221二次函数的图象和性质时精品PPT课件
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《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
二次函数的图象和性质PPT教育课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
第14页
4．小结
（1）一个函数是否为二次函数关键是什么？ （2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
第15页
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 1，2 题．
第16页
课件说明
• 本课是在学生已经学习了一次函数基础上，继续进 行函数学习，学习二次函数定义，这是对函数知 识完善与提升．
第2页
课件说明
• 学习目标： 经过对实际问题分析，体会二次函数意义．
• 学习重点： 了解二次函数定义．
第3页
1．由实际生活引入二次函数
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们形状是怎样画出来？
第13页
3．练习、巩固二次函数定义
练习2 填空： （1）一个圆柱高等于底面半径，则它表面积 S 与底面半径 r 之间关系式是____S_=__4_π_r；2 （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
第10页
3．练习、巩固二次函数定义
解：（1）由题意，得 2x 2 y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0，
∴ x 取值范围是
＜92x＜9，
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
第11页
3．练习、巩固二次函数定义
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x2 + 9x = 18，
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形长为 x m，宽为 y m，面积为 S m2（x＞y）．
（1）假如用 18 m 建筑材料来修建绿地边缘 （即周长），求 S 与 x 函数关系，并求出 x 取值范 围．
（2）依据小区规划要求， 所修建绿地面积必 须是 18 m2，在满足（1）条件下，矩形长和宽各为多 少m？
4．小结
（1）一个函数是否为二次函数关键是什么？ （2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
第15页
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 1，2 题．
第16页
课件说明
• 本课是在学生已经学习了一次函数基础上，继续进 行函数学习，学习二次函数定义，这是对函数知 识完善与提升．
第2页
课件说明
• 学习目标： 经过对实际问题分析，体会二次函数意义．
• 学习重点： 了解二次函数定义．
第3页
1．由实际生活引入二次函数
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们形状是怎样画出来？
第13页
3．练习、巩固二次函数定义
练习2 填空： （1）一个圆柱高等于底面半径，则它表面积 S 与底面半径 r 之间关系式是____S_=__4_π_r；2 （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
第10页
3．练习、巩固二次函数定义
解：（1）由题意，得 2x 2 y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0，
∴ x 取值范围是
＜92x＜9，
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
第11页
3．练习、巩固二次函数定义
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x2 + 9x = 18，
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形长为 x m，宽为 y m，面积为 S m2（x＞y）．
（1）假如用 18 m 建筑材料来修建绿地边缘 （即周长），求 S 与 x 函数关系，并求出 x 取值范 围．
（2）依据小区规划要求， 所修建绿地面积必 须是 18 m2，在满足（1）条件下，矩形长和宽各为多 少m？
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT(第4课时)教学课件
随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大 D
而减小，则当x＝1时，y的值为( )
A．－12
B．12
C．32
D．－32
（来自《典中点》）
知3－讲
知识点 3 二次函数y=a（x-h）2与y=ax2之间的关系
问题
1
1
前面已画出了抛物线y=－
2
(x+1)2，y=－
1
2 (x－1)2，
在此坐标系中画出抛物1 线y=－ 2 x2 (见1图中虚线部
第二章 二次函数
二次函数的图象与性质
第5课时
1 课堂讲解 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系
二次函数y=a(x-h)2+k的图象
2 课时流程 二次函数y=a(x-h)2+k的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
回顾旧知
y＝ax2 y＝ax2
k＞0 上移 k＜0 下移
左加 右减
A．抛物线y＝－
3 2
x2－1不与x轴相交
B．抛物线y＝
3 2
x2－1与y＝ 3 (x－1)2形状相同，
2
位置不同
C．抛物线y＝
1 2
x
1 2
的2 顶点坐标为
1 2
，0
D．抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2的 对称轴是直线x＝
1 2
知2－讲
知2－讲
导引：抛物线y＝－
3 2
x2－1的开口向下，顶点在y轴的
知1－讲
例1 〈泰安〉将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左 平移2个单位，那么得到的抛物线对应的函数关系 式为( A ) A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3
初中数学九年级上册《21.2 二次函数的图象和性质》PPT课件 (4)
则 k 的取值范围是_1_<_k_<_2___．
5．(4分)如图，边长为2的正方形ABCD的中心在原点O，AD∥x轴， 以O为顶点，且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点 的抛物线将正方形分割成几部分，则图中的阴影部分的面积是 ___2_．
6．(4 分)已知点 A(－1，y1)、点 B(－ 2，y2)、点 C(－2，y3)都在函数 y
___(_5_，__2_) ___． 14．二次函数y＝mxm2一2有最大值，则m＝_－__2_，当x_>__0_时，y随
x的增大而减小．
15．如图，⊙O 的半径为 3，C1 是函数 y＝21x2 的图象，C2 是函数 y＝ －12x2 的图象，则阴影部分的面积是__92_π _．
16．如图，请把图中图象的序号填在它的解析式后面．
y＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2，
x1＝－2，x2＝1，
则 DE＝|yD|＝yD，解方程组y＝－x＋2，得y1＝4， y2＝1. ∴
点 C 的坐标为(－2，4)，∵S△BOC＝S△AOC－S△AOB＝12×2×4－12× 2×1＝3，若 S△AOD＝S△BOC，则 S△AOD＝12OA·DE＝12×2×DE＝ 3，∴yD＝3，∵点 D 在 y＝x2 的图象上，∴x2＝3，∴x＝± 3， ∴存在点 D，使 S△AOD＝S△BOC，又点 D 在第一象限内，∴点 D
2．(4 分)抛物线 y＝－3x2 的开口向__下__，顶点坐标是_(_0_，__0_)___，顶 点是抛物线的最_高___点，当 x＝__0__时，函数有最_大___值，为__0__．
3．(4 分)若 y＝(m＋3)xm2－9 是开口向上的抛物线，则 m＝__1_1_．
4．(4 分)如图，是函数 y1＝3x2，y2＝(1－k)x2，y3＝(k－2)x2 的图象， 3
5．(4分)如图，边长为2的正方形ABCD的中心在原点O，AD∥x轴， 以O为顶点，且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点 的抛物线将正方形分割成几部分，则图中的阴影部分的面积是 ___2_．
6．(4 分)已知点 A(－1，y1)、点 B(－ 2，y2)、点 C(－2，y3)都在函数 y
___(_5_，__2_) ___． 14．二次函数y＝mxm2一2有最大值，则m＝_－__2_，当x_>__0_时，y随
x的增大而减小．
15．如图，⊙O 的半径为 3，C1 是函数 y＝21x2 的图象，C2 是函数 y＝ －12x2 的图象，则阴影部分的面积是__92_π _．
16．如图，请把图中图象的序号填在它的解析式后面．
y＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2，
x1＝－2，x2＝1，
则 DE＝|yD|＝yD，解方程组y＝－x＋2，得y1＝4， y2＝1. ∴
点 C 的坐标为(－2，4)，∵S△BOC＝S△AOC－S△AOB＝12×2×4－12× 2×1＝3，若 S△AOD＝S△BOC，则 S△AOD＝12OA·DE＝12×2×DE＝ 3，∴yD＝3，∵点 D 在 y＝x2 的图象上，∴x2＝3，∴x＝± 3， ∴存在点 D，使 S△AOD＝S△BOC，又点 D 在第一象限内，∴点 D
2．(4 分)抛物线 y＝－3x2 的开口向__下__，顶点坐标是_(_0_，__0_)___，顶 点是抛物线的最_高___点，当 x＝__0__时，函数有最_大___值，为__0__．
3．(4 分)若 y＝(m＋3)xm2－9 是开口向上的抛物线，则 m＝__1_1_．
4．(4 分)如图，是函数 y1＝3x2，y2＝(1－k)x2，y3＝(k－2)x2 的图象， 3
22.1.4二次函数的图像与性质ppt课件
2
列表、描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3 图像.
y
1 2
x2
2 6x
21
问题：
1.怎样平移抛物线 y 1 x2
2
可以得到抛物线
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
y 1 x2 6x 21 ？ 2
2.看图像说说抛物线 y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
x
12
你能用前面的方法讨论二次函数 y = -2x2 - 4x +1 的 图象和性质吗？
2
9
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
= （12 x2-12x）+ 21
(提取二次项系数)
= （12 x2-12x+36-36） +21 （配方）
= 12（x – 6）2 -18+21 = 12（x - 6）2 +3
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质（一）
y
o
x
1
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
2
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
• （3）2x2 4x 2 （4） 2x2 3x 1
7
问题1 如何研究二次函数
y
1 x2
6x
列表、描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3 图像.
y
1 2
x2
2 6x
21
问题：
1.怎样平移抛物线 y 1 x2
2
可以得到抛物线
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
y 1 x2 6x 21 ？ 2
2.看图像说说抛物线 y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
x
12
你能用前面的方法讨论二次函数 y = -2x2 - 4x +1 的 图象和性质吗？
2
9
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
= （12 x2-12x）+ 21
(提取二次项系数)
= （12 x2-12x+36-36） +21 （配方）
= 12（x – 6）2 -18+21 = 12（x - 6）2 +3
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质（一）
y
o
x
1
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
2
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
• （3）2x2 4x 2 （4） 2x2 3x 1
7
问题1 如何研究二次函数
y
1 x2
6x
初中数学九年级上册《21.2 二次函数的图象和性质》PPT课件 (5)
a＝_－__2_，k＝__1__．
4．(4分)在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象 向上平移2个单位，所得图象的解析式为( B )
A．y＝2x2－2 B．y＝2x2＋2 C．y＝2(x－2)2 D．y＝2(x＋2)2
5．(4分)若抛物线y＝x2＋(m－2)x＋3的对称轴是y轴，则m＝____．
14．一条抛物线与 y＝12x2 的图象的形状相同，且最高点的坐标为(0， －2)，则这条抛物线是_y_＝__－__12_x_2－ __2___.
15．点( 2＋1，y1)，( 2－1，y2)，(1，y3)都在抛物线 y＝－20114x2 ＋3 的图象上，用“<”将 y1，y2，y3 连接为_y_1_<_y_3<__y_2 _____．
解：∵△AOB 为等腰直角三角形，∴点 B 的坐标为(2c，2c)，点 A1，B1 的坐标分别为(0，－c)，(2c，－2c)，将 A1，B1 的坐标代入 y＝ax2＋m 得
－c＝m， －2c＝a·（2c）2＋m，∴ac＝2
解：由题意得 n＋21>0，n2－n＝2，∴n＝2，此时，抛物线为 y＝52x2 ＋3，当 x＝0 时，函数有最小值是 3
18．(12 分)如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y＝－15x2＋3.5 运行，然后准确落人篮框内，已知篮框的中心离地面的距离为 3.05 米．
(1)球在空中运行的最大高度为多少米？ (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为 2.25 米，请问他距离篮 框中心的水平距离是多少米？
12．若二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象上有两点(x1，6)，(x2， 6)且x1≠x2，则当x＝x1＋x2时，函数值为( ) D
A．a＋c B．a－c C．－c D．c 13．抛物线 y＝x2 向上平移 1 个单位后，其解析式为___y_＝__x_2_＋__1__，
4．(4分)在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象 向上平移2个单位，所得图象的解析式为( B )
A．y＝2x2－2 B．y＝2x2＋2 C．y＝2(x－2)2 D．y＝2(x＋2)2
5．(4分)若抛物线y＝x2＋(m－2)x＋3的对称轴是y轴，则m＝____．
14．一条抛物线与 y＝12x2 的图象的形状相同，且最高点的坐标为(0， －2)，则这条抛物线是_y_＝__－__12_x_2－ __2___.
15．点( 2＋1，y1)，( 2－1，y2)，(1，y3)都在抛物线 y＝－20114x2 ＋3 的图象上，用“<”将 y1，y2，y3 连接为_y_1_<_y_3<__y_2 _____．
解：∵△AOB 为等腰直角三角形，∴点 B 的坐标为(2c，2c)，点 A1，B1 的坐标分别为(0，－c)，(2c，－2c)，将 A1，B1 的坐标代入 y＝ax2＋m 得
－c＝m， －2c＝a·（2c）2＋m，∴ac＝2
解：由题意得 n＋21>0，n2－n＝2，∴n＝2，此时，抛物线为 y＝52x2 ＋3，当 x＝0 时，函数有最小值是 3
18．(12 分)如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y＝－15x2＋3.5 运行，然后准确落人篮框内，已知篮框的中心离地面的距离为 3.05 米．
(1)球在空中运行的最大高度为多少米？ (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为 2.25 米，请问他距离篮 框中心的水平距离是多少米？
12．若二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象上有两点(x1，6)，(x2， 6)且x1≠x2，则当x＝x1＋x2时，函数值为( ) D
A．a＋c B．a－c C．－c D．c 13．抛物线 y＝x2 向上平移 1 个单位后，其解析式为___y_＝__x_2_＋__1__，
2024年中考数学一轮复习课件--二次函数的图象和性质(70张PPT)
y0≤y1＜y2，则m的取值范围是（ B ）
A.m＜－3
B.m＞－3
C.m≤－3
D.m≥－3
类型二 二次函数解析式的确定及图象的平移
9.把函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单
位，得到的图象解析式为（ A ）
2
2
A.y＝－3（x－2） －1
B.y＝－3（x＋2） －1
C.y＝－3（x－1）2＋2
时 ， y 随 时 ， y 随
x的增大 x 的 增 大
减小
增大
而
； 而
；
顶点式：y＝a
（x－h）2＋k（a，
h， k是常数，
a≠0）
在 对 称
轴
右
增 侧 ， 即
减 当 x ＞ h
性 时，y随x
的 增 大
而 增大
在 对 称
轴右侧，
即当x＞h
时，y随x
的 增 大
而 减小
交点式：y＝a
一般式：y＝ax ＋bx＋c
5.（2023·杭州）设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，
m，k是实数），则（ A ）
A.当k＝2时，函数y的最小值为－a
B.当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C.当k＝4时，函数y的最小值为－a
D.当k＝4时，函数y的最小值为－2a
6.（2023·福建质检）二次函数y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图象过
①抛物线翻折的本质为抛物线的翻折→抛物线上点的翻折→关
注抛物线的开口，并对顶点进行翻折→抛物线顶点式；
②将抛物线y＝a（x－h）2＋k沿着直线x＝m（或y＝k）翻折，
其解题策略与沿着坐标轴翻折一致，同学们不妨一试.
A.m＜－3
B.m＞－3
C.m≤－3
D.m≥－3
类型二 二次函数解析式的确定及图象的平移
9.把函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单
位，得到的图象解析式为（ A ）
2
2
A.y＝－3（x－2） －1
B.y＝－3（x＋2） －1
C.y＝－3（x－1）2＋2
时 ， y 随 时 ， y 随
x的增大 x 的 增 大
减小
增大
而
； 而
；
顶点式：y＝a
（x－h）2＋k（a，
h， k是常数，
a≠0）
在 对 称
轴
右
增 侧 ， 即
减 当 x ＞ h
性 时，y随x
的 增 大
而 增大
在 对 称
轴右侧，
即当x＞h
时，y随x
的 增 大
而 减小
交点式：y＝a
一般式：y＝ax ＋bx＋c
5.（2023·杭州）设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，
m，k是实数），则（ A ）
A.当k＝2时，函数y的最小值为－a
B.当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C.当k＝4时，函数y的最小值为－a
D.当k＝4时，函数y的最小值为－2a
6.（2023·福建质检）二次函数y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图象过
①抛物线翻折的本质为抛物线的翻折→抛物线上点的翻折→关
注抛物线的开口，并对顶点进行翻折→抛物线顶点式；
②将抛物线y＝a（x－h）2＋k沿着直线x＝m（或y＝k）翻折，
其解题策略与沿着坐标轴翻折一致，同学们不妨一试.