主成分分析分析法

第四节主成分分析方法

地理环境是多要素的复杂系统，在我们进行地理系统分析时，多变量问题

是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息？事实上，这种想法是可以实现的，本节拟介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。

第一节主成分分析方法的原理

主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有n 个地理样本，每个样本共有 p 个变量描述，这样就构成了一个 n xp 阶的地理数据矩阵：

如何从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律性呢？要解决这一问题，自然要在p 维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，

而且使

这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。那么，这些综合指标(即新变量 )应如何选取呢？显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。

如果记原来的变量指标为X i ，为 X i ，X 2，…，zm (mep)。贝U

坷"】內+G 衍++l]p%

X 2，…，X P ，它们的综合指标新变量指标

在(2)式中，系数l j由下列原则来决定:

(1)乙与z j (i工j ；i , j=1 , 2,…,m)相互无关;

(2) ............................................................................................................... z i是x i，X2，…，X P的一切线性组合中方差最大者；Z2是与z i不相关的X i, X2，…，X P的所有线性组合中方差最大者；；Z m是与Z i，乙， ..................................... Z m-1都不

相关的X i, X2，…，X P的所有线性组合中方差最大者。

这样决定的新变量指标z i, Z2，…，zm分别称为原变量指标X i, X2,…，X P 的第一，第二，…，第m主成分。其中，乙在总方差中占的比例最大，z2,Z3,…, z m的方差依次递减。在实际问题的分析中，常挑选前几个最大的主成分，这样既减少了变量的数目，又抓住了主要矛盾，简化了变量之间的关系。

从以上分析可以看出，找主成分就是确定原来变量X j (j=i , 2,…，P)在诸

主成分Z i (i=i , 2,…，m)上的载荷l j (i=i , 2,…，m j=i , 2,…，p)，从数学上容

易知道，它们分别是X i, X2,…，X P的相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。

第二节主成分分析的解法

主成分分析的计算步骤

通过上述主成分分析的基本原理的介绍，我们可以把主成分分析计算步骤归纳如下：

(i) 计算相关系数矩阵

IP J

在公式(3)中，九(i , j=i , 2,…，p)为原来变量X i与X j的相关系数，其计算公式为

因为R是实对称矩阵(即r j=r j),所以只需计算其上三角元素或下三角元素即可。

(2) 计算特征值与特征向量

主成分分析法

一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。

主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP（比如p个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm来代替原来指标。那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。设F1表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即 ,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差 Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。常常希望第一主成分F1所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的F1应该是X1，X2，…，XP的所有线性组合中方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有效地反映原信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，即F2与F1要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差Cov(F1, F2)=0，所以F2是与F1不相关的X1，X2，…，XP的所有线性组合中方差最大的，故称F2为第二主成分，依此类推构造出的F1、F2、……、Fm为原变量指标X1、X2……XP第一、第二、……、第m个主成分。根据以上分析得知：

主成分分析法总结

主成分分析法总结在实际问题研究中，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，人们会很自然地想到，能否在相关分析的基础上，用较少的新变量代替原来较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息？一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点： ↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。 ↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。 ↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。 ↓主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。主成分分析的具体步骤如下：（1）计算协方差矩阵计算样品数据的协方差矩阵：Σ=(s ij )p ?p ，其中 1 1()() 1n ij ki i kj j k s x x x x n ==---∑i ，j=1，2，…，p （2）求出Σ的特征值 i λ及相应的正交化单位特征向量i a Σ的前m 个较大的特征值λ1≥λ2≥…λm>0,就是前m 个主成分对应的方差，i λ对应的单位特征向量 i a 就是主成分Fi 的关于原变量的系数，则原变量的第i 个主成分Fi 为：

主成分分析法及其在SPSS中的操作

一、主成分分析基本原理概念：主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看，这是一种降维处理技术。思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。原理：假定有n 个样本，每个样本共有p 个变量，构成一个n ×p 阶的数据矩阵，记原变量指标为x 1，x 2，…，x p ，设它们降维处理后的综合指标，即新变量为 z 1，z 2，z 3，… ，z m (m ≤p)，则系数l ij 的确定原则： ①z i 与z j （i ≠j ；i ，j=1，2，…，m ）相互无关； ②z 1是x 1，x 2，…，x P 的一切线性组合中方差最大者，z 2是与z 1不相关的x 1，x 2，…，x P 的所有线性组合中方差最大者； z m 是与z 1，z 2，……，z m －1都不相关的x 1，x 2，…x P ，的所有线性组合中方差最大者。新变量指标z 1，z 2，…，z m 分别称为原变量指标x 1，x 2，…，x P 的第1，第2，…，第m 主成分。从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量x j （j=1，2 ，…， p ）在诸主成分z i （i=1，2，…，m ）上的荷载 l ij （ i=1，2，…，m ； j=1，2 ，…，p ）。 ?????? ? ???????=np n n p p x x x x x x x x x X 2 1 2222111211 ?? ??? ? ?+++=+++=+++=p mp m m m p p p p x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z 22112222121212121111............

主成分分析法PCA的原理

主成分分析法原理简介 1.什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，是揭示大样本、多变量数据或样本之间内在关系的一种方法，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标，降低观测空间的维数，以获取最主要的信息。在统计学中，主成分分析（principal components analysis, PCA）是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 2.主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。对同一个体进行多项观察时必定涉及多个随机变量X1，X2，…，X p，它们之间都存在着相关性，一时难以综合。这时就需要借助主成分分析来概括诸多信息的主要方面。我们希望有一个或几个较好的综合指标来概括信息，而且希望综合指标互相独立地各代表某一方面的性质。

主成分分析分析法

第四节主成分分析方法地理环境是多要素的复杂系统，在我们进行地理系统分析时，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息？事实上，这种想法是可以实现的，本节拟介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。第一节主成分分析方法的原理主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有 n 个地理样本，每个样本共有 p 个变量描述，这样就构成了一个 n ×p 阶的地理数据矩阵：如何从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律性呢？要解决这一问题，自然要在 p 维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。那么，这些综合指标（即新变量）应如何选取呢？显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。如果记原来的变量指标为 x 1，为 x 1，x 2，?， zm （m ≤p ）。则 x 2 ，?， x p ，它们的综合指标——新变量指标

在（2）式中，系数l ij 由下列原则来决定：（1）z1 2与z j（i ≠j ；i ，j=1 ，2，?，m）相互无关；（2）z 1是x1，x2，?，x p的一切线性组合中方差最大者；z2是与z1不相关的x1，x2，?，x p的所有线性组合中方差最大者；??；z m是与z1，z2，??z m-1 都不相关的x1，x2，?，x p的所有线性组合中方差最大者。这样决定的新变量指标z1，z2，?，zm分别称为原变量指标x1，x2，?，x p 的第一，第二，?，第m主成分。其中，z1在总方差中占的比例最大，z2，z3，?，z m的方差依次递减。在实际问题的分析中，常挑选前几个最大的主成分，这样既减少了变量的数目，又抓住了主要矛盾，简化了变量之间的关系。从以上分析可以看出，找主成分就是确定原来变量x j（j=1 ，2，?，p）在诸主成分z i （i=1 ，2，?，m）上的载荷l ij （i=1 ，2，?，m；j=1 ，2，?，p），从数学上容易知道，它们分别是x1，x2，?，x p的相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。第二节主成分分析的解法主成分分析的计算步骤通过上述主成分分析的基本原理的介绍，我们可以把主成分分析计算步骤归纳如下：在公式（3）中，r ij （i ，j=1 ，2，?，p）为原来变量x i与x j的相关系数，其计算公式为因为R是实对称矩阵（即r ij =r ji ），所以只需计算其上三角元素或下三角元素即可。 1 计算相关系数矩阵 2 计算特征值与特征向量

主成分分析法介绍(高等教育)

主成分分析方法我们进行系统分析评估或医学上因子分析等时，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息？事实上，这种想法是可以实现的，本节拟介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。第一节主成分分析方法的原理主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有n 样本，每个样本共有p 个变量描述，这样就构成了一个n×p 阶的数据矩阵： 111212122212.....................p p n n np x x x x x x X x x x ?? ? ?= ? ? ??? (1)

如何从这么多变量的数据中抓住事物的内在规律性呢？要解决这一问题，自然要在p 维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。那么，这些综合指标（即新变量)应如何选取呢？显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。如果记原来的变量指标为p x x x ,,21 ，它们的综合指标——新变量指标为 21,z z ，m z （m≤p)。则 )2.........(..........22112222121212121111??? ??? ?+++=+++=+++=p mp m m m p p p p x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z 在（2)式中，系数l ij 由下列原则来决定：（1)z i 与 z j （i≠j；i ，j=1，2，…，m)相互无关；（2)z 1是x 1，x 2，…，x p 的一切线性组合中方差最大者；z 2是与z 1不相关的x 1，x 2，…，x p 的所有线性组合中方差最大者；……；z m 是与z 1，z 2，……z m-1都不相关的x 1，x 2，…，x p 的所有线性组合中方差最大者。

主成分分析法介绍教学文稿

主成分分析法介绍

主成分分析方法我们进行系统分析评估或医学上因子分析等时，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息？事实上，这种想法是可以实现的，本节拟介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。第一节主成分分析方法的原理主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有n 样本，每个样本共有p 个变量描述，这样就构成了一个n×p 阶的数据矩阵： 11121212221 2 .....................p p n n np x x x x x x X x x x ?? ? ? = ? ? ??? (1)

如何从这么多变量的数据中抓住事物的内在规律性呢？要解决这一问题，自然要在p 维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。那么，这些综合指标（即新变量)应如何选取呢？显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。如果记原来的变量指标为p x x x ,,21 ，它们的综合指标——新变量指标为 21,z z ，m z （m≤p)。则 )2.........(..........22112222121212121111??? ?? ? ?+++=+++=+++=p mp m m m p p p p x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z 在（2)式中，系数l ij 由下列原则来决定：（1)z i 与 z j （i≠j；i ，j=1，2，…，m)相互无关；（2)z 1是x 1，x 2，…，x p 的一切线性组合中方差最大者；z 2是与z 1不相关的x 1，x 2，…，x p 的所有线性组合中方差最大者；……；z m 是与z 1，z 2，……z m-1都

主成分分析法概念及例题

主成分分析法主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法 [编辑] 什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 [编辑] 主成分分析的基本思想

在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 [编辑] 主成分分析法的基本原理主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p 个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。 [编辑] 主成分分析的主要作用

主成分分析在STATA中的实现以及理论介绍

主成分分析在S T A T A 中的实现以及理论介绍文件编码（TTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-0089）

第十二章主成分分析主成分分分析也称作主分量分析，是霍特林(Hotelling)在1933年首先提出。主成分分析是利用降维的思想，在损失较少信息的前提下把多个指标转化为较少的综合指标。转化生成的综合指标即称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分互不相关。Stata 对主成分分析的主要内容包括：主成分估计、主成分分析的恰当性（包括负偏协方差矩阵和负偏相关系数矩阵、KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)抽样充分性、复相关系数、共同度等指标测度）、主成分的旋转、预测、各种检验、碎石图、得分图、载荷图等。 p j n i b a y ij j i ij ,,2,1,,2,1,' ==+=ε 主成分的模型表达式为： p p j i i i i diag v v v v i p V V C λλλλλλλ≥≥≥=∧='' ==∧=∑ 2121),,,,(0 1 其中，a 称为得分，b 称为载荷。主成分分析主要的分析方法是对相关系数矩阵（或协方差矩阵）进行特征值分析。

Stata中可以通过负偏相关系数矩阵、负相关系数平方和KMO值对主成分分析的恰当性进行分析。负偏相关系数矩阵即变量之间两两偏相关系数的负数。非对角线元素则为负的偏相关系数。如果变量之间存在较强的共性，则偏相关系数比较低。因此，如果矩阵中偏相关系数较高的个数比较多，说明某一些变量与另外一些变量的相关性比较低，主成分模型可能不适用。这时，主成分分析不能得到很好的数据约化效果。 Kaiser-Meyer-Olkin抽样充分性测度也是用于测量变量之间相关关系的强弱的重要指标，是通过比较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。KMO介于0于1之间。KMO越高，表明变量的共性越强。如果偏相关系数相对于相关系数比较高，则KMO比较低，主成分分析不能起到很好的数据约化效果。根据Kaiser（1974），一般的判断标准如下：不能接受（unacceptable）;非常差（miserable）；，勉强接受（mediocre）；可以接受（middling）；，比较好（meritorious）；非常好（marvelous）。 SMC即一个变量与其他所有变量的复相关系数的平方，也就是复回归方程的可决系数。SMC比较高表明变量的线性关系越强，共性越强，主成分分析就越合适。

主成分分析法概念及例题

主成分分析法主成分分析(principal components analysis,PCA)又称:主分量分析,主成分回归分析法 [编辑] 什么就是主成分分析法主成分分析也称主分量分析,旨在利用降维的思想,把多指标转化为少数几个综合指标。在统计学中,主成分分析(principal components analysis,PCA)就是一种简化数据集的技术。它就是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中,使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上,第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上,依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数,同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这就是通过保留低阶主成分,忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但就是,这也不就是一定的,要视具体应用而定。 [编辑] 主成分分析的基本思想

在实证问题研究中,为了全面、系统地分析问题,我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标,在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息,并且指标之间彼此有一定的相关性,因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时,变量太多会增加计算量与增加分析问题的复杂性,人们希望在进行定量分析的过程中,涉及的变量较少,得到的信息量较多。主成分分析正就是适应这一要求产生的,就是解决这类题的理想工具。同样,在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果就是很难具体量化的。在实际评估工作中,我们常常会选用几个有代表性的综合指标,采用打分的方法来进行评估,故综合指标的选取就是个重点与难点。如上所述,主成分分析法正就是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性,就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点,通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究,找出影响科普效果某一要素的几个综合指标,使综合指标为原来变量的线性拟合。这样,综合指标不仅保留了原始变量的主要信息,且彼此间不相关,又比原始变量具有某些更优越的性质,就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时,容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为:设某科普效果评估要素涉及个指标,这指标构成的维随机向量为。对作正交变换,令,其中为正交阵,的各分量就是不相关的,使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释,这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分,削除对这一要素影响微弱的部分,通过对主分量的重点分析,达到对原始变量进行分析的目的。的各分量就是原始变量线性组合,不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系,主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中,找出一些主要成分,以便有效地利用大量统计数据,进行科普效果评估分析,使我们在研究科普效果评估问题中,可能得到深层次的一些启发,把科普效果评估研究引向深入。例如,在对科普产品开发与利用这一要素的评估中,涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化(科普示范基地数百万人)等多项指标。经过主成分分析计算,最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用与开发的综合指标,变量数减少,并达到一定的可信度,就容易进行科普效果的评估。 [编辑] 主成分分析法的基本原理主成分分析法就是一种降维的统计方法,它借助于一个正交变换,将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量,这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵,在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系,使之指向样本点散布最开的p 个正交方向,然后对多维变量系统进行降维处理,使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统,再通过构造适当的价值函数,进一步把低维系统转化成一维系统。 [编辑] 主成分分析的主要作用

主成分分析计算方法和步骤

主成分分析计算方法和步骤：在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。而主成分分析法可以很好地解决这一问题。主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵的特征根和特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。结合数据进行分析本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年的相关统计数据(见附录)，从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效，而通过表5-6的相关系数矩阵，可以看到许多的变量之间的相关性很高。如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了0.963，而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0.279 0.329 0.252 重点高校数0.345 0.204 0.310 教工人数0.963 0.954 0.896 本科院校数 1.000 0.938 0.881 招生人数0.938 1.000 0.893 教育经费投 0.881 0.893 1.000 入

主成分分析法介绍

主成分分析方法我们进行系统分析评估或医学上因子分析等时，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息事实上，这种想法是可以实现的，本节拟介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。第一节主成分分析方法的原理主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有n 样本，每个样本共有p 个变量描述，这样就构成了一个n×p 阶的数据矩阵： 11121212221 2 .....................p p n n np x x x x x x X x x x ?? ? ? = ? ? ??? (1)

如何从这么多变量的数据中抓住事物的内在规律性呢要解决这一问题，自然要在p 维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。那么，这些综合指标（即新变量)应如何选取呢显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。如果记原来的变量指标为p x x x ,,21Λ，它们的综合指标——新变量指标为Λ21,z z ，m z （m≤p)。则 )2.........(..........22112222121212121111??? ?? ? ?+++=+++=+++=p mp m m m p p p p x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 在（2)式中，系数l ij 由下列原则来决定：（1)z i 与z j （i≠j ；i ，j=1，2，…，m)相互无关；（2)z 1是x 1，x 2，…，x p 的一切线性组合中方差最大者；z 2是与z 1不相关的x 1，x 2，…，x p 的所有线性组合中方差最大者；……；z m 是与z 1，z 2，……z m-1都不相关的x 1，x 2，…，x p 的所有线性组合中方差最大者。

主成分分析方法及matlab运用解释

主成分分析方法在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息事实上，这种想法是可以实现的，这里介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。一、主成分分析的基本原理主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有n 个地理样本，每个样本共有p 个变量描述，这样就构成了一个n×p 阶的地理数据矩阵： 11 12121 2221 2 p p n n np x x x x x x X x x x ???=? ???（1）如何从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律性呢要解决这一问题，自然要在p 维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。那么，这些综合指标（即新变量)应如何选取呢显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。如果记原来的变量指标为x 1，x 2，…，x p ，它们的综合指标——新变量指标为z 1，z 2，…，zm （m≤p)。则 11111221221122221122 ,,.........................................,p p p p m m m mp p z l x l x l x z l x l x l x z l x l x l x =+++?? =+++?? ??=+++?（2）在（2)式中，系数l ij 由下列原则来决定：

主成分分析法及其在SPSS中的操作

一、主成分分析基本原理概念:主成分分析就是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来瞧,这就是一种降维处理技术。思路:一个研究对象,往往就是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析问题的难度与复杂性,利用原变量之间的相关关系,用较少的新变量代替原来较多的变量,并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息,这样问题就简单化了。原理:假定有n个样本,每个样本共有p个变量,构成一个n×p阶的数据矩阵, 记原变量指标为x 1,x 2 ,…,x p ,设它们降维处理后的综合指标,即新变量为 z 1,z 2 ,z 3 ,… ,z m (m≤p),则系数l ij 的确定原则: ①z i 与z j (i≠j;i,j=1,2,…,m)相互无关; ②z 1就是x 1 ,x 2 ,…,x P 的一切线性组合中方差最大者,z 2 就是与z 1 不相关的 x 1,x 2 ,…,x P 的所有线性组合中方差最大者; z m 就是与z 1 ,z 2 ,……,z m－1 都不相关的x 1,x 2 , (x) P , 的所有线性组合中方差最大者。新变量指标z 1 ,z 2 ,…,z m 分别称为原变量指标x 1 ,x 2 ,…,x P 的第1,第2,…,第m 主成分。从以上的分析可以瞧出,主成分分析的实质就就是确定原来变量 x j (j=1,2 ,…, p)在诸主成分z i (i=1,2,…,m)上的荷载l ij ( i=1,2,…,m; j=1,2 ,…,p)。从数学上可以证明,它们分别就是相关矩阵m个较大的特征值所对应的特征向量。二、主成分分析的计算步骤 1、计算相关系数矩阵 r ij (i,j=1,2,…,p)为原变量x i与x j的相关系数, r ij=r ji,其计算公式为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = np n n p p x x x x x x x x x X Λ M M M Λ Λ 2 1 2 22 21 1 12 11 ? ? ? ? ? ? ? + + + = + + + = + + + = p mp m m m p p p p x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z Λ Λ Λ 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 .. .......... ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = pp p p p p r r r r r r r r r R Λ M M M Λ Λ 2 1 2 22 21 1 12 11 ∑∑ ∑ == = - - - - = n k n k j kj i ki n k j kj i ki ij x x x x x x x x r 11 2 2 1 ) ( ) ( ) )( (

主成分分析计算方法和步骤

在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。而主成分分析法可以很好地解决这一问题。主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵的特征根和特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。结合数据进行分析本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年的相关统计数据(见附录)，从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效，而通过表5-6的相关系数矩阵，可以看到许多的变量之间的相关性很高。如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了，而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比重点高校数教工人数本科院校数招生人数教育经费投入

师生比重点高校数教工人数相关性师生比重点高校数教工人数本科院校数招生人数教育经费投入（元）表5-7给出的是各主成分的方差贡献率和累计贡献率，我们选取主成分的标准有两个：第一，特征根大于1，因为，如果特征根小于1，说明该主成分的解释力度太弱，还比不上直接引入一个原始变量的平均解释力度大；第二，方差贡献率大于85%，如果这两个标准不能同时符合要求,则往往是因为选择的指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。表5-7还显示，只有前2个特征根大于1，因此SPSS只提取了前两个主成分，而这两个主成分的方差贡献率达到了%，因此选取前两个主成分已经能够很好地描述我国高等教育地区现状。

主成分分析方法在主成分分析方法中的应用

主成分分析与因子分析及SPSS实现（一）：原理与方法 (2014-09-08 13:33:57) 转载▼ 一、主成分分析（1）问题提出在问题研究中，为了不遗漏和准确起见，往往会面面俱到，取得大量的指标来进行分析。比如为了研究某种疾病的影响因素，我们可能会收集患者的人口学资料、病史、体征、化验检查等等数十项指标。如果将这些指标直接纳入多元统计分析，不仅会使模型变得复杂不稳定，而且还有可能因为变量之间的多重共线性引起较大的误差。有没有一种办法能对信息进行浓缩，减少变量的个数，同时消除多重共线性？这时，主成分分析隆重登场。（2）主成分分析的原理主成分分析的本质是坐标的旋转变换，将原始的n个变量进行重新的线性组合，生成n个新的变量，他们之间互不相关，称为n个“成分”。同时按照方差最大化的原则，保证第一个成分的方差最大，然后依次递减。这n个成分是按照方差从大到小排列的，其中前m个成分可能就包含了原始变量的大部分方差（及变异信息）。那么这m个成分就成为原始变量的“主成分”，他们包含了原始变量的大部分信息。注意得到的主成分不是原始变量筛选后的剩余变量，而是原始变量经过重新组合后的“综合变量”。我们以最简单的二维数据来直观的解释主成分分析的原理。假设现在有两个变量X1、X2，在坐标上画出散点图如下：可见，他们之间存在相关关系，如果我们将坐标轴整体逆时针旋转45°，变成新的坐标系Y1、Y2，如下图：根据坐标变化的原理，我们可以算出： Y1 = sqrt(2)/2 * X1 + sqrt(2)/2 * X2 Y2 = sqrt(2)/2 * X1 - sqrt(2)/2 * X2 其中sqrt(x)为x的平方根。通过对X1、X2的重新进行线性组合，得到了两个新的变量Y1、Y2。此时，Y1、Y2变得不再相关，而且Y1方向变异（方差）较大，Y2方向的变异（方差）较小，这时我们可以提取Y1作为X1、X2的主成分，参与后续的统计分析，因为它携带了原始变量的大部分信息。至此我们解决了两个问题：降维和消除共线性。对于二维以上的数据，就不能用上面的几何图形直观的表示了，只能通过矩阵变换求解，但是本质思想是一样的。二、因子分析（一）原理和方法：因子分析是主成分分析的扩展。在主成分分析过程中，新变量是原始变量的线性组合，即将多个原始变量经过线性（坐标）变换得到新的变量。因子分析中，是对原始变量间的内在相关结构进行分组，相关性强的分在一组，组间相关性较弱，这样各组变量代表一个基本要素（公共因子）。通过原始变量之间的复杂关系对原始变量进行分解，得到公共因子和特殊因子。将原始变量表示成公共因子的线性组合。其中公共因子是所有原始变量中所共同具有的特征，而特殊因子则是原始变量所特有的部分。因子分析强调对新变量（因子）的实际意义的解释。举个例子：比如在市场调查中我们收集了食品的五项指标（x1-x5）:味道、价格、风味、是否快餐、能量，经过因子分析，我们发现了： x1 = 0.02 * z1 + 0.99 * z2 + e1 x2 = 0.94 * z1 - 0.01 * z2 + e2

(完整版)主成分分析法的步骤和原理

（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（Principal Component Analysis ）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。[2] 采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。（二）主成分分析法代数模型假设用p 个变量来描述研究对象，分别用X 1，X 2…X p 来表示，这p 个变量构成的p 维随机向量为X=(X 1，X 2…X p )t 。设随机向量X 的均值为μ，协方差矩阵为Σ。对X 进行线性变化，考虑原始变量的线性组合： Z 1=μ11X 1+μ12X 2+…μ1p X p Z 2=μ21X 1+μ22X 2+…μ2p X p …… …… …… Z p =μp1X 1+μp2X 2+…μpp X p 主成分是不相关的线性组合Z 1，Z 2……Z p ，并且Z 1是X 1，X 2…X p 的线性组合中方差最大者，Z 2是与Z 1不相关的线性组合中方差最大者，…，Z p 是与Z 1，Z 2 ……Z p-1都不相关的线性组合中方差最大者。（三）主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n ，选取的财务指标数为p ，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x ij )m ×p ，其中x ij 表示第i 家上市公司的第j 项财务指标数据。第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R ，是反映标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。其中，R ij （i ，j=1，2，…，p ）为原始变量X i 与X j 的相关系数。R 为实对称矩阵（即R ij =R ji ），只需计算其上三角元素或下三角元素即可，其计算公式为： 2211)()() ()(j kj n k i kj j kj n k i kj ij X X X X X X X X R -=--=-=∑∑ 第四步：根据协方差矩阵R 求出特征值、主成分贡献率和累计方差贡献率，确定主成分个数。解特征方程0=-R E λ，求出特征值λi （i=1，2，…，p ）。因为R 是正定矩阵，所以其特征值λi 都为正数，将其按大小顺序排列，即λ1≥λ2≥…≥λi ≥0。特征值是各主成分的方差，它的大小反映了各个主成分的影响力。主成分Z i 的贡献率W i =∑=p j j j 1λλ，累计贡献率为