第一章 三维欧氏空间中的张量_小结
欧氏空间
(1) [ x , y ] = [ y , x ]; ( 2) [λ x , y ] = λ [ x , y ];
( 3) [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ];
(4) [ x , x ] ≥ 0, 且当 x ≠ 0时, 有 [ x , x ] > 0.
二、向量的长度及性质 定义
α T α1 α T α 2 L α T α n 1 1 1 1 T T T α 2 α1 α 2 α 2 L α 2 α n 0 ⇔ =M M M M Tα T T α2 L α n αn 0 α n 1 α n
⇔ αT α j i 1, 当 i = j = δ ij = 0, 当 i ≠ j
[β1,α2] β2 = α2 − β1 [β1, β1]
已正交, 我们求得 β1 , β 2 已正交 再来求 β 3
β 3 = α 3 − λ1β1 − λ2 β 2 (1)
β3 α3 λ2 β 2 λ1β1 β1
(1)式两边与 β1 内积 注意 式两边与 内积,
[β1 , β 2 ] = [ β1 , β 3 ] = 0
x ⋅ y =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx y cos( x , y )
建立标准的直角坐标系后, 建立标准的直角坐标系后 可用向量的坐标来计算内积 设 x = ( x1 , x2 , x3 )T , y = ( y1 , y2 , y3 )T 则
x ⋅ y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
一、内积的定义及性质 定义 设有 n 维向量
x = [ x, x] =
2 2 2 x1 + x2 + L + xn ,
第一章 三维欧氏空间中的张量_小结
当坐标转动 当坐标反演
ij
（2）张量的阶数与分量数： 张量的阶数 = 表示张量所用的下标数
（3）单位张量：
δ 11 δ 12 δ 13 1 0 0 δ ij = δ 21 δ 22 δ 23 = 0 1 0 δ 31 δ 32 δ 33 0 0 1
—— 三维空间中的单 位张量 二维空间中的单位张量
律。例如：
(aij + bij )ck = aij ck + bij ck (aij bk )cm = aij (bk cm )
或
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C、张量函数的求导：
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参
数 xi 的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。 ◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前
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E、张量的分解： 若张量[aij] 的分量满足 aij = aji 则称[aij] 为对称张量。 若张量[aij] 的分量满足 aij =－aji 则称[aij]为反对称张量。 显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零。
a11 = a22 = a33 = 0
(1) (2)
ai = U imVmn cn
把（2） 代入（1）
bi = Vim cm
bm = Vmn cn
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2 乘积 设
p = U m am q = Vm bm p q = U m amVn bn p q ≠ U m amVm bm
不符合求 和约定
则
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现代数学物理方法一
3 (a b )i ijk a j bk jk 1
(a b )1 a2b3 a3b2 (a b )2 a3b1 a1b3 (a b )3 a1b2 a2b1
1-2-3 δ符号和ε符号的几个公式(1)
• 证明
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3
b3 ijk ai b j ck i , j , k 1 c3
3
1-2-3 δ符号和ε符号的几个公式(2)
左边=
a1b2c3 a1b3c2 a2b1c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1
右边=
a1b2c3 a1b3c2 a2b1c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1
• 镜面反射（2）
– 新基矢与旧基矢的关系 e1' e1 , e2' e2 , e3' e3 –镜面反射变换的系数 A1'1 1
A2 ' 2 A3'3 1
Ai ' i 0
当
i' i
1-3-1 基矢的变换(6)
• 反演(1)
– 三个坐标基矢都改号的变换叫反演。 e3 反演的结果与镜 e2 面反射一样，使 坐标系的类型发 e1' 生了改变。 e1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3
b3 ijk ai b j ck i , j , k 1 c3
3
1-2-4 三矢量的连乘(3)
• 证明
a1 b1 c1 a2 b2 c2
a b c b c a c a b
数学分析欧氏空间的几何结构
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:几何与测量;内容提要:几何与测量; 内积;内容提要:几何与测量; 内积;叉乘回顾;内容提要:几何与测量; 内积;叉乘回顾; 距离.几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问.几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问. 问题:几何学测量哪些量呢?几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问. 问题:几何学测量哪些量呢?最简单的有夹角,长度,距离等.几何与测量几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问.问题:几何学测量哪些量呢?最简单的有夹角,长度,距离等.为了实现测量的目的,我们还要在欧氏空间中引入额外的结构.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积. 有了内积就可以定义向量的长度和向量之间的夹角.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积. 有了内积就可以定义向量的长度和向量之间的夹角.设u∈R n,记 u =u,u ,称为u的范数或长度.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积. 有了内积就可以定义向量的长度和向量之间的夹角.设u∈R n,记 u =u,u ,称为u的范数或长度.(Schwarz不等式)设u,v∈R n,则|u·v|≤ u · v ,等号成立当且仅当u,v线性相关.根据Schwarz不等式,当u,v为非零向量时,可以取θ(u,v)∈[0,π],使得cosθ(u,v)=u,v u · v,θ(u,v)称为u,v之间的夹角,也记为∠(u,v).根据Schwarz不等式,当u,v为非零向量时,可以取θ(u,v)∈[0,π],使得cosθ(u,v)=u,v u · v,θ(u,v)称为u,v之间的夹角,也记为∠(u,v).例1M m×n中的内积.根据Schwarz不等式,当u,v为非零向量时,可以取θ(u,v)∈[0,π],使得cosθ(u,v)=u,v u · v,θ(u,v)称为u,v之间的夹角,也记为∠(u,v).例1M m×n中的内积.我们知道,m×n型矩阵的全体M m×n也是一个向量空间,它可以视为mn维的欧氏空间.作为欧氏空间,其内积可定义为A,B =tr AB T,∀A,B∈M m×n.(绝对值不等式)设u,v∈R n,则 u+v ≤ u + v .事实上,根据Schwarz不等式,我们有u+v 2= u+v,u+v = u,u +2 u,v + v,v≤ u 2+2 u · v + v 2=( u + v )2.(绝对值不等式)设u,v∈R n,则 u+v ≤ u + v .事实上,根据Schwarz不等式,我们有u+v 2= u+v,u+v = u,u +2 u,v + v,v≤ u 2+2 u · v + v 2=( u + v )2.(距离)设u,v∈R n,记d(u,v)= u−v ,称为u,v之间的距离.(绝对值不等式)设u,v∈R n,则 u+v ≤ u + v .事实上,根据Schwarz不等式,我们有u+v 2= u+v,u+v = u,u +2 u,v + v,v≤ u 2+2 u · v + v 2=( u + v )2.(距离)设u,v∈R n,记d(u,v)= u−v ,称为u,v之间的距离.(三角不等式)设x,y,z∈R n,则d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).事实上,利用绝对值不等式可得d(x,z)= x−z = (x−y)+(y−z)≤ x−y + y−z =d(x,y)+d(y,z).设u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)∈R3,利用内积,线性函数(x,y,z)=x y z u1u2u3 v1v2v3可以表示为 (w)=w·(u×v).设u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)∈R3,利用内积,线性函数(x,y,z)=x y z u1u2u3 v1v2v3可以表示为 (w)=w·(u×v).于是,利用行列式的性质容易得出:u×v与u,v都垂直!在高维欧氏空间中,叉乘运算也有完全类似的性质.。
张量分析总结[范文]
![张量分析总结[范文]](https://img.taocdn.com/s3/m/d287c132fd4ffe4733687e21af45b307e971f94b.png)
张量分析总结[范文]第一篇：张量分析总结[范文]中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 1 页一、知识总结张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。
性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。
例：A11x1+A12x2+A13x3=B1A21x1+A22x2+A23x3=B2 A31x1+A32x2+A33x3=B3式(1.1)可简单的表示为下式：(1.1)Aijxj=Bi(1.2)其中：i为自由指标，j为哑标。
特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。
在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。
1.2 Kronecker符号定义δij为：δij=⎨⎧1,i=j0,i≠j⎩(1.3)δij的矩阵形式为：⎡100⎤⎥δij=⎢010⎢⎥⎢⎣001⎥⎦(1.4)可知δijδij=δii=δjj=3。
δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。
如：δijδjk=δikδijδjkδkl=δil(1.5)中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 2 页δij的作用：更换指标、选择求和。
1.3 Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：⎧1,i,j,k为偶排列⎪lijk=⎨-1,i,j,k为奇排列⎪0,其余情况⎩(1.6)图1.1 i,j,k排列图lijk的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。
Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。
1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为ei，新坐标系的基矢为ei'。
第一章 三维欧氏空间中的张量_第6次课
3. 散度：
a. 定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度 . b. 表达式：
v divF = lim
v v F ds
S
V 0
c. 散度的计算：
V
z
S3
S2
S6
在直角坐标系中，如图做一封闭 曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
S1 S4
S5
v v v v v v v v v v v v v v ds ds ds ds ds ds F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 + F 5 + F 6 ds
球坐标系中： v 1 R 2 FR ) F ( ( 1 Fθ sin θ ) 1 φ = 2 F + + R R R sin θ θR sin θ φ 正交曲线坐标系中： v 1 = F h1h2 h3
Fu h 2 h 3 1 ( Fu2 h1h3 ) Fu3 h1h2 ) ( + + u 2 u 3 u 1
讨论
a. 如果闭合曲面上的总通量 ψ > 0 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意 味着闭合面内存在正的通量源 . b. 如果闭合曲面上的总通量 ψ < 0 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些 矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟 . c. 如果闭合曲面上的总通量 ψ = 0 说明穿入的通量等于穿出的通量 .
F F F G G G =i +j +k +i +j +k x y z x y z
= F + G
（2 + j + k )( FG ) ） ( FG ) = (i x y z
张量分析课件
P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
第一章张量分析基础知识
第⼀章张量分析基础知识晶体物理性能南京⼤学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体⼈⼯培养技术的成熟，单晶体的各⽅⾯物理性能（如⼒、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作⽤的物理效应，在各尖端科学技术领域⾥，都得到了某些应⽤．特别是⽯英⼀类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电⼦技术中，⽐较早地在⼯业规模上进⾏⼤批⽣产和⼴泛应⽤．激光问世的四⼗多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应⽤中，已成单晶体应⽤中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之⼀，⽬的就是希望对晶体特别是光电技术中使⽤的晶体（包括基质晶体与⾮线性光学晶体）的有关物理性能及其应⽤⽅⾯的基本知识，有⼀个了解．对今后从事光电晶体的⽣长、检测和应⽤的⼯作，在分析问题、解决问题⽅⾯有所帮助，同时要在今后⼯作中不断从实践和理论两个⽅⾯扩⼤知识领域，有⼀个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个⽅⾯作深⼊全⾯的介绍，也将侧重于激光晶体有关的⼀些性能及其应⽤．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离⼦晶体为主要对象，以光电技术上应⽤为线索组织内容，共分为⼋章．着重于从宏观⾓度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作⽤过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应⽤，包括弹性与弹性波（第⼆章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第⼋章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、⽅便地描述这些物理性能必须使⽤张量来表⽰．因此，在第⼀章，我们介绍了关于张量分析基础知识⽅⾯的内容．由于⽔平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因⽽内容安排不妥、取舍不当、错误之处⼀定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第⼀章张量的基础知识§１．１标量、⽮量和⼆阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５⼆阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的⾜符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表⽰和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８⼆阶对称张量的⼏何表⽰和⼆阶张量的主轴………………………………………§１．９⼆阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第⼆章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原⼦间⼒…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应⼒……………………………………………………………………………………§２．４推⼴的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５⽴⽅晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因⼦的测量⽅法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３⾼频电场的介电极化（光的⾊散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离⼦晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的⼀般性质…………………………………………………………………§４．２常⽤铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热⼒学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电⽅程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应⽤实例――⽯英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲⾯……………………………………………………………§５．４晶体表⾯上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光⼲涉及其应⽤……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１⾮线性极化…………………………………………………………………………§６．２⾮线性极化系数……………………………………………………………………§６．３⾮线性介质中电磁场耦合⽅程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７⾓度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放⼤…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐⽅法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13⾮线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应⽤§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的⼏个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第⼋章声光效应及其应⽤§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作⽤产⽣的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作⽤的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在⼀些物理常数测量中的应⽤…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散⾓α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射⾯相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第⼀章张量分析基础知识以前学的课程中，有关⼒学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以⼀维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因⽅⾯是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的⼒学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，⽽晶体的各向异性却是⼀种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、⾮线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要⽅⾯。
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例1：完成脚标变换 Ai→Ak
δ ki Ai = δ kk Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示. 例2：完成变换 Tkj→Tij
(1) (2)
ai = U imVmn cn
把（2） 代入（1）
bi = Vim cm
bm = Vmn cn
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2 乘积 设
p = U m am q = Vm bm p q = U m amVn bn p q ≠ U m amVm bm
不符合求 和约定
则
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当坐标转动 当坐标反演
ij
（2）张量的阶数与分量数： 张量的阶数 = 表示张量所用的下标数
（3）单位张量：
δ 11 δ 12 δ 13 1 0 0 δ ij = δ 21 δ 22 δ 23 = 0 1 0 δ 31 δ 32 δ 33 0 0 1
—— 三维空间中的单 位张量 二维空间中的单位张量
其分量为： ( T ± S ) i j = ei ( T ± S ) e j
其矩阵形式为：
[T ± S ] = [T ] ± [ S ]
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◆ 一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所 有坐标系中的所有分量都为0。 这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考 虑Fi 导致的应力σij ，以后将证明，为满足平衡 σij,j=Fi ，现将它重写为
别该张量的所有分量。
可用下标表示为 u1 , u2 , u3 位移：u , v, w 缩写为 缩写为
ui xi
(i = 1，2，3) (i = 1，2，3)
x 坐标： , y, z
可用下标表示为
x1 , x2 , x3
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其
方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 阶次。
(3) δ ijδ jk = δ i1δ1k + δ i 2δ 2k + δ i 3δ 3k = δ ik (4) aijδ ij = a11δ11 + a22δ 22 + a33δ 33 = aii (5) aiδ ij = a1δ1 j + a2δ 2 j + a3δ 3 j = a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
δ ikTkj = δ iiTij = Tij
特别地
δ ikδ kj = δ ij
δ ikδ kjδ jm = δ im
例3： Ami Bnj 代表34=81个数，求 m=n时各项的和.
δ mn Ami Bnj = Ani Bnj = Ami Bmj
1.5
张量的基本运算
张量的运算法则与矢量相类似。 如：张量相等即对应分量相等； 张量相加即对应分量相加； 张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量； n 阶张量缩并后变为n-2 阶张量等等。
（即：标量）
0阶张量： 如：温度T、能量U 等, 分量数：1 = 30 = 2 0 = 1
在三维空间中，其分量数：3
= 31 一阶张量： （即：矢量） 1 在二维空间中，其分量数：2 = 2 aij , 在三维空间中，其分量数：9 = 32 二阶张量： 2 在二维空间中，其分量数：4 = 2 aijk , 在三维空间中，其分量数：27 = 33 三阶张量： 在二维空间中，其分量数：8 = 2 3
表示反对称化运算
cij = a[ ij ]
1 ≡ (aij a ji ) 2
相加
bij = a(ij ) cij = a[ ij ]
1 ≡ (aij + a ji ) 2 1 ≡ (aij a ji ) 2
aij = a(ij ) + a[ij ]
(6) 指标记法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区
n 阶张量:
在三维空间中，其分量数： 在二维空间中，其分量数：
= 3n = 2n
（5）任意张量的分解定理：
对任一张量（既非对称，又非反对称）[aij ]，总可以唯一地 分解为一个对称张量 [bij] 与一个反对称张量 [cij] 之和.
表示对称化运算
bij = a(ij )
对称张量 反对称张量
1 ≡ (aij + a ji ) 2
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E、张量的分解： 若张量[aij] 的分量满足 aij = aji 则称[aij] 为对称张量。 若张量[aij] 的分量满足 aij =－aji 则称[aij]为反对称张量。 显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零。
a11 = a22 = a33 = 0
r vi 代表矢量 V 的所有分 r 量，即当V 写作vi 时，指标的 值从1到3变化.
V1
x3
V3
r e3
r V
P ( v1 , v2 , v3 )
r or e e1 2
V2
x2
x1 r f (X ) = f (xi )=f (x j )=f (x1 ,x2 ,x3 )
关于自由标号： ◆ 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即 同阶且标号字母相同. a ij x j = bi ◆ 自由标号的数量确定了张量的阶次.
对于单位矢量，点积eiej = δij ； 其他关于Kronecker符号的描述可以参考孙炳楠的 《工程弹塑性力学》及相关张量的其他文献。δij 的作用与计算示例：
(1) δ ii = δ11 + δ 22 + δ 33 = 3
(2) δ ijδ ij = (δ11 )2 + (δ 22 )2 + (δ 33 )2 = 3
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物理学中的 张量分析
刘连寿，郑小平 著
张量概念小结： （1）张量概念的两个要点：
（a）张量是一群具有下标量的集合.
（b）不同坐标系间变换时，服从同样的变换规
律，如：二阶张量
α
i ′j ′
3 3 ∑ ∑ A i ′ i A j ′j α i j i =1 j =1 = 3 3 ∑1 ∑1 A i ′i A j ′j α i= j=
◆ 如果在微商中下标符号i 是哑标号，则作用的结果将产
生一个新的降低一阶的张量。
ui ,i
ui u1 u 2 u 3 = = + + x i x1 x 2 x 3
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指标记法的运算
1 代入 设
3个方 程，右边 为9项之 和
ai = U im bm bi = Vim cm
δ 11 δ 12 1 0 δ ij = = 0 1 —— δ 21 δ 22
（4）对称张量与反对称张量：
σ ij 、 ij 等. ε a 若一二阶张量： ij , 具有 aij = a ji 则称该二阶张量为反对称张量.
如：应力张量 若将其排列成矩阵，必有：
0 a 12 a13
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标
号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 ◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三 维空间，即变程为3。
r 矢量 V 的方式表示： r V = (v1 ,v2 ,v3 ) 3 r r r r = v1e1 + v2 e2 + v3e2 = ∑ vi ei i =1 = vi
(7) Kronecker delta（δij）符号
δij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，
亦称单位张量,也叫置换算子.其定义为：
1, δ ij = 0, 当 i = j 时； 或： 当 i ≠ j 时； 1 0 0 δ ij = 0 1 0 0 0 1
δijvj = vi 即在将δij 应用于vj 只是将vj中的j 用i 置换；
一般张量总可以唯一地表示成一个对称张量和一个反对 称张量之和。
1 pij = (aij +a ji ) 2
1 qij = (aij－a ji ) 2
End
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End
3 因式分解 考虑 第一步用
Tij n j - l ni = 0 nj
表示
ni ,δ i j
有换指标的作用
ni = δ ij n j
所以 即
Tij n j - l δ ij n j = 0 (Tij - l δ ij )n j = 0
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D、张量的分量： 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其 r r 分量为ai，于是 a = ai ei r r r r ai = a ei = ei a 对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即 r t r t tr r b = T a = T ( a i e i ) = a i (Te i ) tr r r r tr bi = be i = a j (Te j ) e i = a j ( e i Te j ) = Tij a j r t r Tij = e i T e j 称为二阶张量T 的分量 可理解为矢量Tej在ei上的分量。
律。例如：
(aij + bij )ck = aij ck + bij ck (aij bk )cm = aij (bk cm )
或
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C、张量函数的求导：
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参
数 xi 的函数。