是素数. 的确F0 = 3, F1 = 5, F2 = 7, F3 = 257, F4 = 65537 ,都是素数. 然而,1732年,大数学家Ruler指出,F5 = 4294967297 不是素数,他并且找到了F5 的因子分解.此后,人们分 别证明了 F6 与 F7都是合数,并得到了它们的素因子分 解．实际上，有人猜测 Fn 当 n > 4时都是合数.
进一步的问题 关于素数,存在许许多多富有挑战性的问题,吸 引众多的数学家及业余爱好者．下面我们介绍几个 供有兴趣的同学参阅. Goldbach猜想 Bertrand猜想 大整数的素因子分解 完全数 孪生素数 青一色数的素性
世界10大数学难题
庞加莱猜想
已被证明。是关于几何形状的一个基本问题，假设三维空间中，任何封闭的三维形状都可以被连续地变换为球体。
4
黎曼假设
是关于素数分布的一个著名问题，由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，素有“猜想界皇冠”之称。它假设黎曼ζ函数的非平凡零点都位于复平面的临界线上。
5
杨-米尔斯存在性和质量缺口
杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。该问题涉及杨-米尔斯方程的预言是否在所有实验室中的高能实验中得到证实。
9
费尔马大定理
已证明。由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出，断言当整数n>2时，关于x，y，z的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。
10
哥德巴赫猜想
是数学界中存在最久的未解问题之一。假设任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。
世界10大数学难题
序号
难题名称
简述
1
P对NP问题
是计算机科学领域的最大难题之一，关系到计算机完成一项任务的速度到底有多快。P类问题是指那些存在多项式时间算法的问题，而NP类问题是指那些可以在多项式时间内验证解的问题。该难题假设所有NP问题都是P问题。
2
霍奇猜想
代数几何的一个重大悬而未决的问题，由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出。是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。
6
纳维-斯托克斯方程的存在性与光滑性
是描述流体运动的基本方程之一。这个方程的解的存在性和光滑性问题是数学和物理学领通-戴尔猜想
称为“千僖难题”之七，指的是对有理数域上的任一椭圆曲线，其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。
数学实验报告 素数
数学实验报告关于素数的探讨一、实验目的如果一个大于1的自然数只能被1及它本身整除，则该数称为素数。
我们可以很快判断一个很小的自然数是否为素数，但如果判断一个大的自然数就有些困难，本实验就是通过数学工具及数学方法来解决一些有关素数的问题，让我们更加了解素数及其分布规律。
需要解决的实验如下：1，如何判断1234567是否为素数2，生成素数表（500以内）3，探讨素数的分布规律二、问题求解方法由素数的定义可知如果一个数不能被大于1小于它本身的所有数整除，则可判断该数为素数，根据这种思想可以用C语言编程来判断1234567是否为素数；每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积，如果想生成500以内的素数表，可以将2到500的数列中依次划去所有2的倍数，接着划去3的倍数，再划去5的倍数······这样一直进行下去就可以得到500以内的素数。
也可以用不超过√N考虑到500不是很大，可以先手工编写500以内的素数表，然后分别用c 语言和Mathematic程序生成素数表，并总结素数的分布规律。
三、程序设计流程1，判断1234567是否为素数的c语言程序：#include<stdio.h>void main(){int a=1234567,b=2;while(a%b!=0)b++;if(b<a)printf("no\n");else printf("yes\n");}2，用试除法生成500以内素数表的Mathematic程序DivPrime[n_Integer]:=500Module[{t={},i,j,temp,divided},For[i=2,i≤500,i++,j=1;divided=False;While[Prime[j]≤Sqrt[i]&&(!divided),temp=Prime[j];divided=(Mod[i,temp] 0);j=j+1];If[!divided,AppendTo[t,i]]];t]3，生成500以内素数表的c语言程序#include<stdio.h>void main(){int a=3,b=2,c;for(a=3;a<500;a++){for(b=2;b<=a;b++)if(a%b==0) break;if(b==a)printf("%d\n",a);}}四、上机实验结果的分析与结论通过上机运行上述程序可以判断1234567不为素数，并且将用程序生成的素数表与手工编写的素数表对比后得知一致，500以内素数表如下：{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83 ,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,17 3,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263 ,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359, 367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,4 61,463,467,479,487,491,499}这样就解决问题1和2，接下来观察并总结素数的规律.我们先利用以下程序计算出π(10), π(100), π(500), π(1000), π(2000), π(3000), π(5000)的值。
数字序列实验报告
数字序列实验报告数字序列实验报告引言数字序列是数学中一种重要的研究对象，它们在各个领域都有广泛的应用。
本实验旨在通过对数字序列的实验研究，探索其中的规律和特点，并对其应用进行探讨。
实验一：斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数字序列，它的定义方式是：第一个数是0，第二个数是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。
通过编写程序，我们生成了斐波那契数列的前100个数。
实验结果显示，斐波那契数列呈现出一些有趣的特性。
首先，数列中的每个数都是前两个数的和，这种递推关系使得数列中的每个数字都与前面的数字有着密切的联系。
其次，斐波那契数列的增长速度逐渐加快，数列中的数字呈现出明显的指数增长趋势。
这种特点在生物学、金融学等领域中都有重要的应用。
实验二：等差数列等差数列是指数列中的每个数与前一个数的差值都相等的数列。
我们选择了一个等差数列进行实验研究，通过观察数列的规律和特点，我们可以更好地理解等差数列的性质。
实验结果表明，等差数列具有明显的规律性。
首先，数列中的每个数与前一个数的差值都相等，这种规律使得数列中的数字之间有着稳定的关系。
其次，等差数列的增长速度是恒定的，数列中的数字呈现出线性增长的趋势。
这种特点在物理学、经济学等领域中有着重要的应用。
实验三：等比数列等比数列是指数列中的每个数与前一个数的比值都相等的数列。
我们选择了一个等比数列进行实验研究，通过观察数列的规律和特点，我们可以更好地理解等比数列的性质。
实验结果显示，等比数列也具有明显的规律性。
首先，数列中的每个数与前一个数的比值都相等，这种规律使得数列中的数字之间有着稳定的关系。
其次，等比数列的增长速度是不断加快或减慢的，数列中的数字呈现出指数增长或衰减的趋势。
这种特点在物理学、生物学等领域中有着广泛的应用。
实验四：素数序列素数序列是指仅能被1和自身整除的正整数序列。
我们选择了一个素数序列进行实验研究，通过观察数列的规律和特点，我们可以更好地理解素数的分布规律。
n与2n之间必有素数的最简证明
n与2n之间必有素数的最简证明【题目】n与2n之间必有素数的最简证明【导言】素数是数论中一个极为重要的概念。
它指的是大于1且只能被1和自身整除的正整数。
素数的性质一直以来都备受数学家的关注和研究。
其中，一个有趣且重要的结论是：对于任意给定的正整数n，n与2n 之间必定存在至少一个素数。
本文将以从简到繁的方式，给出这一结论的最简证明。
【正文】1. 我们首先从基本概念开始，回顾一下素数的定义。
根据定义，素数大于1且只能被1和自身整除。
要证明n与2n之间必有素数，我们需要说明这个区间中不存在任何被除了1和自身以外的数整除的数。
2. 考虑区间[n, 2n]中的所有自然数。
我们可以通过反证法来证明这个区间内至少存在一个素数。
假设区间中不存在素数，即区间中的所有数都可以被除了1和自身以外的数整除。
这意味着，对于区间中的任意一个数x，存在另一个数y（y不等于1和自身），使得x能被y整除。
3. 现在我们观察一下这个数y。
根据前面的假设，y不是素数，因此它可以被除了1和自身以外的数整除。
我们将y表示为y = p * q，其中p和q均为大于1的整数。
4. 根据上一步骤的观察，我们可以得到下列等式：n ≤ x = p * q ≤ 2n。
我们将这个等式进行简化，得到n / q ≤ p ≤ 2n / q。
5. 注意到n和q是已知的正整数，而p是一个大于1的整数。
我们可以看到，当q的取值范围在(1, n)之间时，p的取值范围在(n/q, 2n/q)之间。
6. 我们现在来观察一下p的范围。
根据上述推导，当q在(1, n)之间取值时，p的取值范围在(n/q, 2n/q)之间。
我们可以将p的范围继续简化为(1, 2)。
7. 如果p的取值范围在(1, 2)之间，那么p的取值只能是2。
我们可以得到一个结论：当q的取值在(1, n)之间时，p的取值只能是2。
也就是说，只有当q取值在(1, n)之间时，等式p * q = x才有可能成立。
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数学实验作业（一）
素数的分布
一、 实验目的
观察素数在实轴上的分布，考查素数在实轴上的分布规律，寻找区间上素数个数的近似表达式.
二、 实验原理及步骤
1、用)(n π代表不超过n 的素数的个数，),(n m π表示区间],[n m 内素数的
个数.试计算),100(π),1000(π),1000(π),10000
(π),100000(π以及)200,100(π，)1100,1000(π,)10100,10000(π,)100100,100000(π.从计算结果看，随着整数范围的扩大，素数是越来越稀疏，还是越来越密？考虑一些更长的区间，再尝试以上同样的实验.
2、将素数从小到大顺序排列 ,3,221==p p ，用n n n p p d -=+1表示相邻素数之间的间隔.计算)10000,1000(,,,321=N d d d d N ，然后将点),(n n d p 标在坐标系中，试从中找出素数间隔的规律.比如素数的间隔值有哪些？它们各重复多少次，哪些间隔值重复的次数多，最大间隔是多少？随着N 增大，最大间隔值是否也随之增大？
3、根据上述实验，对素数的分布做一个猜测，比如间隔为2的素数是否有无穷多个？更一般的，间隔为某个素数是否有无穷多个？是否存在相邻的素数，其间隔值可以无穷大？证明这些猜测.
4、在二维平面上标出点列))(,(n n π，N n ,,2,1 =（取不同的N ，如1000，10000等）.也可以用折线将点连接起来.观察)(n π趋于无穷的趋势，并且将它与
x y x y ==,比较.可以得出什么结论？类似的观察点列)/)(,(n n n π，)/)(,(n n n π及))))ln(//()(,(,(n n n n n ππ.猜测)(n π趋于无穷时候的极限.
5、令⎰
∑
∞
++==n
k
k n k k n R dx x n Li 2
1!)(ln )
1(11)(,ln 1)(ζ，其中：
+++
=k
k k 31211)(ζ.试对一系列充分大的n ，计算)08366.1/(ln ,ln /),(-n n n n n π，)(n Li 及)(n R .其中哪一个公式更接近)(n π？
三、实验结果及分析
1、通过编制程序计算可以得到， ),100(π),1000(π),10000(π)100000(π的值是：25，168，1229，9592.)200,100(π，)1100,1000
(π,)10100,10000(π, )100100,100000(π的值分别是：21，16，11，6，从中可以看出，随着整数值的扩
大，等间隔范围内的素数是越来越稀疏. 2、N=1000时，),(n n d p 如下图所示.
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
N=10 000时，),(n n d p 如下图所示.
010002000300040005000600070008000900010000
N=10 000时，间隔最大值为36，间隔为6的数最多.从上面容易知道，素数的分布是极不规则的.它虽然沿数轴分布越来越稀疏，但有时素数之间的间隔又很小.不过，就总的趋势而言，固定区间长度内的素数个数是越来越少.
π，在N=1000时，如下图所示.
3、在二维平面上点列N
,
(
(
=
n,
n
)),
n
,2,1
在同一坐标系中作出x y x y ==,的图有：
绿色线代表y=x ，蓝色代表x y =，红色线代表))(,(n n π.可以看出点列夹在这2条线之间.同样地，作出点列)/)(,(n n n π，)/)(,(n n n π及))))ln(//()(,(,(n n n n n ππ如下图所示.
黄色的线表示)/)(,(n n n π，红色的线表示)/)(,(n n n π，从中可以看出)(n π在
n时的极限的阶α在1/2到1之间.
→
∞
π，
4、针对100000
),
/
ln
(-
n
n
,
n
n
n
,
10000
,
/(ln
1000
,
.1
08366 n，分别计算) 100
=
Li及)
R.计算结果如下表.
(n
(n
)
π.
从表中容易看出，计算公式)
(n
(n
R更接近)
四、感想及进一步工作
通过数学实验和计算机编程，了解到素数在实轴上的分布，即分布式极不规则的，对于固定长度的区间[M,N]，其中的素数个数越来越少.素数的个数近似表达式可由)
R来近似求出.关于素数，还有许许多多富于挑战性的问题，比如
(n
Goldback猜想，大整数的素因子分解，完全数，孪生素数，Bertrand猜测，清一色素数等，都等着人们去挑战和解决.。