九年级数学上册第22章二次函数22.1二次函数的图象和性质同步练习1无答案新版新人教版
22.1 二次函数的图象和性质
1．抛物线y=－3x 2
上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 2．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）x
m
m +2－3m 是关于x 的二次函数．
4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x m
m +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2
与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为
．
7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2
的图象关于x 轴对称的是（ ）
A ．y=2
1x 2
B ．y=－2
1x 2
C ．y=－2x 2
D ．y=－x 2
8．抛物线，y=4 x 2
，y=－2x 2
的图象，开口最大的是（ ）
A ．y=4
1x 2
B ．y=4x 2
C ．y=－2x 2
D ．无法确定
9．对于抛物线y=31x 2和y=－3
1x 2
在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）
A ．两条抛物线关于x 轴对称
B ．两条抛物线关于原点对称
C ．两条抛物线关于y 轴对称
D ．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax 2
与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）
11．已知函数y=ax 2
的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4 B ．2 C ．21
D ．4
1
12．求符合下列条件的抛物线y=ax 2
的表达式：
（1）y=ax 2
经过（1，2）； （2）y=ax 2
与y=2
1x 2
的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax 2
与直线y=2
1
x ＋3交于点（2，m ）．
13已知4
2
)2(-++=k k
x
k y 是二次函数，且当0x <时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．
14、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线214
y x =-
(1) 作出这条抛物线；
(2) 利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4m 时，求水面的宽； (3）当水面宽为6m 时，水面与抛物线顶点的距离是多少？
15．如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数 y=x 2
＋1的图象，在第一
象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．
16、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万. （1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？
（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）
17、已知关于x 的一元二次方程 x 2
+(m+3)x+m+1=0．
（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且12x x -=，求m 的值，并求出此时方程的两根．
1．抛物线y=－3x 2
上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 2．抛物线y=－4x 2
－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）x
m
m +2－3m 是关于x 的二次函数．
4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x m
m +2＋9开口向下，对称轴是 ．
在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2
与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为
．
7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2
的图象关于x 轴对称的是（ ）
A ．y=2
1x 2
B ．y=－2
1x 2
C ．y=－2x 2
D ．y=－x 2
8．抛物线，y=4 x 2
，y=－2x 2
的图象，开口最大的是（ ）
A ．y=4
1x 2
B ．y=4x 2
C ．y=－2x 2
D ．无法确定
9．对于抛物线y=31x 2和y=－3
1x 2
在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）
A ．两条抛物线关于x 轴对称
B ．两条抛物线关于原点对称
C ．两条抛物线关于y 轴对称
D ．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax 2
与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）
11．已知函数y=ax 2
的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4 B ．2 C ．21
D ．4
1
12．求符合下列条件的抛物线y=ax 2
的表达式：
（1）y=ax 2
经过（1，2）； （2）y=ax 2
与y=2
1x 2
的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax 2
与直线y=2
1
x ＋3交于点（2，m ）．
13已知
4
2)2(-++=k k x
k y 是二次函数，且当0x <时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．
14、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线214
y x =-
(1) 作出这条抛物线；
(2) 利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4m 时，求水面的宽； (3）当水面宽为6m 时，水面与抛物线顶点的距离是多少？
15．如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数 y=x 2
＋1的图象，在第一
象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．
16、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万. （1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？
（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）
17、已知关于x 的一元二次方程 x 2
+(m+3)x+m+1=0．
（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且12x x -=，求m 的值，并求出此时方程的两根．。
2018-2019学年度九年级数学上册第二十二章二次函数22.1.1二次函数同步练习 新人教版
22.1.1二次函数学校：___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共15小题）1．下列函数中，二次函数是（）A．y=﹣4x+5 B．y=x（2x﹣3） C．y=（x+4）2﹣x2D．y=2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C． D．y=（x﹣1）2﹣x23．下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（）A．y=x（x﹣3）B．y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2C．y=x2+ D．y=4．函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．05．若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞26．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A．y=（m﹣1）2x2 B．y=（m+1）2x2C．y=（m2+1）x2D．y=（m2﹣1）x27．下列函数中，是二次函数的有（）①y=1﹣x2②y=③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y=2x2B．y=2x﹣2 C．y=ax2D．9．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+cB．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+cD．以上说法都不对10．圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（）A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数C．S是R的二次函数D．以上答案都不对11．若y=（3﹣m）是二次函数，则m的值是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．912．已知关于x的函数y=（m﹣1）x m+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（）A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．113．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（）A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10C．一次项是100 D．常数项是2000014．已知函数：①y=ax2；②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2；④y=+x．其中，二次函数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．设y=y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（）A．正比例函数B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确二．填空题（共5小题）16．若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是．17．函数的图象是抛物线，则m= ．18．若函数y=（m﹣1）x+mx﹣xx是二次函数，则m= ．19．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为．20．已知y=（a﹣2）x是关于x的二次函数，则a的值为．三．解答题（共2小题）21．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？22．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．（2）若这个函数是一次函数，求m的值．（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：A、y=﹣4x+5为一次函数；B、y=x（2x﹣3）=2x2﹣3x为二次函数；C、y=（x+4）2﹣x2=8x+16为一次函数；D、y=不是二次函数．故选：B．2．解：A、当a=0时，y=bx+c不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1为一次函数．故选：B．3．解：A、y=x（x﹣3）=x2﹣x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正确；B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，故本选项错误；C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误；D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误．故选：A．4．解：依题意得：a2+1=2且a﹣1≠0，解得a=﹣1．故选：B．5．解：∵函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，∴2﹣a≠0，即a≠2，故选：B．6．解：A、当m=1时，不是二次函数，故错误；B、当m=﹣1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；C、是二次函数，故正确；D、当m=1或﹣1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误．故选：C．7．解：①y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数；②y=，分母中含有自变量，不是二次函数；③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．二次函数共三个，故选C．8．解：A、是二次函数，故A符合题意；B、是一次函数，故B错误；C、a=0时，不是二次函数，故C错误；D、a≠0时是分式方程，故D错误；故选：A．9．解：A、当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B、当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C、当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D、以上说法都不对，故此选项正确；故选：D．10．解：圆的面积公式S=πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，故选：C．11．解：由题意，得m2﹣7=2，且3﹣m≠0，解得m=﹣3，故选：C．12．解：∵关于x的函数y=（m﹣1）x m+（3m+2）x+1是二次函数，∴m=2，则3m+2=8，故此解析式的一次项系数是：8．故选：B．13．解：y=﹣10x2+400x+20000，A、y是x的二次函数，故A正确；B、二次项系数是﹣10，故B正确；C、一次项是100x，故C正确；D、常数项是20000，故D正确；故选：C．14．解：根据定义②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2是二次函数故选：B．15．解：设y1=k1x，y2=k2x2，则y=k1x﹣k2x2，所以y是关于x的二次函数，故选：C．二．填空题（共5小题）16．解：∵函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，∴2﹣a≠0，即a≠2，故答案为：a≠2．17．解：根据二次函数的定义，m2+1=2且m﹣1≠0，解得m=±1且m≠1，所以，m=﹣1．故答案为：﹣1．18．解：∵函数y=（m﹣1）x+mx﹣xx是二次函数，∴m2+1=2且m﹣1≠0，解得：m=﹣1．故答案为：m=﹣1．19．解：二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为﹣5、3、1．故答案为：﹣5、3、1．20．解：∵y=（a﹣2）x是关于x的二次函数，∴a﹣2≠0，a2+a﹣4=2，∴a≠2，a2+a﹣6=0，解得：a=﹣3．故答案为：﹣3．三．解答题（共2小题）21．解：依题意得∴∴m=0；（2）依题意得m2﹣m≠0，∴m≠0且m≠1．22．解：（1）函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m，若这个函数是二次函数，则m2﹣m≠0，解得：m≠0且m≠1；（2）若这个函数是一次函数，则m2﹣m=0，m﹣1≠0，解得m=0；（3）这个函数不可能是正比例函数，∵当此函数是一次函数时，m=0，而此时2﹣2m≠0．。
人教版九年级数学上册二次函数的图象和性质复习同步练习题
22.1 二次函数的图象和性质1．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ．2．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）xmm +2－3m 是关于x 的二次函数．4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x mm +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）A ．y=21x 2B ．y=－21x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4 x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）A ．y=41x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=31x 2和y=－31x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）错误!未找到引用源。
11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4 B ．2 C ．21D ．4112．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．13已知错误!未找到引用源。
是二次函数，且当错误!未找到引用源。
部编数学九年级上册专题22.1二次函数的图象和性质(基础)(解析版)含答案
专题22.1 二次函数的图象和性质目录二次函数的定义 (1)二次函数求参数 (3)二次函数一般式................................................................................................................................42y ax =性质.....................................................................................................................................42y ax =图像开口.............................................................................................................................62y ax =图像问题.............................................................................................................................7()2y a x h k =-+顶点坐标...........................................................................................................9()2y a x h k =-+性质.................................................................................................................10()2y a x h k =-+图像平移 (13)二次函数一般式配凑顶点式 (14)二次函数图像问题 (15)二次函数比较大小 (19)二次函数性质综合..........................................................................................................................21二次函数的定义【例1】下列函数中，属于二次函数的是( )A ．23y x =-B ．22(1)y x x =+-C ．2(1)y x x =+D ．22y x =-【解答】解：A ．不含有x 的二次项，所以A 不符合题意；B ．化简后21y x =+，不含有x 的二次项，所以B 不符合题意；C ．符合题意；D ．22y x -=-，不含有x 的二次项，所以D 选项不符合题意．一般的，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数同步测试及答案(2021新)
二次函数 22.1__二次函数的图象和性质__22．1.1 二次函数 [见B 本P12]1．下列函数是二次函数的是( C )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ．y ＝x －22．二次函数y ＝3x 2－2x －4的二次项系数与常数项的和是( B )A ．1B ．－1C ．7D ．－63．自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)中，h 与t 之间的关系是( C ) A ．正比例函数 B ．一次函数C ．二次函数D ．以上答案都不对4．已知二次函数y ＝3(x －2)2＋1，当x ＝3时，y 的值为( A )A ．4B ．－4C ．3D ．－35．如图22－1－1所示，在直径为20 cm 的圆形铁片中，挖去了四个半径都为x cm 的圆，剩余部分的面积为y cm 2，则y 与x 间的函数关系式为( C )图22－1－1A ．y ＝400π－4πx 2B ．y ＝100π－2πx 2C ．y ＝100π－4πx 2D ．y ＝200π－2πx 2【解析】 S 剩余＝S 大圆－4S 小圆＝π·⎝⎛⎭⎫2022－4πx 2＝100π－4πx 2，故选C.6．二次函数y ＝2x (x －3)的二次项系数与一次项系数的和为( D )A ．2B ．－2C ．－1D ．－4【解析】 y ＝2x (x －3)＝2x 2－6x ，所以二次项系数与一次项系数的和＝2＋(－6)＝－4，故选D.7．下列函数关系式，可以看作二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)模型的是( D )A ．圆的周长与圆的半径之间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系C ．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系D ．正方体的表面积与棱长的关系【解析】 A 中，圆的周长C 与圆的半径r 是一次函数C ＝2πr ；B 中，若我国原有人口为a ，x 年后人口数为y ＝a (1＋1%)x 也不属于二次函数；C 中距离一定，速度与时间为反比例函数；只有D 中表面积S 与棱长a 的关系为S ＝6a 2，符合二次函数关系式．8．二次函数y ＝ax 2中，当x ＝－1时，y ＝8，则a ＝__8__．【解析】 将x ＝－1，y ＝8代入y ＝ax 2中，解得a ＝8. 29．如图22－1－2所示，长方体的底面是边长为x cm 的正方形，高为6 cm ，请你用含x 的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S ＝__24x __，长方体的体积为V ＝__6x 2__，各边长的和L ＝__8x ＋24__，在上面的三个函数中，__V ＝6x 2__是关于x 的二次函数．【解析】 长方体的侧面展开图的面积S ＝4x ×6＝24x ；长方体的体积为V ＝x 2×6＝6x 2；各边长的和L ＝4x ×2＋6×4＝8x ＋24，其中，V ＝6x 2是关于x 的二次函数． 10．若y ＝x m 是关于x 的二次函数，则(m ＋2 011)2＝__2__013__．【解析】 由y ＝x m 是关于x 的二次函数，得m ＝2，所以(m ＋2 011)2＝( 2 013)2＝2 013.11．已知函数y ＝(a ＋2)x 2＋x －3是关于x __a ≠－2__．【解析】 ∵二次函数中，二次项系数不能为0，∴a ＋2≠0，即a ≠－2.12．已知函数y ＝(k 2－4)x 2＋(k ＋2)x ＋3，(1)当k __≠±2__时，它是二次函数；(2)当k __＝2__时，它是一次函数．【解析】 根据一次函数、二次函数定义求解．(1)k 2－4≠0，即k ≠±2时，它是二次函数．(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧k 2－4＝0，k ＋2≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝±2，k ≠－2. ∴k ＝2. 13．把8米长的钢筋，焊成一个如图22－1－3所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形．请你写出钢筋所焊成框架的面积y (平方米)与半圆的半径x (米)之间的函数关系式．图22－1－3 解：半圆面积：12πx 2， 矩形面积：2x ×12×(8－2x －πx ) ＝8x －(2＋π)x 2，∴y ＝12πx 2＋8x －(2＋π)x 2， 即y ＝－⎝⎛⎭⎫12π＋2x 2＋8x . 14．若y ＝(m －1)xm 2＋1＋mx ＋3是二次函数，则m 的值是( B )A ．1B ．－1C ．±1D ．2【解析】 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝2，m －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1，m ≠1，∴m ＝－1，故选B. 15．如果函数y ＝(m －3)xm 2－3m ＋2＋mx ＋1是二次函数，求m .解：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝2，m －3≠0，解得m ＝0. 16．如图22－1－4，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20 cm ，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以2 cm/s 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，求(1)重叠部分的面积y (cm 2)与时间t (s)之间的函数关系式和自变量的取值范围．(2)当t ＝1，t ＝2时，重叠部分的面积．图22－1－4解：(1)∵△ABC 是等腰直角三角形，∴重叠部分也是等腰直角三角形，又∵AN ＝2t ，∴AM ＝MN －AN ＝20－2t ，∴MH ＝AM ＝20－2t ，∴重叠部分的面积为y ＝12(20－2t )2＝2t 2－40t ＋200. 所以自变量的取值范围为0≤t ≤10.(2)当t ＝1时，y ＝162(cm 2)当t ＝2时，y ＝128(cm 2)．17．如图22－1－5，小亮家去年建了一个周长为80 m 的矩形养鱼池． (1)如果设矩形的一边长为x m ，那么另一边的长为________m ；(2)如果设矩形的面积为y m 2，那么用x 表示y 的表达式为y ＝________，化简后为y ＝________；(3)根据上面得到的表达式填写下表：x 5 10 15 20 25 30 35y(4)请指出上表中边长x 为何值时，矩形的面积y 最大．图22－1－5 【解析】 S 矩形＝长×宽，(1)另一边长为12(80－2x )＝(40－x )m. 解：(1)40－x .(2)x (40－x )，－x 2＋40x .(3)175，300，375，400，375，300，175.(4)当x ＝20时，y 最大为400 m 2.18．如图22－1－6，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ACB ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：如图，把△ABC 绕A 逆时针旋转90°到△ADE ，则BC ＝DE ，AC ＝AE .设BC ＝k ，则AC ＝AE ＝4k ，DE ＝k ，过D 作DF ⊥AC 于F ，则AF ＝DE ＝k ，CF ＝3k ，DF ＝4k ，由勾股定理得CF 2＋DF 2＝CD 2，∴(3k )2＋(4k )2＝x 2，∴x 2＝25k 2，∴k 2＝x 225. y ＝S 四边形ABCD ＝S 梯形ACDE＝12(DE ＋AC )·AE ＝12(k ＋4k )·4k ＝10k 2＝10×x 225＝25x 2，故y 与x 之间的函数关系式为y ＝25x 2.。
九年级数学上册《第二十二章-二次函数的图像和性质》同步练习题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题及答案（人教版) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=2x+1B．y=(x−1)2−x2C．y=2x2D．y=−1x22．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠03．若二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(−2,−3)，则必在该图象上的点还有（）A．(−3,−2)B．(2,3)C．(2,−3)D．(−2,3)4．关于二次函数y=−x2−2下列说法正确的是（）．A．有最大值-2 B．有最小值-2C．对称轴是x=1D．对称轴是x=−15．已知抛物线y＝12（x−1）2+k上有三点A(﹣2，y1 )，B(﹣1，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y36．若二次函数y=(m−2)x2+2x−1的图象有最低点，则m的取值范围是（）A．m≥2B．m≤2C．m>2D．m<27．将y=x2+6x+7进行配方，正确的结果是（）A．y=(x−3)2−2B．y=(x−3)2+2C．y=(x+3)2−16D．y=(x+3)2−28．当a≠0时，y=ax+b和y=ax2+bx+c大致图像可能是（）A．B．C．D．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(−1，0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论①abc<0；②10a+3b+c>0：③抛物线经过点(4，y1)与点(−3，y2)，则y1>y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个，0)；⑤am2+bm+a≥0，其中正确的结论是（）点(−caA．①②③B．③④⑤C．②③④D．②④⑤二、填空题10．函数y=(m+3)x m2−7是二次函数，则m的值为．x2+3的顶点坐标为．11．函数y=1312．二次函数y＝2(x－3)2＋1的最小值是．13．已知二次函数y=−x2+2x，当−1<x<a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是三、解答题14．二次函数y=ax2+bx+5的图象经过(−1，11)，(1，3)两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．15．二次函数图象的对称轴是y轴，最大值为4，且过点A（1，2），与x轴交于B、C两点．求△ABC的面积．16．抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的交点坐标是(−1，0)（1）请直接写出这条抛物线的对称轴；（2）已知点A(m，y1)，B(m+1，y2)在抛物线上，若y1<y2，求m的取值范围．17．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．18．已知抛物线y＝ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A，C的坐标分别为（1，0），（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图1，直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标．②连接AC，求△ACM的面积．∠PBC时，求出直线BP的解析（3）如图2，P是在x轴上方抛物线上的一动点，连接BC，BP，当∠PBA＝12式．参考答案1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】311．【答案】(0，3)12．【答案】113．【答案】−1<a≤114．【答案】解：∵二次函数y=ax2+bx+5的图象经过(−1，11)，(1，3)两点∴{a−b+5=11a+b+5=3解这个方程组，得{a=2b=−4∴二次函数的解析式为：y=2x2−4x+5∵y=2x2−4x+5=2(x2−2x+1)+3=2(x−1)2+3∴二次函数图象的对称轴是直线x=1，顶点是(1，3)．故这个二次函数的解析式为：y=2x2−4x+5，对称轴：直线x=1，顶点：(1，3)．15．【答案】解：设该二次函数的表达式为y=ax2+4把点A（1，2）代入y=ax2+4，得a+4=2解得a=-2∴该二次函数的表达式为y=−2x2+4当y=0时解得x1=−√2，x2=√2∴BC=2√2∴S△ABC=12×2√2×2=2√2．16．【答案】（1）解：对称轴为x=1（2）解：由（1）可知，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的大致图象如图所示：∵a>0，对称轴x=1∴①当m+1<1时y1>y2；②当m>1时y1<y2；③当m与m+1在1的两侧且到1的距离相等时y1=y2此时m=1−12=12综上，m>12时17．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A ∴Δ=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1∴抛物线解析式为y=x2+2x+1（2）解：∵y=（x+1）2∴顶点A的坐标为（-1，0）∵点C是线段AB的中点即点A与点B关于C点对称∴B点的横坐标为1当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4）设直线AB的解析式为y=kx+b把A（-1，0），B（1，4）代入得{−k+b=0k+b=4解得∴直线AB的解析式为y=2x+2．18．【答案】（1）解：将A(1，0)，C(0，−4)代入y =ax 2+5x +c 得：{a +5+c =0c =−4解得{a =−1c =−4则抛物线的解析式为y =−x 2+5x −4．（2）解：①如图，作点C 关于直线l 的对称点C ′，连接C ′M则C ′M =CM∴AM +CM =AM +C ′M由两点之间线段最短可知，当点A ，M ，C ′共线时，AM +C ′M 最小 二次函数y =−x 2+5x −4=−(x −52)2+94的对称轴为直线x =52∵C(0，−4)∴C ′(2×52，−4)，即C ′(5，−4)设直线AC ′的解析式为y =kx +b将点A(1，0)，C ′(5，−4)代入得：{k +b =05k +b =−4，解得{k =−1b =1则直线AC ′的解析式为y=-x+1 当x =52时，y =−52+1=−32 故点M 的坐标为(52，−32)；②∵A(1，0)，C(0，−4)，C ′(5，−4)，M(52，−32)∴CC ′=5，△ACC ′的CC ′边上的高为4，△MCC ′的CC ′边上的高为−32+4=52 则△ACM 的面积为S △ACC ′−S △MCC ′=12×5×4−12×5×52=154．（3）解：如图，延长BP 交y 轴于点D∵二次函数y =−x 2+5x −4的对称轴为直线x =52，且A(1，0)∴B(4，0)∵OB ⊥CD ，∠PBA =12∠PBC∴BO 垂直平分CD （等腰三角形的三线合一） ∴点C 与点D 关于x 轴对称∵C(0，−4) ∴D(0，4)设直线BP 的解析式为y =k 1x +b 1将点B(4，0)，D(0，4)代入得：{4k 1+b 1=0b 1=4，解得{k 1=−1b 1=4则直线BP 的解析式为y =−x +4．。
22.1.1 二次函数2024-2025学年人教版数学九年级上册
于 x 的函数关系式为 y ＝－2 x 2＋24 x ＋320（0＜ x ＜ 20）
；
典例导思
（2）若 y ＝384，则每件工艺品的售价应确定为多少
元？
解：（2）由题意，得384＝－2 x 2＋24 x ＋320，
解得 x 1＝4， x 2＝8.
∴ y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝－ x 2＋16 x （0＜ x ＜
16）.
典例导思
（2）当边长为多少时，围成的养鸡场的面积为60 m2？
解：（2）由（1）知 y ＝－ x 2＋16 x .
当 y ＝60，即－ x 2＋16 x ＝60时，
解得 x 1＝6， x 2＝10.
当 x ＝6时，16－ x ＝10；当 x ＝10时，16－ x ＝6.
①若 b ＝0，则 y ＝ ax 2＋ c ；
②若 c ＝0，则 y ＝ ax 2＋ bx ；
③若 b ＝ c ＝0，则 y ＝ ax 2.
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注意：（1）关于 x 的代数式一定是整式， a ， b ， c 为
常数，且 a ≠0，当 a ＝0时， y ＝ bx ＋ c 为一次函数或常
函数.
例2 用长为32 m的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的
矩形一边长为 x m，面积为 y m2.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
解：（1）围成的矩形一边长为 x m，则邻边长为32÷2
－ x ＝（16－ x ）m.根据题意，得
y ＝ x （16－ x ）＝－ x 2＋16 x （0＜ x ＜16）.
1或－
＝
；当 y ＝2时， x 无解 .
人教版九年级上册 22.1 二次函数的图象和性质 同步练习 含答案
2020年人教版九年级上册同步练习22.1 二次函数的图象和性质一．选择题（共10小题）1．下列函数属于二次函数的是（）A．y＝x﹣B．y＝（x﹣3）2﹣x2C．y＝﹣x D．y＝2（x+1）2﹣12．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠13．下列抛物线的图象，开口最大的是（）A．y＝x2B．y＝4x2C．y＝﹣2x2D．无法确定4．抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）5．抛物线y＝x2+4x+7的对称轴是（）A．直线x＝4B．直线x＝﹣4C．直线x＝2D．直线x＝﹣2 6．对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（）A．图象开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x＝﹣17．下列对二次函数y＝x2﹣2x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．对称轴右侧部分下降8．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＞0B．a+b+c＝0C．4a﹣2b+c＜0D．b2﹣4ac＜0 10．二次函数y＝﹣x2+ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）A．a＝4B．当x＞2.5时，y随x的增大而减小C．当x＝﹣1时，b＞5D．当b＝8时，函数最大值为10二．填空题（共8小题）11．若y＝（a+2）x|a|+1是以x为自变量的二次函数，则a＝．12．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．13．二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是．14．当二次函数y＝﹣x2+4x﹣6有最大值时，x＝．15．二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），则m的值为．16．将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为．17．已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x 值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）三．解答题（共6小题）19．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y═x2﹣mx+m2+m．（1）若该抛物线经过原点，求m的值；（2）求证该抛物线的顶点在直线y＝x上；（3）若点A（﹣4，0），B（0，2），当该抛物线与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2bx+b2+1的对称轴与x轴交于点A，将点A 向左平移b个单位，再向上平移3﹣b2个单位，得到点B．（1）求点B的坐标（用含b的式子表示）；（2）当抛物线经过点（0，2），且b＞0时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，直接写出b的取值范围．21．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．23．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝﹣x+3相交于x轴上的点A，y轴上的点B．顶点为P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）现将抛物线向左平移m个单位，当抛物线与△PBA有且只有一个公共点时，求m 的值．24．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A．自变量x的次数不是2，故A错误；B．y＝（x﹣3）2﹣x2整理后得到y＝﹣6x+9，是一次函数，故B错误C．由可知，自变量x的次数不是2，故C错误；D．y＝2（x+1）2﹣1是二次函数的顶点式解析式，故D正确．故选：D．2．解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：D．3．解：∵二次函数中|a|的值越小，函数图象的开口越大，又∵||＜|﹣2|＜|4|，∴抛物线y＝x2的图象开口最大，故选：A．4．解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（3，﹣5），故选：C．5．解：因为a＝1，b＝4，c＝7，所以对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，故选：D．6．解：A、y＝2（x﹣1）2﹣8，∵a＝2＞0，∴图象的开口向上，故本选项错误；B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误；C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误．故选：C．7．解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，A．由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项错误；B．此抛物线的对称轴为直线x＝1，此选项错误；C．当x＝0时，y＝0，此抛物线经过原点，此选项正确；D．由a＞0且对称轴为直线x＝1知，当x＞1，即对称轴右侧时，y随x的增大而增大，此选项错误；故选：C．8．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．故选：B．9．解：由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故选项A正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项B错误；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故选项C错误；该函数图象与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项D错误；故选：A．10．解：∵二次函数y＝﹣x2+ax+b∴对称轴为直线x＝﹣＝2∴a＝4，故结论A正确；∵对称轴为直线x＝2且图象开口向下，∴当x＞2.5时，y随x的增大而减小，故结论B正确；当x＝﹣1时，由图象知此时y＞0即﹣1﹣4+b＞0∴b＞5，故结论C正确；当b＝8时，y＝﹣x2+4x+8＝﹣（x﹣2）2+12∴函数有最大值12，故结论D不正确；故选：D．二．填空题（共8小题）11．解：由题意得：|a|＝2，且a+2≠0，解得：a＝2，故答案为：2．12．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．13．解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，故答案为：﹣72．14．解：∵y＝﹣x2+4x﹣6，＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣6，＝﹣（x﹣2）2﹣2，∴当x＝2时，二次函数取得最大值．故答案为：2．15．解：∵根二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），∴5﹣m2＝4，解得m＝±1．故答案为±1．16．解：将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度可得：y＝2（x+3﹣1）2+4﹣5，即y＝2（x+2）2﹣1，故答案为y＝2（x+2）2﹣1．17．解：当x＝﹣2时，y1＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣1；当x＝2时，y2＝（2+1）2﹣2＝7．∵﹣1＜7，∴y1＜y2．故答案为＜．18．解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），a﹣b+c＝0，x＝﹣＝2，即4a+b ＝0，因此①正确；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，因此②不正确；当x＝5时，y＝25a+5b+c＝0，又b＝﹣4a，所以5a+c＝0，而a＜0，因此有3a+c＞0，故③正确；在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，因此④不正确；当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此有4a+2b≥am2+bm，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①③⑤，故答案为：①③⑤．三．解答题（共6小题）19．解：（1）∵抛物线经过原点，∴m2+m＝0，解得m1＝0，m2＝﹣2；（2）∵y═x2﹣mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，∴该抛物线的顶点坐标为（m，m），∴抛物线的顶点直线直线y＝x上；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（﹣4，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝+2，令x+2＝x2﹣mx+m2+m，整理得x2﹣（m+）x+m2+m﹣2＝0，△＝（m+）2﹣4×（m2+m﹣2）＝0，解得m＝，∵此时对称轴为x＝﹣＝＞0，故舍去；把A（﹣4，0）代入y＝x2﹣mx+m2+m得，m2+5m+8＝0，解得m＝﹣2或﹣8；把B（0，2）代入y＝x2﹣mx+m2+m得，m2+m+﹣2＝0，解得m＝﹣1，由图象可知，该抛物线与线段AB只有一个公共点时，﹣8≤m≤﹣1﹣或﹣2≤m≤﹣1+．20．解：（1）由题意得抛物线y＝﹣x2+2bx+b2+1的对称轴为，∴点A坐标为（b，0），∴点B坐标为（0，3﹣b2）（2）把（0，2）代入y＝﹣x2+2bx+b2+1中，解得b＝±1．∵b＞0，∴b＝1．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+2；（3）当抛物线过点B时，抛物线AB有一个公共点，∴b2+1＝3﹣b2∴b＝±1，如图：当b＞1时，抛物线与线段AB无交点；当b＝1时，抛物线与线段AB有一个交点；当﹣1＜b＜1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＝﹣1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＜﹣1时，抛物线与线段AB无交点．∴若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则﹣1≤b≤1．21．解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴函数的最小值为﹣3，∵﹣6＜﹣3，∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，22．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2﹣a﹣3＝0，解得a＝或a＝﹣1，∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．23．解：（1）∵直线y＝﹣x+3交于x轴上的点A，y轴上的点B，∴A（3，0），B（0，3），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）当抛物线经过点B时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴P（1，4），将抛物线向左平移m个单位，P对应点为（1﹣m，4），∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1+m）2+4，把B（0，3）代入得，3═﹣（﹣1+m）2+4，解得m1＝2，m2＝0（舍去），故m的值为2．24．解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；（2）设直线OA解析式为y＝kx，把A（3，3）代入得：k＝1，即直线OA解析式为y＝x，∴P，C，B三点纵坐标相等，∵B（m，0），∴把x＝m代入y＝x中得：y＝m，即C（m，m），把x＝m代入y＝﹣x2+4x中得：y＝﹣m2+4m，即P（m，﹣m2+4m），∵P在直线OA上方，∴PC＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m（0＜m＜3），当m＝﹣＝时，PC取得最大值，最大值为＝．。
人教版初中数学九年级上册22.1二次函数的图像和性质同步练习含答案解析
九年级上册第二十二章《22.1二次函数的图像和性质》同步练习题一、单选题（每小题只有一个正确答案）1．下列函数中是二次函数的是( )A ． y ＝3x －1B ． y ＝3x 2－1C ． y ＝(x ＋1)2－x 2D ． y ＝ax 2＋2x －32．若y=（a 2+a ） 是二次函数，那么（ ）A ． a=﹣1或a=3B ． a≠﹣1且a ≠0C ． a=﹣1D ． a=33．抛物线y ＝－x 2不具有的性质是( )A ． 开口向下B ． 对称轴是y 轴C ． 与y 轴不相交D ． 最高点是原点4．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①2y ax =；②2y bx =；③2y cx =；④2y dx =，则,,,a b c d 的大小关系为( )A ． a b c d >>>B ． a b d c >>>C ． b a c d >>>D ． b a d c >>>5．对于 的图象下列叙述错误的是A ． 顶点坐标为（﹣3，2）B ． 对称轴为x=﹣3C ． 当x ＜﹣3时y 随x 增大而减小D ． 函数有最大值为26．已知二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ． ＜0B ． ＜0C ． ＜0D ． ＜07．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ）A ． 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B ． 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C ． 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D ． 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度8．如图，二次函数 的图象开口向下，且经过第三象限的点 若点P 的横坐标为 ，则一次函数 的图象大致是A．B．C．D．二、填空题9．二次函数y＝kx2－x－2经过点(1，5)，则k＝_________.10．函数y= –的图象是抛物线，则m=__________．11．开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝_____．12．如图，这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字，则被墨迹污染的二次项系数是__________．13．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c=0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的是_____（只需填序号）三、解答题14．已知函数y=-(m+2)-(m为常数),求当m为何值时:(1)y是x的一次函数?(2)y是x的二次函数?并求出此时纵坐标为-8的点的坐标.15．某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用为1000元/m2.设矩形的一边长为xm，面积为ym2.(1)求出y与x之间的函数关系式，说明y是不是x的二次函数，并确定x的取值范围；(2)若x＝3时，广告牌的面积最大，求此时的广告费应为多少？16．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．参考答案1．B【解析】【分析】根据二次函数的定义:形如,则y是x的二次函数进行判定即可.【详解】A选项,y＝3x－1是一次函数,不符合题意,B选项,y＝3x2－1是二次函数,符合题意,C选项, y＝(x＋1)2－x2整理后y=2x+1是一次函数,不符合题意,D选项, y＝ax2＋2x－3,二次项系数不确定是否等于0,不一定是二次函数,不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的定义.2．D【解析】【分析】根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．【详解】根据题意，得：a2﹣2a﹣1=2解得a=3或﹣1又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1所以a=3．故选D．【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义．3．C【解析】【分析】抛物线y=-x2的二次项系数为-1，故抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），最高点为原点，对称轴为y轴，与y轴交于（0，0）．【详解】∵抛物线 y=-x 2的二次项系数为-1，∴抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），A 正确；∴最高点为原点，对称轴为y 轴，B 、D 正确；与y 轴交于（0，0），C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了基本二次函数y=ax 2的性质：顶点坐标（0，0），对称轴为y 轴，当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下．4．A【解析】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”分析可得：a b c d >>>.故选A.点睛：（1）二次函数()20y ax a =≠的图象的开口方向由“a 的符号”确定，当0a >时，图象的开口向上，当0a <时，图象的开口向下；（2）二次函数()20y axa =≠的图象的开口大小由a 的大小确定，当a 越大时，图象的开口越小.5．D 【解析】分析：根据二次函数的性质对照四个选项利用排除法即可得出结论.详解：根据二次函数的性质可知 的顶点坐标为（﹣3，2），故A 正确；对称轴为x =﹣3，故B 正确；开口向上，在对称轴右侧y 随x 增大而减小且函数有最小值2 ，故C 正确D 错误. 点睛：本题考查了二次函数的性质，在解题时可结合函数大致图象来判断.正确理解二次函数的基本性质是解题的关键.6．B【解析】【分析】根据抛物线的开口方向确定a ，根据抛物线与y 轴的交点确定c ，根据对称轴确定b ，根据抛物线与x 轴的交点确定b 2-4ac ，根据x=1时，y ＞0，确定a+b+c 的符号．【详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线交于y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，A错误；∵-＞0，a＞0，∴b＜0，∴B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，C错误；当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，D错误；故选B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．7．D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选：D．点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．8．D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，，，当时，，的图象经过二、三、四象限，观察可得D选项的图象符合，故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.9．8【解析】分析：把（1，5）代入y=kx 2-x-2中，即可得到关于k 的一元一次方程，解这个方程即可求得k 的值． 详解：∵二次函数y=kx 2-x-2经过点（1，5），∴5=k-1-2，解得k=8；故答案为8．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点的坐标适合解析式．10．–1【解析】根据抛物线的定义，得 ＝，解得：m=–1． 11．－1【解析】由于抛物线y=（m 2-2）x 2+2mx+1的对称轴经过点（-1，3），∴对称轴为直线x=-1，x=()22222b m a m -=--=-1， 解得m 1=-1，m 2=2．由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m 2-2=2＞0，不合题意，应舍去，∴m=-1．故答案为：-1.12．－2【解析】由题意得,所以a =-2. 13．①②③⑤【解析】【分析】利用抛物线与x 轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=-2a,然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断;根据二次函数的性质对④进行判断.【详解】①∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ＜b 2，结论①正确；②∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，结论②正确；③∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，∴b=﹣2a．∵当x=﹣1时，y=0，∴a﹣b+c=0，即3a+c=0，结论③正确；④∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，结论④错误；⑤∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴当x＜0时，y随x增大而增大，结论⑤正确．综上所述：正确的结论有①②③⑤．故答案为：①②③⑤．【点睛】二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．14．(1) m=±;(2) m=2, 纵坐标为-8的点的坐标是(±,-8).【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义求m的值即可；（2）根据二次函数的定义求得m的值，从而求得二次函数的解析式，把y=-8代入解析式，求得x的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标.【详解】(1)由y=-(m+2)(m为常数),y是x的一次函数,得解得m=±,当m=±时,y是x的一次函数.(2)由y=-(m+2)(m为常数),y是x的二次函数,得解得m=2,m=-2(不符合题意的要舍去),当m=2时,y 是x的二次函数,当y=-8时,-8=-4x2,解得x=±,故纵坐标为-8的点的坐标是(±,-8).【点睛】本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．15．(1)y＝－x2＋6x，是，0＜x＜6 ；（2）9000元【解析】试题分析：（1）矩形的一边长为x m，根据矩形的周长是12m，可得矩形的另一边长为（6－x）m，根据矩形的面积公式即可得出y与x之间的函数表达式；（2）把x＝3代入函数的解析式得出y的值即为广告牌的最大面积，再乘以1000即为此时的广告费．试题解析：解：（1）由题意得出：y＝x(6－x)＝－x2＋6x，是二次函数，0＜x＜6；（2）当x＝3时，y＝－32＋3×6＝9，1000×9＝9000元，即此时的广告费应为9000元．点睛：此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式以及求二次函数值，正确得出二次函数解析式是解题关键．16．（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得＝＝，解得＝＝，这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得＝＝，解这个方程组，得＝＝直线BC的解析是为y=-x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，∴S△BCP=S△BPE+S CPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，∵-＜0，∴当t=时，S△BCP最大=.（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）MN=m2-3m，BM=|m-3|，当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，②m2-3m=-（m-3），解得m=-当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．。
九年级数学人教版第二十二章二次函数22.1.1二次函数定义(同步课本知识图文结合例题详解)
九年级数学第22章二次函数
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两
年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)件，
再经过一年后的产量是_____2_0_(_1_+_x_)_(_1件+x，) 即两年后的
2
是二次函数关系.
九年级数学第22章二次函数
4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长 和宽相等,高比长多0.5m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S(m2)如何表示? (2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需 要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么? 解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x （2）y=5S=5×(6x2+2x)
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0____.
九年级数学第22章二次函数
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种函数？ 解析：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
函 数
关系Leabharlann 一次函数y=kx+b(k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数
y= k (k≠0)
x
二次函数
九年级数学第22章二次函数
问题1：
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
人教版 九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质 同步训练(含答案)
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练一、选择题1. 二次函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2的共同性质是()A．其图象开口都向上B．其图象的对称轴都是y轴C．其图象都有最高点D．y随x的增大而增大2. 若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y与x之间的函数解析式是()A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋83. 若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为()A. x1＝0，x2＝6B. x1＝1，x2＝7C. x1＝1，x2＝－7D. x1＝－1，x2＝74. 已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是()A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1 D．b≤15. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是()A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x＝1D. 抛物线与x轴有两个交点6. 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是() A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度7. 已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为() A．－1，－2 B．4，－2C．－4，0 D．4，08. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)、B(x1＋n，m)两点，则m、n的关系为()A. m＝12n B. m＝14n C. m＝12n2 D. m＝14n2二、填空题9. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________．10. 已知抛物线y＝2(x－1)2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且1＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是________．11. 抛物线y＝－8x2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x＞0时，y随x的增大而________，当x＜0时，y随x的增大而________．12. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．13. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．14. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题17. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；(3)若直线y＝－12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．19. 如图，等腰直角三角形ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10 cm，边CA与边MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，△ABC沿MN方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当点A与点N重合时，停止运动．设运动的时间为t s，运动过程中△ABC与正方形MNPQ重叠部分的面积为S cm2.(1)试写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(2)当MA＝2 cm时，重叠部分的面积是多少？20. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】A[解析] ∵x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1.将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A.3. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴为x ＝－m2＝3，解得m ＝－6，则关于x 的方程为x 2－6x ＝7，解得，x 1＝－1，x 2＝7.4. 【答案】D [解析] 先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x ＝b ，且当x ＞b 时，y 的值随x 值的增大而减小．因为当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，所以b≤1.5. 【答案】D【解析】本题考查了二次函数的性质，由于2>0，所以抛物线的开口向上，所以A 选项错误；由于当x ＝2时，y ＝8－3＝5，所以B 选项错误；由于y ＝2x 2－3的对称轴是y 轴，所以C 选项错误；由2x 2－3＝0得b 2－4ac ＝24>0，则该抛物线与x 轴有两个交点，所以D 选项正确．6. 【答案】D [解析] A ．将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝(x ＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位长度得到函数y ＝(x －3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位长度得到函数y ＝x 2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝x 2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.7. 【答案】D8. 【答案】D【解析】因为二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2－4c ＝0，即c ＝b 24，由题意知，点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴12AB＝|n|2＝－b 2－x 1，b ＝－|n|－2x 1, ∴c ＝（－|n|－2x 1）24＝|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，∵A(x 1，m)在y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴m ＝x 21＋bx 1＋c ，∴ m ＝x 21＋(－|n|－2x 1)· x 1＋|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，化简整理得m ＝14n 2，故选D .二、填空题9. 【答案】y ＝12(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1.10. 【答案】y 1<y 2[解析] ∵抛物线的解析式是y ＝2(x －1)2，∴其对称轴是直线x ＝1，抛物线的开口向上， ∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大．又∵抛物线y ＝2(x －1)2上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且1＜x 1＜x 2，∴y 1<y 2.11. 【答案】下y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b ＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .13. 【答案】0 【解析】设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x 轴的一个交点是P(4，0)，∴与x 轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a －2b ＋c ，∴4a －2b ＋c ＝0.14. 【答案】y ＝－3(x －2)215. 【答案】(－2，0)【解析】如解图，过D 作DM ⊥x 轴于点M ，∴M(m ，0)，又B(m ＋2，0)，∴MB ＝2，由C(0，c)，D(m ，c)知：OC ＝DM ，即点C 、D 关于对称轴对称，故点O 、M 也关于对称轴对称，∴OA ＝MB ＝2，∴A(－2，0)．16. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)，∴4a ＝－8，解得a ＝－2，∴此抛物线的解析式为y ＝－2x 2.(2)当x ＝－1时，y ＝－2，∴点B(－1，－4)不在此抛物线上．(3)把y ＝－6代入y ＝－2x 2，得－2x 2＝－6，解得x ＝±3，∴抛物线上纵坐标为－6的点的坐标为(3，－6)，(－3，－6)．18. 【答案】解：(1)把B(－2，6)，C(2，2)代入抛物线的解析式得： ⎩⎨⎧6＝a·（－2）2＋b·（－2）＋22＝a·22＋b·2＋2，(1分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1，(2分)∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(3分)(2)抛物线解析式化为顶点式：y ＝12(x －1)2＋32，则抛物线顶点D(1，32)，(4分) 如解图①所示，过点B 、D 、C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点M 、N 、H ，则有：S △BCD ＝S 梯形BMHC －S 梯形BMND －S 梯形DNHC ＝12(6＋2) ×4－12(6＋32)×3－12(32＋2) ×1 ＝3.(6分)解图①解图② (3)如解图②所示，连接BC ，∵直线BC 斜率k BC ＝2－62－（－2）＝－1＜－12，∴过点C 作直线MN 与直线y ＝－12x 平行，设直线MN 的解析式为y ＝－12x ＋b 1，代入C(2，2)， ∴b 1＝3.(7分)作直线EF 与抛物线相切，且与直线y ＝－12x 平行， 设直线EF 的解析式为y ＝－12x ＋b 2，联立抛物线解析式得， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2－x ＋2y ＝－12x ＋b 2， ∴x 2－x ＋4－2b 2＝ 0， ∵直线EF 与抛物线相切，∴b 2－4ac ＝0，即(－1)2－4(4－2b 2)＝0，(9分)∴b 2＝158，(11分) ∴158＜b ≤3.(12分)注：斜率知识为高中知识，但常渗透于中考压轴题，与二次函数相结合考查，做题时注意其性质的应用．19. 【答案】解：(1)设AB 与MQ 交于点R.∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形MNPQ 是正方形， ∴△AMR 是等腰直角三角形． 由题意知，AM ＝MR ＝t ，∴S ＝S △AMR ＝12t·t ＝12t 2(0≤t≤10)．(2)当MA ＝2 cm ，即t ＝2时，重叠部分的面积是12×2×2＝2(cm 2)．20. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2， 所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)。