高中数学每日一练6新人教B版必修2【2019-2020学年度】
2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步单元质量测评含解析新人教b版必修第二册
第六章 平面向量初步单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若a ≠b ，则|a |≠|b |C ．若|a |＝|b |，则a 与b 可能共线D ．若|a |≠|b |，则a 一定不与b 共线 答案 C解析 因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误；不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C 正确，D 错误．2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)答案 A解析 BC →＝AC →－AB →，AC →＝(－4，－3)，AB →＝(3,1)，故BC →＝(－7，－4)． 3．设a ，b 是共线的单位向量，则|a ＋b |的值( ) A ．等于2 B ．等于0 C ．大于2 D ．等于0或等于2答案 D解析 ∵a 与b 是共线的单位向量，∴当两个向量同向时，|a ＋b |＝2|a |＝2；当两个向量反向时，|a ＋b |＝0；综上所述，故选D ．4．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向答案 D解析 ∵c ∥d ，∴设c ＝λd ，则k a ＋b ＝λa －λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λ＝－1，∴k ＝－1，λ＝－1，∴c ＝－d ，∴k ＝－1且c 与d 反向．5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2答案 D解析 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1),4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，则6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.6．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2) 答案 D解析 由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．7．已知平面内M ，N ，P 三点满足MN →－PN →＋PM →＝0，则下列说法正确的是( ) A ．M ，N ，P 是一个三角形的三个顶点 B ．M ，N ，P 是一条直线上的三个点 C ．M ，N ，P 是平面内的任意三个点 D ．以上都不对 答案 C解析 因为MN →－PN →＋PM →＝MN →＋NP →＋PM →＝MP →＋PM →＝0，所以MN →－PN →＋PM →＝0对任意情况是恒成立的．故M ，N ，P 是平面内的任意三个点．故选C ．8．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A ．23B ．43C ．－3D ．0答案 D解析 如图，连接AD ，∵CD →＝2DB →，∴CB →＝32CD →，又CB →＝AB →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →，又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.故选D ．9．O 为平面上一动点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足OA →＋OB →＝λOC →≠0(λ∈R )，则O 点的轨迹必过△ABC 的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心答案 D解析 如图，设D 为AB 边的中点，OA →＋OB →＝2OD →，∴2OD →＝λOC →，∴点O 在△ABC 底边AB的中线上．故选D ．10．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)答案 D解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．11．在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE相交于点N .若A N →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( )A ．1B ．12C ．14D ．18答案 C解析 ∵AD →＝14AB →，∴AD ＝14AB ．∵DE ∥BC ，∴AE ＝14AC ．又∵M 为BC 的中点，∴N 为DE的中点．∴ AN →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AB →＋14AC →＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y ＝18，∴x ＋y ＝18＋18＝14.12．如图所示，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP →＝( )A ．12a ＋12bB ．13a ＋23bC ．27a ＋47bD ．47a ＋27b 答案 C解析 如图，连接BP ， 则AP →＝AC →＋CP →＝b ＋PR →， ①AP →＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB →. ②①＋②，得2AP →＝a ＋b －RB →. ③又∵RB →＝12 QB →＝12(AB →－A Q →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →， ④ 将④代入③，得2AP →＝a ＋b －12⎝⎛⎭⎪⎫a －12AP →，解得AP →＝27a ＋47B ．故选C ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________. 答案 (－1,1)或(－3,1)解析 由于|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，所以a ＋b ＝(1,0)或(－1,0)，则a ＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)或a ＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．14．如图，直线l 上依次有五个点A ，B ，C ，D ，E ，满足AB ＝BC ＝CD ＝DE ，如果把向量A B →作为单位向量e ，那么直线上向量D A →＋C E →的坐标为________．答案 －1解析 由题意得，DA ＝3AB ，CE ＝2AB ，可得DA →＝－3AB →，CE →＝2AB →，故可得DA →＋CE →＝－3AB→＋2AB →＝－AB →＝－e ，故直线上向量DA →＋CE →的坐标为－1.15．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s ，则鹰的飞行速率为________m/s.答案8033解析 设鹰的飞行速度为v 1，鹰在地面上的影子的速度为v 2，则|v 2|＝40 m/s ，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v 1|＝|v 2|32＝8033 (m/s)．16.OA →＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则|AB →|的最大值为________．答案 3解析 AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)⇒|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2 ＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋232＋23， ∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值，最大值为3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA →，BC →的中点，且DC AB＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出向量DC →，BC →，MN →在此基底下的分解式．解 如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2. 又AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD → ＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2. ∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM → ＝12BC →＋e 2－12AD → ＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1 ＝k ＋12e 2.18．(本小题满分12分)已知向量a ，b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)求实数k ，使k a ＋b 与2a ＋k b 共线． 解 (1)证明：AB →＝a ＋b ， AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝6a ＋6b ，显然AB →＝16AD →.故AB →∥AD →，又AB →与AD →有公共点A ， 故点A ，B ，D 三点共线．(2)若k a ＋b ∥2a ＋k b ，必存在实数λ，使得k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )， 整理k a ＋b ＝2λa ＋λk b ， 又a与b 不共线，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2λ，1＝λk ，得k 2＝1k即k ＝± 2. 当k ＝2时，k a ＋b ＝2a ＋b,2a ＋k b ＝2a ＋2b ， 此时k a ＋b ∥2a ＋k b ，同理可验证k ＝－2时亦符合题意． 故k ＝± 2.19．(本小题满分12分)已知△ABC 内一点P 满足AP →＝λAB →＋μAC →，若△PAB 的面积与△ABC 的面积之比为1∶3，△PAC 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4，求实数λ，μ的值．解如图，过点P 作PM ∥AC ，PN ∥AB ，分别交AB ，AC 于点M ，N ，则AP →＝AM →＋AN →，所以AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ，因为S △PAC S △ABC ＝14，所以PG BH ＝14.又因为△PNG ∽△BAH ，所以PG BH ＝PN AB ＝14，即AM AB ＝14，所以λ＝14，同理μ＝13.20．(本小题满分12分)已知：如图，点L ，M ，N 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且BLBC ＝l ，CM CA ＝m ，AN AB＝n ，若AL →＋BM →＋CN →＝0.求证：l ＝m ＝n .证明 设BC →＝a ，CA →＝b 为基底． 由已知得BL →＝l a ，CM →＝m b ，∵AB →＝AC →＋CB →＝－a －b ，∴ AN →＝nAB →＝－n a －n b ，∴AL →＝AB →＋B L →＝(l －1)a －b ，① BM →＝B C →＋CM →＝a ＋m b ，② CN →＝CA →＋AN →＝－n a ＋(1－n )b ，③将①②③代入AL →＋BM →＋CN →＝0，得 (l －n )a ＋(m －n )b ＝0，∵a ，b 不共线，∴l －n ＝0，m －n ＝0， 即l ＝m ＝n .21．(本小题满分12分)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝1，求向量D ． 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ， ∴(3,2)＝(－m ＋4n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2(3＋4k )＋5(2＋k )＝0，即k ＝－1613.(3)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)， 又(d －c )∥(a ＋b )，|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－55，y ＝1－255.所以d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋55，1＋255或d ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－55，1－255. 22．(本小题满分12分)已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )． (1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线；(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？ 解 (1)AB →＝(2x,1)－(x,0)＝(x,1)， CD →＝(6,2x )－(2，x )＝(4，x )．若向量AB →与CD →共线，则x 2－4×1＝0，故x ＝±2. ∴当x ＝±2时，向量AB →与CD →共线． (2)当x ＝2时，A (2,0)，B (4,1)，C (2,2)，AB →＝(4,1)－(2,0)＝(2,1)， AC →＝(2,2)－(2,0)＝(0,2)．∵2×2－0×1≠0， ∴向量AB →与AC →不共线， ∴点A ，B ，C 不在一条直线上， ∴点A ，B ，C ，D 不在一条直线上．当x ＝－2时，A (－2,0)，B (－4,1)，C (2，－2)，AB →＝(－4,1)－(－2,0)＝(－2,1)， AC →＝(2，－2)－(－2,0)＝(4，－2)．∵(－2)×(－2)－4×1＝0，∴向量AB →与AC →共线，∵AB 与AC 有公共点A ， ∴点A ，B ，C 在一条直线上．又∵向量AB →与CD →共线，∴AB 与CD 平行或重合． 又A ，B ，C 在一条直线上，∴点A ，B ，C ，D 在一条直线上．综上，当x ＝2时，向量AB →与CD →共线，但点A ，B ，C ，D 不在一条直线上． 当x ＝－2时，向量AB →与CD →共线，且点A ，B ，C ，D 在一条直线上．。
2019-2020学年人教B版(2019)高中数学必修第二册同步学典(7)函数的应用(二) Wor
姓名，年级：时间：同步学典（7)函数的应用（二)1、下面对函数121()log ,()2xf x xg x ⎛⎫== ⎪⎝⎭,与()h x x =在区间(0,)+∞上的递减情况说法正确的是（ ）A.()f x 递减速度越来越慢,()g x 递减速度越来越快,()h x 递减速度不变 B 。
()f x 递减速度越来越快,()g x 递减速度越来越慢,()h x 递增速度越来越快 C 。
()f x 递减速度越来越慢,()g x 递减速度越来越慢,()h x 递增速度不变 D 。
()f x 递减速度越来越快,()g x 递减速度越来越快，()h x 递减速度越来越快 2、当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是（ ）A.100y x = B 。
100log y x = C.100y x = D.100xy = 3、有一组实验数据如下表所示:下列所给函数模型较适合的是( ) A.log (1)a y x a =>B.(1)y ax b a =+> C 。
2(0)y ax b a =+>D 。
log (1)a y x b a =+>4、生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为1()2202C x x x 2=++ （万元）。
一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月生产该商品数量应为( ）A 。
18万件B 。
20万件C 。
16万件D 。
8万件5、某地每年销售木材约53210m ⨯,销售价格为32.410⨯元/3m ,为了减 少木材消耗,决定按销售收人的%t 征收木材税，这样每年的木材销售量减少432.510m t ⨯.为了既减少木材消耗又保证税金收人每年不少于6910⨯元，则实 数t 的取值范围是 ( ) A. {|13}t t ≤≤B.{|35}t t ≤≤C 。
{|24}t t ≤≤D 。
{|46}t t ≤≤6、由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（/195222010GB T -）》于年月日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，车辆驾车人员血液酒精含量阀值喝瓶啤酒的情况且图表示的函数模型π40sin()13,02()3900.514,2x x f x e x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪⋅-+≥⎩,则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算)？（参考数据：ln15 2.71≈,ln30 3.40≈)（ )驾驶行为类型 阀值(/100)mg mL饮酒后驾车 20,80≥<醉酒后驾车 80≥A 。
(人教版B版2019)高中数学必修第二册 第六章综合测试01(1)(含答案)
第六章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下面几个命题： ①若a b =，则||||a b =； ②若||0a =，则0a =；③若向量a ，b 满足||||=⎧⎨⎩∥a b a b ，则=a b .其中正确的个数是（ ） A .0B .1C .2D .32.化简11(28)(42)32a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）A .2a b -B .2b a -C .b a -D .a b -3.下列各组的两个向量共线的是（ ） A .1(2,3)=-a ，1(4,6)=b B .2(2,3)=a ，2(3,2)=b C .3(1,2)=a ，3(7,14)=bD .4(3,2)=-a ，4(6,4)=b4.已知λ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A .||||λλ=a a B .||||λλ=a a C .||||||λλ=a aD .||0λ>a5.已知||8AB =，||5AC =，则||BC 的取值范围为（ ） A .[3,8] B .(3,8) C .[3,13]D .(3,13)6.下列三个说法：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ②若=a b ，=b c ，则=a c ； ③=a b 的充要条件是||||=a b 且∥a b . 其中正确的个数是（ ）A .1B .2C .3D .07.设非零向量a ，b ，下列四个条件中，使“||||=a ba b 成立的充分条件是（ ） A .∥a bB .2=a bC .∥a b 且||||=a bD .=-a b8.如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE AB AD λμ=+（λ，μ为实数），则22λμ+=（ ）A .58B .14C .1D .5169.在ABC △中，14AN NC =，若P 是直线BN 上的一点，且满足25AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A .4-B .1-C .1D .410.已知D 为三角形ABC 所在平面内一点，且1132AD AB AC =+，则BCD ABD S S =△△（ ）A .16B .13C .12D .2311.已知向量(1,2)=-a ，(, 4)x =b ，且∥a b ，则||-a b 等于（ ） A.B.C.D.12.如图，在ABC △中，0GA GB GC ++=，CA a =，CB b =，已知P ，Q 分别为线段CA ，CB （不含端点）上的动点，PQ 与CG 交于点H ，且H 为线段CG 中点，若CP m =a ，CQ n =b ，则11m n+=（ ）A .2B .4C .6D .8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上） 13.在ABC △中，||||||1AB BC CA ===，则||AB BC -=__________.14.如图所示，两根成120︒角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小是__________.15.在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC AM AN λμ=+，则实数λμ+=__________. 16.已知向量AB ，BC ，MN 在正方形网格中的位置如图所示，若MN AB BC λμ=+（,λμ∈R ），则λμ=__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.[10分]平面内给定三个向量(3,2)=a ，(1,2)=-b ，(4,1)=c ， （1）求满足m n =+a b c 的实数m ，n ； （2）若()(2)k +-∥a c b a ，求实数k .18.[12分]已知在平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且12BM AB =，点N 在BC 上，且13BN BC =.求证：M ，N ，D 三点共线.19.[12分]设两个非零向量a 与b 不共线.（1）若AB a b =+，28BC a b =+，3()CD a b =-，求证；A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +与a kb +共线.20.[12分]已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(3,4)B 及OP OA t AB =+.求： （1）若点P 在第二象限，求t 的取值范围.（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.21.[12分]已知平面上三点A ，B ，C ，(2,3)BC k =-，(2,4)AC =. （1）若A ，B ，C 三点不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； （2）若ABC △为直角三角形，求k 的值.22.[12分]已知点(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，设向量AB =a ，BC =b ，CA =c . （1）若m n =+a b c ，求实数m ，n 的值；（2）若2CN =-b ，3CM =c ，求向量MN 的坐标.第六章综合测试答案一、 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】B 8.【答案】A 9.【答案】B 10.【答案】B 11.【答案】B 12.【答案】C 二、13.14.【答案】10 N 15.【答案】4316.【答案】2 三、17.【答案】解：（1）因为a mb nc =+， 所以(3,2)(1,2)(4,1)(4,2)m n m n m n =-+=-++，所以43,22,m n m n -+=⎧⎨+=⎩解得5,98.9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）因为()(2)a kc b a +-∥，又(34,2)a kc k k +=++，2(5,2)b a -=-， 所以2(34)(5)(2)0k k ⨯+--⨯+=，所以1613k =-. 18.【答案】证明：由题意画出图像，如图，因为12BM AB =，点N 在BC 上且13BN BC =， 所以32DM DA AM DA AB =+=+，23DN DC CN DC CB =+=+.因为DC AB =，DA CB = 所以22323323DN AB DA DA AB DM ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 所以DM ，与DN 共线.又它们有公共点D ，所以M ，N ，D 三点共线.19.【答案】（1）证明：AB a b =+∵，28BC a b =+，3()CD a b =-，283()5()5BD BC CD a b a b a b AB =+=++-=+=∴，AB ∴与BD 共线.又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线.（2）解：若ka b +和a kb +共线，则存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+， 即ka b a k b λλ+=+，,1,k k λλ=⎧⎨=⎩∴解得1k =±.20.【答案】解：（1）(1,2)(2,2)(21,22)OP OA t AB t t t =+=+=++，由题意得210,220,t t +⎧⎨+⎩＜＞解得112t --＜＜.（2）不能.理由如下：若四边形OABP 是平行四边形，则只需OP AB =， 而(2,2)AB =，(21,22)OP t t =++，由此需要212,222,t t +=⎧⎨+=⎩但此方程组无实数解，所以四边形OABP 不能成为平行四边形.21.【答案】解：（1）由A ，B ，C 三点不能构成三角形， 得A ，B ，C 三点在同一直线上，即向量BC 与AC 平行，∴4(2)230k --⨯=，解得12k =.（2）∵(2,3)BC k =-，∴(2,3)CB k =--，∴(,1)AB AC CB k =+=.若ABC △为直角三角形，则当A ∠是直角时，AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，∴240k +=，解得2k =-.当B ∠是直角时，AB BC ⊥，即0AB BC ⋅=，∴2230k k --=，解得3k =或1k =-.当C ∠是直角时，AC BC ⊥，即0AC BC ⋅=，∴1620k -=，解得8k =.综上，k 的值为2-或1-或3或8.22.【答案】解：（1）∵m n =+a b c ，∴(5,5)(6,3)(1,8)m n -=--+，65,385,m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩∴解得1m =-，1n =-. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，∵3CM c =，2CN b =-，即()113,4(3,24)x y ++=，()223,4(12,6)x y ++=，1133,424,x y +=⎧⎨+=⎩∴22312,46,x y +=⎧⎨+=⎩解得110,20,x y =⎧⎨=⎩229,2,x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,20)M ，(9,2)N ，∴(9,18)MN =-.。
2019 2020新教材高中数学第六章平面向量初步测评新人教B版必修第二册
第六章测评满分:150分)(时间:120分钟一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).ABCD )(是矩形,1则下列命题中正确的是(多选)若四边形共线A.与B.与相等模相等与 ,方向相反C.D.与模相等ACD答案AD AD=CB AC=BD ∵ABCD∴∥;;但与且的方向不同B解析四边形,是矩形,故,不正确故A,D正确CB .正确故的方向相反C,与,.2= ABCDE ) (在五边形中(如图),B. A.D. C.B答案 . ∵解析B -.A) (3,1),与a已知两点(2,平行且方向相反的向量1),可能是(3多选()=-=-(9,3) 2) B.A.aa(1,-=--=8) C.a4,(1,2) (a D.AD答案.= ∴=-=--- ∴=∵ 1,2)(1,2)A(解析(1,2),a,正确.∴=-==- --正确D,44(1,2)8)4,(a.AxBy-= xy ) (4,6),,2),则(5,的值分别为2),若4,已知((x=-y=x=y=10 A.B.1,1,0x=-y=-x=y=-101,D.10 C.1, B答案y-B∵Ax2),(解析(5,,2),∴ = -xy-=(4,6),(54),- ∴解得-.故选B.xyx-y+x-y=+x-y ) 的值为a64()a3(2b3,)b5,已知向量ab不共线,实数则,满足(3-3C.0A.3B.D.2A答案- 解析由原式可得解得 -∴x-y=. 3.=--=-=-3)同时作用于某物体上一点,(4,为使物体保持平衡1),f(,3,2),6f已知三个力f(现加2,321) (则f等于上一个力f,44---2) B.(1,1,2) A.(-D.(1,2)1,2) C.( D答案,个向量相加等于零向量,即合外力为零,即4解析为使物体平衡∴=----------=.4,0(((1,2)1)f(02(2)3))(3)4.=-=mmm=-+ ) ”的(∥6”是“a(ab)则“Ra7已知向量(1,2),b(3,),∈,A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A答案．- ++=-=-m=-+=-+-=-故充),aa(bb(b1,2)),(3,6)可推出(2,a4),则∥(,a解析充分性:若a6, -m=-m=-++=k a,则a若a∥(abb解得,6,故必要性成立;综上所述“),6”分性成立;必要性:-+.故选A)”的充要条件∥是“a(a,b. ) (关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间,8正确的是A.船垂直到达对岸所用时间最少B.当船速v的方向与河垂直时用时最少C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D.以上说法都不正确答案B.用时最少v垂直河岸时,解析根据向量将船速v分解,当.==-=- ) 为(a,b(1,b1),c表示(c1,2),9若向量a则用(1,1),+-=-=acba b B.A.c+-==-b D.c C.cabaA答案+x=x,a解析设cb21--===1,2), 1),(1,c因为向量a(1,1),b(-xx=-x+x),所以(1,2),(2112解得-.=-故选c所以ba,A.10．= =ADBEABCBCAC) 等于,(分别为△b的边,,,上的中线设则a已知,+b A.a+ B.ab- C. ab+- D.baB答案), 解析由题意得①所以2, =- + ) (同理得2=- , 2② .=- 22即 + =①×+②, 322得4=+, 32a即4b. +.所以选ab BABCBPC ABCP.的面积之比等于与△并且,则△,设11如图所示,为△所在平面内的一点)(A.B.D.C.答案DAPBCDAPD三点共线,,因为解析延长,交,于点=m +n m+n==k , 所以1),设(=m +nk , 代入可得 =-m +nk = -m-nk+nk , ))即? ((1m+n=nk=-m-nk= 1, ,1且,即又因为,n=m=, 解得,= .所以可得4|| ||BPCABC, 之比与△与有相同的底边,所以面积之比就等于因为△.BPCABC所以△故选与△D的面积之比为,. . = °7,满足条件与:与的夹角为tan α,且α的夹角为三个单位向量12如图,在同一个平面内,m+nmn+n=m )( ,(∈R),则若的值为B.A.3C.3D.B答案,解析建立如图所示的平面直角坐标系.==-+=+==且为锐角知tan由α7α,,sin( °)cos(故,,cosαsinαα°)α,CB∴ , 的坐标为点-. ∴ -+n=m, 又+n=m, (1,0)-∴-∴解得.m+n=.∴ B选.把答案填在题中横线上)共20分,每小题5分,二、填空题(本大题共4小题.=x+-x=--xxx.|+|. 13则已知向量a 的取值范围为(2a3,2∈),b(R3),2b)(+∞),答案[+=xx+2),a(b,解析因为 ) |= |+a所以b, = ).+∞|+|a,b)∈[所以=.+=--此,则实数be与λ(2e等于3e)共线14,设ee为两个不共线的向量,若ae,λ222111 . ) (时a,b方向填“相同”或“相反”-答案相反,共线a解析因为,b=kk, ,使得a所以由向量共线定理知,存在实数b.k=-+k+=-k-ee)e即2λee(233e221211,,e不共线又因为e21 - .=-k<k=-方向相反,由于a0,所以所以,b解得λ,.ABCOBC||= || =x +y x-y=. ,时且,在线段点中15在△,的延长线上3当,-2答案 = || ||=, 33,解析由得,则) 所以. =-y=x=-,,所以.x-y=-=-所以2. +=.ABCDEF + λ的值为μμλ16,如图,正六边形中,若∈Rλ),μ(则答案OADADMFCEC:于点如下图,交连接交,解析连接于点ECMADOMADMD=AD, 且为由题可得:为中点的中点,,为的一个四等分点,+ =, λμ)所以所以.+=μ所以λ.) 小题,共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤706三、解答题(本大题共.||=. =- 其中)17(10分若θ(sin θ,1),θ(2sin ,2cos ),θ的最大值∈0,求,∵= +1)?θ,2cosθ解(sin ||===,∴==|| . 30时,取得最大值θ当cos1,即θ.= -= += -. 2ee,8e,ee18e(12分)设e,e是两个不共线的向量,已知3221211122ABD三点共线;求证(1):,,= -kBDFk.求,的值3e三点共线e,且,,(2)若21 = --+=-4ee3(2eee)解(1)由已知得)(e,211221∵ = -8e, 2e21∴ = . 2∵ B,与有公共点又∴ABD. ,三点共线,= -4e,e(2)由(1)可知21∵ = -kBDF三点共线,e3, e,且,21∴ = -k=-4λee, eλλ(eλ∈R),即32112 k=.即12解得 --.ABCDEFCDBC= = . ,的中点,设19在平行四边形(12分)中,b和a分别是边和; 表示向量(1)用a和b= + +.的值μ∈R,λ求,μλ其中λ,(2)若μABCD . 解(1)在平行四边形中,EFCDBC= = b,和a分别是边和的中点,, 因为.+ + =所以,abab+ ),a b((2)由(1)得), ∴∵ = +,ba又∵ = + , λ又μ.===∴+∴μλ,λμ.a>Cb>.AaBb 0,200(12分)已知三点),((2,2),,0),其中(0,.abOOACB ,的值是平行四边形,(1)若试求是坐标原点,且四边形.Ca+bAB三点共线试求,(2)若的最小值,,OACB,解(1)因为四边形是平行四边形-b= a), ((2,2所以,,0)即a=b=.解得2,故2-= -ab= -b), ,(2)因为),((2,2ABC , 三点共线由,,得,-a-b-b=a+b=ab, )(20,)即22(所以a>b>0, 因为0,=aba+b, 2(≤)所以2a+b-a+b 8(即()≥ ).a+ba+b解得或≥≤b>a>0,因为0,.a+ba+b的最小值是所以8≥即.a=b==,“”成立当且仅当4时 . ABC.,)分21(12在△中ABCABM;的面积之比与△求△(1)．.yx+y x NAB P=x +y(),求(2)若为,中点,与交于点的值∈,且R ABC, ,在△解(1) 中== , ) ,3( 4 3.MBCB 是线段即点 点的四等分点 ,靠近即3 .ABMABC 与△故△的面积之比为 , (2)因为yyx==x +y x , ∈ 3), ,所以 (R ABN , 的中点因为为 =x +y 所以+yx-= ,+y =x y-=x+ , 1)(=xy x-y- ,所以,(因为 1)yx=x+y=, 即231,又 .x=y=x+y= ,所以所以, Aba=B.ABCACabc=,cos在△),中,角,n ,(所对的边分别为,,,(cos ,向量m22分(12) .|=AB=| ,3p ),p (2sin ,2sin m ),若∥nCAB ; ,的值(1)求角,.xB=xAx+xf sin cos 若(2))∈0,sin cos ,求函数(的最大值与最小值AB=b ∴a ∵,cos,cos(1)解nm ∥ABAB=,sin 由正弦定理,得coscossin =∴A-B 0, sin()A=B ∴<A-B<-, ,ππ又．2222A=+=||=9,p8sin4sin 而p22A=+∴9, 8cos4sin2=-A+∴+A 9, cos4(14(1)cos)2=A-∴A+0, 4cos4cos12=A-∴0,1)(2cos A=<A<A=∴∴, ,又πcos,0.A=B=C=∴xxf=x+ sincos(2)cos()sin , =sinx+x∴∵,∈,0,∈∴x=fx=f=, ((0))时0,min.= 1=ffxx=),(时max。
2019-2020学年高中数学人教B版必修2作业与测评：2.1～2.2 阶段检测(三) Word版含解析
阶段检测(三)对应学生用书P61(范围：2．1～2．2)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( ) A ．0°＜α＜45° B ．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D ．135°＜α＜180° 答案 B解析 因为斜率为1的直线的倾斜角是45°，斜率为2的直线的倾斜角大于45°，倾斜角大于90°且小于180°时，直线的斜率是负值，所以斜率为2的直线的倾斜角α的范围是45°<α<90°，故选B ．2．在x 轴上的截距为2且倾斜角为60°的直线方程为( ) A ．y ＝3x －2 3 B ．y ＝3x ＋2 3 C ．y ＝－3x －2 3 D ．y ＝－3x ＋2 3 答案 A解析 由题可知直线的斜率k ＝ΔyΔx ＝tan60°＝3，所以直线方程为y ＝3(x －2)，即y ＝3x －23．3．若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，b)共线，则下列结论正确的是( ) A ．2a －b ＝3 B ．b －a ＝1 C ．a ＝3，b ＝5 D ．a －2b ＝3 答案 A解析 由k AB ＝k AC 可得2a －b ＝3，故选A ．4．若实数m ，n 满足2m －n ＝1，则直线mx －3y ＋n ＝0必过定点( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13答案 D解析 由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x ＋2)m ＋(－3y －1)＝0，由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13，所以此直线必过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13，故选D ． 5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 B解析 直线ax ＋y ＋2＝0过定点C(0，－2)，k AC ＝－52，k BC ＝43．由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a 的取值范围为－52＜－a ＜43，解得a ∈－43，52．6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．5x ＋4y ＋1＝0 B ．5x ＋4y －1＝0C ．－5x ＋4y －1＝0D ．－5x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 设所求直线上的任一点为(x ′，y ′)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ′，－y ′)．因为点(x ′，－y ′)在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x ′＋4y ′＋1＝0，即所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0．7．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD( )A ．平行B ．垂直C ．不确定D ．相交 答案 D解析 易知A(2，1)，B(4，2)，原点O(0，0)，∴k OA ＝k OB ＝12，∴直线AB 过原点，同理，C(2，lg 2)，D(4，2lg 2)，k OC ＝k OD ＝lg 22≠12，∴直线CD 过原点，且与AB 相交．8．过点M(1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0 答案 B解析 设P(x 0，0)，Q(0，y 0)．∵M(1，－2)为线段PQ 的中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1，即2x －y －4＝0．故选B ．9．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n)到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5 答案 A解析 由⎩⎨⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.把(1，2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得m ＋2n ＋5＝0， ∴m ＝－5－2n ，∴点(m ，n)到原点的距离d ＝m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5≥5，当n ＝－2时等号成立，此时m ＝－1．∴点(m ，n)到原点的距离的最小值为5．故选A ．10．点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A ． 3 B ．3m C ．3 D ．3m 答案 A解析 由点到直线的距离公式得点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝3．11．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞答案 D解析 在平面直角坐标系中作出点A(1，2)，B(－3，0)，C(3，0)，过点A ，B 作直线AB ，过点A ，C 作直线AC ，如图所示，则直线AB 在x 轴上的截距为－3，直线AC 在x 轴上的截距为3．因为k AB ＝2－01－(－3)＝12，k AC ＝2－01－3＝－1，所以直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．12．已知△ABC 的边AB 所在的直线方程是x ＋y －3＝0，边AC 所在的直线方程是x －2y ＋3＝0，边BC 所在的直线方程是2x －y －3＝0．若△ABC 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322 D ． 5 答案 B解析 联立直线方程，易得A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A ，B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A ，B 两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l 的方程为________．答案 x ＝3解析 直线y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°．直线l 的倾斜角是已知直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，所以直线l 的倾斜角为90°，直线l 的斜率不存在，所以直线l 的方程为x ＝3．14．直线x 3＋y4＝t 被两坐标轴截得的线段长度为1，则t ＝________． 答案 ±15解析 直线与x ，y 轴的交点分别为(3t ，0)和(0，4t)，所以线段长为(3t )2＋(4t )2＝1，解得t ＝±15．15．已知点A(2，4)，B(6，－4)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为________．答案 58解析 设点P 的坐标为(a ，b)．∵A(2，4)，B(6，－4)，∴|PA|2＋|PB|2＝[(a －2)2＋(b －4)2]＋[(a －6)2＋(b ＋4)2]＝λ，即2a 2＋2b 2－16a ＋72＝λ．又∵点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，∴3a －4b ＋3＝0，∴509b 2－803b ＋90＝λ．又∵满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8032－4×509×(90－λ)＝0，解得λ＝58．16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 因为y ＝|x －a|－1＝⎩⎨⎧x －a －1，x ≥a ，－x ＋a －1，x<a ，所以该函数的大致图象如图所示．又直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则2a ＝－1，即a ＝－12．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知Rt △ABC 的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求斜边所在直线的方程．解 (1)解法一：依题意，Rt △ABC 的直角顶点坐标为B(－1，－22)， ∴AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1．又∵A(－3，0)， ∴k AB ＝0＋22－3－(－1)＝－2，∴k BC ＝－1k AB＝22，∴边BC 所在的直线的方程为y ＋22＝22(x ＋1)，即x －2y －3＝0． ∵直线BC 的方程为x －2y －3＝0，点C 在x 轴上，由y ＝0，得x ＝3，即C(3，0)．解法二：设点C(c ，0)，由已知可得k AB ·k BC ＝－1，即0＋22－3－(－1)·0＋22c ＋1＝－1，解得c ＝3，所以点C 的坐标为(3，0)．(2)由B 为直角顶点，知AC 为直角三角形ABC 的斜边． ∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y ＝0．18．(本小题满分12分)点M(x 1，y 1)在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x 1∈[2，5]时，求y 1＋1x 1＋1的取值范围．解y 1＋1x 1＋1＝y 1－(－1)x 1－(－1)的几何意义是过M(x 1，y 1)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．点M 在直线y ＝－2x ＋8的线段AB 上运动，其中A(2，4)，B(5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16， ∴－16≤y 1＋1x 1＋1≤53，∴y 1＋1x 1＋1的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53．19．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ． 解 (1)联立两直线方程⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，则两直线的交点为P(－2，2)．∵直线x －2y －1＝0的斜率为k 2＝12，所求直线垂直于直线x －2y －1＝0，那么所求直线的斜率k ＝－112＝－2，∴所求直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0．(2)对于方程2x ＋y ＋2＝0，令y ＝0则x ＝－1，则直线与x 轴交点坐标A(－1，0)，令x ＝0则y ＝－2，则直线与y 轴交点坐标B(0，－2)， 直线l 与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB ， ∴S ＝12|OA||OB|＝12×1×2＝1．20．(本小题满分12分)一条光线经过点P(2，3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：(1)入射光线所在直线的方程；(2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度．解 (1)设点Q ′(x ′，y ′)为点Q 关于直线l 的对称点，QQ ′交l 于点M ．∵k l ＝－1，∴k QQ ′＝1， ∴QQ ′所在直线的方程为y －1＝1·(x －1)， 即x －y ＝0． 由⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12，∴交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ′2＝－12，1＋y ′2＝－12.解得⎩⎨⎧x ′＝－2，y ′＝－2，∴Q ′(－2，－2)．设入射光线与l 交于点N ，则P ，N ，Q ′三点共线， 又∵P(2，3)，Q ′(－2，－2)， ∴入射光线所在直线的方程为 y －(－2)3－(－2)＝x －(－2)2－(－2)，即5x －4y ＋2＝0．(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ ′|＝|PQ ′| ＝[2－(－2)]2＋[3－(－2)]2＝41， 即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41．21．(本小题满分12分)设直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解 设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为 C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎨⎧ x C ＋2y C －1＝0，x C －y C －1＝0，解得⎩⎨⎧x C ＝1，y C ＝0， ∴C(1，0) ⎩⎨⎧x D ＋2y D －3＝0，x D －y D －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23．则C ，D 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，即直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13．又直线l 经过点(－1，1)，由两点式得直线l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0． 22．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72．又因为a ＞0，解得a ＝3．(2)假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0． 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0． 若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①．所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。
人教B版高中数学必修第二册6.1.4数乘向量【含答案】
6．1.4数乘向量必备知识基础练进阶训练第一层1．若点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →＝()A ．－2AB →B ．13AB →C ．－13AB →D ．2AB →2．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝()A ．a ＋34bB ．34a ＋14bC ．14a ＋14bD ．14a ＋34b 3．设a 是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的个数是()①a 与－λa 的方向相反；②|－λa |≥|a |；③a 与λ2a 方向相同；④|－2λa |＝2|λ|·|a |.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知|a |＝6，b 与a 的方向相反，且|b |＝3，a ＝m b ，则实数m ＝________．5．已知a ，b 是两个非零向量，则下列说法中正确的有________(填序号).①－2a 与a 是共线向量，且－2a 的模是a 的模的两倍；②3a 与5a 的方向相同，且3a 的模是5a 的模的35；③－2a 与2a 是一对相反向量；④a －b 与－(b －a )是一对相反向量．6．(1)已知非零向量e 1，e 2不共线．如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)已知e 1，e 2是共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，求证a ∥b .关键能力综合练进阶训练第二层7．已知点O 为线段AB 的中点，则下列结论错误的是()A ．AB →＝2AO →B ．AO →＝OB →C ．OB →＝12AB →D ．OB →＝12BA →8．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则()A ．AD →＋BE →＋CF →＝0B ．BD →－CF →＋DF →＝0C ．AD →＋CE →－CF →＝0D ．BD →－BE →－FC →＝09．(多选)设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的条件是()A ．2a ＝b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b |10．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于()A ．－13a ＋34bB ．512a －34b C ．34a ＋13b D ．－34a ＋512b 11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．12．如图所示，已知AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，求证：DE →∥BC →.核心素养升级练进阶训练第三层13．(多选)下列命题中正确的是()A．对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝m a－m bB.对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝m a－n aC.若m a＝m b(m∈R)，则有a＝bD．若m a＝n a(m，n∈R，a≠0)，则m＝n14．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上参考答案与解析1．答案：D解析：∵AC →＝3AB →，∴BC →＝2AB →.2．答案：D解析：∵BD →＝3DC →，∴BD →＝34BC →＝34(b －a )，∴AD →＝AB →＋BD →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .3．答案：B解析：①②不正确，③④正确．4．答案：－2解析：|a ||b |＝63＝2，所以|a |＝2|b |.又a 与b 的方向相反，所以a ＝－2b ，所以m ＝－2.5．答案：①②③解析：①∵－2<0，∴－2a 与a 方向相反，两向量共线．又|－2a |＝2|a |，∴①正确．②∵3>0，∴3a 与a 方向相同，且|3a |＝3|a |；∵5>0，∴5a 与a 方向相同，且|5a |＝5|a |.∴3a 与5a 方向相同，且3a 的模是5a 的模的35.∴②正确．③按照相反向量的定义可以判断正确．④∵－(b －a )＝－b ＋a ＝a －b ，∴a －b 与－(b －a )为相等向量．∴④不正确．6．证明：(1)∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又AB →，BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)因为e 1，e 2共线，所以存在λ∈R ，使e 1＝λe 2，所以a ＝3e 1＋4e 2＝(3λ＋4)e 2，b ＝6e 1－8e 2＝(6λ－8)e 2.当λ≠43时，a ＝3λ＋46λ－8b ，所以a ，b 共线；当λ＝43时，b ＝0，a ，b 也共线．综上，a 与b 共线，即a ∥b .7．答案：D解析：A ，B ，C 正确；OB →＝－12BA →，故D 错误．8．答案：A解析：AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0.9．答案：AC解析：a |a |，b |b |分别表示a ，b 的单位向量．对于A ，当2a ＝b 时，2a |2a |＝a |a |＝b |b |；对于B ，当a ∥b 时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |；对于C ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |；对于D ，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |.综上所述，使a |a |＝b |b |成立的条件是a ＝2b ，2a ＝b .10．答案：D解析：DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋(－13AC →)＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b .故选D.11．答案：2解析：因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →.因为AB →＋AD →＝λAO →，所以λ＝2.12．证明：由已知得DE →＝AE →－AD →＝23AC →－23AB →＝23(AC →－AB →)＝23BC →，∴DE →∥BC →.13．答案：ABD解析：根据向量的数乘满足分配律知，恒有m (a －b )＝m a －m b ，故A 正确．根据向量的数乘满足分配律知，恒有(m －n )a ＝m a －n a ，故B 正确．若m ＝0，满足m a ＝m b ，则不一定有a ＝b ，故C 错误．由m a ＝n a 得，(m －n )a ＝0，由于a ≠0，所以m －n ＝0，则m ＝n ，故D 正确．14．答案：D解析：由已知得PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，∴PC →＝－2PA →，∴P 在AC 边上．。
2019-2020学年人教B版(2019)高中数学必修第二册同步学典：(22)向量基本定理与向量的坐标 Word版含答案
同步学典（22）向量基本定理与向量的坐标1、如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =( )A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB AD +D ．1223AB AD -2、在ABC △中，AD 为BC 边的中线，且=AE ED ，若EB AB AC λμ=+，则=λμ( ) A.-3B.-3C.3D.33、如图在梯形ABCD 中，2,BC AD DE EC ==，设,BA a BC b ==uu r uu u r，则BE =u u u r （ ）A.1124a b +B.1536a b + C.2233a b + D.1324a b +4、如图所示的ABC △中，点D E 、分别在边BC AD 、上，且2BD DC ED AE ＝，＝，则向量AE =( )A.1133AB AC + B.1166AB AC + C.1566AB AC + D.1233AB AC + 5、点G 为ABC △的重心（三角形三边中线的交点），设,BG a GC b ==，则AB = ( )A ．3122a b - B ．3122a b + C.2a b - D ．2b a -6、已知M 是ABC △内一点,11,34AM AB AC =+则ABM △ABC △的面积之比为（ ）A.14B.13C.12D.237、如图,给定两个平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120︒,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上,且OC xOA yOB =+(其中,R x y ∈,则满足x y +≥ （ ）1B.34 C.π4 D.π38、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为90︒,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中, R x y ∈,则35x y +的最大值为( )B.5D.69、如图所示,在ABC ∆中, 13AN AC =,P 是BN 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为( )A.911B.511C.311D.21110、在矩形ABCD 中，12AB AD ==，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB ADλμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A.3B. D.2 11、在平行四边形ABCD 中, ,E F 分别为边,BC CD 的中点,若AB x AE y AF=+(,R x y ∈),则x y -=__________.12、如图,半径为1的扇形AOB 的圆心角为120︒,点C 在AB 上,且030COB ∠=,若OC OA OB λμ=+u u u v u u v u u u v,则λμ+=____________．13、如图，在ABC △中，12AN AC P =，是BN 的中点，若14AP mAB AC =+，则实数m 的值是 ______ .14、如图，在ABC △中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为_______15、已知向量()3,2a =，),3(1b =－，()5,2c =． (1)求62a b c ＋－；(2)求满足a mb nc ＝＋的实数m ，n ； (3)若//()(2)a kc b a ＋－，求实数k .答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：2答案及解析： 答案：A解析：如图，AD 为BC 边的中线，则D 为BC 的中点，由AE ED =知E 为AD 的中点，则()()1111222211131312222244EB BE BA BD BA BA BC BA BA AC BA AC AB AC ⎡⎤⎛⎫=-=-+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-++=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故31,44λμ==-，则3λμ=-，故选A.3答案及解析：答案：D 解析：4答案及解析： 答案：B解析：,AD AB BD AD AC CD =+=+∵,又1,,()2BD DC BD CD AD AB AC ==-=+∵∴∴，又11112,,3366ED AE AE AD AE AD AB AC ====+∵∴∴，故选B.5答案及解析：答案：D 解析：6答案及解析： 答案：A解析：过点M 分别作,A C A B 的平行线交,A B A C 于点,.D E 由题意得11,34AM AD AE AB AC =+=+所以11,,34AD AB AE AC ==1.4A BM ABE A B C A B CAES SS S AC ==△△△△7答案及解析： 答案：B 解析：8答案及解析：答案：A 解析：9答案及解析： 答案：B解析：由,,B P N 三点共线,可得261111AP mAB AC mAB AN =+=+,故有6111m +=,解得511m =,故选B.10答案及解析： 答案：B 解析：11答案及解析： 答案：2 解析：12答案及解析：解析：13答案及解析：答案：12解析：14答案及解析： 答案：1或-1 解析：15答案及解析：答案：（1）()()3263,(21,325,2)a b c ＋－＝＋－－()()()18,121,310,471(,1)＝＋－－＝（2）∵a mb nc ＝＋，∴()()3,21,35,2)(),(532m n m n m n ＝－＋＝－＋＋． ∴53,322,m n m n -+=⎧⎨+=⎩解得4,1711.17m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3）∵()()()//235,2225,4()a kc b a a kc k k b a ＋－，＋＝＋＋，－＝－． ∴4355()()()220k k ⨯⨯＋－－＋＝ ∴1115k =-. 解析：。
高中数学每日一练
——不等式性质应用1.已知0<<b a ,则（ ） A.a1<b1 B.10<<b a C.ab >2b D.a b >ba 2.已知cb a ,,R ∈，则（ ）A. b a >⇒2ac >2bcB.b a cb ca>⇒>C.b a ab b a 11033<⇒⎭⎬⎫>>D.b a ab b a 11022<⇒⎭⎬⎫>> 3.若b a >,且0<+b a ，则（ ）A.b a >B.ba11> C. b a < D.ba11< 4.已知0<c ，则（ ）A.0c >c )21( B.2c >c )21( C.2c <c )21( D.c )21(>(31)c 5.已知b a ,R ∈,则（ ）A.“b a >”是“22b a >”的必要条件B.“b a >”是“b a -<-11”的充要条件C.“b a >”是b a >的充分条件D.“b a >”是22b a >的必要条件 6.若0<<y x ，则（ ）A.02<<xy xB. 22y xy x >>C. 022<<y xD. xy y x >>22 7.已知0=++z y x ，且z y x >>，则（ ）A.yz xy >B. yz xz >C. xz xy >D. y z y x > 8.已知0,0>>>>d c b a 则（ ）A.0>-cd abB.0>-ad bcC.0>-ab cdD.0>-bd ac—— 一元二次不等式解法1.不等式222x x +<的解集是（ ）A.),1(+∞B.)0,(-∞C. ),(+∞-∞D. ),0(+∞ 2.不等式3－5x －2x 2<0的解集为（ ）A.RB.空集C.}213|{<<-x xD.}213|{>-<x x x 或 3.不等式0412<++bx x 的解集为φ，则（ ） A.1<b B.11<->b b 或 C.11≤≤-b D.11>-<b b 或4.不等式11622++--x x x x <0的解集为（ ）A.（+∞-,31）B.（21,∞-）C.（21,31-）D.（31,-∞-） 5.若函数()x f =12++mx mx 的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是 。
2019_2020学年高中数学模块综合检测新人教B版必修2
模块综合检测[学生用书P137(单独成册)](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若点P在y轴上，且到点(2，5，－6)的距离为7，则点P的坐标为( )A．(0，8，0) B．(0，2，0)C．(0，8，0)或(0，2，0) D．(0，－2，0)解析：选C．设P(0，y，0)，由22＋(y－5)2＋62＝7，得(y－5)2＝9，解得y＝8或y ＝2．故选C．2．与直线2x－y＋1＝0平行，且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )A．2x－y＋5＝0B．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0C．2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0解析：选B．因为该切线与直线2x－y＋1＝0平行，所以可设切线方程为2x－y＋C＝0，则圆心到切线的距离d＝|C|22＋12＝5，解得C＝±5，所以切线方程为2x－y±5＝0，故选B．3．已知球的表面积为64π，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则截面与球心的距离是( )A．1 B．2 3C．2 D． 3解析：选B．由球的表面积为64π，得球的半径为4．用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则截面与球心的距离是42－22＝23．故选B．4．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，则圆C在点P(1，3)处的切线方程为( )A．x－3y＋2＝0 B．x－3y＋4＝0C．x＋3y－4＝0 D．x＋3y－2＝0解析：选A．圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心为C(2，0)，点P(1，3)在圆上，k PC＝3－01－2＝－3，所以切线的斜率为－1k PC＝13，故在点P(1，3)处的切线方程为y－3＝13(x－1)，即x－3y＋2＝0，故选A．5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α C ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α D ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α解析：选C ．A 中，由m ⊥n ，n ∥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误； B 中，由m ∥β，β⊥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误； C 中，由m ⊥β，n ⊥β可得m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，正确； D 中，由m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误． 6．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1，2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：选B ．由题意知k OM ＝2－01－0＝2， 所以k PQ ＝－12，所以直线PQ 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0．故选B ．7．某棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为( )A ．8＋413B ．20C ．122＋413D ．8＋12 2解析：选C ．由三视图可知，该几何体为四棱锥，且四棱锥的顶点在底面的投影为底面矩形的中心．四棱锥的高为2，底面矩形的相邻两个边长分别为4、6，两相邻侧面的斜高分别为22＋32＝13、22＋22＝8＝22．所以侧面积为2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×13＋12×6×22 ＝413＋122．8．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5，1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0x －y ＝0，得交点(2，2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)， 即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3．所以l 的方程为3x －y －4＝0．故选C ．9．如图，一个几何体的三视图的轮廓均为边长为a 的正方形，则这个几何体的体积等于( )A ．16a 3B ．12a 3C ．23a 3D ．56a 3 解析：选D ．由三视图，知几何体为棱长为a 的正方体截去一个三棱锥得到的，如图所示，它的体积为a 3－13×12a 2×a ＝56a 3．故选D ．10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B ．由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2．圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．11．若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0 B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0 C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0解析：选C ．由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2，2)，所以过点C (－2，2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理即得y 2＋4x －4y ＋8＝0．故选C ．12．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，M 为AB 的中点，将△ACM 沿CM 折起，使A ，B 间的距离为2，则M 到平面ABC 的距离为( )A ．12B ．32C ．1D ．32解析：选A ．由已知得AB ＝2，AM ＝MB ＝MC ＝1，BC ＝3，△AMC 为等边三角形． 在△ABC 中，取CM 的中点D ，连接AD ， 则AD ⊥CM ，AD 交BC 于点E ， 则AD ＝32，DE ＝36，CE ＝33． 折起后，由BC 2＝AC 2＋AB 2，知∠BAC ＝90°，又AC CE ＝BCAC＝3，∠ACE ＝∠BCA ， 所以△ACE ∽△BCA ， 所以∠AEC ＝∠BAC ＝90°， 所以AE ＝63，AE ⊥CE ， 因为AD 2＝AE 2＋ED 2， 所以AE ⊥ED ， 所以AE ⊥平面BCM ， 即AE 是三棱锥A BCM 的高． 设M 到平面ABC 的距离为h ，由等体积法得13×12×1×2×h ＝13×12×3×12×63，得h ＝12，故选A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8， 所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝4，所以a ＋b ＝2．答案：214．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________． 解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx －y －1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S ＝4π(3)2＝12π． 答案：12π15．过直线l ：y ＝x 上的点P (2，2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．解析：若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，其与直线l 、x 轴围成的三角形面积为2，符合题意．若直线m 的斜率k ＝0时，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0．综上，知直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2．答案：x －2y ＋2＝0或x ＝216．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直于底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是__________．①CC 1与B 1E 是异面直线； ②AC ⊥平面ABB 1A 1；③AE 与B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1；④A1C1∥平面AB1E．解析：①中，直线CC1与B1E都在平面BCC1B1中，不是异面直线；②中，平面ABC⊥平面ABB1A1，而AC与AB不垂直，则AC与平面ABB1A1不垂直；③中，AE与B1C1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得平面ABC⊥平面BCC1B1，由△ABC为正三角形，且E为BC的中点知AE⊥BC，所以AE⊥平面BCC1B1，则AE⊥B1C1；④中，A1C1与平面AB1E相交，故错误．答案：③三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y －2＝0，点C(2，0)．(1)求直线CD的方程；(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．解：(1)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD．所以k CD＝k AB＝2．所以直线CD的方程为y＝2(x－2)，即2x－y－4＝0．(2)因为CE⊥AB，所以k CE＝－1k AB ＝－12．所以直线CE的方程为y＝－12(x－2)，即x＋2y－2＝0．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C1．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．证明：(1)因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点， 所以EF ∥BC ．又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC ．(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， 因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1D ． 又A 1D ⊥B 1C 1，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ． 又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线l 1：2x －y ＋1＝0上，与直线3x －4y ＋9＝0相切，且截直线l 2：4x －3y ＋3＝0所得的弦长为2，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＋1＝0，|3a －4b ＋9|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋352＋1＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|3a －4(2a ＋1)＋9|＝5r ，[4a －3(2a ＋1)＋3]2＋25＝25r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|a －1|＝r ，4a 2＋25＝25r 2.化简，得4a 2＋25＝25(a －1)2． 解得a ＝0或a ＝5021．因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5021，b ＝12121，r ＝2921.故所求圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝1或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －50212＋⎝⎛⎭⎪⎫y －121212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫29212．20．(本小题满分12分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2．(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC．又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB．(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC．所以DE⊥A1D，DE⊥CD．又A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1DC．而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F．又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE．所以A1F⊥BE．(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，PD，QE，DQ，则PQ∥BC．又因为DE∥BC，所以DE∥PQ．所以平面DEQ即为平面DEQP．由上述可知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C．又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A 1C ⊥DP ． 又DP ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面DEQP ． 即A 1C ⊥平面DEQ ．故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ ．21．(本小题满分12分)已知圆C 过点A (1，2)和B (1，10)，且与直线x －2y －1＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)设P 为圆C 上的任意一点，定点Q (－3，－6)，当点P 在圆C 上运动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．解：(1)圆心显然在线段AB 的垂直平分线y ＝6上，设圆心为(a ，6)，半径为r ，则圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －6)2＝r 2， 由点B 在圆上得 (1－a )2＋(10－6)2＝r 2，又圆C 与直线x －2y －1＝0相切， 则r ＝|a －13|5．于是(a －1)2＋16＝(a －13)25，解得a ＝3，r ＝25，或a ＝－7，r ＝45．所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80． (2)设M 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x 0，y 0)，由M 为PQ 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－32，y ＝y 0－62，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋3，y 0＝2y ＋6， 又点P (x 0，y 0)在圆C 上，若圆C 的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20， 有(x 0－3)2＋(y 0－6)2＝20， 则(2x ＋3－3)2＋(2y ＋6－6)2＝20， 整理得x 2＋y 2＝5，此时点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝5．若圆C 的方程为(x ＋7)2＋(y －6)2＝80， 有(x 0＋7)2＋(y 0－6)2＝80， 则(2x ＋3＋7)2＋(2y ＋6－6)2＝80， 整理得(x ＋5)2＋y 2＝20，此时点M 的轨迹方程为(x ＋5)2＋y 2＝20． 综上所述，点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝5或(x ＋5)2＋y 2＝20．22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面PAE ；(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P -ABCD 的体积．解：(1)证明：如图所示，连接AC ．由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5．又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE ．(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连接PF ．由上述CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE ．于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AF ，BG ⊥PF ．由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 由题意∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝PA PB ，sin ∠BPF ＝BF PB， 所以PA ＝BF ．由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD＝BC ＝3．于是AG ＝2．在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855． 于是PA ＝BF ＝855． 又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P ABCD 的体积为 V ＝13×S ×PA ＝13×16×855＝128515．。
2020学年新教材高中数学课时训练(二十一)向量的加法新人教B版必修第二册(最新整理)
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课时跟踪检测（二十一） 向量的加法A 级——学考水平达标练1。
如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ,F ，G ，H ，则错误!＋错误!＝（ )A ．OH ，―→B ．错误!C ．错误!D ．错误!解析:选C 错误!＋错误!＝错误!。
2．已知向量a ∥b,且｜a ｜>|b|〉0，则向量a ＋b 的方向（ ） A ．与向量a 的方向相同 B ．与向量a 的方向相反 C ．与向量b 的方向相同D ．不确定 解析：选A 若a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b ）的方向相同；若它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．3．下列命题错误的是（ ） A ．两个向量的和仍是一个向量B ．当向量a 与向量b 不共线时,a ＋b 的方向与a ，b 都不同向，且|a ＋b ｜＜｜a ｜＋｜b ｜C ．当向量a 与向量b 同向时,a ＋b,a,b 都同向，且|a ＋b ｜＝｜a|＋|b ｜D ．如果向量a ＝b,那么a ，b 有相同的起点和终点解析：选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A 、B 、C 都正确;D 错误，如平行四边形ABCD 中，有错误!＝错误!,起点和终点都不相同．4．若在△ABC 中,错误!＝a ，错误!＝b,且｜a|＝｜b ｜＝1，|a ＋b|＝错误!，则△ABC 的形状是（ ）A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形解析：选D 由于|错误!｜＝｜a ｜＝1,｜错误!|＝｜b |＝1，|错误!|＝|a ＋b ｜＝错误!，所以△ABC 为等腰直角三角形，故选D.5．在矩形ABCD 中，已知｜错误!｜＝4，｜错误!|＝2，则向量错误!＋错误!＋错误!的模等于（ ）A ．2 5B ．45C ．12D ．6解析：选B 因为错误!＋错误!＝错误!,所以错误!＋错误!＋错误!的长度为错误!的模的2倍,故答案是4错误!。
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每日一练6
1.如图所示，如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个边长为2的正三角形，那么原平面图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
2.一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为.
3.直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为 ， ，直平行六面体的侧面积为.
4.圆锥的全面积是 ，底面积是 ，则它的体积是.
5.已知 是正方体 的上底面 的中心， 是对角线 和截面 的交点，求证： ， ， 三点共线.