数学破题36计 第2计 西瓜开门 滚到成功
数学破题36计(183页电子版超级秘笈)
目录
第 1 计 芝麻开门 点到成功........................................................................................................... 1 第 2 计 西瓜开门 滚到成功........................................................................................................... 4 第 3 计 诸葛开门 扇到成功........................................................................................................... 7 第 4 计 关羽开门 刀举成功........................................................................................................... 9 第 5 计 才子开门 风情万种......................................................................................................... 13 第 6 计 勇士开门 手脚咚咚......................................................................................................... 15 第 7 计 模特开门 见一知众............................
三十六计----数字密码 (1)
第 18 计
贼 王
第 19 计
釜底抽薪
釜：古代的一种锅；薪：柴。 把柴火从锅底抽掉。比喻从 根本上解决问题。
19、釜底抽薪：数字密码19代表 药酒。想买药酒时，就从一把斧 头底下的薪水里抽出一张钱来，
第 19 计
第 20 计
浑水摸鱼
浑水：不清的水。比喻乘 混乱的时候从中捞取利益。
20代表按铃。有几个坏孩子总拿着棍子 到鱼塘里搅水玩，把水都弄浑浊了，还 想趁着水浑浊时偷偷摸几条鱼出来。鱼 塘主人就按铃报警了。
第
计
14、借尸还魂：数字密码14的密码是钥 匙。想象一个灵魂想用一把钥匙打开一个
第
计
调虎离山
第
计
15、调虎离山：数字密码15代表圆月。在 一个月圆之夜，想去山里欣赏美景，就要 “调虎离山”。
数字密码
石榴 仪器 黄金 药酒 按铃
二姨 饿鹅 二山 二寺 二虎 二鹿
按 铃
二姨
山
第 16 计 欲擒故纵
第
计
第
计
笑里藏刀
第10计，笑里藏刀：看到10，我们联想到棒 球，当你在打棒球的时候看到有人向你阴阴 地笑，你可就要小心了，因为他可能是笑里 藏刀，准备对你使坏。
第
计
第
计
李代桃僵
僵：枯死。李树代替桃树而死。 原比喻兄弟互相爱护互相帮助。后 转用来比喻互相顶替或代人受过。
11、李代桃僵：数字密码11代表筷子，有 一个人想要两双桃木做的筷子，这样就必须 砍掉一颗桃树，李树是桃树的好朋友，它代 替了桃树，用自己的树干做成了筷子。
第
计
我们是李子树 制作成的。
第
计
顺手牵羊
第
计
12、顺手牵羊：数字密码12代表婴儿。想象
金狮子数学36计
金狮子数学36计金狮子数学36计是指数学学习中的36个技巧和方法，可以帮助学生提高学习效果和解题能力。
下面将从几个方面进行总结和解释。
首先，要明确数学学习的目标和规划。
金狮子数学36计的第一计是“处处留心，数专英杰”，强调数学学习需要有明确的目标和规划。
学生在学习过程中应该时刻保持专注，并且留心掌握每一个知识点和技巧。
同时，要学会制定学习计划和时间表，合理分配时间，提高学习效率。
其次，要运用思维导图和归纳总结的方法。
金狮子数学36计的第二计是“留个影，仔细玩”，强调在学习数学知识时要记得留下“印象”，并且要注重思维导图和归纳总结。
通过画思维导图，可以把各个知识点联系起来，形成系统性的认知模型，方便记忆和理解。
同时，归纳总结可以帮助学生梳理知识结构，发现规律和方法，提高解题能力。
第三，要勤于练习和举一反三。
金狮子数学36计的第三计是“磨刀不误砍柴工”。
数学学习需要大量的练习，只有不断地练习才能掌握并熟练运用知识和技巧。
同时，要勇于接触和解决一些较难的数学问题，举一反三，从中探索解题的一般方法和技巧。
这样可以培养学生的思维能力和创新意识。
第四，要合理利用工具和资源。
金狮子数学36计的第四计是“运上手，瞅瞅眼”。
现代数学教学中，计算器、图表等工具和互联网等资源发挥了重要的辅助作用。
学生应该学会合理使用这些工具和资源，提高学习效率和解题能力。
最后，要不断提高自己的学习方法和策略。
金狮子数学36计中的其它计策还涉及到一些具体的学习方法和策略，如“戏中戏”、“比一比”、“拆分合并”等，都是为了使学生能够灵活运用数学知识和技巧，解决不同类型的数学问题。
学习数学不仅是记忆知识点和公式，更重要的是培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
综上所述，金狮子数学36计提供了一系列有效的学习方法和策略，可以帮助学生提高数学学习的效果和解题能力。
通过明确目标和规划，运用思维导图和归纳总结的方法，勤于练习和举一反三，合理利用工具和资源，不断提高学习方法和策略，学生可以在数学学习中取得更好的成就。
高考数学解题方法探讨 数学破题36计(10-18计)-高中生家园
第10计聋子开门慧眼识钟●计名释义一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方.聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.●典例示范【例1】若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+ax2008(x∈R), 则2008(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答)【思考】显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008=2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.【点评】本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.【例2】对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)是偶函数；④函数f(1+x)与f(1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .【思考】奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f(x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.【点评】本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.【例3】关于函数f (x)=2x-2-x (x∈R).有下列三个结论：①f (x)的值域为R; ②f (x)是R上的增函数；③对任意x∈R, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是(注：把你认为正确命题的序号都填上).【解答】 由y ⇒-=x x212(2x )2-y ·2x -1=0. 关于2x 的方程中，恒有Δ=y 2+4>0. ∴y ∈R ①真. ∵y 1=2x , y 2=x 21-都是R 上的增函数，∴y =y 1+y 2=2x-2x -也是R 上的增函数，②真. ∵f (-x )=2x --2x = -(2x -2x -)=-f (x ),∴当x ∈R 时，恒有f (x )+f (-x )=0（即f (x )为R 上的奇函数) ③真.【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选. 本例是“全选”（即“都是”）的题型.●对应训练1.设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|，|FP 2|,|FP 3|,…,组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 .●参考答案1.椭圆中：a =7, b =6, c =1. ∴e =71,设P i 的横坐标为x i , 则|FP i |=71(7-x i ), 其中右准线x =7.∵|FP n |=|FP 1|+(n -1)d . ∴d =.)1(71||||11--=--n x x n FP FP n n∵|x 1-x n |≤27, ∴|d |≤12-n . 已知n ≥21, ∴|d |≤101, 但d ≠0. ∴d ∈［-101，0)∪(0，101］.点评：本题有两处陷沟，一是d ≠0, 二是可以d <0, 解题时考生切勿疏忽.第11计 耗子开门 就地打洞●计名释义《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.●典例示范【例1】 已知f (x )=321x -，判定其单调区间.【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.【解答】 设x 1<x 2，f (x 1)-f (x 2)=321x - - 321x -.【插语】 x 1，x 2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”. 【续解】32312121x x --- [KF （S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x 2[KF)]=3223213213223213213231)21()21)(21()21())21()21)(21()21()(2121(x x x x x x x x x x -+--+--+--+----易知322321321)21()21)(21()21(x x x x -+--+-=△>0. 故有原式=∆-)(221x x <0. 故f (x )=321x -的增区间为（-∞,+∞).【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略..方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.【例2】 （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望； （Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P （ξ=0）=51C C 3634=;P (ξ=1)=53C C C 361224=；P (ξ=2)=51C C C 362214=∙，故ξ的分布列是：（Ⅱ）ξ的数学期望是： E ξ=0×51+1×53+2×51=1. (Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P （ξ≤1）=P (ξ=0)+P (=1)=54.【例3】 （04·上海，20文）如图， 直线y =21x 与抛物线y =81x 2 - 4交于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与直线y = -5交于点Q . (1)求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于AB 下方 （含点A 、B ）的动点时， 求△OPQ 的面积的最大值.【思考】 同例1一样，本题设问明确，例3题图 思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.【解答】 （1）由.032421,48122=--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x x x y x y设AB 中点为M （x 0，y 0），则x 0 =2221=+x x ，y 0=21x 0=1. 故有M （2，1），又AB ⊥MQ ，∴MQ 的方程是：y -1=-2(x -2)，令y =-5，得x =5，点Q 的坐标为(5,-5).(2)由（1）知|OQ |=52为定值.设P (x ，81x 2-2)为抛物线上B A 上一点，由（1）知x 2-4x -32≤0，得x ∈［-4,8］，又直线OQ 的方程为：x+y =0，点P 到直线OQ 的距离：d =28|48)4(|2|281|22-+=-+x x x ，显然d ≠0，(否则△POQ 不存在)，即x ≠43-4，为使△POQ 面积最大只须d 最大，当x =8时，d max =62.∴(S △POQ )max =21·|OQ |·d max =21·52·62=30.【例4】 O 为锐角△ABC 的外心，若S △BOC ，S △COA，S △AOB 成等差数列，求tan A ·tan C 的值.【解答】 如图，有：S △BOC +S △AOB =2S △COA .不妨设△ABC 外接圆半径为1，令∠BOC =α=2A , ∠AOC =β=2B ，∠AOB =r=2C ， 则有：21sin α+21sin γ=sin β， 即sin2A +sin2C =2sin2B .2sin(A+C )cos (A-C )= 4sin B cos B . 例4题解图 ∵sin(A+C )=sin B ≠0,cos B = -cos(A+C ).∴cos (A-C )+2cos (A+C )=0,cos A cos C +sin A sin C +2(cos A +cos C – sin A sin C )=0.3cos A cos C =sin A sin C ，故tan A tan C =3.【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.●对应训练1.在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在 棱CC 1上，且CC 1= 4CP . (Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）设O 点在平面D 1AP 上的 射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；（Ⅲ）求点P 到平面ABD 1的距离. 第1题图 2.证明不等式：n n2131211<++++(n ∈N +).3.设x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4•••，f (x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4sin 2323cos sin 41222x x x ，求f (x )的最大值与最小值. 4.若x ，y ，z ∈R +，且x+y+z =1，求函数u =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111111z y x 的最小值.●参考答案1.建立如图的空间直角坐标系，有：A (4,0,0)，P (0,4,1)，B (4,4,0)，B 1(4,4,4)，D 1(0,0,4).(Ⅰ)连BP ，∵AB ⊥平面BCC 1B 1.∴AB ⊥BP ，∠APB 是直线AP 与平面BB 1C 1C 的夹角，∵||BP =.17142=+∴tan ∠APB 17174||=BP . ∴AP 与平面BB 1C 1C 所成角为arctan 17174. (Ⅱ)连D 1B 1，则O ∈DB 1.∵11B D =（4,4,0)，AP =（-4,4,1）, ∴11B D ·=-16+16+0=0.即⊥11B D ，也就是A 1⊥D 1. 第1题解图 已知OH ⊥面AD 1P ，∴AP ⊥D 1O (三垂线定理)（Ⅲ）在DD 1上取||=1，有Q (0,0,1)，作QR ⊥AD 1于R ，∵RQ ∥AB ，∴PQ ∥面ABD 1，∵AB ⊥面AA 1D 1D ，∴AB ⊥QR ，则QR ⊥面ABD 1，QR 之长是Q 到平面ABD 1的距离，∵S △AD 1Q =21|1AC |·||=21]|AD |·|D 1|. 即：42·|QR |= 4×3，∴|QR |=223.已证PQ ∥ABD 1，∴点P 到平面ABP 1的距离为223.点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.2.只须证,2132122121n n<+++右式=nn n n +-+++++<+++++11321211211221111 =)1()23()12(21--++-+-+n n =n n <-21.∴,2132122121n n <+++ 成立，从而1+.213121n n<+++3.先将f (x )化为同一个角的单一三角函数，得f (x )= -21sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-62x +83.当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4•••时,2x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈π2,36•••，故f (x )为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4•••，上的减函数,当x =3π时,［f (x )］min =843-，当x =4π时,f (x )］max =-83. 4.注意到x yz x z y x x x 2111≥+=-=-，同理：zxy y 211≥-，z xy z 211≥-，∴u ≥xyzxyz 8=8.第12计 小刀开门 切口启封●计名释义西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试试中碰到了盒子的入口.数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.●典例示范【例1】 已知5sin β=sin(2α+β)，求证：.23tan )tan(=+αβα【分析】 题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找到了23这个数，试一试，就打23的主意！ 【解答】 化条件为,15sin )sin(=+ββα考察结论的右式23与15的数量关系知=-+151523，那么由合分比定理能使问题获得解决，即.231515sin )2sin(sin )2sin(=-+=-+++ββαββα而左端分子、分母分别进行和差化积即为,tan )tan(αβα+于是等式成立.【点评】 这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.【例2】 设m 为正整数, 方程mx 2+2(2m -1)x +4m -7=0(x 为未知量)至少有一个整数根, 求m 的值. 【分析】 若根据求根公式得到x =mm m 13)21(+±-, 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量m (m是一个待求的常量)与变量x 相互转化,则解决此问题就简单了. 【解答】 原方程可化为(x 2+4x +4)m =2x +7, 即m =2)2(72++x x , 【插语】 m 是本题的破题小刀，因为所给方程中m 的最高次数是1，使得问题简化了. 【续解】 由于x 为整数且m 为正整数, 则x ≠-2且2)2(72++x x ≥1,得-3≤x ≤1,于是x =-3, -1, 0, 1, 代入原方程求出符合条件的m 值为1或5,即m =1或m =5时,原方程至少有一个整数根.【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.【例3】 设函数f (x )=x 2+x +a (a ∈R *)满足f (n )<0, 试判断f (n +1)的符号.【分析】 这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.【解答】 因为f (n )<0，所以函数 f (x )=x 2+x+a 的图像与与x 轴有2个 相异交点，如图所示，设横坐标为 x 1、x 2且x 1<x 2，方程x 2+x+a =0 有2个不等的实根x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧>=-=+<<.0,1,212121a x x x x x n x 所以-1<x 1<n <x 2<0, 从而n +1>0, 例3题图 于是f (n +1)=(n +1)2 +(n +1)+a >0(a >0).【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.【例4】 过抛物线y 2=2px 的顶点O 作2条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点. 【解答】 因为OA ⊥OB ，所以OA 与OB 的斜率成负倒数关系.设OA 的斜率为k ，将OA 的方程：y=kx 代入抛物线y 2=2px 中，求得A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛k p •k p 2,22,将OB 方程代入抛物线方程求B 点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以k1-置换A 点坐标中的k , 即得B 点坐标为(2pk 2, -2pk ). 因而l ABy =),2(12)2(1222p x kk pk pk x k k --+--- 故直线AB 过定点(2p , 0).容易验证，斜率k =±1时，结论也成立.【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.【例5】 已知x 、y 、z ∈R , x+y+z =1，求证:x 2+y 2+z 2≥.31【解答】 运用均值代换法.令x =31γβα+=+=+31,31,•z •y , 则α+β+γ=0, 所以x 2+y 2+z 2=31)(3231222≥++++++γβαγβα(当且仅当α=β=γ=0，即x=y=z =31时“=”成立).【点评】 运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.●对应训练1.已知M 是椭圆1121622=+y x 上的动点，椭圆内有一定点A (-2,3), F 是椭圆的右焦点，试求|MA |+2|MF |的最小值，并求这时点M 的坐标.2.已知函数f (x )=12+x -ax , 其中a >0. 求a 的取值范围，使函数f (x )在区间［0,+∞)上是单调函数.3.如图所示，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |, 点E 分有向线段 所成的比为λ，双曲线过 C,D,E 三点，且以A ，B 为焦点.当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围. 第3题图 4.已知a 、b >0,并且a+b =1,求证：.42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 5．如图所示，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1的面积为S ，侧棱CC 1到此面的距离为a ，求这个三棱柱的体积.第5题图 ●参考答案1．解析 挖掘隐含条件的数量关系即可 为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率,21与结论中线段|MF |的系数之间的数量关系， 作MB 垂直于右准线l ，垂足为B ， 如图所示.则,21||||==e MB MF即|MB |=2|MF |, 所以|MA |+2|MF |=|MA |+|MB |. 第1题解图 易知点M 在线段AB 上时，|MA |+2|MF |取最小值8，这时点M 的坐标（23,3•）.2.解析 探究a 的值，应倒过来思考. 设x 1<x 2, 且x 1、x 2∈［0,+∞),f (x 1) - f (x 2)= (x 1-x 2)·.11222121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++a x x x x 因为.1,1222121x x •x x >+>+所以.011212221>+>+++x x x x得111222121<++++x x x x . 注意到x 1-x 2<0, 所以只要a ≥1，就有f (x 1)-f (x 2)>0. 即a ≥1时，函数f (x )在区间［0,+∞)上是单调减函数.显然0<a <1时，f (x )在区间［0,+∞)上不是单调函点评 运用逆向思维,当直接由条件探究结果难以凑效时，那就反过来，由果索因，这是建立解题思路的一个重要策略.3.解析 很多学生对本题无从下手，然而注意题中图案给予的启示，解题思路的就赫然可见了.事实上，由图形的对称性，可设直线AB 为x 轴，AB 得中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy . 注意到|AB |=2|CD |，设OC =,2||c AB =依题意记A (-c,0)，C ),2(•h c, E (x 0, y 0). 由定比分点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.1,)1(2)2(00λλλλh y c x设双曲线方程为,12222=-b y a x 将点C ，E 坐标代入方程，得,142222=-b h a c ① ,1)1()1(4)2(22222222=+-+-bh a c λλλλ ② 将①代入②且用e 代入a c ，得e 2=.132121λλλ-+-=-+ 又由题设,4332≤≤λ可知e 2∈［7, 10］， 所以离心率e 的范围是.107≤≤e 点评 挖掘题图信息,从题中图案的启示切入，往往易得解题灵感. 4.解析 容易估计a=b =21时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法. 构造,0415414141411534>≥++++=+a ••a a a a a a a 同理,0415414141411534>≥++++=+b••b b b b b b b 两式相乘,)(412511538ab ••b b a a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+注意到ab ≤,4122=⎪⎭⎫⎝⎛+b a 所以ab 1≥4, 故(a +a 1)(b +b 1)≥425(当且仅当a=b =21时取“=”号).从等号成立的条件切入是独具匠心的思考方法.点评 启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手，常可找到巧妙的解题思路.5.解析 将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于a S.很明显三棱柱ABC —A 1B 1C 1与三棱柱ACD —A 1C 1D 1体积相等.所以三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积等于.2aS用这种方法求解一些几何问题，效果十分明显.点评 看清分分合合,通过分割或整合，将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式，也是建立解题思路的重要途径.第13计 钥匙开门各归各用●计名释义开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑. 所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说.●典例示范【例1】 F 1、F 2是椭圆的两个焦点，|F 1F 2|=2c , 椭圆上的点P （x, y )到F 1（-c , 0), F 2 (c , 0)的距离之和为2a . 求证：|PF 1|=•x a c a ,+|PF 2|=.x aca - 【分析】 一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c 无b ，而椭圆方程12222=+by a x 却有b 无c ，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.【解答】 对|PF 1| 和 |PF 2|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF 1|= r 1, |PF 2|= r 2的方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(①22222222121••••••y c x r ••••••y •c x r ••a •••••••••r r ②-③消y 2, x 2和c 2得 r 21cx r 422=-r ④ ①，④联立，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x a c a r x ac a r 21 故|PF 1|=,x a c a +|PF 2|=.x aca - 【点评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.【例2】 设数列{a n }的前n 项和S n =1+a n lg b , 求使1lim =∞→n n S 成立的b 的取值范围.【思考】 应首先分清{a n }是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题. 【解答】 a 1=1+a 1lg b , 若lg b =0, 即b =1时， a 1=S 1=1与1lim =∞→n n S 矛盾.∴b ≠1,于是a 1=,lg 11b- 而a n =(1+a n lg b )-(1+a n -1lg b ).∴a n (1-lg b )=-a n -1lg b ,1-n n a a =1lg lg -b b 为常数，{a n }是首项为,lg 11b-公比q =1lg lg -b b的无穷递缩等比数列(已知1lim =∞→n n S 存在)，∴q =1lg lg -b b∈(-1,0)∪(0,1).由1lg lg -b b >-1, 即1lg lg 2-b b >0, 得lg b <21或lg b >1,又1lg lg -b b <0⇒0<lg b <1,于是0<lg b <,21∴b ∈(1,10) ①由0<1lg lg -b b<1⇒⎩⎨⎧-><1lg 1lg 0lg b b b 或,0lg <⇒b ∴b ∈(0, 1)] ②综合①、②，取并集，所求b 的取值范围为b ∈(0，1)∪(1,10).【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率； (2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60 ,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有 关计算公式也无法准确解题，例如：(1)随机事件A 发生的概率0≤P (A )≤1, 其计算方法为P (A )=nm, 其中m ，n 分别表示 事件A 发生的次数和基本事件总数；(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A 与A 必有一个发生，故A 与A 既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P (A )+P （A ）=1；(3)离散型随机变量的期望，E ξ=x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n +…, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;(4)离散型随机变量的方差D ξ=(x 1-E ξ)2p 1+(x 2-E ξ)2p 2+…+(x n - E ξ)2p n +…，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.【解答】 (1)基本事件总数n =C 37=35, 设事件A ={任取3球，至少有一个红球}，则事件A ={任取3球，全是白球}.∵A 与A 为对立事件，而Card A =1(任取3球全是白球仅一种可能).∴P (A )=351,于是P (A )=1-P (A )=.3534 即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为.3534(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50),P (ξ=50)=;354C C C 471433=∙ ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60), ∴P (ξ=60)= ;3518C C C 472423=∙ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70), ∴P (ξ=70)= ;3512C C C 471334= ξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)= .351C C 4744= 于是ξ的分布列为：∴D ξ=50×35+60×35+70×35+80×35=7(元).即该顾客获奖的期望是7440≈63(元).●对应训练 1M 为双曲线12222=-by a x 上任意一点， F 1为左焦点， 求证:以MF 1为直径的圆与圆x 2+y 2= a 2相切.2:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相切. 3:(1)E (a ξ+b )=aE ξ+b ; (2)D ξ=E ξ 2- E 2ξ.4M 为抛物线y 2=2px 上任意一点，F 为焦点，证明以MF 为直径的圆必与y 轴相切.●参考答案 1MF 1的中点为P , 设|PF 1|= r, 连接PO 、MF 2,|PO |=21|MF 2|(中位线性质） ∴|PF 1| - |PO |=21(|MF 1| - |MF 2|)=21·2a = a , 即|PO |= r-a , 故以MF 1为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2内切.2M 为椭圆上任一点，MF 1为焦半径，MF 1的中点为P , 设|PF 1|= r, 连OP 、MF 2.则|OP |=21|MF 2|=21(2a -|MF 1|)= a-r∴以MF 1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.第1题解图 第2题解图 3．（1）∵E ξ=x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n ,∴E (a ξ+b )= (ax 1+b )p 1+(ax 2+b )p 2+…+(ax n +b )p n = a (x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n )+b (p 1+p 2+…+p n ) = aE ξ+b (∵p 1+p 2+…+p n =1).（2）D ξ=(x 1 - E ξ)2·p 1+(x 2 - E ξ)2p 2+…+(x n - E ξ)2p n +…=（x 21p 1+x 22p 2+…+x 2n p n +…）-2E ξ(x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n +…)+E 2ξ(p 1+p 2+…+p n +…) =E ξ2-2E ξ·E ξ+E 2ξ·1=E ξ 2- E 2ξ.4F ⎪⎭⎫⎝⎛0,2•p ， 准线l :x =2p-,作MH ⊥l 于H ，FM 中点 为P ，设圆P 的半径|PF |= r ，作PQ ⊥y 轴于Q ，则PQ 为梯形MNOF 的中位线. ∴|PQ |=,||21||21|)||(|21r MF MH MN OF ===+ ∴以MF 为直径的圆与y 轴相切.第4题解图第14计 鲜花开门 情有独钟●计名释义冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？●典例示范【例1】 P 点在平面内作匀速直线运动， 速度向量v =(4,-3).(P 点沿v 方向运动，每秒移动的距离是|v |）.开始时P （-10，10）， 求5秒后P 点的位置.【分析】 本质是对P 点运动的速度向量 v =（4，3）的理解：因为P 点按匀速直线运动，每秒位移是5.从速度分解观点看， 例1题图 每秒P 向右移4，向下移3.【解答】 5秒P 向右移20，下移15，设P 点5秒后到P ′（x, y ). x =-10+20=10, y =10-15=-5. 所以P ′（10，-5）.【点评】 这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.【插语】 如果不按上述方式，而是从寻找P P =5v =(20,-15), 再求P O '=P O '+,P P 当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数.【例2】 （04·全国Ⅰ卷）函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是 ( )A ．y =x 2-2x +2 (x <1) B.y =x 2-2x +2(x ≥1) C ．y =x 2-2x (x <1) D.y =x 2-2x (x ≥1)【解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x ≥1时，y ≥1.∴反函数的定义域为x ≥1，排除A 、C.∵点（5，3）在f (x )的图象上，∴点（3，5）必在f -1(x )的图象上，而点（3，5）适合BD,∴选B.【点评】 与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x 对称”等特点，前呼后拥.【例3】 下列各式中，最小值为2的是 ( )A ．4522++x x B.ba b a +++2 C.b a a b + D.sin1sin +x 【思考】 利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件：1）参与运算的量必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值.∵,2141,24,41445222222≤+≥++++=++x •x •x x x x 而故,41422+≠+x x 故否定A ；当a,b 异号时，,0,0<<b a •a b 否定C ；当sin x <0时，亦有sin 1<0,否定D ；B .【点评】 可用直接法证明22min=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++b a b a ，∵b •a ,存在且在分母中出现，∴ab >0.又a+b +2=(a +1)+(b +1)≥2)(b a +，∴ba b a +++2≥2. 当且仅当a=b =1时22min=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++b a b a【例4】 已知四边形ABCD为矩形且AB ≠BC , PA ⊥平面ABCD , 连接 AC,BD,PB,PC ,PD , 则以下各组向量中,数量积不为零的是 ( )A ．与 B.与C.AB PD 与D.与 例4题图【思考】 利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.;,B •PB DAAB •DA ••••••••••ABCD PA 排除平面图中⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥同理,排除•,⊥ C. ∵PA ⊥平面ABCD , ∴⊥，排除D ，选A.【点评】 可用反证法证明BD PC 与不垂直, 假定BD PC ⊥.∵PA ⊥平面ABCD , ∴AC BD ⊥, 四边形ABCD 是正方形, 这与题设AB ≠BC 矛盾.●对应训练1.若f (x )sin x 是周期为π的偶函数，则f (x )可以是①sin x , ②cos x ， ③cot x ， ④tan 2x中的( ) A.①② B.①④ C.③④ D.2.下列五个命题：①|a |=a 2; ②a b ab a =∙2; ③(a ·b )2=a 2·b 2; ④(a - b )2=a 2-2ab +b 2; ⑤若a ·b =0,则a =0或b =0.其中正确命题的序号是 （ ） A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤ 3.已知等比数列{a n }的公比为q ,下列命题正确的是 （ ）A.q >1, 则{a n }为递增数列B.0<q <1, 则{a n }为递减数列C.q <1, 则{a n }为无穷递减等比数列 D.●参考答案 1.D【思考】 利用选项的结构特点. 选项中有三项含①，故先检验①.设F (x )= f (x )sin x ， 如果f (x )=sin x ，则F (x )=sin 2x =21(1-cos2x ).∵cos2x (从而F (x ))是周期为πf (x )C(无须检验③)，如果f (x )= cos x ，则F (x )=sin x cos x =21sin2x 是周期为πA如果f (x )=tan2x =xx sin cos 1-，则F (x )=1-cos x 是周期为2π的偶函数，也与要求不符, 否定B.于是f (x )仅可以是①, 选D【点评】 排除法解选择题也要讲求效率，设法使工作量减到最少.2.B利用向量运算的性质. ∵a 与b 共线，其夹角为0.∴a 2=a ·a =|a ||a |cos0=|a |2.D ；设a ,b 夹角为θ. 则θθcos ||||||cos ||||22a b a b a a b a ==∙而向量运算中不含除法运算，a b，②不能成立，排除A ；若a ⊥b ，且a ≠ b ，则(a ·b )2=0而a 2·b 2≠0, ∴③不能成立，排除 C.3.D选用特殊值取. q =2>1时，a 1=-1<0, 则{a n }为递减数列，排除A ；当0<q =21<1时，若a 1=-1<0，则{a n }为递增数列，排除B ；取q =-2<1, a 1=1，则{a n }为摆动等比数列，排除C.第15计 驿站开门 望蜀得陇●计名释义一商人要去蜀国做生意，因栈道难行，结果到了陇西. 正当他发愁之时，来了一位远客，把他的货全部买走了. 商人大喜，对伙计们说，这客人说的蜀国话，赶快回关中运货去，我们还是按原计划去南蜀.等第二批货运到陇西时，又遇上这位客人. 一交谈，他没有把货运往南蜀，而是运往西域去了. 伙计们问商人：我们还是按原计划去南蜀吗？商人笑着说，“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做得火红.数学解题有时也遇上这种情景，原来计划的解题方案，在进行中遇到了一匹黑马，中途变阵之后，成果意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的：不“望蜀”，怎能“得陇”？●典例示范 【例1】图中，BC 1和DB 1分别是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一条面对角线和体对角线. 例题图 试求它们的距离.【解答】 连A 1C 1、C 1B 和BA 1. 得边长为2的正三角形A 1C 1B .易知，体对角线DB 1过△A 1C 1B 的中心G . 易得GB =GC 1.再作BC 1的中点H . 猜想GH 是DB 1和BC 1的公垂线， 为此只须证明HG ⊥DB 1. 易知GB 1=33，HB 1=22 GH =31·2·6623= 例题解图 因为,223366222⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛所以GH ⊥GB 1 即GH ⊥DB 1.【说明】 此处证GH ⊥DB 1就是我们的“望蜀”，其实DB 1⊥面A 1BC 1，而GH 是面A 1BC 1中的线段，当然GH ⊥DB 1，由此我们“得陇”.【续解】 故HG 是BG 与DB 1的公垂线.且长度66为它们的距离. 【点评】 这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.●对应训练1.已知关于x 的一元二次方程a x 2+b x +c =0,其中a ，b ，c 是非零平面向量，且a 与b 不共线，则该方（ ）ABCD2.空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A 、B 、C 、D ，使得AB=CD =8cm ，AC=BD =10cm ，AD=BC =13cm .●参考答案 1.D由于a 与b 不共线，所以可设c =m a +n b (其中m ，n ∈R )，代入方程a x 2+b x +c =0得a x 2+b x +(m a +n b )=0，即（x 2+m ) a +(x+n ) b =0,又a 与b 不共线，故有⎩⎨⎧=+=+,0,02n x m x即⎩⎨⎧-=-=,,2n x m x 显然，当m >0时，原方程无实数解；当n 2=-m ≥0时，⎩⎨⎧=+=+0,02n x m x 有一个实数解.故应选D.【说明】 此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题，用判别式来判定，导致出现思维定势的错误.是书本知识的简单重复.基于此而创作了此题.2．要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论. 在空间中，分别以8、10、13为边长，作如图所示平面四边形，它由△ABC 和△BCD 组成，公共边为BC =13cm ，AC=BD =10cm ， AB=CD =8cm ，固定△ABC 所在的平面，令△BCD 绕着边BC 旋转.显然当D 位于 第2题解图△ABC 所在的平面时，AD 最大.由BC =13cm ，AC =10cm ，AB =8cm ，可得cos ∠BAC =-321,即可知∠BAC 是钝角，故对于平行四边形（即D 在平面ABC 内时）ABDC ，对角线AD 的长小于对角线BC 的长，即AD <BC =13cm.显然，当点D 不在面ABC 内时都有AD <BC =13cm .因此按题目要求分布的四个点是不可能的，故知题目要求的四个点不存在.【点评】 这是一个探索型开放题，其存在与否取决于分析的过程，该题题型无论从结论上还是从方法的探究上都具有一定的开放性，因此我们开始做它时，选定一个方向直奔过去，到那儿时才发现此路不通.第16计 摆渡开门 萍水相逢●计名释义有道数学题，求证π>25. 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在他已经指定了一个第三者，就是整数3.因为π>3，又3>25，所以π>25. 这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，它是一个“三者牵线，截迂为直”的策略，在不等式中具体表现为传递法.过渡法所用的渡船形式多样，可以是参数，可以是图形，当然也可以是函数、方程、不等式等.●典例示范【例1】 已知曲线C ：12)3(6)1(22=++-y x ，求曲线C 关于直线x-y +1=0的对称曲线C 1的方程. 【分析】 一般解法为“轨迹转移法”：（1）设P （x, y )是C 1上的动点；（2）求出P （x, y )关于直线x-y +1=0的对称点Q （x ′, y ′)， (3)将Q 点坐标代入C 的方程；（4）用x ，y 表示x ′，y ′，即得C 1的方程. 此法甚繁，考虑到这里的对称轴直线的斜率为1，因此可以直接从中得到替换式.【解答】 由x-y +1=0得⎩⎨⎧+='-='11x y y x 代入C 的方程得.12)3(6)1(22=+'+-'y x。
数学破题36计 第2计 西瓜开门 滚到成功
●计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.●典例示范［题1］（2006年赣卷第5题）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f'（x）≥0，则必有A. f（0）＋f（2）< 2f（1）B. f（0）＋f（2）≤2 f（1）C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1）D.f（0）＋f（2）>2f（1）［分析］用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.［解一］（i）若f＇(x) ≡0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.（ii）若f＇(x)不恒为0时. 则f＇(x)≥0时有x≥1，f（x）在[)∞,1上为增函数；f＇(x)≤0时x ≤1. 即f（x）在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.综合（i），（ii），本题的正确答案为C.［插语］考场上多见的错误是选D. 忽略了f＇(x) ≡0的可能. 以为（x-1）f＇(x) ≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x) ≡0.［再析］本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）.因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.［解二］（i）若f＇(x)=0，可设f（x）=１.选项Ｂ、Ｃ符合条件.（ii）f＇(x)≠0. 可设f(x) =（x-1）2又f＇(x)=2（x-1）.满足(x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0［插语］ 在这类f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)34 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f '（x ）= 0找最值点x =0，由f '（x ）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.［解三］ （i ）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合条件. （右图水平直线）（ii ）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x -1) f '（x ）≥0若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C ，D （右图下拱曲线）.则满足条件(x -1) f '（x ）≥0.［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x )，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x -1) f '（x ）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.［变题］ 以下函数f (x )，具有性质(x -1) f '（x ）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是A. f （x ）= (x-1)3B. f （x ）= (x-1)21C. f （x ）= (x-1)35D. f （x ）= (x-1)20052006［解析］ 对A ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B ，f (0)无意义； 对C ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是D. 对D ， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f '（x ）=20052006(x-1)20051 使得 (x-1) f ＇(x ) =(x-1)20052006(x-1)20051 ≥0. ［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f '（x ）=(x-1)122-m n，其中m ，n 都是正整数，且n ≥m .［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.［题2］ 已知实数x ，y 满足等式 369422=+y x ，试求分式5-x y 的最值。
作弊三十六计
相声：作弊三十六计原创：表演者：李滨白晨湘（开场：阿P同学拿着语文书背古诗《》。
阿牛同学在悠闲地唱歌《》。
阿P走上前去。
）阿P：喂！喂！阿牛同学！别唱了。
阿牛：吵什么吵?阿P：你是死到临头还在笑啊！下星期就期中考试了，你还不去复习啊！阿牛：去你的!考试有什么可怕的？我从来不复习，上学期期末考试，我不同样上台领奖了。
（接着又在唱歌）阿P：喂！喂！停下，停下。
你真是牛啊！平时学习不认真，考前又不复习，考试却考得那么好，你真是“天才”啊！阿牛：“天才？”嗯---。
是的，我确实是天才。
我潜心研究《孙子兵法》，终于有了研究成果------《考试作弊三十六计》。
阿P：哇！《考试作弊三十六计》？没听说过啊！能不能教哥们两招啊！阿牛：这个嘛----! 可以，不过你得意思意思一下吧！阿P：怎么意思？阿牛：看在哥们的份上。
一罐红牛，一包功夫熊猫，再加一盒奥利奥！阿P：好，成交！阿牛：来！我先给你传授三十六计中的第一计吧！它叫“偷梁换柱”。
阿P：去做贼？阿牛：不全是。
这“偷梁换柱”的精髓就是在监考老师不注意的时候，把你的卷与另一位成绩较好的同学调换，他帮你做完后又悄悄地换回来。
阿P：这很冒险啊！阿牛：这就要求你要镇定自若，临危不惧，抓住时机，行动敏捷。
关键时还就使用三十六计中的第二计——“调虎离山”之计。
阿P：怎么“调虎离山”啊？阿牛：“调虎离山”的诀窍就是在你需要的时候，另一位同学没事故意举手，把老师吸引过去，趁老师去处理问题的时候，你就心想事成了。
阿P：天才！的确是天才！还有什么好计谋？快传授过来。
阿牛：不行啦！阿P：怎么不行啊！红牛换“偷梁换柱”，功夫熊猫换“调虎离山”，还有一盒奥利奥呢？阿牛：好！好！好！那就再给你献上一条“混水摸鱼计”吧。
阿P：叫我下水抓鱼？我不抓。
阿牛：为什么？阿P：我怕水中有蚂蟥。
再者，我从小就不会游泳。
阿牛：那你想不想拿高分啊？阿P：当然想啊！阿牛：那你就给我听着。
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第1计
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芝麻开门
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●典例示范 ［例题］ （2006 年鄂卷第 15 题）将杨辉三角中的每一个 数 C n 都换成分数
r
令 an =
n→∞
lim an =
.
长
［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然 大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点 的主意.
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数学破题 36 计
目
第1计 第2计 第3计 第4计 第5计 第6计 第7计 第8计 第9计 第 10 计 第 11 计 第 12 计 第 13 计 第 14 计 第 15 计 第 16 计 第 17 计 第 18 计 第 19 计 第 20 计 第 21 计 第 22 计 第 23 计 第 24 计 第 25 计 第 26 计 第 27 计 第 28 计 第 29 计 第 30 计 第 31 计 第 32 计 第 33 计 第 34 计 第 35 计 第 36 计 芝麻开门 西瓜开门 诸葛开门 关羽开门 才子开门 勇士开门 模特开门 小姐开门 瞎子开门 聋子开门 耗子开门 小刀开门 钥匙开门 鲜花开门 驿站开门 摆渡开门 化归开门 转换开门 模式开门 讨论开门 图表开门 数形开门 探索开门 杠杆开门 函数开门 数列开门 方程开门 三角开门 向量开门 统计开门 解几开门 立几开门 导数开门 参数开门 符号开门
我身边的数学 巧破谜案
我身边的数学巧破谜案
您对巧破谜案的数学问题的兴趣！以下是一个有趣的例子，它涉及到一些基本的数学概念和技巧，可以帮助您解决一个谜案。
案例：在一个小城市的电影院里，一部热门电影的票在售出后被重新整理，准备进行下一轮售票。
票房经理发现，在售出的票中，有20%的票是给青少年看的，有40%的票是给成年人看的，有30%的票是给老年人看的。
然后，他注意到一个可疑的人在电影院外面悄悄地卖票。
他怀疑这个人偷了电影院的票。
为了找出证据，票房经理要求你帮助他计算电影院外面售出的票的比例，以确定这个人是否真的偷了电影院的票。
现在，假设电影院总共有100张票。
根据票房经理提供的数据，我们可以得知：
青少年购买的票数为20% × 100 = 20张
成年人购买的票数为40% × 100 = 40张
老年人购买的票数为30% × 100 = 30张
假设电影院外面售出的票数为x 张。
根据题意，我们可以得知：
电影院外面售出的票数x 张= 总票数100张-（青少年购买的票数20张+ 成年人购买的票数40张+ 老年人购买的票数30张）x = 100 - (20 + 40 + 30)
x = 10
所以，电影院外面售出的票数比例为：x/100 = 10/100 = 10%。
根据计算结果，电影院外面售出的票数比例为10%。
如果这个人真的偷了电影院的票，那么他偷的票数应该在5%以下才算是非常合理的。
因此，这个人的行为很可能不是偷了电影院的票，而是其他合法的售票行为。
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●计名释义
比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.
数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.
●典例示范
［题1］（2006年赣卷第5题）
对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f'（x）≥0，则必有
A. f（0）＋f（2）< 2f（1）
B. f（0）＋f（2）≤2 f（1）
C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1）
D.f（0）＋f（2）>2f（1）
［分析］用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.
其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；
其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.
因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.
［解一］（i）若f＇(x) ≡0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.
（ii）若f＇(x)不恒为0时. 则f＇(x)≥0时有x≥1，f（x）在[)∞,1上为增函数；f＇(x)≤0时x ≤1. 即f（x）在(]1,
-∞上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.
综合（i），（ii），本题的正确答案为C.
［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0.
［再析］ 本题f （x ）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f （0），f （1），f （2）. 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.
［解二］ （i ）若f ＇(x )=0，可设f （x ）=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件.
（ii ）f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =（x-1）2 又 f ＇(x )=2（x-1）.
满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f （0）= f （2）=1，f （1）=0 选项C ，D 符合条件. 综合（i ），（ii ）答案为C.
［插语］ 在这类f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)34 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.
［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f '（x ）= 0找最值点x =0，由f '（x ）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.
由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.
［解三］ （i ）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合条件. （右图水平直线）
（ii ）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），
但不满足条件(x -1) f '（x ）≥0
若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C ，D （右图下拱曲线）.
则满足条件(x -1) f '（x ）≥0.
［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x )，没有给出解析
式，只给出了它的一个性质：(x -1) f '（x ）≥0，并由此可
以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函
数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.
［变题］ 以下函数f (x )，具有性质(x -1) f '（x ）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是
A. f （x ）= (x-1)3
B. f （x ）= (x-1)21
C. f （x ）= (x-1)35
D. f （x ）= (x-1)20052006
［解析］ 对A ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B ，f (0)无意义； 对C ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；
答案只能是D. 对D ， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.
且f '（x ）=20052006(x-1)20051 使得 (x-1) f ＇(x ) =(x-1)2005
2006(x-1)20051 ≥0. ［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f '（x ）=(x-1)
122-m n
，其中m ，n 都是正整数，且n ≥m .
［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.
［题2］ 已知实数x ，y 满足等式 369422=+y x ，试求分式5
-x y 的最值。
［分析］ “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.
［解一］ （函数方程思想运用） 令 k x y =-5⇒y = k (x-5) 与方程369422=+y x 联立
消y ，得：03625990)94(2222=-⋅+-+k x k x k
根据x 的范围[]3,3-∈x 应用根的分布得不等式组：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤+--≤-≥-⋅+⋅++=≥-⋅+⋅-+=≥-⋅+-=∆3)49(2903036259990)49(9)3(036259990)49(9)3(0)36259)(49(4)90(22
222222222k k k k k f k k k f k k k 解得 2
121≤≤-
k 即 21-≤5-x y ≤21 即所求的最小值为21-，最大值为21.
［插语］ 解出21-≤5-x y ≤21，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.
［解二］ （数形结合思想运用）
由36942
2=+y x 得椭圆方程 1492
2=+y x ， 5-=x y k 看成是过椭圆上的点（x ，y ），(5，0)的直 线斜率（图右）.
联立 ⎩⎨⎧-==+)
5(369422x k y y x 得 03625990)94(2222=-⋅+-+k x k x k
令0=∆得2
1±=k ，故 5-x y 的最小值为21-，最大值为21. ［插语］ 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.
［点评］ “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势. 解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.
●对应训练
1.若动点P 的坐标为(x,y)，且lgy ，lg|x|，lg
2x y -成等差数列，则动点P 的轨迹应为图中的 ( )
2.函数y=1-21x - (-1≤x<0)的反函数是 ( )
A.y=-22x x -(0<x≤1)
B.y=22x x - (0<x≤1)
C. y=-22x x - (-1≤x<0)
D. y=22x x - (-1≤x<0)
3.设a,b,c ∈R ,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是 ( )
A.b 2≤ac
B.b 2>ac
C.b 2>ac 且a>0
D.b 2>ac 且a<0
●参考答案
1.【思考】 利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B 中无x<0的图像，选项D 中无x>0的图像，均应否定；当x=y ∈R +时，lg 2
x y -无意义，否定A,选C ． 【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.
本题的常规解法是：当x≠0且y>x时，由lgy+lg
2x
y
=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x 或y=2x(x≠0,y>0).
2.【思考】分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.
原函数定义域为-1≤x<0，∴其反函数值域为-1≤y<0，排除B、D.
∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,∴选A．
3.解析一分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故C、D皆假.
取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.
解析二由选择支,联想到二次函数的判别式.
令f(x)=ax2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,
f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故选B.
【点评】在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:
4b<4a+c, ①
2b<-a-c, ②
①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.
用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.。