分式运算中的常用技巧与方法
第一讲 分式运算中的常用技巧
第一讲 分式运算中的常用技巧在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、分组通分法： 例1、计算：xy xy x y x y x y x y x y x --+-----+-24352思路点拔：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
※例2、计算：500099009999500010050002002250001001122222222+-++-+++-++-k k k (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拔 首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算：2500010010000200250001002001005000100500010010020010020010050001005000)100(100)100()100(5000100222222222222222222=+-+-=+--+++-=++--+-+++-=+----++-n n n n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n 二、整体通分法：例3．化简：21a a --a-1思路点拔:本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 三、逐项通分法 例4．计算4214121111xx x x ++++++- 思路点拔 ：本题中原所有分式的最简公分母是()()()()241x 1x 1x 1x -+++，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算111x 1x+-+，最简公分母为()()1x 1x -+即21x -，则111x 1x +-+2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=---，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 四、先约分，后通分例5．计算：2262a a a a +++22444a a a -++思路点拔 ：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2x x 2+后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷. 五、裂项相加法 例6、 已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）(江苏省竞赛题)A ．7B ．9C ．13D ．5思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A 、B 的值． 例7、化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++. 思路点拔 ：本题的多个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111)1()1()1(1+-=+-+=+x x x x x x x x ，这样可抵消一些项. 例8.化简：))(())(())((a c b c ba abc b a c c a b a c b -----------思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，式子的特点是：每个分式的分子可用分母的两个因式的差表示，如：ca b a c a b a b a c a c a b a c b ---=-----=---11))(()()())((a b c b a b c b c b a b a b c b a c ---=-----=---11))(()()())((bc a c a c b c a c b c a c b c b a ---=-----=---11))(()()())((※例9.化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，仔细观察式子的特点，发现每个分式的分母是两个因式的积的形式，可考虑把分子通过添项的方法化成分母的两个因式的和或差的形式，即：ba bc a a c a b a c a b b a a c a b a bc ab ab a c a b a bc a +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22cb ca b b a b c b b a c c b b a b c b ac bc bc b a b c b ac b +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22ac ab c c b c a c b c a a c c b c a c ab ac ac c b c a c ab c +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22六、分式的换元化简 ※例10.化简：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++--- 思路点拔：注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x －2y+z=(x －y)－(y －z)，x+y-2z=(y-z)-(z-x), y+z-2x=(z-x)-(x-y)采用换元法,设x-y=a,y-z=b,z-x=c,原分式可化为：))(())(())((b a a c bca c cb bac b b a ac ---+---+---,再通分，可简化运算。
分式运算中的常用技巧(教师版)解读
分式运算中的常用技巧(教师版在数式的相关运算中,分式的运算是同学们感到比较头疼的,含分式的综合解答题的正确率也比较低;其实分式的运算涵盖知识点多,技巧性强,是很能考查数学素养的.分式的运算之所以容易计算错误,除了知识上原因,方法技巧也很重要;我觉得除了要掌握常规的计算方法,有必要掌握一些计算的技巧,下面我精选一部分含分式的解答题,让我们共同来探究.1、先约分、再计算:例.计算:444242222++-+++x x x x x x x分析:按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母(2x x 2+后通分,化成同分母的分式后再相加;细心的同学会发现,若把两个分式的分子、分母分解因式后,先约分就已经是同分母了,就“省去”了通分的过程;相比较先约分、再相加显得更为简捷.解:原式=(((((2x x 4x 2x 2x 4x 22x 2x x 2x 2x 2x 2x 2++-+-++=+=+++++ 变式训练: 2222a 93a 6a 3a 2a 3a 1--+----2、分步通分:例.计算:4214121111x x x x ++++++- 分析:本题中原所有分式的最简公分母是((((241x 1x 1x 1x -+++,若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了;如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错;比如,若我们先计算111x 1x +-+,最简公分母为((1x 1x -+即21x -,则111x 1x +-+ 2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=---,后面的如法炮制,过程清楚,计算简便. 解:原式((=22222422444421x 21x 1x 1x 2422441x 1x 1x 1x1x1x 1x1x1x1x+-+-+++=++=++--++-++-++=((444488841x 41x 4481x 1x 1x 1x 1x +-+=+=-+---变式训练:①.1684211618141211x x x x x --+++++++;②.1111x 4x 6x 5x 7+--++++.3、整体通分法: 例.计算:242++-a a 分析:本题若把a 2-分成两项与后面的通分在想加减,要多一些计算的过程;若把a 2-看成一个整体,即a 21-再与后面的通分显然更简单.解:原式=((222a 2a 24a 44a 44a a 2a 2a 2a 2a 2a 2-+--++=+==++++++变式训练:4a 2a 2-+-4、巧用裂“项”法: 例. 计算:(((((((10099132121111--++--+--+-x x x x x x x x分析:本题若将原式通分再相加,进行手工计算的式子有多长,时间耗费多少就不言而喻了.仔细分析,我们类比小学的:;;;11111111111162323123434204545==-==-==-⨯⨯⨯这个裂“项”的技巧,有:(((((;;;111111111x x 1x 1x x 1x 2x 2x 1x 2x 3x 3x 2=-=-=-----------,以此类推,最后互为相反数特征的不和为0,最后计算就简便了.真可谓是“四两破千斤”.解:原式=1111111111x 1x x 2x 1x 3x 2x 99x 98x 100x 99-+-+-++-+---------- =+1111111111x x 1x 1x 2x 2x 3x 98x 99x 99x 100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+--+-+⎪⎪⎪⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =11x x 100-+-=((x 100xx x 100x x 100--+--=(100x x 100-变式训练:(((((((((11111x x 1x 1x 2x 2x 3x 2014x 2015x 2015x 2016++++++++++++++5、利用分配律:例.计算:1x 11x x 1x x 22-÷⎪⎭⎫⎝⎛+-- 分析:本题有两种解法.其一、按常规解法先算括号里面的,见下面的方法1;其二、用分配律进行运算,见下面的解法2.两种方法比较方法2更简单. 略解:(方法1:先算括号里的原式=((((((1x 11x 1x 1x x 1x 1x 1x x 22-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-+ =((((1x 1x 11x 1x x x x 2x 222-+÷+-+-+=((((11x 1x 1x 1x x3x 2-+⨯+-+ =x 3x 2+(方法2:利用分配律原式=((11x 1x 1x x 1x x 2-+⨯⎪⎭⎫⎝⎛+-- =((((1x 1x 1x x1x 1x 1x x 2-+⨯+--+⨯-=((1x x 1x x 2--+=x x x 2x 222+-+ =x 3x 2+变式训练:x2x 24x 4x 1x 2x 1222-÷⎪⎭⎫⎝⎛+---6、巧代换:例.设abc 1=,求1c ac c1b bc b 1a ab a ++++++++的值?分析:由abc 1=,可知1abc =,且c 0≠;若将题中最前面的分式分子、分母都乘以c ,中间的分式的分母1换成abc ,本题的三个式子就将非常巧妙化成了同分母的分式,一切问题便都迎刃而解了.解:∵abc 1=∴1abc =,且c 0≠∴原式 =(ac b c ac b cabc ac c bc b abc ac c 11ac c b ac c 1ac c 1++=++++++++++++++=ac 1cac c 1ac c 1ac c 1ac c 1ac c 11++++++++++=++= 点评:本题在破解题上有些特殊性,须从1abc =才能看的出些端倪;当我们把中间分式的1换成abc 后,就很容易看得出后面两个是同分母的分式了,在通过第一个分式的变形、代换来“服从”另外两个分式.从本题我们得到的启发是代数式的变形除了要顺逆两用、加减乘除等来帮忙、还要注意数式之间的相互转换.7、设参法(辅助未知数法:例.已知5z4y 3x ==,求2222y xy 2x 3y 2xy 3x -++-的值?分析:本题通过5z4y 3x ==的条件可以找出x y z 、、之间的关系,然后变换代入进行分式的约分,但过程繁杂.若设x y zk 345===,则,,x 3k y 4k z 5k ===,代入后进行计算就比较简单了(这里k 起个辅助作用,最后会约去的.解:设x y zk 345===,则,,x 3k y 4k z 5k ===,代入:((((22222222222222223k 33k 4k 25y x 3xy 2y 9k 36k 50k 23k 23263x 2xy y 27k 24k 25k 26k 33k 23k 4k 5y -⨯⋅+⨯-+-+====+-+-+⨯⋅-变式训练:已知::::a b c 235=,求22222a ab b 3a 2ab 2b -++-的值.8、“因式分解”法:例.计算:((((11221122---------÷-++÷-b a b a b a b a分析:本题若按常规解法,就要先算括号里面的,也就是要分别通分后相加减后再进行后面的运算,步骤是比较多的.我们发现((222211a b a b -----=-,可以借用整式中分解因式的技巧,将((222211a b a b -----=-分解成((1111a b a b ----+-,然后进行约简. 解:原式=((((((111111111111a b ab ab ab a b a b ------------+-÷+++-÷- =1111a b a b -----++=12a -=2a变式训练:2121212m m m m 2m 2m 1m 1------------+-9、乘方法、倒数法:例.已知51=+x x ,求①、221x x +;②、44-+x x ;③、1242++x x x . 分析:本题按常规解法将要求的式子配方,然后再整体代入求值.有的同学对于配方一类的题显得有些吃力,基础较弱的同学对积的2倍是个常数觉得抽象.其实根据本题的条件和要求的代数式①和②,若用等式两边同时同次方的乘方法仍是在意义条件范围内;③题可以用倒数(分子、分母颠倒的办法解决. 略解:,,2222111x 5x 5x 225x x x ⎛⎫+=∴+=∴++= ⎪⎝⎭①. 221x 25223x +=-=②. 221x 23x+=22244244111x 23x 2529x 5292527x x x ⎛⎫∴+=∴++=∴+=-= ⎪⎝⎭,, ③.设242x m x x 1=++,则422221x x 11x 123124m x x ++==++=+= ∴1m 24=,即242x 124x x 1=++.变式训练:⑴.若1m 7m -=,求①. 22m m --;②. 441m m+;③.242m m m 1++ 的值.⑵.若221a 5a+=,试求1a a -的值.10、去分母法:例.已知:a b 、都是正实数,且b a b a +=-211,求22b 2ab 3a 2ab7-+的值?分析:两头凑,从已知出发通过去分母或通分很容易得出ab 与22a b -之间的关系而要求的代数式变形后是以ab 与22a b -为结构的.解:((22112b a 2b a a b 2ab a b 2ab a b a b ab a b--=∴=∴-+=∴-=-++∴(((227ab 7ab 7ab 7ab 7ab722ab 3ab 22ab 3ab 4ab 3ab ab 2a b 3ab======-⨯-+⨯-+-+--+原式变式训练:若331x y -=,求+2225x y3x 2x y 3xy-的值.11、分类讨论:例.已知k bca a cbc b a =+=+=+,判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限?分析:要判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限的关键是要确定k 的取值情况,而k 的取值和a b c 、、有关,由于本题未给定a b c 、、的条件,所以要进行讨论. 在当a b c 、、均不等于0的情况下,分为a b c 0++=和a b c 0++≠进行讨论,见下面的解答.解:⑴.当a b c 、、均不等于0且a b c 0++≠时,有((((a b b c a c 2a b c k 2c a b a b c+++++++===++++,即y 2x 2=-,此时一次函数的图象经过一、三、四象限.⑵.当当a b c 、、均不等于0, 但a b c 0++=时,此时,,a b c a c b b c a +=-+=-+=-,代入c a b k 1c a b---====-,即y x 1=-+,此时一次函数的图象经过一、二、四象限.变式训练:已知a b c 、、均是不等于0的有理数,试求:b ab ac a c bc abca b c ab bc ac abc ++++++的值?课外选练:一、计算或化简:;ba a 2ab b a a b b a .1-÷⎪⎭⎫⎝⎛-+÷⎪⎭⎫⎝⎛- ;b a b2a b a b a 1a 2.2---+-+ (;3x x 13x 4x 1x 2x 1x 2x x x 2x .322222+÷-++++--⋅---((((;6a a a a 3a 4a a a 2.42222-++++-;1a 44a 44a 2a 4.5⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+-⨯-;21a 1a 44a 14a 81.622⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--- ;1a 4a 4a 2a a 4a 21a a 4a .732222++++--+⋅+-- ;y xy 2x y x y x x y xy 2x x y x .8222232+-+⋅-÷++- (((1x 2x xx 1x x1x 2x .92222--+⋅-÷+-((.4x 2x 4x x 2x 4x .1022-+-+-+二、解答题:2015 年周末班学案 1.如果自信释放潜能；付出铸就成功！求的值？ 18 2.已知 x 为整数，且的值也为整数，求所有符合条件的 x 值的和？，其中先化简,再求值:若求的值？先化简,再求值x 5.在三个整式 x2 -1，中，请你从中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个进行化简，再求当时分式的值？ 6.阅读题：当时，有时，有当时，有 a 请运用上面的结论解答下面的问题：时，计算的值，并比较与y2 的大小？ 7.阅读下面题目的解答过程，然后回答问题，计算：解：原式= = 1 1第一步第二步第三步回答：⑴.上述过程中，第一步使用的公式的字母表达式为⑵.第二步使用的法则的字母的表达式；⑶.由第二步到第三步所用的运算方法是；⑷.在以上三步中，第步有错误，请写出正确答案. ；的值，雯 8.下课了，老师给大家布置了一道作业题：当时，求代数式雯一看，感慨道：“今天的作业要算得久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程有这样一道试题：“先化简，在求值其中马虎做该题时把错抄成，但他的计算结果却是正确的，你能解释一下其中的原因吗？3” 1 ” 模式题组; x 1 1 ⑴、已知：求的值？ x x 62015 年周末班学案⑵、已知： x 2 -求自信释放潜能；付出铸就成功！ WLS 1 的值？ x2 ⑶、已知： x x2 的值求。
分式运算技巧知识点总结
分式运算技巧知识点总结分式运算是数学中一种常见的运算形式，它包括分数的加减、乘除等操作。
在分式运算中，掌握一些技巧可以帮助我们更加快速、准确地计算。
本文将对分式运算的一些常用技巧进行总结，并给出相应的例子加以说明。
一、分数的加减运算技巧1. 寻找相同的分母：在进行分数的加减运算时，首先要寻找相同的分母。
若分母不同，则需要通过通分的方法将分母转化为相同的数。
例子1：计算1/2 + 1/3。
解析：由于1/2和1/3的分母不同，我们需要找到它们的最小公倍数，即6。
将两个分数的分子和分母都乘以适当的数进行通分：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/62. 合并同类项：在找到相同的分母后，可以将分子进行合并，然后再进行计算。
例子2：计算2/5 + 3/5。
解析：由于2/5和3/5的分母相同，直接将分子相加即可：2/5 + 3/5 = (2 + 3)/5 = 5/5 = 13. 化简分数：在进行分数的加减运算时，可以先将分数化简，再进行计算。
这样可以简化计算过程，得到更简洁的结果。
例子3：计算3/10 + 2/5。
解析：先对3/10进行化简，即可以将分子和分母都除以最大公约数2得到1/5：3/10 + 2/5 = 1/5 + 2/5 = (1 + 2)/5 = 3/5二、分数的乘除运算技巧1. 分数的乘法：将分数的分子相乘，分母相乘即可。
例子4：计算2/3 × 4/5。
解析：将分子相乘得到2 × 4 = 8，分母相乘得到3 × 5 = 15，所以结果为8/15。
2. 分数的除法：将除数的分子乘以被除数的倒数，即可进行分数的除法运算。
例子5：计算2/3 ÷ 4/5。
解析：将除数2/3的分子乘以被除数4/5的倒数5/4，即2/3 × 5/4，根据分数的乘法规则可得到结果10/12，化简得到5/6。
三、其他分式运算技巧1. 分数的幂运算：对分式进行幂运算时，可以将分子和分母分别进行幂运算。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法1.分数的乘法和除法：分数的乘法：分数的乘法可以直接将分子和分母相乘。
例如，计算2/3*4/5，可以直接计算出8/15分数的除法：分数的除法可以转化为乘法的逆运算。
例如，计算2/3÷4/5，可以将除法转化为乘法，即2/3*5/4=10/12，再进行约分得到5/62.分数的加法和减法：分数的加法：对于相同分母的分数，直接将分子相加即可；对于不同分母的分数，需要先进行通分，然后再进行相加。
例如，计算2/3+4/5，需要先找到两个分数的最小公倍数（如15），然后进行通分，计算得到10/15+12/15=22/15分数的减法：分数的减法可以转化为加法的逆运算。
例如，计算2/3-4/5，可以将减法转化为加法，即2/3+(-4/5)=10/15+(-12/15)=-2/153.分数的化简：分数的化简即将分数表示成最简形式。
最简形式的分数是指分子和分母没有公共因子，即它们的最大公约数为1、例如，将4/6化简成最简形式，找到最大公约数（如2），然后将分子和分母同时除以最大公约数，得到2/3化简还可以使用质因数分解的方法，将分子和分母分别进行质因数分解，然后约去公共的质因数。
例如，将20/30化简成最简形式，将分子和分母分别进行质因数分解（20=2*2*5，30=2*3*5），然后约去公共的质因数2和5，得到2/34.分数的比较：分数的比较可以通过交叉相乘的方法。
对于两个分数a/b和c/d，可以将它们转换为分数的乘法形式，即a/b和c/d可以写成a*d和b*c。
然后，将乘积进行比较，即比较a*d和b*c的大小。
例如，比较2/3和3/5的大小，可以计算2*5和3*3的大小，得到10和9，所以2/3大于3/55.分数的倒数和相反数：分数的倒数是指分子和分母互换位置，例如，分数3/4的倒数即为4/3、分数的相反数是指分子加上负号，例如，分数3/4的相反数即为-3/46.分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、化简、消去分母等方法进行求解。
分式技巧
一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分 例1 计算2312+++x x x +4222--x xx2、分离整数 例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x3、裂项相消 例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x4、分组通分 例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a二、分式方程的特殊解法1、交叉相乘法 例1．解方程：231+=x x2、化归法 例2．解方程：012112=---x x3、左边通分法 例3：解方程：87178=----x x x4、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+5、观察比较法 例5．解方程：417425254=-+-x x x x6、分离常数法 例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x7、分组通分法 例7．解方程：41315121+++=+++x x x x三、条件分式求值的常用技巧1、整体代入法例1. 若分式73222++y y 的值为41，则21461y y +-的值为 . 例2. 已知a 1+b 1=4，则bab a b ab a 323434-+-++= 。
例3. 已知a 2-3a+1=0，求142+a a 的值。
2、参数法例4. 已知c z b y a x ==，求证：22ax ca bc ab zx yz xy =++++例5.已知532-==z y x ，求xz y x 232++的值．三、倒数法例6.已知a 1+b 1=61，b 1+c 1=91，a 1+c 1=151，求bc ac ab abc ++的值。
例7.已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z===≠+++且求证ab ac bc abc x -+=2四、主元法例8.已知：2a-3b+c=0,3a-2b-6c=0,且abc ≠0,求2223333242ac c b b a c b a +-+-的值．例9.已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求2ab bc ca b++的值.五、变形代入法 例10.（非负变形）. 已知：2286250a b a b +-++=，求22222644a ab b a ab b ---+的值.例11.（归类变形）. 已知a c c b b a 111+=+=+，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a。
总结解分式不等式的方法与技巧
总结解分式不等式的方法与技巧分式不等式是数学中的一种常见问题，解决这类问题需要掌握一定的方法与技巧。
本文将总结解分式不等式的方法与技巧，并提供相关的例子来帮助读者更好地理解和应用。
1. 分式不等式的基本概念介绍分式不等式是指不等式中包含有分式的情况。
其中分式的分子和分母都可能是多项式，需要通过寻找分数的取值范围来确定不等式的解集。
2. 转化分式不等式为多项式不等式为了更好地解决分式不等式，我们可以首先将其转化为多项式不等式。
转化的方法通常是将分式进行通分，得到一个多项式，然后根据不等式的性质进行运算。
例如，对于不等式 (x^2-1)/(x+2) < 0，我们可以先将分式通分得到(x-1)(x+1)/(x+2) < 0。
然后通过构造符号表或使用数轴上的测试点法来确定不等式的解集。
3. 分式不等式的常见类型分式不等式可以分为三种常见类型：真分式不等式、带根式的分式不等式和分式方程不等式。
真分式不等式是指不等式中的分式不包含根式，在解决这种类型的不等式时，可以通过化简、通分和分解等方法来求解。
带根式的分式不等式是指不等式中的分式含有根式，处理这种类型的不等式时，可以通过平方两侧或借助不等式的性质进行变形。
分式方程不等式是指不等式既不是线性方程也不是二次方程，需要通过将不等式转化为等式的形式，并求出等式的解集，再根据不等式的性质确定不等式的解集。
4. 解决分式不等式的步骤与技巧解决分式不等式的方法与技巧如下：4.1 确定分式定义域：首先需要确定分式的定义域，即分母不能等于0的情况。
将分母为零的解点确定，然后将数轴分成若干个区间。
4.2 符号表法：构建符号表法是解决真分式不等式和带根式的分式不等式常用的方法之一。
首先列出分数的因式，并将因式的符号写在符号表中。
然后通过符号的交替性来确定不等式的解集。
4.3 数轴上的测试点法：数轴上的测试点法是解决分式不等式常用的方法之一。
在数轴上选择不同的测试点，将其带入不等式中进行判断，然后根据不等式的性质来确定不等式的解集。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式是数学中常见且重要的运算形式，它可以表示两个数之间的比例关系或者一个数与一个无穷小量之间的关系。
分式的运算需要注意一些技巧和方法，下面我将详细介绍一些常用的技巧和方法。
1.分式的化简：分式的化简是指将一个复杂的分式转化为一个更简单的分式，通常可以通过约分或者通分来达到目的。
- 约分：如果分式的分子和分母有一个公因子，可以将这个公因子约掉。
例如，$\frac{8}{12}$可以约分为$\frac{2}{3}$。
- 通分：如果分式的分母不同，可以通过求最小公倍数来将分母变为相同的数。
例如，$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{5}$可以通分为$\frac{5}{15}$和$\frac{6}{15}$。
2.分式的加减：分式的加减运算需要将分母变为相同，然后对分子进行相应的加减操作。
- 通分：对于两个分母不同的分式，需要找到它们的最小公倍数，然后将分母变为最小公倍数，再对分子进行加减操作。
例如，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$可以通分为$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$。
- 减法的变形：对于分式的减法运算，可以改写为加法的形式，即将减号变为加号，然后将第二个分式的分子取反。
例如，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$可以写为$\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{-1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$。
3.分式的乘法：分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘得到结果。
- 化简：如果乘法运算结果可以进行约分，则进行约分。
例如，$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
4.分式的除法：分式的除法是将两个分式交叉相乘，即将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子。
(完整word版)分式求值中的一些解题技巧
分式求值中的一些解题技巧一、本章知识框架图建立本章知识框架图，形成本章知识体系：二、分式的基本知识点回顾1、分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个 ，并且 中含有字母，那么代数式 叫做分式。
注意分式中字母代表什么数或者式子是有条件的:.0 .⎧⎨⎩分式有意义的条件:分式为的条件：2、分式的基本性质：分式的 都乘以（或除以） . 式子：MB A B A B M A B A ÷÷=⋅⋅=)(,) (（其中，M 是 ） 3、分式的运算 Ⅰ、乘法 ：分式乘分式， 做积的分子， 做积的分母. Ⅱ、除法：分式除以分式，把分式的 颠倒位置后再与被除式 .Ⅲ、加减：⎩⎨⎧. , . , 后先异分母的分式相加减：分子分母同分母的分式相加减：路曼曼其修远兮，吾将上下而求索专题 典例引路—分式运算的常用技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，这节课我们来学习运用数学思想和方法技巧来对分式进行运算。
1、整体例1 计算(1)242++-a a （2）1132+--+x x x x观察归纳丰富的问题情景分式的概念分式方程的概念分式方程的解法 分式方程的应用分式的基本性质通分约分分式的运算分式的乘除法分式的加减法 分式的混合运算 分式的化简求值例2 .3353,511)1(的值求若yxy x yxy x y x ---+=-.111,1)2(的值求已知++++++++=c ac cb bc b a ab a abc.3515x 5,411x )3(224242的值求如果xx x x +-=++整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。
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分式运算中的常用技巧与方法1
在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、 整体通分法
例1．化简：2
1
a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。
解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1
a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、 逐项通分法
例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-344
4b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b
+----222b a b +-3444b a b - =222b a b --222b a b +-344
4b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +----3444b a b - =3444b a b --3
444b a b
-=0 三、 先约分，后通分
例3．计算：2262a a a a +++22444
a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242
a a ++=2 四、 整体代入法
例4．已知1x +1y
=5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y
+-++=25552⨯-+=57
解法2：由1x +1y
=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57
五、运用公式变形法
例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+
4
1a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a
=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法
例6．已知
b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc
+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k
若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1
若a+b+c ≠0，则k=2
()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc
⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1
当k=2时，原式= 8
七、应用倒数变换法
例7．已知21
a a a -+=7，求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87
∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a )2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915
八、取常数值法
例8．已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算
y z x ++x z y ++x y z
+ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.
则y z x ++x z y ++x y z
+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。
九、把未知数当成已知数法
例9．已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 222
a b c ab bc ac
++++ 解：把c 当作已知数，用c 表示a,b 得,a=3c, b=2c ∴222a b c ab bc ac ++++=221411c c =1411
. 十、巧用因式分解法
例10．已知a+b+c=0，计算222a a bc ++222b b ac ++2
22c c ab
+ 解:∵a+b+c=0, ∴a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b
∴2a 2+bc=a 2+a 2+bc=a 2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)
同理可得2b 2+ac=(b-c)(b-a),2c 2+ab=(c-a)(c-b)
222a a bc ++222b b ac ++2
22c c ab +=2a (a-b)(a-c)+2b (b-c)(b-a)+2c (c-a)(c-b)
=2a (a-b)(a-c)-2b (a-b)(b-c)+2c (c-a)(c-b)=222a ()()()()()()
b c b a c c a b a b a c b c ---+---- =22222a ()()()()b c b a b c c a c b a b a c b c --++----=2a ()()()()()()()b c a b c b c bc b c a b a c b c --+-+---- =2()()()()()b c a ab ac bc a b a c b c ---+---=()()()()()()
a b a c b c a b a c b c ------=1。