《电路分析》基尔霍夫定律的相量形式
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最新电工学电力学课程第八章《电路定律的相量形式》
由相量形式KVL有 : V V 1 V 2 600 8090 (V)
（2）相量图解法
60 j80 10053.1 (V) 故 : |V | 100(V)
相量法的三个基本公式
UR RIR
U L jL IL
1
UC
j
C
IC
以上公式是在电压、电流关联参考方向的条件
错误的写法
1 u
C i
1
C
U I
(2) 容抗的绝对值和频率成反比。
0, XC , 直流开路( 隔直作用) ;
XC
, XC 0, 高频短路（旁路作用）;
(3) 由于容抗的存在使电流领先电压。
4、受控源 如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量， 则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。
i 超前u 90° I
0
所示，反映电压电流瞬时 值关系的波形图如图(b)所示。由此图可以看出电容电流超 前于电容电压90°，当电容电压由负值增加经过零点时，其 电流达到正最大值。
容抗
I= CU
U 1
I C
容抗的物理意义：
X
C
定义
1
C
(1) 表示限制电流的能力；
相量关系
+
U R R I
U R
-
有效值关系：UR = RI 相位关系：u , i 同相
I
R
U
相量图
相量模型
2. 电感
时域
频域
i(t)
i(t) 2I cost
+ u (t)
u(t) L di(t)
正弦电路的相量分析法
U 0，
注意
U m 0
m
I 0， I
0 0
返回
X
U R I Rm cos( t i ) Re[ I Rm e ]
iR
R
根据VCR：
uR
uR Ri R RI Rm cos( t i ) j t Re[ RI Rm e ] j t u Re[ U e ] 由定义：
UL
UL
U L UC
U
.
UZ
ui
UZ UC
uii
I
I
.
U L UC
UC
1 L C
1 L C
U
X
导纳
1 I 导纳是复数，表示为： jB Y Y Y G j Z U 代数型 指数型
导纳的模
Y G B
2
2
即支路电流与电压的振幅或有效值的比值。 导纳角
§4-3 43
正弦电路的相量分析法
北京邮电大学电子工程学院 2012.1
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开始
内容提要
相量形式的基尔霍夫定律 电阻、电容、电感元件的相量模型 相量欧姆定律的一般形式、阻抗和导纳 正弦电路的相量分析
X
相量形式的基尔霍夫定律
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下（正弦电 源可以有多个，但频率完全相同）进入稳态时，各 处的电压、电流都为同频率的正弦量。 KCL的时域形式：
i 0
jt jt i Re[ I me ] Re[ I me ] j t j t Re[( I )e ] Re[( 2 I )e ]
m
0
X
相量形式的基尔霍夫定律
基尔霍夫定律的相量形式.
电压相量，如图(c)所示，从相量图上容易看出各正弦电压
的相位关系。
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一
定等于零，本题中 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26
即一般说来
n
Uk 0
k 1Biblioteka 关于复数的几个公式1. 假设复数 c rθ a jb
则有 c a2 b2 θ arctan b a
uk (t) Re[U kme jt ] Re[ 2U k e jt ]
代入KVL方程中得到
n uk (t) n Re[Ukmejt ] 0
k 1
k 1
n
n
uk (t) Re[
2Uke jt ] 0
k 1
k 1
由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，
j ej180 cos180 jsin180 1 1 j2 ej180 1180
模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将
时域模型中各电流符号 iS、i、i1、i2 用相应的相量符
号 IS、I、I1、I2 表示，并计算出电流相量 。
I1 1060 A
I2 5 90 A
列出图(b)相量模型中结点1的KCL方程，其相量形式
为
I I1 I2 0
§8－3 基尔霍夫定律的相量形式
一、基尔霍夫电流定律的相量形式
基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集中参数 电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路 电流的代数和等于零。其数学表达式为
n
ik (t) 0
k 1
假设电路中全部电流都是相同频率ω的正弦电流，则 可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式
电路分析23
d e j t ) Re[ d ( A e j t )] Re(j A e j t ) Re( A dt dt
引理包含两个内容：取实部运算和求导可交 A e j t 对t的导数等于该函数与jω的 换；复数函数 乘积。
电 路 分 析 课 件
d e j t ) Re[ d ( A e j t )] Re(j A e j t ) Re( A dt dt d e j t ) d Re[ A e j( t ) ] Re( A m dt dt d [ Am cos( t )] dt Am sin( t )
t RC
UCm cos( t u )
(t 0)
Ｋ由初始条件确定
K uC (0) U Cm cos u
代入得到电容电压uC(t)的全响应为
uC (t ) [uC (0) UCm cos u ] e
t RC
UCm cos( t u )
t 0
相量法求微分方程特解的方法与步骤如下： 1. 用KCL，KVL和VCR写出电路方程(例如2b 方程，网孔方程，结点方程等)，以感兴趣的电压电 流为变量，写出n阶微分方程。
2. 用相量表示同一频率的各正弦电压电流，将 n阶微分方程转换为复系数代数方程。 3. 求解复系数代数方程得到所感兴趣电压或电 流的相量表达式。 4. 根据所得到的相量，写出正弦电压或电流的 瞬时值表达式。
电 路 分 析 课 件
§10－2
正弦稳态响应
一、正弦电流激励的RC电路分析
如图所示RC电路，电路达到稳定状态，在t=0 时刻断开开关，正弦电流iS(t)=ISmcos( t+ψi)作用 于RC电路，求电容电压uC(t)的响应。
45相量形式的基尔霍夫定律
4.6.1用相量法分析串联电路 对于RLC串联电路来说，其阻抗为
Z = Z R + Z L + Z C = R + jωL + 1 jωC
1 = R + j ωL − ωC
1 = R 2 + ωL − ωC
2
ωL −
arctg R
1 ωC
(4-53)
0 • •
=U L =UC
•
•
为参考向量，相量图如
故电流表的读数为 即(1) (2)
2 A = I R + (I C − I L ) 2 A
A = 5 2 + (25 − 20) 2 = 7.07 A
图4-26 例4-9相量图
A = 5 + ( 25 − 10) = 40.31A
2 2
从【例4-9】题的解法二，可以体会到应用向量图分析电路的要点，那就是： （1）首先要选好一个参考相量，这个参考相量的选择，必须能方便地将电路 中其它电压、电流相量，根据电路的具体结构及参数特点逐一画出，把所给的 条件转化成相量图中的几何关系。 （2）最后根据相量图中的相量关系，使问题得到解决。一般对串联电路，选 电流作参考方向较方便，如【例4-8】题。对并联电路，则选电压作参考相量较 方便，如【例4-9】题。有些问题通过相量图分析将很直观和简便。
2 2 U S = U R + U L = 30 2 + 60 2 = 67.08V
图4-24例4-8解法二图
由题解图4-24b）可得
2 U S = U R + (U C − U L ) 2 = 15 2 + (100 − 80) 2 = 258V
电路分析基础第五版第8章
u (t) R U m e e j( t[ )] RU m e e je j[ t]
令 Um Umej, 则
u(t)RU em e[jt]RU em [t]
由此通过数学方法，把一个实数范围内的正弦
时间函数与一个复数范围的复指数函数一一对应 起来。该复指数函数包含了正弦量的三要素。
如图5-2（a）、（b）、（c）、（d）分别表 示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
三、正弦电流、电压的有效值
1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直 流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周 期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有 效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效 值用大写字母I、U表示。
同理： U1 2U m0.70 U m 7 U m 2 U 通常所说的正弦电压、电流的值均指有效值。
有效值可作为正弦量“三要素”之一。
§8-3 相量法的基础
相量法就是用复数来表示正弦量，使描述正弦电 路的微分(积分)方程转化为代数形式的方程，而这 些方程在形式上与电阻电路的方程相类似，从而 使正弦激励下的电路的分析和计算大大简化。
其中
UmUmej Um
是一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电
压的振幅，辐角为该正弦电压的的初相，它包含 了该正弦电压“三要素”中的两项。
如果给定角频率，则
UmUmej Um
可以完全地确定一个正弦电压，称之为相量。
2、相量定义：相量就是一个能够表示正弦时间函 数的复数。
(1)电压相量：幅值相量
压源为 us(t)U sm co ts(s)V ，求开关闭合后电容电
压uC(t)。 微分方程：
RC ddC utuCUsm cost(s)
正弦量的三要素及相量表示法基尔霍夫
三 相位差
第五章
正弦电流电路
相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，即初相位 之差。
i
u
如：
u
t
i
u U m sin t u
i I m sin t i 则相位差为：
t u t i u i
第五章 正弦电流电路 两个正弦量的相位关系
上述相量图是根据平行四边形法则进行加、减获得的。实际上， 可采用三角形法则作图。如下图所示。
I1
0
I2
I I1 I 2
0
I2
I1
I I1 I 2
两相量相加
两相量相减
第五章 正弦电流电路
5.4基尔霍夫定律的相量形式
一 基尔霍夫电流定律（KCL） 瞬时值形式：
i 0
0 相量形式（同频率的正弦量） ： I
◆周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的 时变电压和电流。 ◆交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。
u i i
O
t
时变电压
O
t
周期量
O
t
交流量
第五章 正弦电流电路 二 正弦量的三要素
正弦量：按正弦规 律变化的交流量。 设正弦电流
Im
i
O
T
2
t
i I m sin(ωt ψ )
二 基尔霍夫电压定律（KVL）
瞬时值形式：
u 0
相量形式（同频率的正弦量） ： U 0
第五章 正弦电流电路 二 旋转矢量与正弦量 设正弦量: i I m sin(ωt ψ )
j B ω t1
0
i
Im
基本元件的相量形式(3)
电流与电压同相
电工基础
三、电感元件的相量形式： 电感元件的相量形式：
i
L
Z L = ωL∠90 = jωL = j 2πfL
ɺ I
ZL
相量图
+
u
−
ɺ U
ϕi
ɺ I
+
ɺ U
−
i (t ) = I m sin(ωt + ϕi ) A u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
u(t ) = L ⋅
Q=
ωt
t
2 UC
XC
电 源
i 电
源
(var) : 电容元件 电
u
电工基础
例：求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 ɺ ZC C = 10µF i C I
+
u
解： X C =
− u (t ) = 100 2 sin(1000t + 30 )V
ɺ UC
电工基础
u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
ϕ
ɺ I +1
电流与电压同相
ɺ I = I∠ϕi (A) ɺ U = U∠ϕ u (V )
ɺ U Z= ɺ = Z ∠ϕ z I
u(t ) = R ⋅ i(t )
= R ⋅ I m sin(ωt + ϕ i )
大小关系： 大小关系： m = R ⋅ I m U
ϕ z = ϕu − ϕi
电工基础
电感元件的功率： 电感元件的功率：
1）瞬时功率: 瞬时功率:
p ( t ) = u ( t )i ( t )
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c1 c2 (a1 a2 ) j(b1 b2 ) c1 c2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
要求掌握计算器进行复数两种形式的转换。
举例 CASIO fx-100 3+jCASIO fx-100 553.1=?
5 P R 53.1
图 10-13
u1(t) 6 2 costV u2 (t) 8 2 cos(t 90 )V u3(t) 12 2 costV
解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量
模型，并计算出电压相量。
U1 6 180 V U 2 890 V U3 120 V
对于图(b)相量模型中的回路，以顺时针为绕行方向，
i1(t) 10 2 cos( t 60 ) A i2 (t) 5 2 sin t A
试求电流i(t)及其有效值相量。
图 10-12
解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量
模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将
时域模型中各电流符号 iS、i、i1、i2 用相应的相量符
§10－3 基尔霍夫定律的相量形式
一、基尔霍夫电流定律的相量形式
基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集中参数 电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路 电流的代数和等于零。其数学表达式为
n
ik (t) 0
k 1
假设电路中全部电流都是相同频率ω的正弦电流，则 可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式
电流相量，如图(c)所示。相量图简单直观，虽然不够精确，
还是可以用来检验复数计算的结果是否基本正确。
从相量图上容易看出电流i超前于电流i2，超前的角度
为36.2+90=126.2。 容易看出 I=6.2I1+I2=10+5=15 即
n
Ik 0
k 1
二、基尔霍夫电压定律的相量形式
基尔霍夫电压定律(KVL)叙述为：对于任何集中参数 电路中的任一回路，在任何时刻，沿该回路全部支路电压 代数和等于零。其数学表达式为
j ej180 cos180 jsin180 1 1 j2 ej180 1180
必作习题：第441~442页
第十章：10 – 17 、10 – 18 2002年春节摄于成都人民公园
(10 15)
相量形式的KCL定律表示对于具有相同频率的正弦电 流电路中的任一结点，流出该结点的全部支路电流相量的 代数和等于零。在列写相量形式KCL方程时，对于参考方 向流出结点的电流取“ +”号，流入结点的电流取“ -”号。
特别注意的是
n
Ikm 0
k 1
n
Ik 0
k 1
例10-6 电路如图10-12(a)所示,已知
3 X Y 4
SHARP EL-5812 3+j4=?
3 X Y 4 r 5 X Y 53.1
注意：
DEG
表示 度数
SHARP EL-5812 5=?
5 X Y 53.1 xy 3 X Y 4
电路分析中采用符号 j 1
应用欧拉公式 e jθ cosθ jsinθ 可以得到
ej90 cos90 jsin 90 j j 1 ej90 190 ej90 cos(90 ) jsin(90 ) j j 1 e j90 1 90
号 IS、I、I1、I2 表示，并计算出电流相量 。
I1 1060 A
I2 5 90 A
列出图(b)相量模型中结点1的KCL方程，其相量形式
为
I I1 I2 0
由此可得
I I1 I2 1060 5 90 5 j8.66 j5 5 j3.66 6.236.2 A
本题也可以用作图的方法求解。在复数平面上，画出
已知的电压相量，再用向量运算的平行四边形法则，求得
电压相量，如图(c)所示，从相量图上容易看出各正弦电压
的相位关系。
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一
定等于零，本题中 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26
即一般说来
n
Uk 0
k 1
列出的相量形式KVL方程
US U1 U 2 U3 0
由此可求得
US U1 U 2 U 2 6180 890 120 6 j8 12 6 j8 1053.1 V
写出相应的电压瞬时值表达式
uS(t) 10 2 cos(t 53.1)V
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一 定等于零，本题中的 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26。
ik (t) Re[Ikme jt ] Re[ 2Ikejt ]
代入KCL方程中得到
n ik (t) n Re[ Ikmejt ] 0
n
n
ik (t) Re[
2Ike jt ] 0
k 1
k 1
k 1
k 1
由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，
即
n Ikm 0
k 1
(10 14) n Ik 0 k 1
关于复数的几个公式
1. 假设复数 c rθ a jb 则有 c a2 b2 θ arctan b
a
a r cos b r sin
2. 假设复数 c1 r1θ 1, c2 r2θ 2
c1c2 r1r2θ 1 θ 2
则有
c1 c2
r1 r2
θ
1 θ
2
3. 假设复数 则有
c1 a1 jb1, c2 a2 jb2
写出相应的电流瞬时值表达式
i(t) 6.2 2 cos( t 36.2 )A
值得特别提出的是在正弦电流电路中流出任一结点的
全部电流有效值之代数和并不一定等于零，例如本题中的
I=6.2I1+I2=10+5=15。
本题也可以用作图的方法求解。在复数平面上，画出
已知的电流相量，再用向量运算的平行四边形法则，求得
值得特别注意的是沿任一回路全部支路电压振幅(或有 效值)的代数和并不一定等于零，即一般来说
n
Ukm 0
k 1
n
Uk 0
k 1
例10-7 电路如图10-13(a)所示，试求电压源电压uS(t)和相 应的电压相量，并画出相量图。已知
u1(t) 6 2 costV u2 (t) 8 2 cos(t 90 )V u3(t) 12 2 costV
n
uk (t) 0
k 1
假设电路中全部电压都是相同频率ω的正弦电压，则 可以将它们用有效值相量表示如下：
uk (t) Re[U kme jt ] Re[ 2U k e jt ]
代入KVL方程中得到
n uk (t) n Re[Ukmejt ] 0
k 1
k 1
n
n
uk (t) Re[
2Uke jt ] 0
k 1
k 1
由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，
即
n Ukm 0
k 1
(10 16)
n Uk 0
k 1
(10 17)
这就是相量形式的KVL定律，它表示对于具有相同频 率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压 相量的代数和等于零。在列写相量形式KVL方程时，对于 参考方向与回路绕行方向相同的电压取“ ＋”号，相反的 电压取“ －”号。
要求掌握计算器进行复数两种形式的转换。
举例 CASIO fx-100 3+jCASIO fx-100 553.1=?
5 P R 53.1
图 10-13
u1(t) 6 2 costV u2 (t) 8 2 cos(t 90 )V u3(t) 12 2 costV
解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量
模型，并计算出电压相量。
U1 6 180 V U 2 890 V U3 120 V
对于图(b)相量模型中的回路，以顺时针为绕行方向，
i1(t) 10 2 cos( t 60 ) A i2 (t) 5 2 sin t A
试求电流i(t)及其有效值相量。
图 10-12
解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量
模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将
时域模型中各电流符号 iS、i、i1、i2 用相应的相量符
§10－3 基尔霍夫定律的相量形式
一、基尔霍夫电流定律的相量形式
基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集中参数 电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路 电流的代数和等于零。其数学表达式为
n
ik (t) 0
k 1
假设电路中全部电流都是相同频率ω的正弦电流，则 可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式
电流相量，如图(c)所示。相量图简单直观，虽然不够精确，
还是可以用来检验复数计算的结果是否基本正确。
从相量图上容易看出电流i超前于电流i2，超前的角度
为36.2+90=126.2。 容易看出 I=6.2I1+I2=10+5=15 即
n
Ik 0
k 1
二、基尔霍夫电压定律的相量形式
基尔霍夫电压定律(KVL)叙述为：对于任何集中参数 电路中的任一回路，在任何时刻，沿该回路全部支路电压 代数和等于零。其数学表达式为
j ej180 cos180 jsin180 1 1 j2 ej180 1180
必作习题：第441~442页
第十章：10 – 17 、10 – 18 2002年春节摄于成都人民公园
(10 15)
相量形式的KCL定律表示对于具有相同频率的正弦电 流电路中的任一结点，流出该结点的全部支路电流相量的 代数和等于零。在列写相量形式KCL方程时，对于参考方 向流出结点的电流取“ +”号，流入结点的电流取“ -”号。
特别注意的是
n
Ikm 0
k 1
n
Ik 0
k 1
例10-6 电路如图10-12(a)所示,已知
3 X Y 4
SHARP EL-5812 3+j4=?
3 X Y 4 r 5 X Y 53.1
注意：
DEG
表示 度数
SHARP EL-5812 5=?
5 X Y 53.1 xy 3 X Y 4
电路分析中采用符号 j 1
应用欧拉公式 e jθ cosθ jsinθ 可以得到
ej90 cos90 jsin 90 j j 1 ej90 190 ej90 cos(90 ) jsin(90 ) j j 1 e j90 1 90
号 IS、I、I1、I2 表示，并计算出电流相量 。
I1 1060 A
I2 5 90 A
列出图(b)相量模型中结点1的KCL方程，其相量形式
为
I I1 I2 0
由此可得
I I1 I2 1060 5 90 5 j8.66 j5 5 j3.66 6.236.2 A
本题也可以用作图的方法求解。在复数平面上，画出
已知的电压相量，再用向量运算的平行四边形法则，求得
电压相量，如图(c)所示，从相量图上容易看出各正弦电压
的相位关系。
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一
定等于零，本题中 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26
即一般说来
n
Uk 0
k 1
列出的相量形式KVL方程
US U1 U 2 U3 0
由此可求得
US U1 U 2 U 2 6180 890 120 6 j8 12 6 j8 1053.1 V
写出相应的电压瞬时值表达式
uS(t) 10 2 cos(t 53.1)V
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一 定等于零，本题中的 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26。
ik (t) Re[Ikme jt ] Re[ 2Ikejt ]
代入KCL方程中得到
n ik (t) n Re[ Ikmejt ] 0
n
n
ik (t) Re[
2Ike jt ] 0
k 1
k 1
k 1
k 1
由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，
即
n Ikm 0
k 1
(10 14) n Ik 0 k 1
关于复数的几个公式
1. 假设复数 c rθ a jb 则有 c a2 b2 θ arctan b
a
a r cos b r sin
2. 假设复数 c1 r1θ 1, c2 r2θ 2
c1c2 r1r2θ 1 θ 2
则有
c1 c2
r1 r2
θ
1 θ
2
3. 假设复数 则有
c1 a1 jb1, c2 a2 jb2
写出相应的电流瞬时值表达式
i(t) 6.2 2 cos( t 36.2 )A
值得特别提出的是在正弦电流电路中流出任一结点的
全部电流有效值之代数和并不一定等于零，例如本题中的
I=6.2I1+I2=10+5=15。
本题也可以用作图的方法求解。在复数平面上，画出
已知的电流相量，再用向量运算的平行四边形法则，求得
值得特别注意的是沿任一回路全部支路电压振幅(或有 效值)的代数和并不一定等于零，即一般来说
n
Ukm 0
k 1
n
Uk 0
k 1
例10-7 电路如图10-13(a)所示，试求电压源电压uS(t)和相 应的电压相量，并画出相量图。已知
u1(t) 6 2 costV u2 (t) 8 2 cos(t 90 )V u3(t) 12 2 costV
n
uk (t) 0
k 1
假设电路中全部电压都是相同频率ω的正弦电压，则 可以将它们用有效值相量表示如下：
uk (t) Re[U kme jt ] Re[ 2U k e jt ]
代入KVL方程中得到
n uk (t) n Re[Ukmejt ] 0
k 1
k 1
n
n
uk (t) Re[
2Uke jt ] 0
k 1
k 1
由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，
即
n Ukm 0
k 1
(10 16)
n Uk 0
k 1
(10 17)
这就是相量形式的KVL定律，它表示对于具有相同频 率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压 相量的代数和等于零。在列写相量形式KVL方程时，对于 参考方向与回路绕行方向相同的电压取“ ＋”号，相反的 电压取“ －”号。