泸州市初中数学二次函数经典测试题及答案解析

∴当x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，所以①不符合题意；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a<0，所以②不符合题意；
③∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴ ＝n，
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③符合题意；
④∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，
∴ 和3是关于 的方程 的两个根；故②正确；
∵b=-a，c=-2
∴二次函数解析式：
∵当 时，与其对应的函数值 ．
∴ ，∴a ；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
7．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )
A．﹣4＜P＜0B．﹣4＜P＜﹣2C．﹣2＜P＜0D．﹣1＜P＜0
【答案】A
当x＞1，a＞0时，y随着x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
12．二次函数 （ 是常数， ）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：
…
0
1
2
…
…
…
且当 时，与其对应的函数值 ．有下列结论：① ；② 和3是关于 的方程 的两个根；③ ．其中，正确结论的个数是（）
∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．
故选A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．
8．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( )
由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【详解】
∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，
∴图形与x轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），
∵此函数图象通过（1，a）、（3，b）、（-1，c）、（-3，d）四点，
∴a＜0，b＜0，c=0，d＞0，
∴ ＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣ x上，
∴m＝﹣ x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．
5．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，动点 ， 同时从点 出发，点 以 的速度沿折线 运动到点 ，点 以 的速度沿 运动到点 ，设 ， 同时出发 时， 的面积为 ，则 与 的函数图象大致是( )
【解析】
【分析】
【详解】
解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．
∵对称轴在y轴的左边，∴ ＜0．∴b＞0．
∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．
∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．
把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，
∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．
【详解】
由图象可知，a＜0，c=1，
对称轴：x= ，
∴b=2a，
①由图可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确；
②由图可知：当x=−1时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确；
③abc=2a2＞0，正确；
④由图可知：当x=−3时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确；
⑤c−a=1−a＞1，正确；
∴①②③④⑤正确．
令y=0，
∴x=3或x=-1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B成立；
∴抛物线的对称轴为：x=1，
令x=1代入y=ax2-2ax-3a，
∴y=a-2a-3a=-4a，
∴顶点坐标为（1，-4a），故A成立；
由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，
∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C成立；
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;
∴抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
4．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣ x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（ ）
∴k＝ (4﹣k)，
解得：k＝ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（）
①c＞0；②b2－4ac＜0；③a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．
11．已知二次函数 ，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )
A．该图象的顶点坐标为 B．该图象与 轴的交点为
C．若该图象经过点 ，则一定经过点 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
解：y=a（x2-2x-3）
=a（x-3）（x+1）
A． B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．
【详解】
解：如图，在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣ x的图象上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x轴的交点情况，对照选项逐一分析即可．
【详解】
①∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．
【详解】
∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2
∴抛物线的对称轴是：x=- = ；
∴a、b异号，且b=-a；
∵当x=0时y=c=-2
∴c
∴abc 0，故①正确；
∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t
3．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②3a+b＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】
根据题意得，点 从点 运动到点 时以及从点 运动到点 时是一条线段，故选项C与选项D不合题意；
点 从点 运动到点 时， 是 的二次函数，并且有最小值，
∴选项B符合题意，选项A不合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．
故选：D．
【点睛】
此题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．如图，抛物线 与 轴交于 两点， 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点， 是线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值是（）