地球重力场讲解
地球重力场
在重力勘探和大地测量学中，一般把大地水准面的形状作为地球 的基本形状。
测量结果表明，大地水准面的形状不规则，它在南北两半球并 不对称，北极略为突出，南极略平，呈“梨”型，见下图。
1、计算正常重力值的基本公式：
g0 ge (1 sin2 1 sin2 2)
式中 g p ge ,
ge
1
（1）重力观测是在地球的自然表面上而不是在大地 水准面上进行的（自然表面与大地水准面间的 物质及测点与大地水准面间的高差会引起重力 的变化）
（2）地壳内物质密度的不均匀分布；
（3）重力日变化
3、重力异常的物理意义
A
大地水准面
σ0
△F
σ V
g0 △g
△F
g观
△σ =σ–σ0 △m=Δσ×V
g观 g0 F
（例如，△m=50万吨的球形矿体，当中心埋深为100米， 可产生355μGal 的异常，当中心埋深为1000米； 则只能 产生3.4μGal的异常，该强度的异常仪器不能观测到。）
（5）干扰场不能太强或具有明显的特征。
第二节 岩矿石密度、重力仪
三大岩类物质循环
三大岩类物质循环
一、岩（矿）石的密度及地球密度分布
（2）成岩过程中的冷凝、结晶分异作用也会造成 同一岩体不同岩相带，由边缘相到中心相， 密度逐渐增大；
C=mr ，方向垂直自转轴向外。
（二）重力场
1、重力场强度
单位质量的物体在重力场中所受的力，称为重力 场强度
P = mg
g=P/m
上式左边为重力场强度，右边为重力加速度
由上式可见：重力场强度，无论在数值上，还是 量纲上都等于重力加速度，而且两者的方向也一致。 在重力勘探中，凡是提到重力都是指重力加速度（或 重力场强度）。
第二章地球重力场
a ( 9.78033 0.00001)m / s2
U0 ( 6.263686 0.000003) 107 m 2 / s2
GRS80系统正常重力在椭球面上的公式
( 0 ,) 978.0327(1 5.279041103 sin 2 2.32718105 sin 4 0.01262105 sin6 )Gal
Wzz
描述了重力随高程的变化， 称为垂直重力梯度，与水 准面曲率有关。
2-5 地球引力位的球谐函数展开
从重力位W的(2-5)式可以看出，在地球重力位中，离心力位是 简单的解析函数，而引力位由于不知道边界面以及密度，不能 直接计算。对于地球外部空间，可用球谐函数展开式近似表示。 引力位可用基本公式(1-11)表示
故在椭球面S0 上的全部重力以γ 表示时，则有
(2-69)
再引入下列简化符号 第二偏心率
(2-72)
(2-72)
上式是一个重要的近似公式，1738年由克莱劳提出，所以称为 克莱劳理论。比较一下(2-73)式的 γa 和(2-74)式的γb ，以及 (2-72)式中括弧号的量，可以看出 γ 有如下的对称的公式
正常重力场：一个假想的、由形状和质量分布都很规则的物体 所产生的重力场。
此物体称为 正常地球旋转椭球
正常重力场的等位面称为 正常水准面。由于正常位可以根据 正常地球的参数求得，因此正常水准面的形状也是已知的。
如果设定了正常地球的长半径 a、扁率 f、旋转角速度ω 以 及总质量 M，并要求椭球表面就是它本身重力场的水准面。 根据司托克斯定理，这个正常地球唯一地确定其外部空间的 重力场。这时，我们称正常地球为水准椭球。进一步地，采
a 6378137 2m GM ( 398600.5 0.05 ) 109 m 3 / s2 其中包括大气质量 GMa ( 0.35 0.003 ) 109 m 3 / s2 J 2 ( 1082.63 0.005 ) 106
第二讲 地球重力场
《应用重力学》第二讲地球重力场一、重力(Gravity)重力 = 地球引力惯性离心力微弱,可忽略=吸引力FF GM E R 3惯性离心力Cm RC = m ⎤ 2r重力GG=F+C地球重力场：在地球内部及其附近存在重力作用的空间。
④重力场强度:单位质量的物体在重力场中所受的重力 ( =G/m )④重力加速度g=G/m④重力加速度在数值上(包括方向)等于单位质量所受的重力，也就是等于重力场强度。
重力加速度重力重力场强度④重力勘探所提的重力都是指重力加速度或重力场强度。
重力(重力加速度)单位④在CGS单位制(克、厘米、秒)：“cm/s2 ”，“伽”或“Gal”1 cm/s2 = 1 Gal④在SI单位制(千克、米、秒)：“m/s2”，“g.u.”1 m/s2 = 106 g.u.1 Gal = 1 cm/s21 g.u. = 10-6m/s21 Gal = ? g.u.1 Gal (伽) = 1 cm/s2 = 10-2 m/s2 = 104 g.u.1 mGal (毫伽) = 10-5 m/s2 = 10 g.u.1 uGal (微伽) = 10-8 m/s2 = 10-2 g.u.重力的变化④包括随不同测点位置的空间变化以及同一测点的重力随时间的变化。
④空间上:地球形状、地形：引起约 6万 g.u. 的变化；地球自转：重力有 3.4万 g.u. 的变化;地下物质密度分布不均匀：能达到几千 g.u.变化人类的历史活动遗迹和建筑物等北赤南极道极在地球表面上，全球重力平均值约为9.8m/s2，赤道重力平均值为9.780m/s2，两极平均值为9.832 m/s2，从赤道到两极重力变化大约为0.05m/s2。
④时间上：潮汐变化：太阳、月亮等天体引力引起的重力的周期性变化，其大小可达 3 g.u.非潮汐变化：地球形状的变化和地下物质运动等引起的非周期性变化，其变化大小一般不超过 1 g.u.④海水每天有两次涨落运动，其中早晨出现的潮涨称为潮，晚上出现的潮落称为汐，总称潮汐。
地球重力场的定义
地球重力场的定义地球重力场的定义地球重力场是指地球引力作用下，周围物体所受到的重力影响。
在地球表面上，重力加速度的大小约为9.8m/s²，这是由于地球质量、密度和大小等因素所决定的。
地球重力场不仅影响着人类生活，还对许多自然现象产生了重要影响。
一、地球引力的基本概念1.引力的定义引力是指物体之间由于它们之间存在质量而产生的相互吸引作用。
它是经典物理学中最基本、最普遍的力之一。
2.万有引力定律万有引力定律是牛顿在1687年发现的一条规律，它描述了两个物体之间相互作用的大小与距离平方成反比例关系。
即：F=G(m1m2/r²)，其中F表示两个物体之间相互作用产生的引力，G为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离。
二、地球重力场特点1.强度变化在不同位置处，由于地球半径和密度分布不同，地球表面上所受到的重力加速度大小也不同。
例如，在地球赤道上，重力加速度约为9.78m/s²，而在北极地区则约为9.83m/s²。
2.方向变化地球重力场的方向指向地心，因此在地球表面上垂直于水平面。
但在不同位置处，由于地球自转和引力作用的影响，重力方向也会发生微小的变化。
3.形状特征地球重力场呈现出类似于一个椭球形的形状，其中离地心较远处的引力作用较弱，而靠近地心处则较强。
三、地球重力场应用1.测量地球质量和密度通过测量不同位置处的重力加速度大小和方向等参数，可以推算出地球质量和密度分布情况。
这对于了解地球内部结构和演化历史等问题具有重要意义。
2.卫星导航系统卫星导航系统是利用卫星发射信号，在空中进行定位、导航和测量等操作的一种技术。
其中最基本的原理就是利用卫星所受到的重力影响来计算其位置信息。
3.天文学研究天文学研究中经常需要考虑重力作用的影响，例如行星运动、恒星演化等问题。
地球重力场的研究也为天文学研究提供了基础数据。
四、地球重力场研究方法1.重力仪测量法重力仪是一种专门用来测量地球重力场的仪器。
第三章 1重力场基本理论
用球谐函数表示的地球引力位的公式
V =
∑V
n=0
∞
n
=
∑r
n=0 n
∞
1
n +1
[ An Pn (cos θ ) +
( An K cos K λ + B n K sin K λ ) Pn K (cos θ )] ∑
K =1
第n阶地球引力位公式 阶地球引力位公式
Vn = 1 r
n K K =1
式中：θ 极距，ϕ + θ = 90 0
g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。 水准面之间既不平行，也不相交和相切。
重力的单位
•对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等 于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重 力加速度的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， ， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 微伽(µGal= mGal/1000=10－８m s－２) •地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原 因，重力有从赤道向两极增大的趋势。 •地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即 相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。
• ••
x = -ω
••
2
y = -ω
2
••
z = 0
x y
坐标对时间的二阶导数就是质点的 离心加速度。
（二）离心力位(续) 离心力位( 假定一个函数（离心力位）： ω 2 Q= ( x2 + y 2 ) 2 • 则有： ∂Q = ω 2 x = − •x ∂x •• ∂Q 2 = ω y = − y ∂y ∂Q =0 ∂z 因此，我们可把Q称为离心力位函数。
重力场基本原理讲解
v0
f r
dm
M
v1
f r
R
M
r
cos dm
v 2
f r
M
(
R r
)2(3 2
cos2
1)dm 2
v 3
f r
M
(R r
)3(5 2
cos3
3 2
cos
)dm
n
V v 0 v 1 v 2 v i i 0
v0
f r
dm
M
f
M r
v 0 就是把地球质量集中到地球质心处时的
点的引力位
——物理大地测量学
➢2、重力场与大地测量的关系
（1）测定地球外部重力场是大地测量的一个任务。 （2）大地测量的主要任务是测定地球表面点位，而点 位使用的大多数观测量需要进行重力改正。
➢2、重力场与大地测量的关系 （3）在大地控制和工程测量中的，使用的高程是相对 于重力场确定的。
（4）为了解地球表面广大区域的多种问题（如卫星定 轨）需要有全球重力场表示。对于大地测量和工程测 量中的大地控制网需要局部重力场表示。
如果令g与l夹角等于π，则有：
dl dW g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。
对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于 使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度 的量纲，单位是：
伽(Gal=cms－２)，
地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两极重力 值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原因，重力有从 赤道向两极增大的趋势。
• 建立空间直角坐标系与球面极坐标系
2 r 2 R 2 2Rr cos
r
2[1
地球重力场的基本知识
地球重力场的基本知识1.1 引力与离心力1、万有引力（1）引力的定义：指质量和质量之间的一种相互吸引力，简称为引力。
（2）引力的公式设有两质点M （a.b.c ）和P （x.y.z ），质量分别为M 和m ，则两点之间的引力的大小与两点质量的乘积成正比，与两点之间距离的平方成反比，其方向在两点的联线上。
式中，f —万有引力常数，实验得知6.67×10-8；M 称为吸引点，P 为被吸引点，则引力的方向朝向M 点，在公式中有“-”号，表示引力的方向与向径（矢径）的方向相反。
可知，为沿X ，Y ，Z 轴的单位向量，模为：当P=1时，即P 为单位质点，则上式变为2M F f r=− 引力的三个方向余弦为：（3）引力的三个坐标轴分量（模乘以方向余弦）：2、地球引力（1）假设：地球为圆球，物质按同一密度按同心层分布。
（2M：地球质量m：质点质量r：质点至地心距离（3）方向：指向地心3、地球上一点的离心力（1）定义：离心力是一个惯性力，是地球上一点以等角速度绕地球自转轴而产生的。
（2）公式：P= m ω2ρ，式中： ω—地球自转角速度；ρ—质点所在平行圈半径，随纬度不同而不同： ①在旋转轴上离心力=0；②离旋转轴越远，离心力越大；③在赤道上，离心力达到最大值，约为引力的1/200还小。
（3）方向：指向质点所在平行圈半径的外方向。
4、重力（1）定义：指相对于地球固定的单位质点所受的力。
因地球上的质点同时受到引力和离心力的共同影响。
（2）表达式：P F g+=其中，F ：指地球及其它天体质量产生的引力；P ：指相对于地球瞬时角速度的离心力，而自转角速度是随时间变化的，地球地极也不是固定不变的，故指相对于地球的平均角速度和平均地极的离心力。
（3）地极：过地球质心的自转轴与地面的交点，称为地极，是随时间变化的。
（4）对实测重力应加改正：（因重力测量是单位质点在测量时刻的真正重力，不是前面定义的重力，故应加改正）包括：①相对于地球运动的天体的影响；②由这些天体影响造成的地球形状变化的影响； ③大气的影响；④地球的自转角速度变化和极移的影响（极移：地极点在地球表面上的位置随时间变化的现象，称为地极移动，简称极移） （5）方向：重力的方向主要取决于地球引力的方向，总是朝向地球内部。
地球重力场的测量与重力加速度
地球重力场的测量与重力加速度地球是我们所居住的家园，它无时无刻不在产生着重力场。
在日常生活中，我们往往无法感知到地球重力的存在，但它却是影响着万事万物的力量。
如何测量地球的重力场，以及重力加速度的确定，成为了科学家长期以来努力探索的课题。
一、重力场的概念和特征重力场是指由地球或其他天体引起的一种力场。
它是空间中以物体为中心，向四周辐射的力线所形成的场。
在地球上，重力场的强度与不同地点的海拔高度、地球构造有关。
我们都知道在极地地区，重力场比赤道地区稍强，这也间接说明了地球是一个非球形的椭球体。
二、重力场测量的方法为了测量地球的重力场，科学家们开展了各种方法的研究。
其中最早且最常用的方法是重力测量仪的使用。
重力测量仪可以通过测量重力加速度来推断重力场的分布情况。
科学家可以在地球表面的不同地点进行重力测量，绘制出重力场的地图，进一步研究地球内部的结构和性质。
近年来，随着技术的发展，人们还尝试使用卫星测量重力场，这种方法不受地面地形的限制，能够提供更为全面和精确的数据。
三、重力场测量的意义和应用测量地球重力场的目的不仅仅是为了满足科学探索的需求，更重要的是它的应用价值。
首先，地球重力场的测量有助于研究地球内部的特性，包括地壳、地幔和地核的结构和分布情况。
这对于地震的预测和地质资源的开发具有重要意义。
其次，重力场的测量还可以用于导航系统的改进和定位精度的提高，比如全球定位系统（GPS）就是基于重力场进行测量和计算的。
此外，重力场的测量还被广泛应用于航天和飞行器的轨道控制和姿态稳定。
四、重力加速度的确定重力加速度是指在地球上任意一点的万有引力产生的加速度，通常用小写字母"g"表示。
我们通常将重力加速度的平均值固定为9.8米每秒²。
然而，重力加速度在不同地点会有微小的差异，受地球形状、海拔高度和地下物质分布等因素的影响。
为了精确测量和确定重力加速度，科学家们进行了一系列的实验和观测。
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V y
fm r2
y
r
V fm z
z r 2 r
4.1.地球重力场
Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
引力位V (x, y, z)
质
• 天请文思方考位角野外测量可以G'获得K 哪些观P' 测值，
点的最终水平坐标和高程怎么得到？
S' S
内容回顾
Review
• 补充内容的理解
• 画图说明天文经纬度、天文方位角
•
T12
T国原10 家理1、水三平控角测制x量网的法原布P0理设原则、导线测量法
.•.......建......立.....国. 家高程控制网的主要方法
原理、三角测量法原理
• 建立国家高程控制网的主要方法 • 我国的高程起算面及起算点 • 我国已有的GPS三维网有哪些？ • 请思考野外测量可以获得哪些观测值，
点的最终水平坐标和高程怎么得到？
引言
自然表面
地球形状 大地水准面
大小
参考椭球面
正常椭球面
地 轴
地心
大小
ω fM
4.1.地球重力场
Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
离心力位 Q(x, y, z)
离离心力：ຫໍສະໝຸດ P2
心 力
位
离心力位： Q(x, y, z) 2 (x2 y2 )
2
验证：
Q x
Px ,
Q y
Py ,
Q z
第三讲
地球重力场
内容回顾
Review
• 补充内容的理解
• 画图说明天文经纬度、天文方位角
• 国家水平控制网的布设原则、导线测量法
原理、三角测量法原理 N' N
• •
N天建我文立国经的国度 高家 高程起程算控制面及网G起的主算点要方P 法
Q
• 天我文国纬已度 有 的GPWS三维网有O'哪O些？
F
cos( F ,
X
)
fm r2
x
r
Fy
F
cos(F,Y )
fm r2
y
r
Fz
F cos(F, Z )
fm r2
z r
V( x, y,z)
fm r
V fm (1) x x r
V x
fm r2
x
r
0
x
z
x2 y2
m (x, y, z)
y o
4.1.地球重力场
Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 重力位函数：重力等于引力与离心力之和，重力
位等于引力位与离心力位之和。
重力位 W (x, y, z)
重
地球引力位：
V (x, y, z) f dm
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
引力位 V (x, y, z)
质点引力：
F
fm r2
r r
质点引力位： V (x, y, z) fm r
验证：
V
F
cos(F, S )
S
质 点 引 力 位
x
z
质体引力：
F
f
(M )
dm r2
r r
体 引 力
质体引力位：V (x, y, z) f dm
(M) r
位
验证：
V
F cos(F, S )
x
S
z
m 1
r (x, y, z)
dm ( ,, ) y
o
质体(M)
4.1.地球重力场
Earth Gravity Field
m 1
r
m
( ,, )
o
(x, y, z) y
验证
F fm / r2 r (x )2 ( y )2 (z )2
cos(F cos(F
,X) x
r
,Y) y
r
cos(F, Z )
z
r
Fx
二、地球重力场模型（model of earth gravity field）
W (x, y, z) V (x, y, z) Q(x, y, z)
f dm 2 (x2 y2 )
(M ) r
2
质体对外部点的引力位： V (x, y, z) f dm
(M) r
满足拉普拉斯方程：
o
y
内容回顾
Review
• 补充内容的理解
• 画图说明天文经纬度、天文方位角
•
国家水平控制网的布设原则、导线测量法
x
• D13 D12原建ssiinn立理BA11、国,T1三家3 高角T12 测程C1量控制法原网P理的2（主X2，要Y2）方法
• .......... •
.....我我.....国国.....的已..... 高有......程的.... .起G....P..算S三面T维1及2 D网起B121有A算1哪点些？
(M) r
力 位
离心力位：
Q(x, y, z) 2 (x2 y2 )
2
重力位：W (x, y, z) V (x, y, z) Q(x, y, z)
f dm 2 (x2 y2 )
(M ) r
2
x
z
(x,
y,
zP)
F og
y
4.1.地球重力场
Earth Gravity Field
X3 • X1请 D思13 考cos野T13 外测量可以C1获得哪P些3 观测值，
Y3 Y1 点D13的sin最T1终3 水平坐标P1和（X高1，Y程1）怎么得到？
...............................
o
y
内容回顾
Review
• 补充内容的理解 • 画图说明天文经纬度、天文方位角 • 国家水平控制网的布设原则、导线测量法
2V 2V 2V 0 x 2 y 2 z 2
质体对外部点的引力位： V (x, y, z) f dm
(M) r
满足拉普拉斯方程：
.Y•••X.2.2....Y点我我请.1X....1..的国思国D..1.D2.的考最已.1..2.s.i.n高野终有c..oT..1s.外程2水的.T.12 起测平GP算量坐SPT三11（面可标0 βX维1及以和1，D网Y起获高112）有算得程β2哪点哪怎P些2些么D？2观得3 βP3测到3 值？，