分式的运算技巧讲义
第一讲 分式运算中的常用技巧
第一讲 分式运算中的常用技巧在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、分组通分法： 例1、计算：xy xy x y x y x y x y x y x --+-----+-24352思路点拔：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
※例2、计算：500099009999500010050002002250001001122222222+-++-+++-++-k k k (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拔 首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算：2500010010000200250001002001005000100500010010020010020010050001005000)100(100)100()100(5000100222222222222222222=+-+-=+--+++-=++--+-+++-=+----++-n n n n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n 二、整体通分法：例3．化简：21a a --a-1思路点拔:本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 三、逐项通分法 例4．计算4214121111xx x x ++++++- 思路点拔 ：本题中原所有分式的最简公分母是()()()()241x 1x 1x 1x -+++，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算111x 1x+-+，最简公分母为()()1x 1x -+即21x -，则111x 1x +-+2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=---，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 四、先约分，后通分例5．计算：2262a a a a +++22444a a a -++思路点拔 ：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2x x 2+后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷. 五、裂项相加法 例6、 已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）(江苏省竞赛题)A ．7B ．9C ．13D ．5思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A 、B 的值． 例7、化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++. 思路点拔 ：本题的多个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111)1()1()1(1+-=+-+=+x x x x x x x x ，这样可抵消一些项. 例8.化简：))(())(())((a c b c ba abc b a c c a b a c b -----------思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，式子的特点是：每个分式的分子可用分母的两个因式的差表示，如：ca b a c a b a b a c a c a b a c b ---=-----=---11))(()()())((a b c b a b c b c b a b a b c b a c ---=-----=---11))(()()())((bc a c a c b c a c b c a c b c b a ---=-----=---11))(()()())((※例9.化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，仔细观察式子的特点，发现每个分式的分母是两个因式的积的形式，可考虑把分子通过添项的方法化成分母的两个因式的和或差的形式，即：ba bc a a c a b a c a b b a a c a b a bc ab ab a c a b a bc a +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22cb ca b b a b c b b a c c b b a b c b ac bc bc b a b c b ac b +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22ac ab c c b c a c b c a a c c b c a c ab ac ac c b c a c ab c +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22六、分式的换元化简 ※例10.化简：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++--- 思路点拔：注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x －2y+z=(x －y)－(y －z)，x+y-2z=(y-z)-(z-x), y+z-2x=(z-x)-(x-y)采用换元法,设x-y=a,y-z=b,z-x=c,原分式可化为：))(())(())((b a a c bca c cb bac b b a ac ---+---+---,再通分，可简化运算。
分式讲义(一))
分式讲义（一）一、知识点： 1．分式的概念：（1）分式的定义：一般地A ，B 是两个_______，且_____中含有字母，那么BA 叫分式（2）分式有意义的条件是___________不等于0 （3）分式无意义的条件是___________等于0（4）分式为零的条件是________不等于0，且_________等于0 2．分式的基本性质：（1）分式的分子分母同乘（或除以）一个__________________，分式的值_________ （2）分子，分母的公因式,系数的_________与各______因式的_________的积（3）各分式的最简公分母，各分母系数的___________与_______因式___________的积 3．分式的运算法则：（1）乘法法则________________________________________ （2）除法法则________________________________________ 二、范例讲解：题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx y x yx yxba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+xx （3）122-x（4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--xx （3）653222----x xx x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A MB M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：ba ba ba ba =--=+--=--题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 41313221+-（2）ba b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx y x 5.008.02.003.0+- （2）ba ba 10141534.0-+2．已知：31=+xx ，求1242++x xx 的值. 3．已知：311=-ba，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba b a 532+-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：约分【例2】约分： （1）322016xyy x -； （3）nm mn--22； （3）6222---+x xx x题型二：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a bab c225,3,2--； （2）ab bb a a22,--；（3）22,21,1222--+--x xx x xx x ； （4）aa -+21,2三、作业：⒈当x 时，分式1223+-x x 有意义；当x 时，分式xx --112的值等于零.⒉分式ab c32、bc a3、acb25的最简公分母是 ；化简：242--x x ＝ .⒊xx 231--=32(_____)-x =－32____)-x （⒋当x 、y 满足关系式________时，)(2)(5y x x y --=－255．若使下列各分式值为零，x 的值分别为：（1）2213xx +-，则x = ；（2）1233--x x ，则x = ；（3）)2)(3(2+--x x x ，则x = ；（4）)1)(3(1+--x x x ，则x = ．6、分式xx ---112的结果是________.7、2241ba 与cab x36的最简公分母是__________.8、b a 1,1,31通分后,它们分别是_________, _________,________. 9、acb b ac c b a 107,23,5422的最简公分母是______,通分时,这三个分式的分子分母依次乘以______, ， 。
分式的运算知识点总结
分式的运算知识点总结一、分式的含义和性质1. 分式的定义分式是指两个整数的比例，通常用a/b表示，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。
分式通常表示成有理数的形式，例如1/2、3/4等。
2. 分式的性质分式有以下性质：（1）分式的分母不可以为0，因为0不能作为除数。
（2）分式可以化简，即约分，将分子与分母的公因数约掉。
（3）分式可以相互转换，即通过乘以相同的数或者分式和分数的换算，可以将分式相互转换。
二、分式的加减法1. 分式的相加分式的相加即将两个分式的分子相加，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 + 1/3 = (1*3+1*2)/(2*3) = 5/6。
2. 分式的相减分式的相减即将两个分式的分子相减，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：2/3 - 1/4 = (2*4-1*3)/(3*4) = 5/12。
三、分式的乘除法1. 分式的相乘分式的相乘即将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 * 2/3 = (1*2)/(2*3) = 2/6 = 1/3。
2. 分式的相除分式的相除即将两个分式的分子相除作为新的分子，分母相除作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：3/4 ÷ 1/2 = (3*2)/(4*1) = 6/4 = 3/2。
四、分式的乘方和括号的运算1. 分式的乘方分式的乘方即将分式的分子和分母分别进行乘方运算，得到新的分子和分母，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2)^2 = 1^2/2^2 = 1/4。
2. 分式的括号运算分式的括号运算即根据括号内的运算顺序进行计算，先乘除后加减，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2 + 1/4) ÷ (1/2 - 1/4) = (2/4 + 1/4) ÷ (2/4 - 1/4) = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 * 2/1 = 3/2。
初中分式运算技巧及易错点解析
初中分式运算技巧及易错点解析一、技巧1.分式的化简：(1)将分式的分子和分母约分为最简形式，即分子和分母没有公共因数；(2)将整数、分数和小数互转；(3)利用公式简化表达式。
2.分式的加减法：(1)分子相同的分式相加或相减，只需将分数加或减即可，分母保持不变；(2)分母相同的分式相加或相减，只需将分子加或减即可，分母保持不变；(3)分母不同的分式相加或相减，需先找到它们的最小公倍数，将分式的分母都化为最小公倍数，然后进行加减。
注意：在化简和相加减时，要保持分式的基本性质不变。
3.分式的乘除法：(1)分式相乘时，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母；(2)分式相除时，将除法转化为乘法，即将除号后面的分式倒过来，然后进行相乘。
二、易错点1.正确理解负指数：在分式运算中，遇到负指数时，经常容易出现错误。
一般来说，对于有理数a，a的负指数表示a的倒数，并且指数为负数时等于1除以a的指数为相反数的数。
例如，a⁻²=1/a²。
2.注意相乘前的化简：在进行分式的乘法运算时，往往需要对分式进行化简。
如果在相乘前没有对分式进行化简，很容易导致最后的结果错误。
3.加减运算时的通分问题：在分式的加减运算中，遇到分母不同的情况，需将分母化为相同的形式才能进行运算。
这就涉及到通分的问题。
如果没有正确进行通分，就会导致最后的结果错误。
4.除数不为零：在分式的除法运算中，被除数和除数都不能为零。
如果出现零作为除数的情况，就会导致运算结果不存在。
5.乘法和除法的顺序问题：在分式的运算中，乘法和除法具有相同的优先级，按照从左到右的顺序进行运算。
通过掌握以上的技巧和注意点，可以提高分式运算的准确性，并避免常见的错误。
在学习过程中，可以通过大量的练习来加深对分式运算的理解和掌握。
另外，要注重思考和交流，及时纠正错题，加强对分式运算的认识和应用能力。
《分式的乘除》 讲义
《分式的乘除》讲义一、分式的概念在开始学习分式的乘除运算之前，我们先来了解一下什么是分式。
如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 不能为 0，因为除数不能为 0。
例如，1/x 就是一个分式，而 2/3 虽然形式类似，但由于分母 3 是常数，不含有字母，所以它不是分式。
二、分式的基本性质分式的基本性质是分式运算的重要依据。
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于 0 的整式）例如，对于分式 2/3x，如果分子分母同时乘以 2，就变成 4/6x，分式的值不变。
利用分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分。
约分是把一个分式的分子和分母的公因式约去，使分式化为最简分式或整式。
通分是把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母分式。
三、分式的乘法分式的乘法法则为：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。
用式子表示为：（A/B)×（C/D) ＝ AC/BD例如：（2x/3y)×（5y/7x) ＝（2x×5y)／（3y×7x) ＝ 10xy/21xy在进行分式乘法运算时，先约分再相乘可以简化计算。
四、分式的除法分式的除法法则为：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
用式子表示为：（A/B)÷（C/D) ＝（A/B)×（D/C) ＝ AD/BC例如：（4x/5y)÷（8y/15x) ＝（4x/5y)×（15x/8y) ＝ 6x²/y²同样，在进行分式除法运算时，也可以先将除法转化为乘法，然后进行约分和计算。
五、分式乘除的应用分式的乘除在实际生活中有很多应用。
分式方程的解法与技巧_知识精讲
分式方程的解法与技巧【典型例题】1. 局部通分法：例1.分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。
解：方程两边分别通分并化简，得：解之得：x＝6经检验：x＝6是原分式方程的根。
点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。
但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。
2. 换元法：例2.分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x的二次三项式，且前两项完全相同，解：解此方程此方程无解。
点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。
3. 拆项裂项法：例3.分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。
解：原方程拆项，变形为：裂项为：经检验：x＝1是原分式方程的解。
4. 凑合法：例4.分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。
解：部分移项得：∴x＝2经检验：x＝2是原分式方程的根。
5. 构造法：例5.分析：来求解，而不用常规解法。
解：原方程可化为：6. 比例法：例6.分析：由于方程两边分子、分母未知数的对应项系数相等，因此可以利用这样的恒等运算。
解：应用上述性质，可将方程变形为：【模拟试题】（答题时间：20分钟）解下列分式方程：1.2.3.4.5.【试题答案】1. 解：原方程变形为：即方程两边分别通分为：去分母得：化简得：解法2：原方程变变形得：两边分别通分得：去分母得：化简得：2. 由比例的性质可得：或解之得：经检验：是原分式方程的解。
3. 解：原方程可化为：化简得：∴原分式方程无解4. 原方程可变形为：设，则有∴原方程可化为：即解之得：当时，即，解得当时，即，解得经检验：，均是原方程的解。
分式讲义
分式讲义【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2一、分式定义题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有：题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.二、分式的基本性质1．分式的基本性质：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.对应训练1．不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 2．下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a bc c-++=-; ④m n m nm m ---=-中,成立的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 3．不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+4．分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-．6．通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -．7．已知13x x +=，求2421x x x ++的值．8．下列各式πa ，11x +，15x y +，22a b a b--，23x -，0•中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ______；是有理式的有___ ______． 9．下列分式，当x 取何值时有意义．（1）2132x x ++； （2）2323x x +-．3．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x +4．当x ______时，分式2134x x +-无意义．5．当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零．6．当x ______时，分式435x x +-的值为1；当x _______时，分式435x x +-的值为1-．7．分式24xx -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 8．有理式①2x ，②5x y +，③12a -，④1xπ-中，是分式的有（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 9．分式31x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若13a -≠时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零10．当x _______时，分式15x -+的值为正；当x ______时，分式241x -+的值为负． 11．下列各式中，可能取值为零的是（ ） A ．2211m m +- B ．211m m -+ C ．211m m +- D ．211m m ++12．使分式||1xx -无意义，x 的取值是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1± 13．已知123x y x-=-，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．三、分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算： （1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；输入n 计算n （n+1）n>50 Yes No 输出结果m （2）已知：432zy x ==，求22232zy x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.四、分式其他类型试题：例1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，487，……． 根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n 为正整数）例2： 观察下面一列分式：2345124816,,,,,...,x x x x x---根据你的发现，它的第8项是 ，第n 项是 。
分式运算知识点总结
分式运算知识点总结一、分式的基本概念分式是指一个整体被分成若干部分，通常用形如a/b的形式表示。
其中a称为分子，b称为分母。
分子表示被分的部分，分母表示分成的部分。
在分式中，分母不能为0。
二、分式的化简分式的化简是指化简的过程，其中分式的分子和分母可以分别进行约分。
约分是将分子和分母中的公因子约去，使分子与分母中的最大公约数为1。
分式除以一个非零数，分子和分母都乘以这个数的倒数。
例子1：将分式3/9进行化简。
解：分式3/9的分子和分母中都有公因子3，因此分式3/9可以化简为1/3。
例子2：将分式12/24进行化简。
解：分式12/24的分子和分母中都有公因子12，因此分式12/24可以化简为1/2。
三、分式的加减分式的加减运算是指对分式进行加法或减法运算。
分式的加减运算中，要求分母相同才能进行加减运算。
例子1：对分式1/3和2/3进行加法运算。
解：首先要求分母相同，即分母为3。
然后将分子相加，得到结果为3/3=1。
因此，分式1/3和2/3的和为1。
例子2：对分式1/4和3/8进行减法运算。
解：首先要求分母相同，即分母为8。
然后将分子相减，得到结果为-1/8。
因此，分式1/4和3/8的差为-1/8。
四、分式的乘法分式的乘法是指对分式进行乘法运算。
分式的乘法中，分子乘以分子，分母乘以分母。
例子1：对分式1/2和3/4进行乘法运算。
解：分式1/2和3/4进行乘法运算得到结果为3/8。
例子2：对分式2/5和5/7进行乘法运算。
解：分式2/5和5/7进行乘法运算得到结果为10/35，化简得到结果为2/7。
五、分式的除法分式的除法是指对分式进行除法运算。
分式的除法中，分子乘以倒数，分母乘以倒数。
例子1：对分式1/2和3/4进行除法运算。
解：分式1/2和3/4进行除法运算得到结果为4/6，化简得到结果为2/3。
例子2：对分式2/5和5/7进行除法运算。
解：分式2/5和5/7进行除法运算得到结果为14/25。
综上所述，分式运算是一种重要的数学运算方式，包括了化简、加减乘除等操作。
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内容 基本要求
略高要求
较高要求
分式的概念 了解分式的概念,能确定分式有意义
的条件
能确定使分式的值为零的条件
分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单
的变型
能用分式的性质进行通分和约分
分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则
会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题
一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质:
a c
ad bc b d
=⇔=,比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性(交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b
c d a c d c
b d b a d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇒=⎨⎪
⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项
⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）:a c b d
b d a c
=⇒=
⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd
b d b d
±±=⇒=
(k 为任意实数) ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a
b d n b
+++=+++（...0b d n +++≠）
二、基本运算
分式的乘法:a c a c
b d b d
⋅⋅=⋅
分式的除法:a c a d a d
b d b
c b c
⋅÷=⨯=⋅
乘方:()n n
n n
n a a a a a a
a a
b b b
b b b
b b ⋅=⋅
=⋅个
个
n 个
＝(n 为正整数） 整数指数幂运算性质:
⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)
知识点睛
中考要求
分式的运算技巧
⑶()n n n ab a b =（n 为整数）
⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂:一般地，当n 是正整数时,1
n n a a
-=(0a ≠),即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：
同分母分式相加减,分母不变，把分子相加减,
a b a b
c c c
+±=
异分母分式相加减,先通分，变为同分母的分式再加减,
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
±±=±=
分式的混合运算的运算顺序：先算乘方,再算乘除,后算加减，如有括号,括号内先算．
结果以最简形式存在．
一、分式的换元化简
【例1】 化简：222233223322
23()2b a b a a b a b b a b a b a a b a b a b +++÷---+-
二、利用乘法公式或因式分解法化简
【例2】 计算:221111
[]()()()a b a b a b a b
-÷-+-+-
三、分式的递推通分
【例3】 计算：37
224488
11248x x x a x a x a x a x x a ---+
-+++-
【例4】 计算:2482
112482111111n
n
x x x x x x ++++++-+++++（n 为自然数）
【巩固】已知24816
124816
()11111f x x x x x x =++++
+++++,求(2)f .
例题精讲
四、分式的裂项
【例5】 化简：111
.....(1)(1)(2)(99)(100)
x x x x x x +++
+++++.
【巩固】化简:2222211111
3256712920
x x x x x x x x x x ++++
+++++++++
【巩固】设n 为正整数，求证：1111
...1335(21)(21)2
n n +++<⋅⋅-+.
【例6】 若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求111
...(1)(1)(2007)(2007)
xy x y x y +++
++++的值．
【例7】 化简:
222
222
b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a
---++-----+--+--+---．
【例8】 化简：222()()()()()()
a bc
b a
c c ab
a b a c b c b a c a c b ---++++++++.
【巩固】化简:222
222a b c b c a c a b
a a
b a
c bc b ab bc ac c ac bc ab
------++--+--+--+.
五、分式配对
【例9】 已知:1ax by cz ===，求
444444
111111
111111a b c x y z +++++++++++的值．
【例10】 有理数0a ，1a ,2a ，…，n a 满足1i n l a a -=，0i =，1,2,…，n .
求代数式
1010
1010012
111
1
1111n
a a a a ++++
++++的值．
1. 计算：()()()b a a b b a a b b a a b
22222222222
211-+-++
2. 化简:代数式3
2411241111
x x x x x x +++
-+++． 3. 化简:
[]111
1
()()(2)(2)(3)
(1)()
x x m x m x m x m x m x n m x nm +++
+
++++++-+
4. 化简：()()()()()()
a b b c c a
c a c b b a a c b c b a ---++
------
课后作业。