高中数学-《直线的倾斜角与斜率》导学案
《直线的倾斜角与斜率》教学设计-优秀教案
“直线的斜率”的教学设计尝试 探究形成概念问题：怎样才能确定直线的问置？ 一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可） 思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？ （让学生举例）如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。
坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？前进量 坡度比＝前进量升高量例如:进2升3与进2升2比较 2、 直线斜率的概念 一条直线倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。
()090tan ≠=ααk给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定.确定直线位置几何要素转化为代数化升高量尝试探究形成概念对α取不同的范围进行分析k的取值情况。
3、直线的倾斜角与斜率之间的关系直线情况平行于α情况由左向右上升垂直于x轴由右向左上升α的大小k的情况k的增减性4、两点确定直线的斜率已知两点),)(,(),,(21222111xxyxpyxp≠则由这两点确定直线的线率?=k课本上是用坐标法推导的，分两种情况:让学生课前预习，这里用向量法推导①→21pp方向向上②→12pp方向向上1212xxyyk--=让学生掌握公式记忆注意：①当直线与x轴平行或重合时，0=k②当直线与y轴平行或重合时，k不存在为有利于调动学生学习的积极性，加深对两者关系理解，通过用几何画板演示倾斜角与斜率之间关系，给学生直观认识，降低学习的难度课本中是用坐标法去推导两点直线的斜率,学生课前预习易掌握,在证明过程中用向量法来推导两点确定直线的斜率,比较两种方法解题思路不同.0 xy。
高二数学：《直线的倾斜角与斜率》导学案
新修订高中阶段原创精品配套教材《直线的倾斜角与斜率》导学案教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改Tutorial Case of "Slope Angle and Slope of Straight Line"教师：风老师风顺第二中学编订：FoonShion教育《直线的倾斜角与斜率》导学案一、教学内容分析“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。
本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。
二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。
倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。
而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。
因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。
据此确定本课时的教学重点是：使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。
理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。
二、教学目标分析1. 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。
2. 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。
3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。
三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。
事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。
《直线的倾斜角与斜率》课件与导学案
D
)
新知探究
思考 直线的方向向量与斜率之间有什么关系？
如果直线l过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),(x1≠x2) ,直线l的斜率为k，则
直线的方向向量
P1P2 ( x2 x1 , y2 y1 )
y
1
1
P1P2
( x2 x1 , y2 y1 ) 0
x2 x1
点拨 应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜
率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解；若含有参数，常常需要进行分类讨论.
跟踪训练
已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?
-1-1
x2 x1
l
. P (x ,y )
2
. P (x ,y ) x
1
1
结论1 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x,y)则 k=
y2 y1
(1,
)
x2 x1
2
=（1, k）
结论2 若直线l的斜率为k，则它的一个方向向量的坐标为(1,k).
1
2
典例解析
例1 如图，已知A(3,2),B(-4,1),C(0，-1)，求直线AB,BC,CA的斜率，
不成立，当直线的倾斜角 = 900时，式子没有意义
y
. P (x ,y .)Pl (x ,y )
1 1 1 2 2 2
x
0
y
l
. P (x ,y )
1
0
1
1
. P (x ,yx)
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案在平面直角坐标系中，我们用斜率来描述直线的倾斜程度，但是斜率只能描述直线相对于x轴的倾斜程度，无法描述直线相对于y轴的倾斜程度。
因此，引入直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度，可以更加全面地描述直线的特征。
2．举例说明：如图，直线L1与x轴的夹角为30度，直线L2与x轴的夹角为60度，直线L3与x轴的夹角为120度。
我们可以发现，直线L1相对于x轴的倾斜程度最小，直线L3相对于x轴的倾斜程度最大。
同时，我们也可以根据倾斜角的大小来判断直线相对于x轴的倾斜方向。
二)直线的斜率1．定义：直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的连线所成的角，叫做直线L的斜率，记作k，即k=tan.2．斜率公式：设直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线L的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1).3．举例说明：如图，直线L1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线L2过点C(2,3)和点D(2,5)，直线L3过点E(-1,2)和点F(1,-2)。
我们可以通过斜率公式计算出直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为无穷大，直线L3的斜率为-2.三)倾斜角和斜率的关系1．推导过程：设直线L与x轴的夹角为，则tan=k，即=arctan(k)。
2．结论：直线的倾斜角和斜率是互相确定的，知道其中一个就可以求出另一个。
同时，当直线的斜率存在时，直线的倾斜角是唯一确定的。
三、知识拓展一)斜率的性质1．斜率相等的直线平行，斜率相反的直线垂直。
2．斜率为0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。
3．斜率为正数的直线向上倾斜，斜率为负数的直线向下倾斜。
4．斜率越大，直线的倾斜程度越大。
二)斜率的应用1．求两点间的距离：设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则AB的距离为d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
2．判断三点共线：设三点A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则当AB的斜率等于BC的斜率时，三点共线。
高中数学《直线的倾斜角与斜率》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
教师活动
预设学生活动
设计意图
（1）问题：两点确定一条直线，过一点可以作无数条直线（组成一个线束），这些直线的区别如何？
（2）倾斜角定义：当直线与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线/向上方向之题：除了倾斜角以外，还有没有表示直线倾斜程度的量？
学科核心素养分析
1.引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法。
2.通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。
板书设计
一条直线的倾斜角/(/≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tan/
k>0/0°＜/＜90°；k=0//=0°；k＜0/90°＜/＜180°;k不存在//=90°
教学反思
⑥直线与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0°
（3）倾斜角范围：0°≤/＜180°
（4）确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角/。
1.培养学生通过数形结合探究知识能力
2.学生结合图形深刻理解直线的倾斜角概念和直线的斜率概念以及二者之间的关系。
3.会简单的解决相关直线斜率与倾斜角的问题。
如果使用“倾斜角”的概念，“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切值”
（2）直线的斜率：
一条直线的倾斜角/(/≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k=tan/
画图理解概念
①直线与x轴相交；
②x轴为基准；
③x轴正向；
④直线向上的方向：左上、右上、正上；
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念2. 直线的斜率与倾斜角的关系3. 直线的倾斜角和斜率的计算4. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率与倾斜角的关系，直线的倾斜角和斜率的计算。
2. 教学难点：直线的倾斜角和斜率的计算，直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究直线的倾斜角和斜率的概念及关系，提高学生的思维能力。
2. 利用数形结合法，结合图形讲解直线的倾斜角和斜率，增强学生的直观理解。
3. 通过实例分析，让学生学会运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段学习的直线的倾斜角的概念，引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。
2. 新课讲解：（1）讲解直线的倾斜角的概念，介绍直线的倾斜角的定义及求法。
（2）讲解直线的斜率与倾斜角的关系，引导学生理解斜率与倾斜角之间的联系。
（3）讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法，让学生掌握计算直线的倾斜角和斜率的技巧。
3. 实例分析：运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题，如计算直线的倾斜角和斜率，分析直线在坐标系中的位置等。
4. 课堂练习：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。
6. 作业布置：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体直线图形，让学生理解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自对直线倾斜角和斜率的理解，互相学习，提高理解。
高中数学倾斜角与斜率导学案
直线的倾斜角与斜率探究点一： 直线的倾斜角1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．( ) (2)任意一条直线都有斜率．( )(3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．( ) 2．下图中，所标直线的倾斜角正确的是( )"3. (1)设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°， 得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° (2)已知直线l 1的倾斜角α1＝15°， 直线l 1与l 2的交点为A ，直线l 1 和l 2向上的方向所成的角为120°， 如图，则直线l 2的倾斜角为________． 跟踪练习 :1．已知直线l 的倾斜角为α－15°，则下列结论正确的是( )A ．0°≤α<180°B ．150°<α<180°C ．15°≤α<195°D ．15°≤α<180探究点二: 直线的斜率及其应用例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) =30α。
；(2) =135α。
; (3) =60α。
; (4) =90α。
?变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.（1）k =0； （2） k = 1 ；（3） k =3- ； （4）k 不存在.例2 .求经过两点A(2,3),B(4,7)的直线的斜率和正切值,判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角。
>变式.1.求经过下列两点直线斜率，判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）A(2,3),B ( 1,4)； （2）A (5,0), B(4, 2) .2．已知过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线的斜率等于1，则m ＝________例3. (1)若三点A (2，－3)、B (4,3)、C (5，k )在同一条直线上，则实数k ＝________.(2)已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)． ①求直线AB 和AC 的斜率；②若点D 在线段BC 上(包括端点)移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．、跟踪练习(1)如图，已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2] (2) ①当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12②当且仅当m 为何值时，经过两点A (m,2)，B (－m,2m －1)的直线的倾斜角是60° 探究点三: 直线的斜率与倾斜角的综合应用!例4. (1)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4；B ．k ≥34或k ≤－14C ．－4≤k ≤34 ； ≤k ≤4.（2）点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．》跟踪练习1.直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α<45° B ．0°≤α≤45°或90°<α<180° C ．0°≤α≤45° D ．45°≤α<90°或90°<α<180°2.已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．）3.已知直线的倾斜角α∈[3060。
04直线的倾斜角和斜率、直线方程(教案教学设计导学案)
3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．
[自主解答]设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.
1．直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0，π)_．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．
因为线段AB，AC中点坐标分别为 ， ，
所以这条直线的方程为 ＝ ，
整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为 － ＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为 ＝ ，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为 － ＝1.
＝ ≥ (4＋4)＝4.
当且仅当－4k＝－ ，即k＝－ 时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0.
(2)∵|MA|＝ ，|MB|＝ ，
∴|MA|·|MB|＝ · ＝2 ≥2×2＝4，
当且仅当k2＝ ，即k＝－1时取等号，
故直线方程为x＋y－3＝0.
一、直线的倾斜角与斜率
2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
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《3.1 直线的倾斜角与斜率》导学案 学习目标
1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3．能用公式和概念解决问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P 90~ P 91，找出疑惑之处）
复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?
复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?
二、新课导学
※ 学习探究
新知1：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角（angle of inclination ）.
关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角.
注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..
试试：请描出下列各直线的倾斜角.
反思：直线倾斜角的范围？
探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？
新知2：一条直线的倾斜角()2π
αα≠的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tan k α=.
试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为
⑴当0o α=时，则k ； ⑵当090o o α<<时，则k ；
⑶当90o α=时，则k ；
⑷当090180o α<<时，则k .
新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-. 探究任务三：
1.已知直线上两点1212(,),(,),A a a B b b 运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B 两点坐标的顺序有关吗？
2．当直线平行于y 轴时，或与y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？
※ 典型例题
例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
⑴30οα=；
⑵135οα=；
⑶60οα=；
⑷90οα=
变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.
⑴0k =；
⑵1k =；
⑶3k =-；
⑷k 不存在.
例2 求经过两点(2,3),(4,7)A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.
※ 动手试试
练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴(2,3),(1,4)A B -；
⑵(5,0),(4,2)A B -.
练2．画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.
练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C --三点的位置关系，并说明理由.
三、总结提升 ※ 学习小结
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.
2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的
3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：
直线的倾斜角α 直线的斜率k 直线的斜率公式 定
义
αtan =k 1212x x y y k --= 取值
范围
[0,180)︒ ),(+∞-∞ )(21x x ≠
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列叙述中不正确的是（ ）.
A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角
C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90ο
D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
2. 经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（ ）.
A ．45ο
B ．135ο
C ．90ο
D ．60ο
3. 过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ). A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
4. 直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则α为 角；k 的取值范围 .
5． 已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角2α为________. 课后作业
(3,2)--，若直线l 过点(1,1)P
且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.
2. 已知直线l 过221
1
(2,()),(2,())A t B t t t -+-两点，求此直线的斜率和倾斜角.。