第三章二阶线性偏微分方程的分类化简
关于化简2阶线性偏微分方程的一些直观想法
关于化简2阶线性偏微分方程的一些直观想法课本第一章谈到化简2阶2元线性偏微分方程，以便更好的分类进而方便其求解，个人认为其方法稍显突兀，并且难以向高维情况推广，以下讨论一些对于课本方法的改进。
2阶半线性偏微分方程的一般形式是：1,()()(,,...,)0i ji ij x x i x n i jia x ua x u F u x x ++=∑∑其二次的主部为：0,i jij x x i jL u a u =∑化简的实质是做变换，而现阶段我们能够使用的仅有2种：①自变量变换 ；②未知函数变换第一部分：过程推导§1首先我们知道，二阶方程困难之处是在于它的主部，于是我们单独就0L u 进行讨论。
受到二次型理论的启发，我们利用算子复合的概念将0L 写成二次型的形式：111121212221012121..........................n n n n n nn x a a a a a a x L x x x a a a x ∂⎛⎫ ⎪∂ ⎪⎛⎫ ⎪∂ ⎪⎛⎫∂∂∂ ⎪ ⎪∂=⎪⎪⎪∂∂∂⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭在这里要注意的一点的是，虽然ij a 是x 的函数，但在这个二次型里只当作系数，即不能理解为：()ij i i a x x ∂∂∂∂，而应该理解为2ij ij i j i ja a x x x x ∂∂∂=∂∂∂∂，这一点在后面仍会碰到。
§2接下来，首先我们看一般的自变量的光滑变换会产生什么效果。
令() i=1,2,...,n i i y y x =记 12...T n x x x x⎛⎫∂∂∂∂= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ， 111212122212....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭， 121111222212....................n n n nnn y y y x x x y y y x x x J y y y x x x ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪ ⎪⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭ 当然我们可以要求A 是对称阵。
二阶线性偏微分方程的分类
1 1 令 ( s t ), ( s t )uss utt A1us B1ut C1u D1 2 2 此方程二阶导数部分与弦振动方程类似，称为双曲型方程。
2 (2)当 =a12 -a11a22 =0时u =Au +Bu Cu D 1 2
0 0
多元二阶线性方程的分类
(3) A( x0 )的m个特征值都是负（正）数方程)在点x0属于椭圆型 2u 2u 2u 位势方程：u 2 + 2 + 2 f ( x, y, z ) x y z -1 A= 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0
三类典型方程
位势方程
椭圆型方程
2u 2u 2u u 2 + 2 + 2 f ( x, y, z ), x, y, z ) , x y z 在热传导问题中，若外界环境及物体内热源不随时间变化， 则经过较长时间后，物体内温度场区域稳定，即温度与时间无关。 2 2 2 = 2 + 2 + 2 是Laplace算子。 x y z f ( x, y, z )=0时称为Laplace方程，也称为调和方程。
多元二阶线性方程的分类
(1) A( x0 )的m个特征值除了一个为正（负）外都是负（正）数 方程)在点x0属于双曲型 -a 2 0 0 2 2 0 0 u u 波动方程： 2 a 2 2 f ( x, t ) A= 2 t x 0 0 -a 0 0 0 0 1 (2) A( x0 )的m个特征值除了一个为0外都是负（正）数 方程)在点x0属于抛物型 -a 2 2 2 2 u u u u 2 热传导方程： a（ + 2 + 2） f ( x, y, z , t ) A= 2 0 t x y z 0 0 0 -a 2 0 0 0 0 0
3. 二阶偏微分方程
§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=n nnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni ia.如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u mi nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222t us u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ 或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，i ()∑∑==≥ni i n j i j i ij a a a a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）.如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
05
二阶线性偏微分方程的数值求解方法
思想
将微分方程转化为一组差分方程，通过求解差分方程得到原微分方程的数值解。
有限差分法
步骤
选择适当的差分格式，将微分方程中的微分项和代数项离散化，构建差分方程并求解。
特点
简单直观，易于编程实现，但精度较低，适用于简单问题和一维问题。
思想
将微分方程所描述的区域划分成一系列离散的小单元，通过对每个小单元进行数值求解，得到原微分方程的数值解。
在工程中的应用
04
二阶线性偏微分方程的求解方法
行波法
要点三
概述
行波法是一种通过假设解的形式为行波函数，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有波形的二阶线性偏微分方程，如波动方程、热传导方程等。
步骤
选择适当的行波函数，将其代入原方程，通过常微分方程求解，最后反推出原方程的解。
特征点不都位于任意位置，形式为$a(x)u''+b(x)u'+c(x)u=f(x)$；
非齐次二阶线性偏微分方程
特征点一部分位于任意位置，一部分不位于任意位置。
混合二阶线性偏微分方程
确定初始条件下的二阶线性偏微分方程
周期初始条件下的二阶线性偏微分方程
自然边界条件下的二阶线性偏微分方程
按照初始条件
在时间轴上，当$t<0$时，因果关系为$u(t)=0$；当$t>0$时，因果关系为$u(t)=F(t)$；
要点三
分离变量法
概述
分离变量法是一种通过假设解的形式为多个变量的乘积，将偏微分方程转化为多个常微分方程进行求解的方法。
适用范围
数学物理方法15方程的分类与化简资料.
φ(x, y)＝C是常微分方程
a11(dy)2 2a12dxdy a22 (dx)2 0
特征方程
的通积分，反之亦然。
其积分曲线称为特征线
不妨设a11≠0(若a11=0，则设a22≠0)，此方程可分解成
dy a12 a122 a11a22
dx
a11
分别作为ξ，η
因此，取变量变换之前，须分析方程的类型，进而求出 特征线表达式。
两变量二阶线性偏微分方程的 分类和化简
考察一般二阶线性方程
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f
其中，系数为(x, y)的已知可微函数；aij不同时为0 引入新自变量(ξ, η) 偏导数的链导法则
(x, y) (x, y) 关于新自变量的二阶线性方程
若变换是可逆的，则J≠0. 记
a122 a11a22
' A122 A11 A22
为方程的判别式。变换前后，判别式符号不变。
二次曲线的分类
考察常系数二阶线性方程 a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f
与之对应的二次曲线方程
a11x2 2a12 xy a22 yy b1x b2 y c 0
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
系数表达式见课本p360.
关于新自变量的二阶线性方程
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
系数表达式如下
A11 A12
a11
2 x
a11 xx
2a12 x y a12 ( x y
a22
2 y
方程的化简
化简的基本思想：采用某种自变量变换，使得关于
二阶线性微分方程的分类
b1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y b 2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y c c, f f
如果选取合适的变换
1 (x, y),
2 ( x, y)
做变换
2 x y ) , 3
3 2
原方程化为
2u 1 u u 0. 6( )
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性(看其系数是否和未知函数有关)，分为线性微分 方程和非线性微分方程；
a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是变量 x, y 在区域 上的实函数
2、两个自变量方程的化简
令 ( x, y), ( x, y)
D( , ) x y 且 在( x0 , y0 )处不为零。 D( x, y) x y
由于
2
(1.7 ')
如果(1.7’)存在一个解 ( x, y ) c ,根据隐函数存在定理, 有
x dy dx y
2
所以(1.7’)可以化为
dy dy a11 2a12 a22 0, dx dx
这样(1.7)的求解就化为下述常微分方程在 积分曲线问题:
a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 0
方程化为：
u u Au Bu Cu D.
例2：将弦振动方程化为标准形式。
解：方程 utt
特征方程:
a uxx 0 的特征线族是
2
二阶线性偏微分方程的解法和特解
二阶线性偏微分方程的解法和特解在数学领域中，二阶线性偏微分方程是一种重要的方程类型。
它在物理学、工程学以及其他领域的建模和问题求解中具有广泛的应用。
解决这类方程的问题既有理论上的方法，也有实用的数值解法。
本文将介绍二阶线性偏微分方程的求解方法，包括一般解法和特解法。
一、一般解法对于形如：\[a(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + b(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x \partial y}} + c(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} + d(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + e(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + f(x, y) u = g(x, y)\]的二阶线性偏微分方程，其中\(a(x, y), b(x, y), c(x, y), d(x, y), e(x, y), f(x, y), g(x, y)\)是已知函数，我们希望求解未知函数\(u(x, y)\)满足该方程。
首先，我们可以采用变量分离法将方程化简。
令\(u(x, y) = X(x)Y(y)\)，代入原方程，可以得到两个方程：\[ a(x) \frac{{X''(x)}}{{X(x)}} + d(x) \frac{{X'(x)}}{{X(x)}} + f(x) = -\lambda \]\[ c(y) \frac{{Y''(y)}}{{Y(y)}} + e(y) \frac{{Y'(y)}}{{Y(y)}} +\lambda = -g(x, y) \]其中\(\lambda\)是常数。
我们先考虑第一个方程，它可以化为一个常系数齐次线性微分方程：\[ a(x) X''(x) + d(x) X'(x) + \left(f(x) + \lambda\right) X(x) = 0 \]接下来根据常系数线性微分方程的解法，可以求得\(X(x)\)的解。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
特点
1
偏微分方程的意义
2
3
描述现实问题中多个变量之间的动态关系。
建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
通过求解偏微分方程，可以预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
二阶线性偏微分方程的分类
02
特征方程为多项式形式
特征方程为三角函数形式
分离变量法
适用范围：积分变换法适用于具有特定边界条件的二阶线性偏微分方程，如周期性边界、狄利克雷边界等。基本思想：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。步骤选择适当的积分变换函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。对原方程进行积分变换，得到变换后的常微分方程。求解常微分方程，得到原方程的解。通过反变换得到原方程的通解。
二阶线性偏微分方程的展望与发展
05
有限差分法
通过离散化偏微分方程，将连续的空间离散为多个离散点，并使用差分近似公式来计算每个离散点处的数值解。
有限元法
将连续的空间离散为多个小的单元，每个单元内使用线性函数来近似解，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
谱方法
利用傅里叶变换等函数变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解，具有高精度和高分辨率的优点。
《二阶线性偏微分方程的分类与总结》
xx年xx月xx日
CATALOGUE
目录
二阶线性偏微分方程概述二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的求解方法二阶线性偏微分方程的应用领域二阶线性偏微分方程的展望与发展二阶线性偏微分方程的案例分析
二阶线性偏微分方程概述
01
VS
二阶线性偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且方程中未知函数的最高阶偏导数不超过二阶。
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第三章二阶线性偏微分方程的 分类化简
二阶线性偏微分方程的一般形式为 a u b u cu f （1）
n n ij xi x j i xi i , j 1 i 1
其中未知函数及其偏导函数的系数都是实值函数，当 n=2时候，方程可以写成
xx xy yy
2 x x y 2 y x x x y y x y y 2 x x y 2 y xx xy yy x y xx xy yy x y
x
Eu y Fu G
(2)
F f Gg
假设abc不等于零，我们希望选取一个变量替换使得方程(2)中A和B都等 2 2 ( x, y ), 使得 于零.选择变换， A a x b x y c y 0
( x, y ).
2 2 C a x b x y c y 0
经过证明可以上述一阶偏微分方程的解等价于常微分方程： ady 2 bdxdy cdx2 0 ( a( dy )2 b dy c 0 )
dx dx
(3)
D
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假设它的Jacobi行列式
直接计算可以得到：
u x u x u x u y u y u y 2 2 u xx u x 2u x x u x u xx u xx u xy u x y u ( x y y x ) u x y u xy u xy u u 2 2u u 2 u u y y y y yy yy yy
au xx bu xy cu yy du x eu y fu g
D
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t a b 4ac 0 则称方程(1)是双曲型方程 m 在区域D内，如果 e h b 4ac 0 t如果 a 则称方程(1)是抛物型方程 M f o 如果 b 4ac 0 则称方程(1)是椭圆型方程 t n e m二）二阶线性偏微分方程的化简
, s c ti
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2 2
2
, s 一）二阶线性偏微分方程的分类： c i
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注：方程的简单或者复杂取决于方程当中高阶偏导数的数量，化简的目 的就是通过变量替换减少方程当中高阶偏导数的数量.
在区域D内，考察变量替换
J D( , ) x y 0 D ( x, y ) x y
( x, y ), ( x, y ).
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将其代入到方程(1)中可以得到
pa e D
T I Au Bu s, H Cu Du c i t a c A a b m e 2a b( ) 2c h B t 其中 a M C a b c f o t D a b c d e n e m E a b c d e rt