分式运算的技巧
分式运算的技巧掌握分数四则运算的要点
分式运算的技巧掌握分数四则运算的要点分式运算是数学中常见且重要的运算方式之一，对于掌握分数四则运算的要点至关重要。
本文将介绍一些分式运算的技巧，帮助读者更好地掌握分数四则运算的要点。
一、分数的基本概念在进行分数四则运算前，我们首先需要了解分数的基本概念。
分数由分子和分母两部分组成，分子表示被分割的部分，分母表示分割的份数。
例如，1/2中，1为分子，2为分母。
二、分数的加减法运算1. 相同分母的分数相加减：当两个分数的分母相同时，我们只需要对分子进行加减运算，分母保持不变。
例如，1/3 + 2/3 = 3/3 = 1。
2. 不同分母的分数相加减：当两个分数的分母不同时，我们需要找到它们的最小公倍数作为新的分母，并通过等分的方式将分子转化为新的分母。
例如，1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12。
3. 分数的混合运算：当分数与整数进行加减运算时，我们可以先将整数转化为分数，再进行相加减的运算。
例如，1/3 + 2 = 1/3 + 6/3 = 7/3。
三、分数的乘除法运算1. 分数的乘法运算：分数的乘法可以简单地将分子相乘，分母相乘。
例如，1/3 × 2/5 =2/15。
2. 分数的除法运算：分数的除法可以转化为乘法的逆运算，即将除号改为乘号，被除数的分子乘以除数的倒数。
例如，1/3 ÷ 2/5 = 1/3 × 5/2 = 5/6。
四、分数运算的技巧1. 约分与通分：在进行分数运算时，约分与通分是非常常见的操作。
约分是指将分子与分母的公因数约掉，使分数的值保持不变但更简洁；通分是指将分母转化为相同的值，便于进行加减运算。
例如，2/4可以约分为1/2，1/2和2/3可以通过通分转化为3/6和4/6。
2. 分数的化简：在进行分数运算后，我们可以对结果进行化简，使分数变得更加简洁。
化简是指将分子与分母的公因数约掉，使分数的值保持不变但更简洁。
例如，6/12可以化简为1/2。
分式方程的运算
分式方程的运算主要包括以下几个步骤：
确定分母：首先需要找到分式方程中的分母，并确保它们在运算过程中不会为零。
约分：如果分子和分母有公因式，可以进行约分，简化方程。
乘法法则：如果需要将分式相乘，需要将分子和分母分别相乘。
除法法则：如果需要将一个分式除以另一个分式，可以将其转化为乘法形式，即除以一个分式等于乘以它的倒数。
加减法则：如果需要将多个分式相加减，首先需要将它们的分母统一，然后进行加减运算。
检验：最后需要检验运算结果是否正确，可以通过将结果代入原方程进行验证。
请注意，在进行分式方程运算时，需要注意运算的顺序和符号，以及确保分母不为零。
同时，也需要注意化简和整理方程的过程，避免出现分数和小数的混淆。
方法技巧篇16 第十六章 分式
方法技巧篇十六第十六章 分式B ．中考常考题型与解题方法技巧一、分式加减中通分的技巧与分式的乘除相比，分式的加减技巧性强，运用恰当的通分技巧常常可避繁就 简，化难为易，下面举例说明．1．分组通分例1 计算：21121221+--++--b b b b2．先“分”后“通”例2 计算：222222ab b a b ab a ab b a b ab a -+--+++3．重新排序例3 计算：))(())(())((b c a c ca b c b bc a b a a--+--+--4先“换”后“通”例4 计算：))(())(())((b c a c ca b c b bc a b a a--+--+--5．整体通分例5 计算：112+-+a a a6．裂项相消例6 计算：)3)(2(1)2)(1(111--+--+-x x x x x二、妙用五法巧求值1．代入法例7 已知511=-y x ，求xy y x yxy x 3353---+的值．2．参数法例8 已知a c z c b y b a x -=-=-，求abc zy x ++的值．例9 已知4:3:2::=z y x ，求z y x zy x +--+的值．3．平方法例10 已知012=-+m m ，求值：(1)221m m +；(2)441m m + ．4．归一法例11 已知0=/xyz ，0634=--z y x ，072=-+z y x ，求xz yz xy z y x 3232222+++-的值．5．倒数法例12 已知1=+b a ab ，2=+c b bc ，3=+a c ca，则a 的值为( )A ．1B ．512C ．125 D ．1- 例13 已知7172=+-x x x ,求49242++x x x 的值．三、勿忘增根分式方程有增根是由解分式方程时去分母造成的，验根是解分式方程必不可少的步骤，验根方法如下：1．代入原方程各分母验根把所求得的未知数的值代入原方程中，检验是否使原方程的各分式分母均不为0．若不为O ，则是原方程的根；若有分母为O ，则不是原方程的根．例14 解方程：01121322=--+--x x x x x2．代入最简公分母验根把所求得的未知数的值代人最简公分母中，检验最简公分母是否为0．若最简公分母不为O ，则是原方程的根；若最简公分母为o ，则是增根．例15 解方程：11121=++-+x x x3．根据实际意义验根对于实际意义的问题，列分式方程求得的未知数的值，既要检验它是否是所列方程的根，又要检验它是否使实际问题有意义．例16 A 、B 两地相距18千米，甲工程队要在A 、B 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A 、B 两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道？四、巧解分式方程解分式方程的基本思想是利用去分母将分式方程转化为整式方程，有些分式方程利用一般方法解非常麻烦，若能根据题目特点，采用一些特殊的方式，就可巧妙的求得分式方程的解．举例说明如下：1．分组化简法例17 解方程：051413121=+++-+-+x x x x2．分子、分母化同法例18 解方程：2243212-=-++x x x x例19 解方程61317141+-+=+-+x x x x3．拆项变形法例20 解方程x x x x x x x 24121233222-+-=--+-．*4．利用特殊分式方程aa x x 11+=+求解． 分式方程a a x x 11+=+的解为a x =1，ax 12=，若一个方程等号的两边的项分别互为倒数时，可套用上面的方程的解求解例21 解方程2123113=-+-x x x x ．五、“牵一发，而动全身”对于有些数学题，可采用添加“1”的方法，可使问题巧妙地解决．例22 已知c b a >>>0，1=++c b a ，a c b M +=，b a c N +=，cb a P +=，则M 、N 、P 之间的大小关系是( )A ．p N M >>B ．M P N >>C ．N M P >>D ． N P M >>例23 已知0=++c b a ，求)11()11()11(ba c c abc b a +++++的值．六、一题五法解题时，从不同的角度、不同的出发点去观察分式，往往能得出不同的解题方法，这对我们大有裨益．下面以一道分式的计算题来说明：例24 已知1=ab ，求11+++b b a a 的值． 方法1：整体代入方法2：主元代入方法3：常值换元方法4：巧提因式方法5：巧乘1C ．数学思想方法与中考能力要求一、整体思想例l 已知012=--x x ，求5412x x x ++的值。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式计算及方法
（答案： ）
二. 分裂整数法
例2. 计算：
解：原式=
说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6，圆圆的卡片比这些多2，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少卡片？（答案：团团8，圆圆4）
三. 拆项法
例3. 计算：
解：原式
说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式 ，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
同类方法练习题：计算：
（答案： ）
四. 活用乘法公式
例4. 计算：
解：当 时，
原式
说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一. 分段分步法
例1. 计算：
解：原式
说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算：
（答案： ）
五. 巧选运算顺序
例5. 计算：
解：原式
说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号的。
同类方法练习题：解方程
（答案： ）
分式运算的技巧方法
分式运算的技巧方法分式运算是数学中的一种运算方法，主要涉及到分数的加减乘除等运算。
下面给出一些分式运算的技巧方法：一、分式的加减运算：1.确定两个分式的分母是否相同，如果相同，则可以直接将两个分子相加或相减，分母保持不变。
2.如果分母不同，则需要寻找一个公共分母，并通过乘以适当的因数将分子和分母都变换为公共分母的倍数。
最后再将两个分子相加或相减。
二、分式的乘除运算：1.分式的乘法是将两个分式的分子相乘，并将分母相乘，得到的分子和分母再化简为最简形式。
2.分式的除法是将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘，再将两个分子相除，两个分母相除，得到的分子和分母再化简为最简形式。
3.对于有多个分式相乘或相除的情况，可以先进行一些分式的合并，再进行乘除运算。
三、分式的化简：1.将分子和分母的最大公因数约分，使得分式变为最简形式。
2.将分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简。
3.分式相加或相减时，可以先将分子和分母的最小公倍数作为公共分母，再进行化简运算。
四、分式的整理：1.将分式中的分子和分母按照一定的规律整理成一个分数或者整数。
2.使用括号来整理分子或分母，减少操作的复杂性和错误的发生。
五、化简复杂分式：1.对于复杂的分式，可以先分解分子和分母，再进行化简运算。
2.对于双重分式（一个分子或分母是另一个分式的情况），可以使用变量来进行整理和化简。
3.对于有多个分式相加或相减的情况，可以先将分式按照一定的规律进行合并，再进行化简运算。
六、变量的运算：1.在分式中使用变量进行运算时，可以运用代数的基本运算规则进行计算。
2.在变量的运算中，可以利用代数的性质进行合并和化简，最后得到一个最简形式。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法1.分数的乘法和除法：分数的乘法：分数的乘法可以直接将分子和分母相乘。
例如，计算2/3*4/5，可以直接计算出8/15分数的除法：分数的除法可以转化为乘法的逆运算。
例如，计算2/3÷4/5，可以将除法转化为乘法，即2/3*5/4=10/12，再进行约分得到5/62.分数的加法和减法：分数的加法：对于相同分母的分数，直接将分子相加即可；对于不同分母的分数，需要先进行通分，然后再进行相加。
例如，计算2/3+4/5，需要先找到两个分数的最小公倍数（如15），然后进行通分，计算得到10/15+12/15=22/15分数的减法：分数的减法可以转化为加法的逆运算。
例如，计算2/3-4/5，可以将减法转化为加法，即2/3+(-4/5)=10/15+(-12/15)=-2/153.分数的化简：分数的化简即将分数表示成最简形式。
最简形式的分数是指分子和分母没有公共因子，即它们的最大公约数为1、例如，将4/6化简成最简形式，找到最大公约数（如2），然后将分子和分母同时除以最大公约数，得到2/3化简还可以使用质因数分解的方法，将分子和分母分别进行质因数分解，然后约去公共的质因数。
例如，将20/30化简成最简形式，将分子和分母分别进行质因数分解（20=2*2*5，30=2*3*5），然后约去公共的质因数2和5，得到2/34.分数的比较：分数的比较可以通过交叉相乘的方法。
对于两个分数a/b和c/d，可以将它们转换为分数的乘法形式，即a/b和c/d可以写成a*d和b*c。
然后，将乘积进行比较，即比较a*d和b*c的大小。
例如，比较2/3和3/5的大小，可以计算2*5和3*3的大小，得到10和9，所以2/3大于3/55.分数的倒数和相反数：分数的倒数是指分子和分母互换位置，例如，分数3/4的倒数即为4/3、分数的相反数是指分子加上负号，例如，分数3/4的相反数即为-3/46.分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、化简、消去分母等方法进行求解。
分式运算的几种技巧
分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一、 整体通分法例1 计算：211---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111+--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法例2 计算22212324+-++-+x x x x x x分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。
解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x三、 分组加减法例3计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ）=442-a +142--a =)1)(4(1222--a a四、 分离整数法例4 计算3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)11243++++-----+-++--x x x x x x x x=1111(1)(1)(1)(1)1243+-++---++--x x x x =11111243--+++--x x x x=。
分式运算的常见应用技巧
∴不等式组的解集为－1<x<1，即整数x＝0，
则A＝－
1. 3
技巧10 整体法求值 12．【中考·齐齐哈尔】先化简，再求值：
1－ 2 x
x2－4 x＋4 － x＋4 ，
x 2－4
x＋2
其中x2＋2x－15＝0.
解：原式＝ x－2 x
( x－2)2 － x＋4 ( x＋2)( x－2) x＋2
可以用两点法画图象，列表：
x 0 1 描点连线，
y＝ 3 x 0 3 图象如图
2
2
y＝－3x 0 －3 所示．
课堂小结
正比例函数
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 性质：
当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从 左向右上升，y随着x的增大而增大；
当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从 左向右下降，y随着x的增大而减小．
＝
x－x 2·xx＋ －22
－
x＋4 x＋2
＝
x＋2－ x＋4 x x＋2
∵x2＋2x－15＝0，
( x＋2)2－x( x＋4)
＝
x( x＋2)
＝
4 x2＋2x ,
∴x2＋2x＝15. ∴原式＝ 4 .
15
点拨： 本题考查了分式的化简求值，解题关键是掌
握分式的基本运算．先按照分式计算的顺序(先算 乘除，再算加减)化简分式．再根据题目的需要， 灵活运用条件x2＋2x－15＝0转化整体代入求值．
图). 它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线.
感悟新知
知识点 1 正比例函数的图象
知1－讲
分式技巧
一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分 例1 计算2312+++x x x +4222--x xx2、分离整数 例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x3、裂项相消 例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x4、分组通分 例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a二、分式方程的特殊解法1、交叉相乘法 例1．解方程：231+=x x2、化归法 例2．解方程：012112=---x x3、左边通分法 例3：解方程：87178=----x x x4、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+5、观察比较法 例5．解方程：417425254=-+-x x x x6、分离常数法 例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x7、分组通分法 例7．解方程：41315121+++=+++x x x x三、条件分式求值的常用技巧1、整体代入法例1. 若分式73222++y y 的值为41，则21461y y +-的值为 . 例2. 已知a 1+b 1=4，则bab a b ab a 323434-+-++= 。
例3. 已知a 2-3a+1=0，求142+a a 的值。
2、参数法例4. 已知c z b y a x ==，求证：22ax ca bc ab zx yz xy =++++例5.已知532-==z y x ，求xz y x 232++的值．三、倒数法例6.已知a 1+b 1=61，b 1+c 1=91，a 1+c 1=151，求bc ac ab abc ++的值。
例7.已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z===≠+++且求证ab ac bc abc x -+=2四、主元法例8.已知：2a-3b+c=0,3a-2b-6c=0,且abc ≠0,求2223333242ac c b b a c b a +-+-的值．例9.已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求2ab bc ca b++的值.五、变形代入法 例10.（非负变形）. 已知：2286250a b a b +-++=，求22222644a ab b a ab b ---+的值.例11.（归类变形）. 已知a c c b b a 111+=+=+，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a。
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分式运算的技巧
【精练】计算：
【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.
【解】=
=
=
【知识大串联】
1．分式的有关概念
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简
2、分式的基本性质
（M为不等于零的整式）
3．分式的运算
(分式的运算法则与分数的运算法则类似)．
(异分母相加，先通分)；
4．零指数
5．负整数指数
注意正整数幂的运算性质
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．
分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选取不当，不仅使解题过程复杂化，而且出错率高．下面通过例子来说明分式运算中的种种策略，供同学们学习参考．
1．顺次相加法
例1：计算：
【分析】本题的解法与例1完全一样.
【解】=
=
=
2．整体通分法
【例2】计算：
【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.
【解】==.
3．化简后通分
分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．
4．巧用拆项法
例4计算：.
分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.
解：原式=
=
==
5．分组运算法
例5：计算：
分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.
解：
=
=
=
=
=
【错题警示】
一、错用分式的基本性质
例1化简
错解：原式
分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.
正解：原式
二、错在颠倒运算顺序
例2计算
错解：原式
分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.
正解：原式
三、错在约分
例1 当为何值时，分式有意义？
[错解]原式.
由得.
∴时，分式有意义.
[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.
[正解]由得且.
∴当且，分式有意义.
四、错在以偏概全
例2 为何值时，分式有意义？
[错解]当，得.
∴当，原分式有意义.
[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.
[正解] ，得，
由，得.
∴当且时，原分式有意义.
五、错在计算去分母
例3 计算.
[错解]原式
=.
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.
[正解]原式
.
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当为何值时，分式的值为零.
[错解]由，得.
∴当或时，原分式的值为零.
[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.
[正解]由由，得.
由，得且.
∴当时，原分式的值为零.
七、错在“且”与“或”的用法
例7 为何值时，分式有意义
错解：要使分式有意义，须满足，即.
由得，或由得.
当或时原分式有意义.
分析：上述解法由得或是错误的.因为与中的一个式子成立并不能保证一定成立，只有与同时成立，才能保证一定成立.
故本题的正确答案是且.
八、错在忽视特殊情况
例8解关于的方程.
错解：方程两边同时乘以，得，即.
当时，，
当时，原方程无解.
分析：当时，原方程变为取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对的讨论，而忽视了的特殊情况的讨论.
正解：方程两边同时乘以，得，即
当且时，，当或时，原方程无解.。