水平集图像分割
融合Ratio边缘信息的水平集SAR图像分割方法
融 合 Ｒａ ｉ 缘信 息 的 水平 集 Ｓ ｔｏ边 ＡＲ 图像 分 割 方 法
吕 雁 ， 冯 大 政
７０７） １ ０ １
（ 安 电 子科 技 大 学 电 子 工程 学 院 ， 西 西 安 西 陕
摘 要 ：提 出 了一种 融合 边 缘 和 区域 信 息 的变 分 水 平 集 合 成 孔 径 雷 达 图 像 分 割 方 法． 方 法 不 需 要 去 除 该 相干斑噪声的预处理过程， 用具 有恒虚警特性 的 Ｒ ｔ 利 ａｉ 子 提 取 合 成 孔 径 雷达 图像 的边 缘 信 息 ， 与 ｏ算 并 无边 缘 活 动轮 廓 模 型 结 合 建 立 合 成 孔 径 雷达 图像 分 割 能 量 泛 函 模 型 ， 过 最 小 化 能 量 泛 函 得 到 曲 线 演 通
２１ ００年 ６月 第 ３ 卷 第 ３期 ７
西 安 电子 科 技 大学 学 报 （ 自然 科 学版 ）
ＪＯＵＲ ＮＡＬ ０Ｆ ＸＩ Ｉ Ｄ ＡＮ ＵＮＩ ＶＥＲ NhomakorabeaＩ ＴＹ
Ｊ ｎ ２ １ ｕ．００
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ３ １３ ．
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ｏｂｔ ｎｅ ｉ ｍ ｉａ ｉ ｆｔ ｅ ｅ ｒ ｕｎｃ ｉｎａ ．Ｔｏ ｉ ｐｌｍ ｅ ｔｉ ａ ｅ ｍ ｅ ａ ｉ ａｉ ｄ ｂｙ ｍ ｎｉ ｚ ｔｏｎ ｏ ｈ ｎｅ ｇｙ ｆ ｔｏ １ ｍ ｅ ｎ ｍ ｇｅｓ ｇ ｎｔ ｔｏｎ， ｔ ｅ ｓ ｌ ｔｏｎ ｏ ｈｅ ｈ ｏ ｕ ｉ ｆｔ ＰＤＥｓｂｙ ａ ｖａ ｉｔｏｎａ ｅ ｅ ｅ ｐｐ ｏ ｃ ｓ ａ ｒａ ｉ ｌｌ ｖ ｌｓ ｔａ ｒ ａ ｈ ｉ ｐｐｌ ｄ． Ｔｈｅ ｐｅ ｆ ｒ ａ ｃ ｈｅ ｍ ｅ ｈｏ ｓ ｖ ｒｆｅ ｏｔ ｉ ｅ ｒｏ ｍ ｎ ｅ ｏｆｔ ｔ ｄ ｉ ｅ ｉｉｄ ｂｙ ｂ ｈ ｓ ｎｔ ｔｃ ａ ｄ ｒ ａ ｙ ｈｅ ｉ ｎ ｅ ｌＳＡＲ ｍ ａ ｓ．Ｉ ｓｓ ｗ ｎ ｔ ｔｔ ｅ ｈｏ ａ ｃ ｕｒ ｔ ｌ ｘ ｒ ｃ ａ ｇ ｔ ｒ ｉ ｇｅ ｔｉ ｈｏ ｈａ ｈｅｍ ｔ ｄ ｃ ｎ ａ ｃ ａ ｅ ｙ ｅ ｔ ａ ｔｔ ｒ ｅ ｓ ｆｏｍ ｈｅ ＳＡＲ ｔ ｉ ａ ｔｗ ｉｈｏ ｎｙ ｄ ｓ ｃ ｅｓ ｅ ｍ ｇｅ ｂｕ ｔ ｕｔａ ｅ ｐｅ ｋｌ ｔ ｐ，ｗ ｈｃ ｓ ｅ ｓ ｓａ ｐｒ ｆ ｒ ｌ ｄｇ ｃ ｕ ａ ｙ． ｉｈ ｐｏ ｓ ｓ ｅ ｅｅ ａｂ ｅ ｅ ｅ ａ ｃ ｒ ｃ
基于nystrom方法的水平集医学图像分割算法
基于nystrom方法的水平集医学图像分割算法近几十年来，医学图像分割技术受到越来越多的关注，它给图像诊断和治疗带来了重大的变化。
为了更好地发掘和分析图像中的核心信息，再也无法满足于传统的分割方法。
Nystrom方法是一种基于局部线性建模的机器学习技术，它可以有效地将复杂的图像分割任务转换为简单的计算任务，被广泛用于数据挖掘、社会网络分析、语言处理以及图像处理等方面。
本文主要介绍基于Nystrom方法的水平集医学图像分割算法，并重点讨论其优点和不足之处。
一、Nystrom方法Nystrom方法是一种基于局部线性建模的机器学习技术，它能有效地将复杂的图像分割任务转换为简单的计算任务。
它的基本思想是，将待分割的图像划分为若干个小块，每一小块都拟合为一个局部线性模型，以此达到分割的目的。
Nystrom方法主要分为三个步骤：第一，选择一组样本点，用来拟合局部线性模型；第二，根据这一组样本点构建一个正定的拉格朗日方程，该方程的解能够估计出局部线性模型的参数；第三，利用经过优化后的参数，对整幅图像中的每一个点进行分类。
二、水平集医学图像分割算法基于Nystrom方法的水平集医学图像分割算法是一种有效的分割技术，它有助于更准确地估计图像中物体边界的位置，进而完成更加精准的分割任务。
水平集医学图像分割算法基于Nystrom方法，主要分为四个步骤：第一，从图像中提取一系列具有代表性的特征；第二，将这些特征投射到低维空间中，并建立局部模型；第三，根据这些模型估计图像中待分割物体的边界；第四，使用水平集理论，通过把图像划分为一系列的子图像，实现对待分割物体的最终分割。
由于水平集分割算法基于局部线性模型，能够有效减少运算量，提高分割精度，得到良好的分割效果，因此在医学图像分割中得到了广泛的应用。
三、优点和不足优点：1、Nystrom方法将图像分割任务从复杂的计算任务转化为简单的估计问题，能够有效缩短分割时间；2、水平集分割算法基于局部线性模型，能够有效减少运算量，提高分割精度，得到良好的分割效果；3、水平集分割算法可以自适应学习，即算法可以根据不同的图像参数，调整其参数，从而得到更加精确的分割结果。
图像分割中分段光滑Mumford_Shah模型的水平集算法
∫ λ | u0 ( x , y) - u ( x , y) | 2d x d y + Ω
∫ v | u ( x , y) | 2d x d y ,
(1)
Ω\ C
式中 , u0 ( x , y) 为开集 Ω ∈R2 上给定的含噪图像 ;
闭集 C Α R2 为 u0 ( x , y) 在 Ω 上的不连续集 (如图
Key words image segmentation ; active contour model ; level set
1 引 言
图像分割和形状表示是计算机视觉和计算机图
形学研究的一个基本问题 ,也是一个经典难题1 基 于 Kass[1 ] 提出的主动轮廓线模型 ( 又 称 Snake 模 型) ,为解决这一问题展现了令人鼓舞的前景[2 ]1 主 动轮廓线模型是一个自顶向下定位图像特征的机
性 ,而通过长度项控制边缘的分数维粗糙度1 它具
有结合使用高层知识的能力 ,支持直观的交互式操
作 ,成为目前最引人注目的主动轮廓方法1
近 20 年来 ,在国外 ,应用 Mumford2Shah 模型
进行图像恢复和去噪 、图像分割和分类 、形状匹配等
方面取得了大量的成果 ,国内的研究尚处于起步阶
段1 由于 Mumford2Shah 模型是现代数学中的一种
1 ( Depart ment of Com puter Science and Technology , N anji ng U niversity of Science & Technology , N anji ng 210094) 2 ( Graduate School , N anji ng U niversity of Science & Technology , N anji ng 210094) 3 ( Fourt h Instit ute of t he Second A rtillerist , Chi nese People’s L iberation A rm y , Beiji ng 100085)
图像分割(水平集方法)
11
❖ 在传统的水平集方法中，初 始水平集函数通常取为由初 始曲线生成的符号距离函数。
d ((x, y),C)inside (C),
0,onC,
非连续性分割：首先检测局部不连续性，然后将它们连 接起来形成边界，这些边界把图像分以不同的区域。这 种基于不连续性原理检测出物体边缘的方法称为基于点 (边界)相关的分割技术
两种方法是互补的。有时将它们地结合起来，以求得到 更好的分割效果。
5
❖ 分类—连续性与处理策略
连续性： 不连续性：边界 相似性：区域
❖ 图像分割在很多方面，如医学图像分析、交通监控等，都 有着重要的应用。
❖ 意义
分割的结果用于图像分析，如不同形式图像的配准和融 合、结构的测量、图像重建及运动跟踪等。
用于系统仿真、效果评估及三维定位等可视化系统中。 可在不丢失有用信息的情况下进行数据压缩。 分割后的图像与噪声的关系减弱，具有降噪功能，便于
图像分割
❖图像分割定义
按照一定的规则将一幅图像分成各具特性的区域，并提取 出感兴趣目标的技术和过程
其它名称：
❖ 目标轮廓技术（object delineation ） ❖ 目标检测（target detection） ❖ 阈值化技术（thresholding） 图像处理到图像分析的关键步骤
1
图像分割的应用
3
❖ 地位
图像处理着重强调图像之间进行变换以改善图像的效果 图像分析则主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测
量，以获得它们的客观信息从而建立对图像的描述 图像理解的重点是在图像分析的基础上，进一步研究图
像中各目标的性质和它们之间的相互关系，并分割：将相似灰度级的像素聚集在一起。形成图 像中的不同区域。这种基于相似性原理的方法也称为基 于区域相关的分割技术
基于水平集的gac模型的图像分割报告
偏微分方程与图像处理(GAC的水平集方法)实验二 GAC 的水平集方法一 实验目的采用GAC 模型的水平集方法检测图像中对象的轮廓，以便有效地进行分割。
二 原理分析推广GAC 模型的水平集方法对应的PDE 为：u gc u g u gk u t∂=∇+∇•∇+∇∂ （3.31） 按照上式，曲线运动将受两种“力”的支配，第一种力来自于曲率几何形变—曲率运动（gc u gk u ∇+∇），不过它的强弱还要受到因子()g I ∇的影响。
I ∇为图象I(x,y)的梯度模值，函数g (r) 是可以是任何具有单调减性的函数。
因为图象梯度模值I ∇在图象的边缘附近有较大值，从而使g(I ∇)取极小的值，故在图象边缘附近，该作用力将会变的很小，因此有时将边缘函数()g I ∇称之为边缘停止函数。
常数c 的作用是加速曲线向内部收缩。
第二种力来自于g 的梯度(1,2)g αα∇=，它是一种不论当前C 的局部是在对象内部或外部，都能将曲线引向边界的“吸引力”。
从而g u ∇•∇总是使曲线向着更接近于边界线的方向运动，最终达到贴近对象边界的稳定状态。
由于这两种作用使曲线演化可最终达到紧靠轮廓这一稳定状态而不再继续演化。
采用单边迎风方案，根据（1.76）式的数值方案实现上式：考虑到 0g >,0c >可得：(1)()(){n n ij ij ij u u t g c +-=+∆∇()()()()max(1,0)min(1,0)max(2,0)min(2,0)x ij x ij y ij y ij D u D u D u D u αααα-+-+++++ (0)2(0)212[()()]}n ij ij x ij y ij g k D u D u ++ (2.1)其中()2222[(max(,0))(min(,0))(max(,0))(min(,0))]x ij x ij y ij y ij D u D u D u D u -+-+-∇=+++ (2.3),1,1(0)2i j i j x ij u u D u +--= 中心差分 (2.2),1,x ij i j i j D u u u ++=- 向前单边差分 (2.3),,1x ij i j i j D u u u --=- 向后单边差分 (2.4)三 编程过程1 准备工作1）读入图像I ，将其转化为灰度图象，重新调整图象的大小为[100，100]。
水平集在图像分割中的应用研究
到 图像 分割 的 目的 。为 了解决 不 同应 用领 域 的图像 处理 问题 ， 各种 相应 的基 于水平 集方 法的 图像 分 割 算法 已被
提 出， 大量 的研 究者仍 在 不断地 改进和 提 高这 些算 法的效 率和有 效性 。对现有 的 用于部 分 图像 分割 的水平 集 方
ｓ ｌ ｔ ｎ ａ ｅ ｎｌ ｖ ｌ ｅ ｔ ｏ ｏ ｕ ｉ ｓ ｂ ｓ ｄ ｏ ｅ ｅ ｔ ｏ ｓ ｍｅｈ ｄ．ａ ｄ ａ ｌｒ ｅ ｎ ｍｂ ｒ ｆ ｅ ｅ ｒ ｈ ｒ ｌ ｃ ｎ ｉ ｕ ｒ ｖ ｎ ｎ ａ ｃ ｅ ｅ ｃｅ ｃ ｎ ｎ ｇ ｕ ｅ ｓ ａ ｃ ｅｓｗｉ ｏ ｔ ｅ ｔ ｉ ｏ ｅａ ｄ ｅ ｈ ｎ ｅ ｔ ｆ ｉｎ ｙ ａ ｄ ａ ｏｒ ｌ ｎ ｏ ｍｐ ｈ ｉ
ｅｆ ｃｉｅ ｅ ｓｏ ｅ ａ ｇ ｒｔ ｍｓ ｈ ｓｐ ｐ ｒｐ ｅ ｅ ｔ ｄ ａ ｖ ｒ ｉｗ ｏ ｘ ｓ ｎ ｔ ｏ ｓａ ｏ ｔ ｅ ｅ ｅ ｓ ｄ ｔ ａ ｔ ｌ ｍａ ｅ ｓ ｇ ｆ ｔ ｎ ｓ ｆ ｈ ｌｏ ｉ ｅ ｖ ｔ ｈ ．Ｔ ｉ ａ ｅ ｒ ｓ ｎ ｅ ｎ ｏ ｅ ｖｅ ｆｅ ｉｔ ｇ ｍｅ ｈ ｄ ｂ ｕ ｖ ｌｓ ｔ ｅ ｏ ｐ ｒｉ ｇ ｅ — ｉ ｌ ｕ ａｉ ｍｅ ｔ ｔ ｎ ｎ ａｉ ．ｍａ ｎｙ ｉ ｔ ｄ ｃ ｄ ｔ ｅ ｔ ｄ ｔ ｎ ｌＪｖ ｌｓ ｔｍｅｈ ｄ．１ ｖ ｌｓ ｔｍｅｈ ｄ ｗｉ ｏ ｔｒ ｉ ｉ ａ ｉ ｔ ｎ，ｃ ｎ ｉｕ ｕ ｅ ｅ ｅ ｏ ｉ ｌ ｎ ｒ ｕ ｅ ｈ ｒ ｉ ｏ ａ ｅ ｅ ｅ ｔ ｏ ｏ ａ ｉ ｅ ｅ ｅ ｔ ｏ ｔ ｕ ｅ ｎｔ ｌ ａ ｉ ｈ ｉ ｚ ｏ ｏ ｔ ｏ ｓ ｌｖ ｌｓ ｔ ｎ
基于改进水平集的医学图像分割
型，通过使用局部图像信息，该模型可以在较少的迭代次数内分割灰度不均匀图像。在规则化项中引入能量惩罚项 ，
消除了传统 Ｃ ａ－ｅ ｈｎＶ ｓ ｅ模型的重新初始化操作。此外，给出了一个基于演化 曲线长度变化的水平集演化终止准则。实
水 平集 方 法 已经成 为 图像 分 割领 域 的一 个研 究 热
因此，对水平集方法进行研究是非常有必要的。同时 ，
２１年 １ ０卷 １ 月 第６ 第１ 期
中国科 技 论 文 在 线
Ｓ Ｅ ＣＥ Ａ Ｅ ＬＮ ＣｌＮ Ｐ Ｐ Ｒ ＯＮ Ｉ Ｅ
、１ Ｏ ，６ ． ０ Ｎ １ ．
Ｊ ｎ． ａ ２０ｌｌ
基于改进水平集 的医学 图像分割
王 明 泉 ，梁 君婷 ，冯 晓 夏
（ 中北大学仪 器科 学与动态测试教育部重点实验室，太原 ０ ０ ５ ） ３０ １
ｆｗｅ ｔｒ ｔ ｎ ． ｄ ｔｅ ｐ ｎ ｌ ｉｇ ｅ ｅｇ ｅｍ ｌ ｎ ｔｓｔ ｅｔ ｅｃ ｎ ｕ ｉｇ ｒ — ｉａｉ ｔ ｎ ｐ ｏ ｅｓ ｅ ｒｉ ａｉ ｓ Ａｎ ｅ ａｉ ｎ ｎ ｒ ｙ ｔｒ ｅｉ ａｅ ｉ －ｏ ｓ ｍ ｎ ｅ ｉ ｔ ｌ ａ ｏ ｒｃ ｓ．Ｗ ｈ ｔ ｒ，ａ ｅ ｏ ｈ ｚ ｍｉ ｈ ｍ ｎ ｉ ｚｉ ａ ＇ ｍｏ ｅ ｓ ｔｒ ｉａ ｏ ｒｔｒｏ ａ ｅ ｎ ｔｅ ｌｎ ｔ ｈ ｎ ｅｏ ｈ ｅｅ ｏｖ ｇ ｃ ｒｅ ｉ ｒ ｐ ｓ ｄ ｔ ｎ ｕ ｅｔａ ｅｅ ｏｖ ｇ ｃ ｒ ｅ ｃ ｅｍ ｎ ｔ ｎ ｃｉ ｉｎ ｂ ｄ ｏ ｅ ｇｈ ｃ ａ ｇ ｆｔ ｖ ｌｉ ｕ ｖ ｓｐ ｏ ｉ ｅ ｓ ｈ ｎ ｏ ｅ ｏ ｅ ｓｒ ｔ ｔ ｖ ｌｉ ｕ ｖ ａ ｈ ｈ ｎ ｎ
图像分割的常用方法
图像分割的常用方法
1. 阈值分割：根据像素灰度值与预设阈值之间的大小关系将图片分成黑白两个部分，常用于二值化处理。
2. 区域生长：利用像素之间的空间连通关系，从种子像素开始，将与其相邻的像素逐步合并成同一个区域。
3. 全局图像分割：将图像分成多个颜色或灰度级别，然后根据图像亮度、颜色、纹理、空间信息等特征进行分类，常用于分类、检测、识别等任务。
4. 模型分割：使用先前训练好的模型对图像分类和分割。
例如，利用卷积神经网络(CNN) 对图像进行分类和分割。
5. 基于图的分割：将图像转换成图形结构，建立节点之间的连接关系，通过图形算法对图形进行分割。
6. 边缘检测：检测图像中的边缘线条并将其分割出来，常用于目标检测和识别。
7. 水平集分割：该方法使用曲线(水平集) 对图像进行分割，可以在不同曲线之间自由地移动，因此在较复杂的图像中可以得到更好的分割效果。
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[4]Li C M, Xu C Y, Gui C F, et al. “ Level Set Evolution Without Re-initialization: A New Variational Formulation”
1 注意扩散因子 (1 ) 。如果 >1，那么扩散因子的作用
就是减小梯度，也就起到了限制梯度扩散的作用；反之同理。
16
关于时间步长的选取 在提出的LXF模型中，时间步长可以取得比传统水平集方 法中大一些。在这篇文献中就取到了从0.1到100的宽幅范 围。那么到底取多大的时间步长才能保证迭代的稳定性呢？ 通过实验得出如下的经验公式：
像中的不同区域。这种基于相似性原理的方法也称为基 于区域相关的分割技术 非连续性分割：首先检测局部不连续性，然后将它们连 接起来形成边界，这些边界把图像分以不同的区域。这 种基于不连续性原理检测出物体边缘的方法称为基于点 ( 边界)相关的分割技术 两种方法是互补的。有时将它们地结合起来，以求得到 更好的分割效果。
2
形式化定义
令集合R代表整个图像区域，对R的分割可看作将R分成若
干个满足以下条件的非空子集（子区域） R1， R2， R3， … Rn :
(1) Ri
i 1
n
( 2)对所有的i和j , i j , 有Ri R j ( 3)对i 1,2,...,n, 有P ( Ri ) true (4)对i j , 有P ( Ri R j ) false (5)对i 1,2,...,n, Ri 是连通的区域
d (( x, y ), C )inside (C ), 0,onC , d (( x, y ), C )outside(C ).
水平集函数在迭代的过程中可能发生退化，使它不再保持符号 距离函数，因此必须进行重新初始化操作，以保证水平集函数 接近一个符号距离函数，从而保证数值解法的稳定性。 标准的重新初始化方法是通过解以下的Hamilton-Jacobi方程实 现的：
Computer Vision and Pattern Recognition. 2005:1,430~436
8
水平集方法
Level Set方法是由Sethian和Osher于1988年提出，最近十几年得到广泛 的推广与应用。简单的说来，Level Set方法把低维的一些计算上升到更 高一维，把N维的描述看成是N＋1维的一个水平。举个例子来说，一个二 维平面的圆，如x^2+y^2=1可以看成是二元函数f(x,y)=x^2+y^2的1水平， 因此，计算这个圆的变化时就可以先求f(x,y)的变化，再求其1水平集。
图像分割定义
图像分割
按照一定的规则将一幅图像分成各具特性的区域，并提取
出感兴趣目标的技术和过程
其它名称：
目标轮廓技术（object delineation ） 目标检测（target detection） 阈值化技术（thresholding） 图像处理到图像分析的关键步骤
1
图像分割的应用
3
地位
图像处理着重强调图像之间进行变换以改善图像的效果 图像分析则主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测
量，以获得它们的客观信息从而建立对图像的描述 图像理解的重点是在图像分析的基础上，进一步研究图 像中各目标的性质和它们之间的相互关系，并得出对图 像的解释
4
分类—分割依据
相似性分割：将相似灰度级的像素聚集在一起。形成图
sign(0 )(1 ) t
然而，在演化过程中周期性地对水平集函数进行校正，即重新 初始化为符号距离函数，这一操作计算量非常大，达到 O(M×N×P)。
12
ห้องสมุดไป่ตู้
为解决该问题，Li,Xu,和Fox(简称LXF模型)等将距离约束 信息加入到主动轮廓模型的水平集能量泛函中，这就无需 对水平集函数重新初始化就可以驱使水平集函数接近一个 符号距离函数，其方法有很大的优势，可以节省很多计算 时间。 在建立模型前首先引入如下的边缘检测函数来驱使零水平 集向物体边界靠拢。
22
研究层次
图像分割算法 图像分割算法的评价和比较
对分割算法的评价方法和评价准则的系统研究
7
所用到的文献
[1]S.Osher,J.A.Sethian.
“Fronts propagating with curvature-dependent speed:algorithms based on HamiltonJacobi formulations” Journal of Computational Physics. 1988,79(1):12-49
15
其它问题的一些说明
p( )(距离惩罚能量项)的说明。通过最小化方程 p( ),得到
相应的偏微分方程如下所示： t div( ) div( ) (0, x, y ) ( x, y) 0
1 t div[(1 ) ] (0, x, y ) ( x, y ) 0
g 1 1
G ( x, y)*u( x, y)
2
他们给出如下模型。
E ( ) p( ) Em ( )
13
其中p是关于 的内部能量函数，该项使水平集函数演化为 ) 符号距离函数。μ>0是内部能量项的权值；Em (是一控制水平 集函数 零水平集的外部能量项。
p( )
[2]M.Kass,A.Witkin,D.Terzopoulos.
“Snakes:active contour models” International Journal of Computer Vision. 1995,17(2):158-174
[3]Tony F.Chan,Luminita A.Vese. “Active Contours Without Edges”
18
一些实验结果
19
算法性能比较
217×203 图像 迭代400次 运行时间 文献[4]算法 文献[3]算法 17.51s 75.17s 抗躁性能 217×203图像 迭代400次 运行时间 19.06s 136.72s 抗噪性能 较差 较好
文献[4]所用参数为：μ=0.1；υ=0；λ1= λ2=1； τ=0.5； ε=10-5. 文献[3]所用参数为：μ=0.04；λ=5；υ=1.5；σ=1.5； ε=1.5；τ=5.
C t
V (k ) N
10
水平集方法
由 ，对t进行全微分，得 而内向法向量 N ，整理得到
(C (t ), t ) 0
C 0 t t
V (k ) N V (k ) V (k ) t
这就是用水平集进行曲线演化的方程。 用水平集方法实现主动轮廓线模型有如下优点：
演化曲线可以随φ的演化自然地改变拓扑结构，可以分裂、合并、形成尖角等。 由于φ在演化过程中始终保持为一个完整的函数，因此容易实现近似数值计算。 水平集方法可以扩展到高维曲面的演化，简化了三维分割理论和应用的复杂性。
11
在传统的水平集方法中，初 始水平集函数通常取为由初 始曲线生成的符号距离函数。
1 4
使用大的时间步长可以加快迭代速度，但是选的太大可能 会在边缘的地方引起错误。即大的时间步长和精确的边缘 定位是一对矛盾。通常情况下选择时间步长小于10。
17
本文的优势
相比传统的水平集曲线演化，本文主要有以下三点优势：
由于加大了迭代步长，所以明显地缩短了解偏微分方程的时间，加
速了曲线的演化速度； 水平集不用初始化为特定的符号距离函数，可以根据需要灵活的设 定，这样水平集的生成效率更高； 该模型可以使用有限差分法简单实现，而不用以前模型中的逆风 (upwind)算法。
20
算法的不足和改进
水平集算法的核心是解决水平集进化的问题。通过分析比较 目前已有的水平集模型，发现主要存在有两大问题： 绝大部分水平集模型均涉及到需要在进化过程中对水平 集函数重新初始化的问题； 许多模型都需要借助原始图像的梯度信息来保证水平集 进化如期收敛。 文献[4]解决了第一个问题，但没有解决第二个问题。而第二 个问题会直接导致算法在处理由梯度定义的弱边缘图像特征 时显得无能为力，比如说很难捕捉到不光滑的尖角。 由于引入了梯度因子，所以对噪声比较敏感，不适合检测比 较平滑的图像区域。
2 1 1 dxdy 2
同时，外部能量项有如下定义：
g , , Lg ( ) Ag ( )
零水平集曲线的长度
Lg ( )
目标区域的加权面积值 g ( ) gH ( )dxdy
g ( )
dxdy
14
相关的水平集演化方程如下
5
分类—连续性与处理策略
连续性： 不连续性：边界 相似性：区域 处理策略：早期处理结果是否影响后面的处理 并行：不 串行：结果被其后的处理利用 四种方法 并行边界；串行边界；并行区域；串行区域
6
问题
不同种类的图像、不同的应用需求所要求提取的区域是不
相同的。分割方法也不同，目前没有普遍适用的最优方法。 人的视觉系统对图像分割是相当有效的，但十分复杂，且 分割方法原理和模型都未搞清楚。这是一个很值得研究的 问题。
9
水平集方法
水平集方法将平面闭合曲线隐含的表达为连续函数曲面 ( x, y, t ) 的一个具有相同函数值的同值曲线。通常将目标曲线隐含表示 在零水平集函数 { ( x, y, t ) 0} 中，即t时刻,对应于的零 水平集 C ( p, 0) {( x, y ) | ( x, y, 0) 0}, C ( p, t ) {( x, y ) | ( x, y, t ) 0}. 设用于演化的平面闭合曲线为C(p,t)=(x(p,t),y(p,t)),p为任意的 参数化变量，t为时间。设曲线的内向法向量为N ，曲率为k,则 曲线沿其法向量方向的演化可以用下面的偏微分方程表示：