解题教学中的“换位”思维

果．
现行 中学 数 学课 本 中关 于 “ 位 ”思 维 的 内 换 容 —— 论述 、 题 、 例 习题 很 少 ， 而 ， 际上 数 学 然 实 定 义一 般都 具有 充要性 ， 加上 众多 可逆 的定理 、 再
１ 数 学 中“ 位 ”思 维 的 表 现 形 式 换
“ 换位 ” 即转换 角度 去思考 问题 的一 种方 式． ，
例 １ 求 一４ ｘ一￣３ ２ —２ ／ ＋ ｘ— ｚ 的值域 ．
解
一
原 式化 为 （ 一 ２ ）＋ ２ ｚ 一 １ 一 （ ）
围， 结合函数单调性， 不难得到 的最大值为÷．
２ ３ ２ 代 数 与 几 何 换 位 ． ．
￣一 （ ／ ｚ一 １ ＋ ４ ① ， ）
去 多数学 生 的想法 是将 ａ ｃ ， 两元 中 的一个 用 另一 个 表示 ， 函数 转化 为关 于 ｎ ｃ中一个 变量 的 函 将 ，
分 ， 接互 换不 能得 到与原 命题 等价 的命题 ， 直 只有
分别否定后再互换 ， 才能得 到与原命题等价 的命 题． 这不仅是命题之 间的关系 ， 也是解题的一个工具．
ｚ ≠ ｚ２ 表 示 过 点 Ｐ （ ， １ 和 Ｐ （ ， ２ １ 时 １ １ｙ ） ２ ２ｙ ）的
维 解 数学题 一般 体现 在 以下几 个方 面 ： （ ）从结 论正 面人 手 困难 时转 而 从 其反 面 人 １
手 ， 证 法 就是 典 型 的范 例 ； 如 判 断 带 “ ”命 反 再 非 题 的 真假 时我 们 可先 判 断 其 逆 否命 题 是 否 成 立 ，
直 线 的斜率 ” 并 给 出问题 ：求 函数 Ｙ一 ， “
Ｕ （ ， 厶
的值域 ” 转 化为 “ 过 Ｐ （Ｏ ，ｉ ）与 Ｐ （ ， （ 求 ＣＳ臼 ｓ ｎ ２
一
２ ）两点 直线 斜率 的范 围” ． ） 以检 查 和促 进 学 生
从 而推 导原 命题 的真 假 ； 有求 解概 率题 时 ， 合 还 符 题 意 的情况 有 多种 可 能性 时 ， 们从 求 其 对 立 事 我
又 ｍ ＋
（， （ｏ 一 －ｏ ２Ｖ ２ｄ ．
＝２ ｍ＋ ｂ ．
一 ４ （ ≤ ｎ
图 １
例 ３ 求￣ ｚ＋２ ／ 一６ ／ 一２ ｚ ＋￣ ＋１ ３的
最 小值 ．
Ｏ， ） 只要求 出 ， ｍ＋ｂ ｚ ＝２ 与ｍ ＋
一
４ ｎ≤ Ｏ 有公 共点 时 ｂ的 （ ）
例 如在 讲 授 直线 的斜 率 公 式 之后 ， 导 学 生 引
从 反 面认识 公 式 的含 义及 其 用途 ． “ １ 一 即 Ｚ
２
下 形 成的 ． 换位 ”思维 虽然 由于试 探 性 较强 而 使 “ 思 维 过程 波动较 大 ， 于把握 ， 难 但它 却能 以新 奇制
胜 ， 可 以作 为 正 向思 维 的 补 充． 用 “ 位 ”思 它 应 换 在
分 析 在课 堂 上 ， 最 值 通 常 用 函数 法 、 求 均 值 不等式 法 、 放缩 法等 ， 由于根号 内均 以二 次 函数 面 目出现 ， 很 大一 部 分 学 生钻 进 了用 代 数 方 法 有 求 函数 最值 的“ 同 ” 其 实 ， 真 观 察题 目， 析 胡 ． 认 分
Ａ （， ） １ 一１ 到点 Ｂ的距离 Ｊ 一、 ， Ｂ ｌ ／ 故原式 Ａ ，
的最小 值 为￣１ ． ／ ３
例 ４ 在 平 面直角 坐标 系 中 ， 已知 ＡＡ ＢＣ的 顶 点 Ａ（ ４ ０ 和 Ｃ ４ ｏ ， 点 Ｂ在椭 圆 ＋ － ，） （ ，）顶
一
从 变 式教 学 理 论 可 以推 知 ， 果对 传 统 数 学 如
公式、 法则 、 运算 ， 这些 都可 作 为“ 位 ”思维 的练 换
武 之 地 ． 以 ， 师 可 以 挖 掘 课 本 在 这 方 面 的 潜 所 教 力．
正 向思 维在 现行 中学数 学教 材 中 占主 导地 位 ， 可
以说 ， 向思 维 的 心理 定 势 是 在 耳濡 目染 的状 态 正
手 ， 归纳法 、 推法 等． 如 递
（ ）研究 抽 象 的对 象 有 困难 时 ， 向用 具 体 ５ 转
模 型 ， 多种 构造 法． 如
馈 、 整 的思 维 决 策过 程 往 往 都 被严 密 的形 式 逻 调
辑 所掩 盖． 这种 教学 的影 响下 ， 生的心 理 素质 在 学
得 不 到应有 的 锻 炼 ， 们 的 思 维 常 常 呈 “ 忆 一 他 记 复 现 型” 习惯 于 模仿 成 法 ， 受不 起 艰 难 曲折 的 ， 经
进 行 回顾与反 思 ， 那么 培养 “ 位”思维 的工 作一 换 定 可 以在有 关 的教学 环节 中得到 具体 的落 实．
ｃ ２＋
一
堡
２＋ 。 口
一 ： ： 一 ±！
（ ｎ＋ ｃ ）
４ ＋） （ ｆ 口
４ — ｃ……＋ 的～ ～ ＃一 ＋ 用ｎ 取 范 ａ 利 一… 值 ，
中隐蔽 的几 何背 景 ， 利用 数 形 结 合 方法 直 观 表 现 实质 问题 ． 这种 思维换 位变 化 的教学 ， 不仅 生 动说 明 了数 学 知识块 之 间的联 系 ， 且具 体 阐明 了“ 而 换 位”思 维 的 一个 基 本 原 理 ： 善 于从 已有 的思 维 要
圈子 中挣 脱 出来 ． ２ ３ 分类指导 。 示培 养“ ． 显 换位”思维 的教学 效果
些 特殊 方程 时 的不等 式法 等． （ ）从一 般 情 况 人 手 困难 ， 从 特 殊 情 形 人 ４ 转
传 统 的教 学方 式往 往较 多着 眼于 传递 知识 技 能， 重视 使学 生 听懂 、 会 、 学 练熟 ． 因为什 么 ， 以 “ 所
什 么” “ ，欲证 什 么 ， 先证 什 么”的分 析 引导 尽 管 天 衣 无缝 、 百发 百 中 ， 但是 对 知识信 息传 递 、 加工 、 反
２ ３ １ 整 体 与 个 体 换 位 ．．
果 先利 用正 弦定 理 将 所（ ） ｘ 一船 。 ｚ＋ｃａ≠ 一４ （
后利 用椭 圆 的定义 直接得 到 Ｂ Ｃ＋Ｂ Ａ＝１ ， Ａ ０而 Ｃ
０ 的值 域为 ［ ， 。）， 厂 １ ≤ ４ 则 乱 ） ｏ ＋。 且 （） ， 一
考 验．
（ ）以数 助形 、 ６ 以形 助数 的数形 转 化． “ 位 ” 维 的构成 主要 是 辨 析思 维 （ 换 思 即通 过 正 反两 方面 的相互 比较 、 互促 进 、 互转 化来 加 相 相 强对 正 面 事 物 的认 识 ） 所 以 其 “ 异 性 ”使 思 维 ， 求
２ 在 解 题 教 学 中培 养 学 生 “ 位 ”思 维 的 换
措 施
２ １ 改造 教 学材 料 。 ． 奠定 培 养“ 位”思 维 的基 换
础
难， 或者思 考 时会 出现逻 辑上 的 障碍． 时我们 若 这 能“ 位 ”去 思 考 ， 可 以化 繁难 为 简 易 ， 巧 妙 换 则 或 地 避 开 障碍 ， 而 达 到 “ 暗 花 明 又 一 村 ”的 效 从 柳
ｆ Ｔ
一
８ 则易得原式等于÷． ，
＋—
（￡ —ｒ
的最 大值 是
一 一— —
．
２ ３ ３ 条 件 与 结 论 换 位 ．．
分析 本 题 通 过二 次 函数 的值 域 解 得 相 应
条件 与结论 是一 个命 题 的两个 相互对 立 的部
条件 ａ 一４ 这一 点大部 分 学生 都 能想 到 ， 接下 ， ｃ ， 但
件 的概 率下 手． （ ）如用 综 合 法 困难 ， ２ 即从 已知 条 件 入 手 困 难 时 ， 而从 所求 结论 进行 探求 ， 改用分 析法 ． 转 可 （ ） 按 照 指 定 的 运 算 进 行 解 题 比 较 困 难 ３ 若
对 该公 式在其 他 场合情 景 中的理 解 和应用 ．
题 目 的 结 构， 可 以 先 把 题 目 变 形 成 ：
范 围即可．
求 得 一 ２ ５≤ ｂ ４ 所 以 ２ ２ ５≤ ３≤ ６ √ ≤ ， — √ 『 ．
一
般 求形 如 ￣ＯＣ － ￣ ｔ ＋ｂＪ ／ ． Ｏ ， ｒ －
＋＆ ＋ Ｃ函
数 的值 域 ， 解题 思路 是先换 元 ， 掘 其 函数 表 达式 挖
令 ｂ — 一 ２ ｍ ＝ｘ一 １ ， ，
Ｊｌ
代数 与 几何 是 数 学 的两 个 分 支 ， 既有 本 质 区 别， 又在 很多 地方 有联 系 ， 时两 者进 行换 位可 以 有 收到事半 功倍 的效 果 ．
＝
一
￣一 ＋ ４ （ ／ ≤ ０ ， ）
则 ① 式 变 为
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中学数学 月 刊
２１ ０ ２年第 ５期
解题 教 学 中的“ 位” 换 思维
钱 燕 芳 （ 苏省 无锡 市 第三 高级 中学 ２ ４ ２ ） 江 １ ０ ８
换 位 思想在 日常生活 中有着 广 泛 的应 用 ， 换 个角 度考 虑或 将心 比心 地 站 在对 方 立 场 思 考 ， 人
呈发 散状 态 ， 而 富 有独 创 性 、 活 性 和 敏捷 性 ， 从 灵 是一 种 良好 的数学思 维 品质．
与人 的关 系会 更和谐 ， 流更 通 畅 ， 交 问题 更容 易解 决， 数学解 题也 是如 此． 我们 时常会 遇 到这样 的 问
题： 下笔 时按 常规思 维 ， 快会 发 现运算 过程 很繁 很
如果 教 学 中不 仅 热衷 于 给 出问题 的解 法 ， 而 且还 将决 策 受 阻 调整 等探 求过 程 中 的思 维
２１ ０ ２年 第 ５ 期
中学 数学 月 刊
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活 动 比较真 实地 反 映在 学 生 面 前 ， 给 学 生 善 于 教