第5章 标量湍流
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流体力学第五章
v⋅dl =
l
(udx + vdy + wdz)
l
速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆 时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕 行的方向为负方向。对非定常流动，速度环 量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线 上各点的速度计算，积分时为参变量。
Shanghai Jiao Tong University
S
Ω
速度环量
0源汇强度
Shanghai Jiao Tong University
5.6 Stokes定理
例子1：已知二维流场的速度分布为 u = −3y，v = 4x ，试求
绕圆 x 2 + y 2 = R的2 速度环量。
解： 此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为:
x = r cosθ y = r sin θ
dJ = Ω⋅ d A = 2ωcos(ω ⋅ n)dA= 2ωndA
对有限面积，则通过这一面积的涡通量
应为
J = ∫∫Ω ⋅ dA = 2∫∫ ωndA
A
A
如果面积A是涡束的某一横截面积，就称为涡束
旋涡强度，它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡
强度不仅取决于旋度Ω，而且取决于面积A。
Shanghai Jiao Tong University
涡面的流体质点在以前或以后任一
时刻也永远组成涡面，即涡面是由
相同的流体质点组成的，但其形状
K
可能随时变化。
2)涡线保持定理：在某一时刻组成 涡线的流体质点在以前或以后任一 时刻也永远组成涡线，即涡线是由 相同的流体质点组成的，但其形状 可能随时变化。
Shanghai Jiao Tong University
Ωx
流体力学05湍流
。于是得到Re，α，β= β1 +β2之间的关系：
1 1 ，Re
2
2
，Re
• 最后得到不稳定的最小雷诺数为1.06×104。 • 而实验结果为1900。
不准确的原因：
1. 线性扰动不适合本问题。 2. 有限振幅扰动的非线性稳定性的理论发 展不够。 3. 实际扰动为三维扰动。
涡的形状和数目随涡的形 状和数目随边界形状改变
而急剧改变
长，有记忆
玻氏微积分方程
无
其中的致命伤：6,8,9 科学：1.确定性。2. 可重复性。
5-3 稳定性理论的基本思想
为了求解方程，需要对问题进行数学上 的描述。当某些物理量达到稳定的临界值时， 给方程加一个扰动，如果解变得不规则，则方 程处于不稳定状态。
p z
zx
x
zy
y
zz
z
(4)
用张量符号表示：
u j
x
j
0
(5)
ui t
uj
ui x j
p xi
ij
x j
(6)
5 ui 6，有：
ui
uiu j
尽管运动是随机的，但我们关心的物理量， 都是某一时间或某一体积上的平均效果。平均的方 法有很多，最常用的是对时间区平均的方法，叫做 时均法。任一物理量 f(x,y,z,t) 的时均值定义：
f x, y, z,t 1 T
T
2 T
f
x, y, z,t dt
1 1 ，Re
2
2
，Re
• 最后得到不稳定的最小雷诺数为1.06×104。 • 而实验结果为1900。
不准确的原因：
1. 线性扰动不适合本问题。 2. 有限振幅扰动的非线性稳定性的理论发 展不够。 3. 实际扰动为三维扰动。
涡的形状和数目随涡的形 状和数目随边界形状改变
而急剧改变
长，有记忆
玻氏微积分方程
无
其中的致命伤：6,8,9 科学：1.确定性。2. 可重复性。
5-3 稳定性理论的基本思想
为了求解方程，需要对问题进行数学上 的描述。当某些物理量达到稳定的临界值时， 给方程加一个扰动，如果解变得不规则，则方 程处于不稳定状态。
p z
zx
x
zy
y
zz
z
(4)
用张量符号表示：
u j
x
j
0
(5)
ui t
uj
ui x j
p xi
ij
x j
(6)
5 ui 6，有：
ui
uiu j
尽管运动是随机的，但我们关心的物理量， 都是某一时间或某一体积上的平均效果。平均的方 法有很多，最常用的是对时间区平均的方法，叫做 时均法。任一物理量 f(x,y,z,t) 的时均值定义：
f x, y, z,t 1 T
T
2 T
f
x, y, z,t dt
turbulent flows 第8版 pope 译注
turbulent flows 第8版 pope 译注Turbulent Flows 是一本由 Stephen B. Pope 所著的著名流体力学领域的经典教材，本文对该书的第8版进行了详细的译注。
以下是对该书部分章节内容的梳理和解析。
第一章简介本书是关于湍流流体力学的权威教材，主要介绍了湍流的基本概念和理论，以及相关的实验和数值模拟方法。
通过深入分析湍流现象和其背后的数学模型，读者将能够更好地理解和预测湍流的行为。
第二章湍流的描述湍流是一种复杂且难以捉摸的流动现象。
书中介绍了湍流的统计描述，包括涡旋相关、相关时间和长度尺度等基本概念。
此外，还详细阐述了湍流的能谱和相关的能量传递机制，为后续的章节打下基础。
第三章计算流体力学中的湍流模型计算流体力学（CFD）作为一种重要的湍流研究方法，被广泛应用于工程和科学领域。
本章介绍了常用的湍流模型，包括雷诺平均湍流模型（RANS），大涡模拟（LES）和直接数值模拟（DNS）。
通过比较不同模型的优劣，读者将能够选择适合自己研究对象的湍流模型。
第四章湍流的数值模拟本章主要介绍了湍流的数值模拟方法，包括有限体积法、有限元法和谱方法等。
通过数值模拟，可以更加深入地研究湍流的特性和行为。
同时，书中还涵盖了一些常见的湍流模拟技巧，如网格生成和边界条件设定等，帮助读者掌握湍流模拟的实质。
第五章湍流的统计理论湍流的统计理论是湍流研究的重要组成部分。
本章详细介绍了湍流的统计特性，包括湍流的概率密度函数、相关函数和湍流湍度等。
此外，还阐述了重要的湍流统计理论模型，如湍流统计平衡理论和尺度相似理论等，为读者进行湍流统计的研究提供了重要参考。
第六章湍流的实验技术湍流的实验研究是湍流研究的基础性工作之一。
本章介绍了一些常见的湍流实验技术，包括激励湍流、热线湍流和粒子图像测速法等。
通过实验手段，可以直接观测湍流的各种特性和行为，为湍流理论的验证提供了有力支撑。
第七章壁湍流壁湍流是湍流研究的重要分支，也是工程流体力学中的核心问题之一。
流体力学第五章5--1讲
有涡旋运动特征的变化速度场 V r
和无旋流动的变化速度场
(5-3) (5-4) (5-5)
V
，即：
V Vr V
其中：
V
Vr
因此，凡是引起流场中
Vr
变化的作用，也就是
导致流体涡度或速度环流变化的原因，这也是本章讨论 涡动力学基础的主要内容。
L
t t0
V dl 0
(5-16-3)
设在初始时刻以前或以后的某一时刻，组成涡面的流体
质点移动到新的位置并组成新的曲面’，而封闭曲线L上的流
体质点则移动到’面的封闭曲线L’上。兹证’亦为一涡面。 因流体是理想正压的，且外力有势，则根据开尔文定理推出 (5-16-4) V dl V dl 0
l
(5-7)
其中式(5-7)也称开尔文关系式，其微分形式为：
d n d
上述两式建立了涡度与速度环流之间的关系。
(5-8)
一、开尔文定理 假设流体是理想的正压的流体在有势外力作用下，则沿任 一封闭曲线的速度环流在运动过程中恒定不变。其证明如下： 对(5-6)式求微商得：
d l d d dV V dl l V dt dt l dt dt l l
1 d p dt
(5-23)
上式又称作皮耶克尼斯定理，它表明压力—密度力引起的环 流变化。
二、亥姆霍兹定理
首先引入几个概念： 1.涡线的定义：在同一时刻，涡旋场中存在这样的曲线，
其曲线上每一点的切线方向和该点的涡旋方向重合。
2.涡面的定义：在涡旋场内取一非涡线的曲线，过曲线的 每一点作涡线，则这些涡线将组成一曲面称涡面。
湍流
引言
➢ 湍流研究的内容和手段
1. 认识湍流： 利用实验或数值模拟为某些湍流流动提供定性或定量的流动信息
2. 模拟预测湍流： 对湍流进行理论或模式研究，建立可行的数学模型来准确预测湍流
3. 控制湍流： 利用实验、理论、数值模拟等手段，研究湍流流动的控制方案 减小阻力、增强混合、延迟转捩、控制分离
雷诺实验
➢ 常见的随机声波(噪声)也是一种随机运动，但它的粘性损 耗很小，本质上是非耗散的，因此不属湍流的范畴。
湍流的分类
湍流的分类
自然界和工程技术中遇到的绝大多数流动是湍流。 对此可以举出许多例子，比如地球大气边界层、较高的 对流层、太阳风中地球的尾迹、海洋中的水流、河流和 沟渠内的水流、船舶和飞机的尾流等。根据Ferziger （1983）的建议，可将湍流大致分为：
——开辟了湍流统计理论的道路
提出了雷诺应力的封闭问题
分子运动对湍流脉动的比拟
Boussinesqe 湍涡粘度
Prandtl
混合长度
近代湍流的奠基人
G.I. Taylor 英国 随机涡
N. Kolmogorov 苏联 各向同性湍流
周培源
中国 湍流模式理论
Osborne Reynolds
（1842－1912）
➢ 由于大涡单位质量的动能为0.5u2，能量传输率应为u3/l。 在某些剪切湍流中，也会出现能量的反向传递。
湍流的耗散性
6.湍流的耗散性（dissipation）。
➢ 在最小尺度涡的脉动中，能量不断被粘性转换为热，从 而不会进一步出现更小乃至无限小尺度的运动。
➢ 为补偿粘性耗散，湍流需要不断补充能量，湍流中能量 耗散率应与能量传输率相当，否则将很快衰减。
➢ 控制流动状态的参数为雷诺数 Re UmD /
高等流体力学第五章(1)
1 dl 2 Pl ( x) l x 1 l 2 l! dx
其前3项分别是，
P0 ( x) 1
P ( x) x 1
P2 ( x) 1 3x 2 1 2
5.4
势函数
均匀流
沿 x 方向均匀流，速度为 U，P点的势函数 ，
Ux
x r cos
P
U
r
Ur cos
称偶极子的强度。请注意在求上述偶极子势函数过程中，点汇在 x
轴正方向放置，点源在 x 轴负方向放置，相互无限靠近。
x
o
x
Q
5.6
偶极子流动
流函数
依据流函数与势函数之间的关系式求偶极子流的流函数，
1 1 2 cos 2 3 r r sin 2r r sin
er 1 r 2 sin r ur
u 0
re ru
r sin e e ru u r r r 0
e r 1 2 0 r r r sin r r sin
流函数也可利用势函数与流函数关系式求得.
5.6
势函数
偶极子流动
P
求一对相等强度的点源和点汇 在 P 点的势函数，
Q Q 4 r 4 (r r )
r
Q
r
r r
当 r / r 1 时
2 2 Q r r Q r r O O 1 1 4 r r r 4 r r r
流体力学第五章
5.2 边界层流动
边界层分离
理想流体能量转换过程 边界层内粘性对机械能的耗散使得流体微团在逆
压区MF段间的某个点处V降为零，后来的质点 将改道进入主流区，使来流边界层与物面分离； 在分离点下游区域，受逆压作用而发生倒流。
5.2 边界层流动
边界层分离
分离点：紧邻壁面顺流区与倒流区分界点。 边界层分离的必要条件：粘性、逆压梯度。
5.2 边界层流动
5.2 边界层流动
*
0
1
u eue
dy
5.2 边界层流动
**
0
u eue
1
u ue
dy
5.2 边界层流动
平面边界层流动方程
边界层近似假定 1. 纵向偏导数远小于横向偏导数
2. 法向速度远小于横向速度
5.2 边界层流动
平面边界层流动方程
将边界层近似假定代入N-S方程，通过量级比较， 在高Re数下忽略小量得到边界层方程
Prandtl把物面附近粘性力起重要作用的薄层称 为边界层。
5.2 边界层流动
边界层厚度的量级估计
惯性力与粘性力相当 边界层越往下游越厚：粘性法向扩散，有旋流
流向下游。
5.2 边界层流动
边界层的概念
速度边界层：当Re足够大时，粘性效应仅限于 物面邻近很薄的一层，层内沿物面法向有明显速 度梯度，粘性力与惯性力相当，流动有旋、有耗 散；层外无明显速度梯度，流动几乎无旋。
x
x
xv
1 Rex
5.2 边界层流动
边界层的概念
温度边界层：当Re足够大时，热扩散（△T）作 用仅限于物面邻近很薄的一层，层内热传导法向 热通量和流向对流热通量相当，沿物面法向有明 显温度梯度；层外几乎无热传导。
湍流的数学模型简介精心整理版共88页
可用通用微分方程表示。
一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方 程和N-S方程(动量方程)仍然适用于湍流的瞬时流动。
第1章 湍流导论
1.3、湍流的基本方程（不可压） ❖ N-S方程
ui ui ui'
将非稳态N-S方程对时间作平均，即把湍流的运动看成是时间平均
流动与瞬间脉动流动的叠加：
'
及 t的概念，直接建立以雷诺应力为因变量的微分方程，然
后作适当假设使之封闭。这种模型也称为二阶封闭模型。
代数应力方程模型（Algebraic Stress Model，ASM）
主要思想是设法将应力的微分方程简化为代数表达式， 以减少RSM模型过分复杂的弱点，同时保留湍流各项异性 的基本特点。
3.2 湍流模型具体介绍
第2章 湍流的数值模拟方法简介
2.2 模型比较
湍流模型方法 (RANS方法)
大涡模拟方法 (LES方法)
给出了时间平均的流动信息，易于工程应用
抹去了流动的瞬态特性及细观结构，适合高雷 诺数，不具普适性
介于RANS与DNS之间，非常成功的应用于RANS
不能满足要求的高端应用，如燃烧、混合、外部空 气动力学。
、 k-g 模型等 。其中，应用最普遍的是 k-ε模型。
针对k-ε模型不足，许多学者对标准的模型进行了修正。
▪ 重整化群k-ε模型（renormalization group，RNG model） ▪ 可实现k-ε模型（realizable k-ε model） ▪ 多尺度k-ε模型（multiscale model of turbulence）
Contents
1
湍流导论
2
湍流的数学模型简介
3
一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方 程和N-S方程(动量方程)仍然适用于湍流的瞬时流动。
第1章 湍流导论
1.3、湍流的基本方程（不可压） ❖ N-S方程
ui ui ui'
将非稳态N-S方程对时间作平均，即把湍流的运动看成是时间平均
流动与瞬间脉动流动的叠加：
'
及 t的概念，直接建立以雷诺应力为因变量的微分方程，然
后作适当假设使之封闭。这种模型也称为二阶封闭模型。
代数应力方程模型（Algebraic Stress Model，ASM）
主要思想是设法将应力的微分方程简化为代数表达式， 以减少RSM模型过分复杂的弱点，同时保留湍流各项异性 的基本特点。
3.2 湍流模型具体介绍
第2章 湍流的数值模拟方法简介
2.2 模型比较
湍流模型方法 (RANS方法)
大涡模拟方法 (LES方法)
给出了时间平均的流动信息，易于工程应用
抹去了流动的瞬态特性及细观结构，适合高雷 诺数，不具普适性
介于RANS与DNS之间，非常成功的应用于RANS
不能满足要求的高端应用，如燃烧、混合、外部空 气动力学。
、 k-g 模型等 。其中，应用最普遍的是 k-ε模型。
针对k-ε模型不足，许多学者对标准的模型进行了修正。
▪ 重整化群k-ε模型（renormalization group，RNG model） ▪ 可实现k-ε模型（realizable k-ε model） ▪ 多尺度k-ε模型（multiscale model of turbulence）
Contents
1
湍流导论
2
湍流的数学模型简介
3
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是对流作用在谱空间的贡献，称作标量能量的传输谱； 是对流作用在谱空间的贡献，称作标量能量的传输谱；
是分子耗散项，它和波数平方及扩散系数成正比。 是分子耗散项，它和波数平方及扩散系数成正比。
谱空间中标量脉动的输运
均匀湍流场中标量输运规律
• 为了对比湍流的动量输运和标量输运，把湍流运动方程和 为了对比湍流的动量输运和标量输运， 标量输运方程写成无量纲形式，并加以比较： 标量输运方程写成无量纲形式，并加以比较：
• 方程左端表示标量梯度平方的质点导数， 或标量耗散的质点导数，它来自右端各项 的贡献：标量脉动梯度与脉动应变率的相 互作用、标量湍流耗散的扩散，以及标量 脉动梯度自身的耗散。
标量梯度片状结构的实例
第一个实例是在各向同性湍流中由平均等梯度标量场产生 的均匀标量湍流场； 的均匀标量湍流场；第二个实例是槽道湍流中的非均匀标 量湍流场，在槽道两个壁面上施加恒定的温度差。 量湍流场，在槽道两个壁面上施加恒定的温度差。
5.3 湍流普朗特数
• 定义湍流普朗特数和湍流施密特数如下：
湍流普朗特数
• 由于不同分子普 朗特数的标量输 运机制不同，因 此湍流普朗特数 和分子普朗特数 有关，而不应当 采用目前工程中 常用的常数湍流 普朗特数的模型。 以各向同性湍流 中加平均等梯度 标量和槽道湍流 加恒定温差为例 来研究湍流普朗 特数。
• 在第1章中已经导出质点位移的Taylor公式： 在第1章中已经导出质点位移的Taylor公式： Taylor公式
定义湍流场中质点位移的均方根公式
利用上式可得以下结果
(1)初始的扩散过程 ，由于在短时 间内，质点位移和当时的速度与时间 乘积成正比，经系综平均后，质点位 移的均方根和脉动速度均方根与时间 的乘积成正比。
由于在槽道垂直方向 湍流的泰勒雷诺在变 化，因此湍流普朗特 数也沿槽道垂直方向 变化
可以看到：当分子普朗特数在0.3～1.2之间变化时， 可以看到：当分子普朗特数在0.3～1.2之间变化时，同一泰勒雷诺数下湍流 0.3 之间变化时 普朗特数改变达20％。和各向同性湍流中的情况相同 20％。和各向同性湍流中的情况相同， 普朗特数改变达20％。和各向同性湍流中的情况相同，槽道湍流中湍流普朗 特数也和分子普朗特数的倒数成线性关系
5.4 标量湍流的结构函数方程 ——Yaglom方程 方程
如果结构函数中的位移 ξ 长度位于惯性子区， 上式表示惯性子区中标量能量的传输特性。如果 贝克来数很小，上式右边第一项可以忽略，这时 表示标量能量的串级关系，惯性子区标量能量通 量和标量能量耗散性平衡。
5.5 标量湍流扩散的拉格朗日随机模型
右边第一项是脉动速度携带标量的对流输运项； 右边第一项是脉动速度携带标量的对流输运项；散项。
谱空间中标量脉动的输运
定义： 定义：标量脉动的谱
标量的拟能谱
脉动标量谱的输运方程
用脉动标量谱来表示，上式可写作 用脉动标量谱来表示，
标量能谱的输运方程
其中， 其中，
标量脉动梯度和标量脉动不同，除了被流体质点携带，在流场中迁 移(方程左边)、分子扩散(方程最后一项)以外；标量梯度的变化还来自脉 动速度场的变形和旋转作用，变形作用将改变标量梯度的大小；旋转作 用只改变标量梯度的方向，对其大小没有影响。
标量能量方程
说明:
标量脉动能量的输运过程中，有分子扩散和耗散项； 耗散项和脉动标量梯度的平方成正比：
（2）长时间的扩散过程 长时间的扩散过程
标量点源的湍流扩散系数
• 在点源的远场，质点群的湍流扩散和拉格朗日积 在点源的远场， 分时间尺度成正比， 分时间尺度成正比，在均匀各向同性湍流中湍流 扩散系数等于常数。 章中已经论述过， 扩散系数等于常数。第1章中已经论述过，在均匀 湍流场中，欧拉统计量和拉格朗日统计量相等， 湍流场中，欧拉统计量和拉格朗日统计量相等， 因此，用欧拉描述法计算点源的空间扩散时， 因此，用欧拉描述法计算点源的空间扩散时，有 湍流扩散系数。 湍流扩散系数。
• 5.5.1 标量点源的湍流扩散 • 5.5.2 湍流场中质点位移的均方根公式 • 5.5.3 标量点源的湍流扩散系数
标量点源的湍流扩散 点源标量的定义 假定在各向同性湍流场中某一局部很小 的体积中恒定地注入染色物质， 的体积中恒定地注入染色物质，由于它的 体积很小，以至于可以认为它是一个质点， 体积很小，以至于可以认为它是一个质点， 并称它为点源标量 点源标量。 并称它为点源标量。
标量点源的湍流扩散
• 实际计算结果表明，欧拉方法不可能获得在点源 附近(称为近场)的浓度分布，因为，欧拉方法不 可能准确计算浓度梯度非常大的对流、扩散过程。 另一方面，点源扩散的物理过程的本质是湍流脉 动携带质点的迁移过程。
• 标量扩散的拉格朗日描述和处理方法更具 物理本质。
湍流场中质点位移的均方根公式
标量梯度片状结构的实例
• 假设标量湍流梯度等值面表面积为 Sst ，它包容的体积等于 Vst ，做一 个当量的圆盘，其体积和表面积分别等于 Sst 和 Vst ，当量圆盘的厚 度定义为片状结构的当量厚度。
槽道湍流中片状结构的长宽比大于各向同性湍流中片状结构的长宽比
它有一个强压缩(第3主轴，负值)、一个强拉伸和 一个弱拉伸。强压缩导致片状结构，一个强拉伸 和一个弱拉伸产生长宽比比较大的片状结构。
贝克来数
它表示标量输运过程中对流输运和扩散输运的量级比 表示对流占绝对优势； 表示分子扩散占绝对优势。
均匀湍流场中标量输运规律
标量能谱的经典理论
分别分析各种输运过程的标量能谱
惯性-对流标量输运 惯性-扩散标量输运 粘性-对流标量输运 粘性-扩散标量输运
5.2 标量湍流的结构
标量梯度方程
方程表明： 方程表明：
湍流普朗特数是分子普朗特数倒数的线性函数
雷诺平均湍流普朗特数与分子普朗特数的倒数呈线性关系， 雷诺平均湍流普朗特数与分子普朗特数的倒数呈线性关系， 既在无剪切的各向同性湍流场中存在， 既在无剪切的各向同性湍流场中存在，也在有剪切的湍流 场中存在，它是充分发展湍流场中标量输运的特性。 场中存在，它是充分发展湍流场中标量输运的特性。
5.1 均匀湍流中的被动标量输运
被动标量输运的控制方程 谱空间中标量脉动的输运 均匀湍流场中标量输运规律
被动标量输运的控制方程
谱空间中标量脉动的输运
• 均匀脉动速度场中的湍流输运过程可用谱分解描述
谱空间中标量脉动的输运
• 把展开式 3a)和(5.3b)代人式 把展开式(5. 代人式(5.2),得谱空间中标量输运方程如下： 得谱空间中标量输运方程如下： 和 代人式 得谱空间中标量输运方程如下
• 对于标量和粒子群的扩散过程，可以用拉格朗日 描述方法建立模型。在一般的非均匀湍流场中， 需要考虑粒子的平均位移(也称漂移)和随机位移， 对于随机位移需要附加模型，目前，常用的随机 模型多采用Langevin方程。对于粒子运动，还需 要考虑粒子和固壁的碰撞、粒子间的碰撞以及粒 子和流体之间的作用力等。
• 本章将讨论不可压缩流体中温差较低或被 输送物质的浓度较小的传热和传质过程。 输送物质的浓度较小的传热和传质过程。 在这个过程中，流体运动是主动的， 在这个过程中，流体运动是主动的，标量 输运是被动的。 输运是被动的。
本章主要内容
• • • • • 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 均匀湍流中的被动标量输运 标量湍流的结构 湍流普朗特数 标量湍流的结构函数方程 标量湍流扩散的拉格朗日随机模型
是分子耗散项，它和波数平方及扩散系数成正比。 是分子耗散项，它和波数平方及扩散系数成正比。
谱空间中标量脉动的输运
均匀湍流场中标量输运规律
• 为了对比湍流的动量输运和标量输运，把湍流运动方程和 为了对比湍流的动量输运和标量输运， 标量输运方程写成无量纲形式，并加以比较： 标量输运方程写成无量纲形式，并加以比较：
• 方程左端表示标量梯度平方的质点导数， 或标量耗散的质点导数，它来自右端各项 的贡献：标量脉动梯度与脉动应变率的相 互作用、标量湍流耗散的扩散，以及标量 脉动梯度自身的耗散。
标量梯度片状结构的实例
第一个实例是在各向同性湍流中由平均等梯度标量场产生 的均匀标量湍流场； 的均匀标量湍流场；第二个实例是槽道湍流中的非均匀标 量湍流场，在槽道两个壁面上施加恒定的温度差。 量湍流场，在槽道两个壁面上施加恒定的温度差。
5.3 湍流普朗特数
• 定义湍流普朗特数和湍流施密特数如下：
湍流普朗特数
• 由于不同分子普 朗特数的标量输 运机制不同，因 此湍流普朗特数 和分子普朗特数 有关，而不应当 采用目前工程中 常用的常数湍流 普朗特数的模型。 以各向同性湍流 中加平均等梯度 标量和槽道湍流 加恒定温差为例 来研究湍流普朗 特数。
• 在第1章中已经导出质点位移的Taylor公式： 在第1章中已经导出质点位移的Taylor公式： Taylor公式
定义湍流场中质点位移的均方根公式
利用上式可得以下结果
(1)初始的扩散过程 ，由于在短时 间内，质点位移和当时的速度与时间 乘积成正比，经系综平均后，质点位 移的均方根和脉动速度均方根与时间 的乘积成正比。
由于在槽道垂直方向 湍流的泰勒雷诺在变 化，因此湍流普朗特 数也沿槽道垂直方向 变化
可以看到：当分子普朗特数在0.3～1.2之间变化时， 可以看到：当分子普朗特数在0.3～1.2之间变化时，同一泰勒雷诺数下湍流 0.3 之间变化时 普朗特数改变达20％。和各向同性湍流中的情况相同 20％。和各向同性湍流中的情况相同， 普朗特数改变达20％。和各向同性湍流中的情况相同，槽道湍流中湍流普朗 特数也和分子普朗特数的倒数成线性关系
5.4 标量湍流的结构函数方程 ——Yaglom方程 方程
如果结构函数中的位移 ξ 长度位于惯性子区， 上式表示惯性子区中标量能量的传输特性。如果 贝克来数很小，上式右边第一项可以忽略，这时 表示标量能量的串级关系，惯性子区标量能量通 量和标量能量耗散性平衡。
5.5 标量湍流扩散的拉格朗日随机模型
右边第一项是脉动速度携带标量的对流输运项； 右边第一项是脉动速度携带标量的对流输运项；散项。
谱空间中标量脉动的输运
定义： 定义：标量脉动的谱
标量的拟能谱
脉动标量谱的输运方程
用脉动标量谱来表示，上式可写作 用脉动标量谱来表示，
标量能谱的输运方程
其中， 其中，
标量脉动梯度和标量脉动不同，除了被流体质点携带，在流场中迁 移(方程左边)、分子扩散(方程最后一项)以外；标量梯度的变化还来自脉 动速度场的变形和旋转作用，变形作用将改变标量梯度的大小；旋转作 用只改变标量梯度的方向，对其大小没有影响。
标量能量方程
说明:
标量脉动能量的输运过程中，有分子扩散和耗散项； 耗散项和脉动标量梯度的平方成正比：
（2）长时间的扩散过程 长时间的扩散过程
标量点源的湍流扩散系数
• 在点源的远场，质点群的湍流扩散和拉格朗日积 在点源的远场， 分时间尺度成正比， 分时间尺度成正比，在均匀各向同性湍流中湍流 扩散系数等于常数。 章中已经论述过， 扩散系数等于常数。第1章中已经论述过，在均匀 湍流场中，欧拉统计量和拉格朗日统计量相等， 湍流场中，欧拉统计量和拉格朗日统计量相等， 因此，用欧拉描述法计算点源的空间扩散时， 因此，用欧拉描述法计算点源的空间扩散时，有 湍流扩散系数。 湍流扩散系数。
• 5.5.1 标量点源的湍流扩散 • 5.5.2 湍流场中质点位移的均方根公式 • 5.5.3 标量点源的湍流扩散系数
标量点源的湍流扩散 点源标量的定义 假定在各向同性湍流场中某一局部很小 的体积中恒定地注入染色物质， 的体积中恒定地注入染色物质，由于它的 体积很小，以至于可以认为它是一个质点， 体积很小，以至于可以认为它是一个质点， 并称它为点源标量 点源标量。 并称它为点源标量。
标量点源的湍流扩散
• 实际计算结果表明，欧拉方法不可能获得在点源 附近(称为近场)的浓度分布，因为，欧拉方法不 可能准确计算浓度梯度非常大的对流、扩散过程。 另一方面，点源扩散的物理过程的本质是湍流脉 动携带质点的迁移过程。
• 标量扩散的拉格朗日描述和处理方法更具 物理本质。
湍流场中质点位移的均方根公式
标量梯度片状结构的实例
• 假设标量湍流梯度等值面表面积为 Sst ，它包容的体积等于 Vst ，做一 个当量的圆盘，其体积和表面积分别等于 Sst 和 Vst ，当量圆盘的厚 度定义为片状结构的当量厚度。
槽道湍流中片状结构的长宽比大于各向同性湍流中片状结构的长宽比
它有一个强压缩(第3主轴，负值)、一个强拉伸和 一个弱拉伸。强压缩导致片状结构，一个强拉伸 和一个弱拉伸产生长宽比比较大的片状结构。
贝克来数
它表示标量输运过程中对流输运和扩散输运的量级比 表示对流占绝对优势； 表示分子扩散占绝对优势。
均匀湍流场中标量输运规律
标量能谱的经典理论
分别分析各种输运过程的标量能谱
惯性-对流标量输运 惯性-扩散标量输运 粘性-对流标量输运 粘性-扩散标量输运
5.2 标量湍流的结构
标量梯度方程
方程表明： 方程表明：
湍流普朗特数是分子普朗特数倒数的线性函数
雷诺平均湍流普朗特数与分子普朗特数的倒数呈线性关系， 雷诺平均湍流普朗特数与分子普朗特数的倒数呈线性关系， 既在无剪切的各向同性湍流场中存在， 既在无剪切的各向同性湍流场中存在，也在有剪切的湍流 场中存在，它是充分发展湍流场中标量输运的特性。 场中存在，它是充分发展湍流场中标量输运的特性。
5.1 均匀湍流中的被动标量输运
被动标量输运的控制方程 谱空间中标量脉动的输运 均匀湍流场中标量输运规律
被动标量输运的控制方程
谱空间中标量脉动的输运
• 均匀脉动速度场中的湍流输运过程可用谱分解描述
谱空间中标量脉动的输运
• 把展开式 3a)和(5.3b)代人式 把展开式(5. 代人式(5.2),得谱空间中标量输运方程如下： 得谱空间中标量输运方程如下： 和 代人式 得谱空间中标量输运方程如下
• 对于标量和粒子群的扩散过程，可以用拉格朗日 描述方法建立模型。在一般的非均匀湍流场中， 需要考虑粒子的平均位移(也称漂移)和随机位移， 对于随机位移需要附加模型，目前，常用的随机 模型多采用Langevin方程。对于粒子运动，还需 要考虑粒子和固壁的碰撞、粒子间的碰撞以及粒 子和流体之间的作用力等。
• 本章将讨论不可压缩流体中温差较低或被 输送物质的浓度较小的传热和传质过程。 输送物质的浓度较小的传热和传质过程。 在这个过程中，流体运动是主动的， 在这个过程中，流体运动是主动的，标量 输运是被动的。 输运是被动的。
本章主要内容
• • • • • 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 均匀湍流中的被动标量输运 标量湍流的结构 湍流普朗特数 标量湍流的结构函数方程 标量湍流扩散的拉格朗日随机模型