(武汉大学大地测量学课件)第三章 地球重力场及地球形状的基本理论

第三章

地球重力场及形状的基本理论

1

2

3.1.1 地球的概说（略）3.1.2 地球运动概说

地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。1、地球的自转

地球的自转即地球绕地轴由西向东旋转。

地球的绕地轴旋转360度的时间：太阳日、恒星日。地球的自转速度：

2co s )R h V T

π

?+=

（2T

πω=

3

2、地球的公转

地球的公转满足开普勒三大行星运动定律

(1)行星运动轨迹是椭圆，太阳位于其椭圆的

一个焦点上

直角坐标方程：极坐标方程：

f 真近点角，p 为焦参数（半通径）

2

2

a

b e a

?=

2

2(1)

b p a e a

==?222

2

1x y a

b

+=1c o s p

r e f

=

+

4

(2)行星运动在单位时间内扫过的面积相等；在时间t 内扫过的面积s 相等，则面速度

可根据能量守恒定律导出。

(3)行星运动的周期的平方与轨道的长半轴的立方的比为

常数。

设a 和a 1, T 和T 1分别表示两行星轨道的长半径与轨道运行周期。

2

2

1s ab a e t T T ππ?==AB CD EF

θθθ>>AB CD EF

V V V >>

5

则第三定律表达为：

一般可以用来计算行星或卫星的质量。牛顿万有引力定律：

开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。天体力学

2

21

3

31

T T a

a =

32

2

()

4a f M m T

π+=

23

23

111

)T M m a T M m a +×=+

6

222

M m M m F k f r r

??==22

F M a k m r

==2

2222

()()M m M m a k k r r r

+=+=222

24,

v r a v r a r T T

ππ==→=3

22()

4a f M m T π

+=宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力大小与他们的质量成积成正比，与他们之间的距离平方成反比。

在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：

7

考虑到M>>m

注意：f 、G 、k 2在不同的教材都表示引力常数。

32fM n T

a

π==

3

223()2 n=4T

a f M m fM T a

ππ+=→=

8

2

r

m M f F ??=ρ

ω2

m P =P

F g v v v

+=地球重力场的基本原理

3.2.1引力与离心力

其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。

9

3.2.2 引力位和离心力位

由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言，具有共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是保守力。

引力位：单位质点受物质M 的引力作用产生的位能称为

引力位，或者说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。即：

r

M

f V ?

=dr

dV a ?

=

10

dA 2

r

Mm

f F ?=dr

r

Mm

f dA 2?=dr

r

Mm

f dA dV 2?==?C r

Mm

f V +?=r

M

f V ?

=r

Mm

f V ?

=万有引力定律：推导如下:

假设沿力线方向做功为，则有此功等于位能的减少，积分则有：因为r →∞, V=0。所以C=0 ，则有取m=1，

11

∫

∫?==r

dm f dV V M )

(?

?

???==2 r Mm f F ma F 2

r

M

f a ?=2r M f dr dV

??=dr

dV

a ?

=地球总体的位函数：1、由牛顿第二定律可知：

2、对位函数求导：, 则有

12

?结论：

单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位的导数，方向与径向方向相反。?推论：

位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度(或引力)向量的负值。

z

V a

y

V a

x

V a

z

y x ???

=???=???=,,

13

离心力位

在离心力场中，Pdl

dQ =2

2

2

2

2

2

Q 2

l

dl ldl dQ ω

ω

ω=

?→?=

=θ

ω

2

22

2

2

2

sin 2

)(2r ωy x Q =+=

14

Q V W +=∫++?=)

(22

22

y x r dm f W ω?

??

?

???

?

???+???=???

=??+???=???

=??+???=???

=)

()()(z Q z V z

W g

y Q y V y W g x Q x V x W

g z

y

x

地球重力场的基本原理

3.2.3 重力位

重力是引力和离心力的合力，重力位W 是引力位V 和离心力位Q 之和：

对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：

15

各分力的模：

方向余弦：

重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的

分力：

2

2

2

z

y x g g g g ++=

g

g z g g g y g g g x g z

y x =

==),cos(,),cos(,),cos(),cos(l g g g l

W

l ==??

16

g

dW dl ?

= 当g 与l 相垂直时，那么d Ｗ=0，Ｗ＝常数

当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重力等位面，专称它为大地水准面。

如果令g 与l 夹角等于π，则有：

水准面之间既不平行，也不相交和相切。

对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度的量纲，单位是：

伽(Gal=cms－２)，

毫伽(mGal=Gal/1000=10－５ms－２)

微伽(μGal=mGal/1000=10－８m s－２)

1、地面点重力近似值980Gal，赤道重力值978Gal，两极重力值983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原因，重力有从赤道向两极增大的趋势。

2、地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关，理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。

17

18

3.2.4 地球的正常重力位和正常重力

要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形

状及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地球重力位——正常重力位。

)(2

2

22

y x r dm f W M

++?

=∫

ω

19

地球重力场的基本原理

(,,)x y z ∫

=M

dm

f

V ρ

(,,)r θλ(,,)m m m x y z (,,)

m m R θλ正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重力位和地球形状的问题。

1 地球引力位的数学表达式

地球惯性矩表达引力位(方法1)设地球上的点坐标为:地球表面点坐标为:与与

20

?建立空间直角坐标系与球面极坐标系

]

cos 2)(1[cos 222

222ψψρr

R r R r Rr R r ?+=?+=ψ

cos 2)(2r

R

r R l ?=2

1)1(1

1

?+=l r

ρ∫+?+?=dm

l l l r f V )16

583211(3

2L ∑==

+++=n

i i

v

v v v V 0

210L 地球重力场的基本原理