倍角、半角、和差化积公式

倍角、半角、和差化积公式

一. 教学内容：

3.1 和角公式

3.2 倍角公式和半角公式

二. 教学目的

1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；

2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。

三. 教学重点、难点

重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦、正切公式，并应用上述公式进行求值、化简、证明。

难点：能够正确利用上述公式进行求值、化简、证明，并能解决简单实际问题。

四. 知识分析

（一）两角和与差的余弦

1、两角差的余弦公式

推导方法1：向量法

把看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究。如图1，设的终边分别与单位圆交于点P l (，)，P2 (，)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑的情况。

图1

设向量

则。

另一方面，由向量数量积的坐标表示，有

于是，对于任意的，都有上述式子成立。

推导方法2：三角函数线法

设、都是锐角，如图2 ，角的终边与单位圆的交点为P l，∠POP1＝，则∠Pox＝。过点P作MN⊥x 轴于M，则OM即为的余弦线。在这里，我们想法用的三角函数线来表示OM。

图2

过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过P作PC⊥AB于C，则OA表示，AP表示，并且∠PAC＝∠P1Ox＝，于是

即

要说明此结果是否对任意角都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的，在此就不进行研究了。

2. 两角和的余弦公式

比较与，并且注意到与之间的联系：

则由两角差的余弦公式得：

即

3. 对公式的理解和记忆

（1）上述公式中的都是任意角。

（2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。

（3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧，如，等。

（二）两角和与差的正弦

1. 公式的导出

即

2. 公式的理解

（1）一样，对任意角均成立，是恒等式。

（2）“和差”公式是诱导公式的推广，诱导公式是“和差”公式的特殊形式。

如

（3）明确公式的区别与联系：

两公式右边均为两乘积项和差形式，但公式中，左边为角的“和”或“差”，右边也为两项之“和”或“差”，而公式中，左边为角的“和”或“差”，右边则为两项之“差”或“和”，另外公式中右边两项均为角的异名函数之积，牢记公式，才能正确使用这些公式。

3. 函数的最值（a 、b为常数，为任意角）

将函数化为一个三角函数形式可求最值，而此函数为两项之“和”式，所以考虑应用两角和与差的正弦、余弦公式，可化为一个三角函数形式，化简过程如下：

也可如下化简：

即

注：此处内容与教材P143的例4是一种问题，但表示方法稍有不同，目的是要同学们灵活掌握，运用自如。

（三）两角和与差的正切

1. 正切公式的推导过程

当时，将公式的两边分别相除，有

当cosαcosβ≠0时，将上式的分子分母分别除以cosαcosβ，得：

由于，

在中以－β代β，可得

2. 公式的理解

（1）公式成立的条件

①公式在，α－β≠

时成立，否则是不成立的。

②当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式，处理有关问题时，应改用诱导公式或其他方法来解。

（2）公式的变形形式

①由得

②由得

；

。

（四）倍角公式

1. 本节中公式的证明过程较为简单，只要将中的β换作α即可得到的形式，再结合平方关系可推得。

2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式及变形

另外，。

公式还可变形为升幂公式：

，

降幂公式：

以上公式中除且α≠外，其余公式中角α为任意角。

（五）半角的正弦、余弦和正切

1. 应用三个半角公式时，要特别注意根号前的符号，选取依据是所在的象限的原三角函数的符号。同学们往往误认为是根据cosα的符号，确定，、的符号。

如α为第二象限角，且，则为第一或第三象限角，∴可正可负，可正可负，为正。

，

2. 公式，共有三个，即，显然公式

由于符号问题有时不方便，后两个无符号问题，但易记混淆。对于后两个公式关键是明确公式的推导，如下：

，同理可推得，后两个公式在化简中往往起到事半功倍的效果。

3. 升幂公式：

降幂公式，，等同于倍角公式的升幂与降幂公式。

升降幂公式主要用于化简、求值、证明，在应用时要根据题目的角的特点，函数的特点及结构特点选取公式。一般地升幂的同时角减小，降幂的同时角增大。

【典型例题】

例1. ，求的值。

解析：由

又由

得

由余弦的和角公式，得

点评：已知角的某一三角函数值，求该角的另一三角函数值时，应注意角的终边所在的象限，从而确定三角函数值的符号。

例2. 已知Rt△ACB中，两垂直边AC＝b，BC＝a，斜边AB＝c，周长为定值l，求斜边c 的最小值。

解析：Rt△ACB中∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c

则a＝c·sinA，b＝c·cosA

即当

时，斜边c最小，最小值为。

点评：（1）应用三角函数解决实际应用题的最值问题，必须先写出函数关系式（三角形式），再求最值。

（2）型如的函数均可化为（θ为确定数值），或化为，再利用三角函数的值域可求最值。

例3. 计算：（1）

解析：（1）解法1：