第二节 直线和园的位置关系、和圆有关的比例线段

第二节 直线和圆的位置关系、和圆有关的比例线段知识网络一、直线和圆的位置关系1.()()()d r d r d r d r ⎧⎪⎪⎪⎪⎪>⎪<⎨⎪⎧=⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪=⎨⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎩相离直线和圆的位置关系相交证：切线的判定判定定理（证垂直）相切性质定理及推论切线的性质切线长定理2.三角形、四边形与圆的位置关系（重点在三角形的内心与外心） 二、和圆有关的比例线段⎧⎪⎨⎪⎩相交弦定理及推论圆幂定理切割线定理及推论综合运用一、选择题1.【05台州】如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、 B 为切点，OP 交AB 于点D ，交⊙O 于点C , 在线段AB 、PA 、PB 、PC 、CD 中，已知其中两条线段的长，但还无法．．计算出⊙O 直径的两条线段是（A ）AB 、CD （B ）PA 、PC （C ）PA 、AB（D ）PA 、PBA（第2题图）2.【05连云港】如图，⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为︒30，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，若⊙O 的半径为3，则CD 的长为（A ）6 （B ）36 （C ）3 （D ）333.【05南通海门】 如图，已知AD 是△ABC 的外接圆的直径，AD =13 cm ，5cos 13B =，则AC 的长等于A ．5 cmB ．6 cmC ．10 cmD ．12 cm4.【05北京】如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B 。

如果OP ＝4，PA =23，那么∠AOB 等于（ ）A. 90°B. 100°C. 110°D. 120°5.【05河北】已知⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d 。

若直线l 与⊙O 有交点，则下列结论正确的是 A ．d ＝r B ．d ≤r C ．d ≥r D ．d ＜r6.【05武汉】已知圆的半径为6.5cm ，如果一条直线和圆心的距离为9cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）.（A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）相交或相离 7.【05梅山】如图，点C 是O 上一点，M 、N 分别是CA 、CB 上的点，满足CM CNCA CB=若点C 在⊙O 上运动，当C 运动到优弧上(不含点A 、点B)时，MN 的长 A.变大 B.变小C.不变D.有可能变大，也有可能变小8.【05重庆课改】如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO ＝6㎝ ，AB ＝4㎝，则⊙O 的半径为A ．45㎝B ．25㎝C ．213㎝D ．13㎝二、填空题（第9题）D1.【05浙江】已知⊙O 的半径为8, 圆心O 到直线l 的距离是6, 则直线l 与⊙O 的位置 关系是 ．2.【05武汉】如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，，垂足为E ，要使DE 是⊙O 的切线，则图中的线段应满足的条件是 或 。

三、解答题1.【05绵阳】如图7，已知BC 是⊙O 的直径，AH ⊥BC ，垂足为D ，点A 为 BF 的中点，BF 交AD 于点E ，且BE EF =32，AD =6.(1) 求证：AE =BE ； (2) 求DE 的长； (3) 求BD 的长 .【解】 (1) 连AF ，因A 为 BF 的中点，∴∠ABE =∠AFB ，又∠AFB =∠ACB ，∴ ∠ABE =∠ACB .∵ BC 为直径，∴∠BAC =90°，AH ⊥BC ，∴∠BAE =∠ACB ， ∴∠ABE =∠BAE ， ∴ AE =BE .(2) 设DE =x (x >0)，由AD =6，BE EF =32，AE EH =BE EF ， 有(6-x )(6+x )=32，由此解得x =2， 即DE 的长为2 . (3) 由(1)、(2)有：BE =AE =6-2=4，在RtΔBDE 中，BD =2224-=32.2.【05资阳】如图6，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H .(1) 求证：AH AB =AC 2；(2) 若过A 的直线与弦CD (不含端点)相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：AE AF =AC 2；(3) 若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP AQ =AC 2是否成立(不必证明).【解】(1) 连结CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. 而∠CAH =∠BAC ，∴△CAH ∽△BAC . ∴ACAH AB AC =， 即AH AB =AC 2 . (2) 连结FB ，易证△AHE ∽△AFB ，∴ AE AF =AH AB ， ∴ AE AF =AC 2 .(也可连结CF ，证△AEC ∽△ACF )(3) 结论AP AQ =AC 2成立 .3.【05乌鲁木齐】如图11，在△ABC 中，∠ABC ＝90，AB ＝6，BC ＝8。

以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F 。

（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求DB 的长；（3）求S △FAD ∶S △FDB 的值 【解】（1）证明：连结BD 、DO∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90° 又∵E 为BC 的中点 ∴DE ＝EB ， ∴∠EDB ＝∠EBD∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD∵ABC ＝90°，∴∠EDB ＋∠OBD ＝90° 即OD ⊥DE∴DE 是⊙O 的切线。

（2）在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8 ∴AC ＝10∵BC 2＝CD ∙AC ∴CD ＝532，AD ＝518又∵△ADB ∽△BDC ∴BD 2＝AD ∙CD ＝532∙518 ∴BD ＝524（3）∵∠FDA ＝∠FBD ∠F ＝∠F∴△FDA ∽△FBD ∴S △FAD ∶S △FDB ＝169)(2=BD AD4.【05丽水】如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点P ，连结AC 、DB ． （1）求证：△PAC ∽△PDB ；（2）当AC DB 为何值时，PAC PDBS S =4．【解】（1）证明：∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△PAC∽△PDB；（2）解：由（1）△PAC∽△PDB，得PAC PDBS S =2()AC DB， 即2()AC DB =4， ∴ACDB=2.D5.【05台州】如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与y 轴相切于D 点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限.⑴ 求点C 的坐标；⑵ 连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．BE 上 有一点P ，使得AB 2＝BP ·BE ，能否推出AP ⊥BE ？请给 出你的结论，并说明理由；⑶ 在直线．．BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2＝BQ ·EQ ？ 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由. 【解】 ⑴ C （5，-4）；⑵ 能连结AE ，∵BE 是⊙O 的直径， ∴∠BAE=90°. 在△ABE 与△PBA 中，AB 2＝BP · BE , 即ABBE BPAB =, 又∠ABE=∠PBA,∴△ABE ∽△PBA .∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP ⊥BE .⑶ 分析：假设在直线EB 上存在点Q ，使AQ 2＝BQ · EQ. Q 点位置有三种情况：①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C 即点Q ；②若无两条等长，且点Q 在线段EB 上，由Rt △EBA 中的射影定理知点Q 即为AQ ⊥EB 之垂足；③若无两条等长，且当点Q 在线段EB 外，由条件想到切割线定理，知QA 切⊙C 于点A.设Q()(,t y t ),并过点Q 作QR ⊥x 轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.解题过程：① 当点Q 1与C 重合时，AQ 1=Q 1B=Q 1E, 显然有AQ 12＝BQ 1· EQ 1 ,∴Q 1(5, -4)符合题意； ② 当Q 2点在线段EB 上， ∵△ABE 中，∠BAE=90° ∴点Q 2为AQ 2在BE 上的垂足， ∴AQ 2=1048=⋅BEAE AB = 4.8（或524）. ∴Q 2点的横坐标是2+ AQ 2·cos ∠BAQ 2= 2+3.84=5.84, 又由AQ 2·sin ∠BAQ 2=2.88, ∴点Q 2（5.84，-2.88）, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-257225146，或 ③方法一：若符合题意的点Q 3在线段EB 外,则可得点Q 3为过点A 的⊙C 的切线与直线BE 在第一象限的交点.由Rt △Q 3BR ∽Rt △EBA ，△EBA 的三边长分别为6、8、10,故不妨设BR=3t ，RQ 3=4t ，BQ 3=5t,由Rt △ARQ 3∽Rt △EAB 得ABRQ EAAR 3=，即64836t t =+得t=718， 〖注:此处也可由433=∠=∠AEB tg AR Q tg 列得方程43634=+t t ； 或由AQ 32 = Q 3B ·Q 3E=Q 3R 2+AR 2列得方程()()()226345105++=+t t t t )等等〗∴Q 3点的横坐标为8+3t=7110， Q 3点的纵坐标为772， 即Q 3（7110，772） . 6.【05温州】如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是 BDC 的中点，AE ⊥AC 于A ，与 ⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且 BF AD =，EM 切⊙O 于M 。

⑴ △ADC ∽△EBA ；⑵ AC 2＝12BC ·CE；E⑶ 如果AB ＝2，EM ＝3，求cot ∠CAD 的值。

【解】⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDA ＝∠ABE ，∵ BF AD = ， ∴∠DCA ＝∠BAE ， ∴△CAD ∽△AEB⑵、过A 作AH ⊥BC 于H(如图)∵A 是 BDC中点，∴HC ＝HB ＝12 BC ， ∵∠CAE ＝900，∴AC 2＝CH ·CE ＝12BC ·CE ⑶∵A 是 BDC中点，AB ＝2， ∴AC ＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB ·EC ＝EM 2 ①∵AC 2＝12BC ·CE ，BC ·CE ＝8 ②①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE ＝17－22＝13 ∵△CAD ∽△ABE ，∴∠CAD ＝∠AEC ，∴cot ∠CAD ＝cot ∠AEC ＝AE AC ＝1327.【05泰州】如图，AB 切⊙O 于点B ，OA 交⊙O 于C 点，过C 作DC ⊥OA 交AB 于D ，且BD ：AD =1：2（1）求∠A 的正切值.（2）若OC =1，求AB及BC 的长.【解】（1）∵DC ⊥OA ，OC 为半径．∴DC 为⊙O 的切线∵AB 为⊙O 的切线 ∴DC=DB在Rt △ACD 中 ∵ sinA=DCAD，BD ：AD=1：2 ∴sinA=12∴∠A=30° ∴（2）连结OB ∵AB 是⊙O 的切线 ∴OB ⊥AB在Rt △AOB 中 ∵ tanA=OBABOB=1 ∴ ∵∠A=30° ∴∠O=60°∴BC 的长=00601180π⨯⨯=3π8.【05武汉】已知：如图，直线334y x =-+交轴于1O ，交轴于2O ，⊙2O 与轴相切于O 点，交直线12O O 于P 点，以1O 为圆心1O P 为半径的圆交轴于A 、B 两点，PB交⊙2O 于点F ，⊙1O 的弦BE ＝BO ，EF 的延长线交AB 于D ，连结PA 、PO 。