机械工程控制基础~06控制系统的稳定性

Ai X o ( s) i 1 s si
（位于[s]平面的左半平面）
n
xo (t ) Ai e sit
i 1
n
1、若系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部
则 lim Ai e si t 0
t i 1
n
响应收敛，系统稳定
A e sit A e
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此课件除了 PPT 内容，课件下 方附带的备注里讲解内容更 细致：备注里有很多案例可 以帮助理解；备注里有很多 重点、难点内容的详细讲解； 备注里有很多易错 、易误导 内容的讲解。
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河北工程大学 机械与装备工程学院
周雁冰
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第六章
6.1
控制系统的稳定性
系统稳定性概念及其条件
6.2
6.3
控制系统的稳定判据
控制系统的稳定性储备
Routh判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系 统特征方程具有正实部特征根的个数。因此系统稳定的充 要条件可表述为：Routh表中第一列各元的符号均为正。
例：系统特征方程 D(s) s 4 s3 19s 2 11s 30 0 试用Routh表判断其稳定性。 解： s
终点（或收敛域） 有限平衡域 有限平衡域 中的平衡点 有限平衡域 有限平衡域 中的平衡点
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三、系统稳定的条件
对于线性定常系统：
an xo (t ) an1 xo
(n)
( n 1)
(t ) a1 xo (t ) a0 xo (t ) (n m)
4
1
19
11
30
0
30
0
s3
s2
1
30
12
s1
s0
1 ( 19 ) 1 11 30 1 1 30 1 0 30 1 ( 30 ) 11 1 30 12 30
30
首列元素改变符号两次。
由Routh判据：系统不稳定，系统有两个具有正实部的特征根。
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依据上式，s的同次幂前系数应对等，则有下式：
n an 1 a si i 1 n n an 2 si s j a i j n i 1, j 2 …… n a 0 ( 1) n si i 1 an
按习惯，一般取最高阶 次项的系数为正（即an >0）， 要使系统稳定，那么系统全 部特征根均具有负实部，就 必须满足以下条件（即系统 稳定的必要条件）：
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6.1 系统稳定性概念及其条件
一、稳定性的定义
稳定性定义：系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡 位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。
系统稳定性说明：若系统在初始状态的影响下，由它所引 起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于 0 （即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它 所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离 平衡位置越来越远），则称系统是不稳定的。
式中，z1，z2，…，zm为零点；s1，s2，…，sn为极点； M(s)为传递函数的分子；D(s)为传递函数的分母， D(s)=0 称为系统的特征方程，方程的根si表示系统的特征根。
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对于单位脉冲输入，假设特征方程根互异（无重极 根、无共轭根），无干扰时其输出拉氏变换和响应为：
李亚普诺夫稳定
渐近稳定
不稳定
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3、大范围稳定性与大范围渐近稳定性 若系统在任意初始条件下都保持稳定，则系统称为 “大范围稳定”的；若系统在任意初始条件下都保持渐近 稳定，则系统称为“大范围渐近稳定。
大范围稳定
特征方程的各项系数都大
于0（即ai >0）。
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2、 劳斯判据下系统稳定的充要条件 对系统的特征方程：D(s) an s n an1s n1 a1s a0 0 其各阶系数排成Routh表如下：
系统传递函数的特征方程有重极根、有共轭根时，不影 响以上分析结果，详细分析过程参考书上。
结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征 根，这是系统的固有特性即结构与参数，与系统的输入无关。
线性定常系统稳定的充分必要条件是：特征方程式 的所有根均为负实根或其实部为负的复根，即特征方程 的根均在复平面（[s]平面）的左半平面。 由于系统特征方程的根就是系统闭环传递函数的极 点，因此也可以说，线性定常系统稳定的充分必要条件 是：系统闭环传函的极点均在复平面（ [s] 平面）的左半 平面。
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线性定常系统闭环传递函数为： bm s m bm1s m1 b1s b0 X ( s) G( s ) GB (s) (n m) n n 1 Y (s) 1 G(s) H (s) an s an1s a1s a0
n
n n s n si s n 1 si s j s n 2 (1)n si i j i 1 i 1 i 1, j 2
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t
x iy t
Why?
A e xt eiyt，x, y均为实数，且x 0
因为 lim e xt 0，eiyt cos yt i sin yt为有限数， 所以 lim A e sit =0
t
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( )
o
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2、渐近稳定性
要求由初始状态引起的响应最终趋于平衡状态（衰减 为 0）。渐近稳定性满足李雅普诺夫稳定性定义，而输出 响应比李氏稳定性严格（渐进稳定要求系统输出最终趋于 平衡状态，而李亚普诺夫稳定性仅要求系统输出进入 的 范围即可），因此渐进稳定性的要求更高。
大范围渐近稳定
在工程中，通常不采用李亚普诺夫稳定性的概念，而 是采用条件更为苛刻的渐近稳定的概念。对定线性定常系 统，其稳定性是渐近的，而且是大范围渐近稳定的，这给 稳定性讨论带来了极大的方便。
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起点 李雅普诺夫稳定性 渐进稳定性 大范围稳定性 大范围渐进稳定性 有限起始域 有限起始域 任意 任意

an1an6 an an7 A3 an1
A1an3 an1 A2 B1 A1
s1
0
E1
F1
A1an7 an1 A4 B3 A1
B2
A1an5 an1 A3 A1
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例：闭环系统的开环传递函数为：
K ( s 1) Gk ( s) s(Ts 1)(5s 1)
求系统稳定时K和T的取值范围。 解：系统闭环特征方程为：1 Gk (s) 0
即 1 Gk (s) 的分子为0： 5Ts3 (5 T )s2 (1 K )s K 0
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3、低阶系统的劳斯稳定判据 二阶系统 劳斯表为： s2 s1 s0 a2 a1 a0 a0 0 二阶系统稳定的 充要条件为： a0>0，a1>0，a2>0
D(s) a2 s2 a1s a0 0
三阶系统
这是三阶系统，所以系统稳定条件为：
0
T 0 5T 0 K 4T 5
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二、关于稳定性的相关提法
1、李亚普诺夫稳定性 若 o为系统的平衡工作点，扰动使 系统偏离此工作点的起始偏差（即初 态）不超过域 η ，由扰动引起的输出 （这种初态引起的零输入响应）及其 终态不超过预先给定的整数 ε ，则系统 是稳定的，反之，系统是不稳定的。
D(s) a3s3 a2 s2 a1s a0 0
三阶系统稳定的充要条 件为： a3>0, a2>0, a1>0, a0>0, a1a2- a0a3>0