七年级数学第三章 一次方程与方程组 第3节 消元法解方程上海科技版知识精讲
沪科版七年级上册数学第3章 一次方程与方程组 一元一次方程
－1的值是( ) C
A．3 B．4
C．5
D．6
导引：要紧扣方程的解及整式的值的意义解题． 因为2是关于x的方程x322－2a＝0的一个解， 所以×322－2a＝0，a＝3，因此2a－1＝
2
2×3－1＝5.故选C.
知3－练
1 写出一个一元一次方程，同时满足下列两个条件： ①未知数的系数是2；②方程的解为3，则这个方程 为.
知2－讲
例3 已知方程(a＋3) ＋x a2-2＝a－3是关于x的一元一次 方程，求a的值．
导引：根据一元一次方程的定义，可知|a|－2＝1，且 a＋3≠0.
解：由题意可知：|a|－2＝1， 所以|a|＝3，则a＝±3. 又因为a＋3≠0， 所以a≠－3， 所以a＝3.
知2－讲
一元一次方程中未知数的系数不能为0，这一 点要特别注意．
解：(5)(6)是一元一次方程．
知2－讲
判断一个方程是否为一元一次方程，不仅要看 原方程，还要看化简后的方程．原方程必须具备： 等式两边都是整式；化简后的方程必须具备：①未 知数次数为1；②未知数的系数不为0；③只含一个 未知数；以上条件，缺一不可． 易错警示：本例易出现只看原方程，而没有看 化简后的方程的错误．
（来自《教材》）
知2－讲
像上面得到的两个方程都只含有一个未知数 （元），未知数的次数都是1，且等式两边都是整 式的方程叫做一元一次方程.
知2－讲
要点精析： (1)一元一次方程的标准形式：ax＋b＝0(a≠0)，其中： x是未知数，a、b是已知数； (2)一元一次方程的条件：①等式两边都是整式；②是 方程；③化简后只含一个未知数且未知数系数不为 0；④未知数的次数是1(化简后)．
知4－讲
解：(1)x的3倍减5，即3x－5；x的2倍加1，即2x＋1，
第3章一次方程与方程组知识点清单-2020-2021学年七年级数学上册期末复习通关秘笈(沪科版)
沪科版七年级上册第3章《一次方程与方程组》知识清单思维导图：知识点一、从问题到方程1. 等式的定义：用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。
① 等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。
② 不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。
如x x 2735-=+才是等式。
2. 等式的性质性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
即如果b a =，那么c b c a ±=±。
性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
即如果b a =，那么bc ac =；如果b a =()0≠c ，那么cbc a =。
3、方程（1）.定义：含有未知数的等式叫做方程。
方程有两层含义：① 方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。
② 方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。
如12=+x 。
（2）. 方程与等式的区别与联系（3）方程的解与解方程① 检验一个数是否是方程的解，只要用这个数代替方程中的未知数，如果方程两边的值相等，那么这个数就是方程的解；如果不相等，这个数就不是方程的解。
② 方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。
③ 等式的基本性质是解方程的依据。
④ 方程的解是结果，而解方程是得到这个结果的一个过程。
知识点二、一元一次方程1.定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
2.标准形式：方程0=+b ax （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且0≠a ）叫做一元一次方程的标准形式。
① 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。
② 一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为1。
如321=+x ，6=+y x ，+2x 06=-x 都不是一元一次方程。
沪科版七年级数学上册 3.2 一元一次方程及其解法(第3章 一次方程与方程组 自学、复习、上课课件)
感悟新知
例3 解方程：8－3x=x+6.
知2－练
解题秘方：利用移项解一元一次方程的步骤(移项 →合并同类项→系数化为 1)解方程.
解： 移项，得 －3x－x=6 － 8. 合并同类项，得 －4x=－2.
常数， a≠ 0) 的形式，如 果 ax+b=0 是一元一次 方程，那么必有a≠ 0.
感悟新知
例1 下列各式中，哪些是一元一次方程？
知1－练
(1) 12x+y=1－2y； (2) 7x+5=7( x－2)；
(3)
5x2－
1 3
x－2=0；
(4)
2 x－1
=5；(5)
3 4
x=
1 2
；
(6) 2x2+5=2(x2－x) .
感悟新知
解：根据题意，可得 |m|－1=1，且 m+2 ≠ 0. 由 |m|－1=1，得 |m|=2，解得 m=± 2. 由 m+2 ≠ 0，得 m ≠ －2，所以 m=2.
切勿忽略未知数的 系数不为0 的条件.
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1.已知关于x的方程(m2－1) x2+(m－1) x+7m2=0 是一 元一次方程，则m= ( C )
3. 解方程中去括号的顺序 先去小括号，再去中括号，最后去
大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号.
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1. 去括号的目的是能利用移项解方程，其实质
是乘法分配律 . 2. 解方程中的去括号法则与整式运算中的去括
2024年沪科版七年级数学上册 第三章小结与复习(课件)
得2a+3b=－1，则(2a+3b)2025= －1.
典例精讲
例 4 一个方程组不小心被涂上了染料，如下：●3xx－＋●●yy＝＝82.2，小 聪说：“这个方程组的解为xy＝＝42，，而我求出的解是xy＝＝16，. 经检查后 发现，我看错了第二个方程中 y 的系数．”请你根据以上信息，把原 方程组还原出来．
如果 a＝b，那么 a＋c＝b＋c，a-c＝b-c.
知识归纳
2，3
性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数 （除数不能为0），所得结果仍是等式. 即
如果 a＝b，那么 ac＝bc，a = b （c≠0）. cc
性质3：如果 a＝b，那么 b＝a.（对称性）. 例如，由 -4=x，得 x=-4.
知识归纳
第3章 一次方程与方程组
本章小结与复习
七上数学 HK
知识梳理
➢ 本章知识结构图 设未知数，
实际问题
根据相等关系列方程 抽象为数学模型
实际问题 的解答
回归于实际问题 检验
一元一次方程
一般步骤：
解
去分母 去括号
方 移项
程 合并同类项
系数化为1
一元一次方程的 解（x=m）
知识归纳
一、等式的基本性质
1
性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式， 所得结果仍是等式. 即
知识归纳
三、解一元一次方程
步骤 去分母
去括号 移项 合并同类项
系数化1
根据
注意事项
等式性质2
①不漏乘不含分母的项； ②注意给分子添括号.
分配律、 ①不漏乘括号里的项； 去括号法则 ②括号前是“-”号，要变号.
移项法则 移项要变号
合并同类项法 则
沪科版初中数学七年级上册第三章3.用代入消元法解二元一次方程组
表示另一个未知数；
3（3+y）– 8y= 14 代 2、用这个式子代替另一个方
程中相应的未知数，得到一个
9+3y– 8y= 14
一元一次方程，求得一个未知
– 5y= 5
数的值；
y= – 1 求
把y= – 1代入③，得
x = 3+(-1)=2 ∴方程组的解是
x y
=2 = -1
写
3、把这个未知数的值代入上 面的式子，求得另一个未知数 的值；
探究
200克
.
10克
.
探究
用代入法 解二元一次方程组
消元
二元一次方程组
一元一次方程
转化
xy克克10克x克
200克
y克
x克 10克
.
.
y = x +ຫໍສະໝຸດ 10① 转化x +( x +10) = 200
x + (xy+10) = 200 ②
将未而未∴求知知方由得数数程二这的的组元个式个一二子xxy数+次元表==y由方一示x9=多5+程次出201化0方组来0 少的程中，，解组一再逐是的个代y一解方入=xy解。程另==110决9这，一0555的，。种将个想方一方法的法个程，叫未，求过叫方做知实方程做程数代现程叫消用入消组元组做含消元思解解另元，想一法进。，
解：由题意知, y + 3x – 2 = 0 ① 5x + 2y – 2 = 0 ②
由①得：y = 2 – 3x ③ 把③代入得：
5x + 2（2 – 3x）- 2 = 0
5x + 4 – 6x – 2 = 0 5x – 6x = 2 - 4
七年级数学第3章一次方程与方程组知识点沪科版
第3章 一次方程与方程组知识点一次方程与方程组知识点知识点1：一元一次方程的概念只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,像这样的整式方程叫做一元一次方程。
（如:21,314223x x x x --=+=-) 特点：①等号两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的次数都为1。
判断方法：首先要将整式方程化简，然后再判断是否满足一元一次方程的三个特点。
知识点2：等式的基本性质1.等式的两边都加上（或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
即如果a b =，那么a c b c ±=±；2。
等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0）,所得结果仍是等式.即如果a b =，那么ac bc =,(0)ab c c c=≠； 3。
对称性：如果a b =，那么b a =；4。
传递性：如果a b =，b c =,那么a c =。
知识点3:一元一次方程的解法1。
移项法则把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边，叫做移项法则.2。
解一元一次方程的步骤①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； ②去括号：先去小括号,再去中括号，最后去大括号； ③移项:把含有未知数的项都移到方程的一边，其它项都移到方程的另一边(移项要变号）④合并同类项：把方程变成(0)ax b a =≠的形式⑤系数华为1：在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解b x a=。
知识点4：（1)二元一次方程的概念含有两个未知数，且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
如：1,323,32m x y x y n +=-=+=都是二元一次方程。
（2）二元一次方程组的概念由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（如：2324x y x y +=⎧⎨-=⎩) 知识点5：二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。
知识点6:二元一次方程组的解法（1）用代入法求解二元一次方程组步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;③解这个一元一次方程，求出x(或y）的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数的值；⑤把求得的x、y的值用“｛”联立起来,就是方程组的解.（2)用加减法解方程组步骤:①方程组中的两个方程中,如果同一个未知数的系数即不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数变为相反数或相等;②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{"联立起来.知识点7：用一次方程（或方程组）解决实际问题①行程问题:行程问题中涉及的量有路程、平均速度、时间。
沪科版七年级数学上册二元一次方程组及其解法课件(共18张)
解：
①×2，得：
4x＋6y=38
③
②×3，得：
9x－6y＝27 ④
加减法消元时,先 要把相同未知数的系数 化 把x＝5代入①，得：
y＝3 ∴原方程组的解是 x=5
y=3
课堂小结
用加减法解二元一次方程组的步骤：
(1).利用等式性质把一个或两个方程的两边都 乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数 的系数，使其绝对值相等；
9u=18
解得 u ＝ 2
把u＝ 2 代入①得 3×2+2t=7
解得 t ＝ 0.5 所以这个方程组的解是
t 0.5 u
(2)
a 2b 3 a 3b 4
① ②
解：②-①， 得 b=1
把b＝ 1 代入①得 a+2×1=3
解得
a＝ 1
a 1 所以这个方程组的解是 b 1
例1、用加减法解二元一次方程组
利用相反数相加消去一个未知数
① 左边 +左边 ② = ①右边 + ② 右边
5x+6y +（5x-6y）=81 + 9
10x=90 把x=9代入① y=6
X=9，
｛5x ＋6y =81 ① 5x －6y =9 ②
再视察上面方程组中方程(1)与方程(2)，又可以发 现什么？
利用相同数相减消去一个未知数
(2).把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相 减，消去一个未知数，得一元一次方程；
(3).解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ；
(4).把所求的这个未知的值代入方程组中较为简 便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方 程的解 .
1、 用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知
新沪科版七上数学第3章 一次方程与方程组 3.3.4二元一次方程组的解法——加减消元法【习题课件】
016y＝2 015y＝2
014， 017.
能力提升练
解：2 2
015x＋2 016x＋2
016y＝2 015y＝2
001147， ，① ②①＋②，得
4
031x＋4
031y＝4
031，即 x＋y＝1. ③将①变形为 2 015 x＋2 015 y＋y＝2 014 ，
即 2 015(x＋y)＋y＝2 014，④把③代入④，得 2 015×1＋y＝2
能力提升练 利用上述方法解方程组：5x＋2y＝11， 解：设1x＝m，1y＝n，则原方3x－程2组y＝可13变. 形为53mm＋ －22nn＝ ＝1113，.
解这个方程组，得到它的解为mn＝＝－3，2.
由1x＝3，1y＝－2 求得原方程组的解为xy＝＝－13，12.
入①，得－1－2y＝5，解得 y＝－3，所以原方程组的解为 x＝－1， y＝－3.
能力提升练
10．[月考·合肥长丰县]若关于 x，y 的二元一次方程组
xx＋ －yy＝ ＝59kk，的解也是二元一次方程 2x＋3y＝6 的
解，则 k 的值为( B )
A．－34
3 B.4
4 C.3
素养核心练
解
：
因
为
二
元
一Hale Waihona Puke 次方程组
ax－by＝16， mx＋ny＝15
的
解
是
xy＝＝17，，所以xx＋－22yy＝＝71，. 解得xy＝＝324.，
x＝4， 所以所求方程组的解为y＝32.
基础巩固练
2．方程组33xx－ ＋44yy＝ ＝21， ②①既可以直接用_①__＋__②____消去 y，也可以直接用_①__－__②___消去 x.
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【本讲教育信息】
一. 教学内容：
第三章 一次方程与方程组
第3节 消元法解方程
教学目标：
能灵活应用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
二. 重点、难点：
1. 重点：（1）代入消元法；（2）加减消元法。
2. 难点：代入消元法和加减消元法的灵活应用。
课堂教学：
1. 二元一次方程组的解
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
2. 代入消元法
从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它代入另一个方程进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
（1）从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，变成y=ax+b 或x=ay+b 的形式；
（2）将y=ax+b （或x=ay+b ）代入另一个方程，消去y （或x ）得到关于x （或y ）的一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；
（4）把x （或y ）的值代入y=ax+b （或x=ay+b ）中，求出y （或x ）的值；
（5）用“{”联立两个未知数的值，就是原方程组的解！
例如：用代入法解二元一次方程组：
⎩⎨⎧-=-=+)2(33)1(1323 y x y x 解：由（2）得：x=3y －3 (3)
把（3）代入到（1）得：
3（3y －3）+2y=13
9y －9+2y=13
11y=22
y=2
把y=2代入（3）得：x=3×2－3
x=3
∴方程组解为：⎩⎨⎧==2
3y x
3. 加减消元法
把两个方程的两边分别加减消去一个未知数的方法，叫做加减消元方法，简称加减法。
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）用一个适当的数去乘方程两边每一项，使两个方程中准备消去的未知数的系数相等或互为相反数；
（2）把变形后的两个方程对应相加减消去一个未知数，转化成一元一次方程；
（3）求出一个未知数的解，再用代入法或加减法求另一个解。
可归纳为：（1）变换系数；（2）加减消元
例如：用加减消元法解二元一次方程组
⎩⎨⎧=+=+)
2(1743)1(1232 y x y x
解：（1）×3得： 6x+9y=36 (3)
（2）×2得： 6x+8y=34 (4)
（3）－（4）得： y=2
将y=2代入（1）得：2x+6=12
x=3
∴原方程组的解为：⎩
⎨⎧==23y x 【典型例题】
例1. ⎩⎨⎧-==11y x 及⎩⎨⎧==2
3y x 是方程mx+ny=5的解，求：4m+5n 的值
解：∵⎩⎨⎧-==11y x 及⎩
⎨⎧==23y x 是方程mx+ny=5的解
∴⎩⎨⎧=+=-)2(523)1(5 n m n m
（2）+（1）×2得： 5m=15
∴m=3
把m=3代入（1）得： n=－2
∴4m+5n=4×3+5×（－2）=2
例2. 若|3x －y －1|+（2x+y －4）2=0 求x y 的值
例3. 甲、乙两人同解方程组⎩
⎨⎧=-=+)2(132)1(5 ny x y mx
甲解题时看错（1）中的m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==227y x 乙解题时看错（2）中的n ，解得⎩⎨⎧-==73y x
试求原方程组的解
解：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-==227y x 是方程132=-ny x 的解
代入得：7+2n=13 n=3
⎩⎨⎧-==73y x 是方程mx+y=5的解
代入得：3m －7=5 m=4 ∴原方程组为 ⎩
⎨⎧=-=+)2(1332)1(54 y x y x （1）×3+（2）得：4x=28
x=2
把x=2代入（1）得： y=－3
∴原方程组的解为：⎩⎨⎧-==3
2y x
例4. 解方程：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--)2(927532)1(0232 y y x y x
例5. 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-1332by ax y x 和⎩
⎨⎧=+=+3321123by ax y x 的解相同，求a 、b 的值。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 填空题
1. 二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+1
210y x y x 的解是 。
2. 若方程组⎩
⎨⎧=+=+122y x m y x 的解满足x －y=5，则m 的值为 。
3. 若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+12354y x y x 和⎩⎨⎧=-=+1
3by ax by ax 有相同的解，则a= 、
b= 。
4. 把方程2x ＝3y+7变形，用含y 的代数式表示x ，x ＝ ；用含x 的代数式表示y ，则y ＝ 。
5. 当x ＝－1时，方程2x －y ＝3与mx+2y ＝－1有相同的解，则m ＝ 。
6. 若212543
y x b a ++-与12365--b a y x 是同类项，则a= ，b= ；
7. 二元一次方程组⎩
⎨⎧=+=+521y kx y x 的解是方程x －y=1的解，则k= 。
8. 若3x 2a+b+1+5y a-2b-1=10是关于x 、y 的二元一次方程，则a －b= 。
9. 若⎩⎨⎧=-=21y x 与⎩⎨⎧-==1
2y x 是方程mx+ny=1的两个解，则m+n= 。
二. 选择题
10. 若y=kx+b 中，当x ＝－1时，y=1；当x ＝2时，y ＝－2，则k 与b 为（ ）
A. ⎩⎨⎧=-=11b k
B.
⎩⎨⎧=-=01b k C. ⎩⎨⎧==21b k D. ⎩⎨⎧-==4
1b k 11. 若⎩
⎨⎧==21y x 是方程组⎩⎨⎧=-=-30ay bx by ax 的解，则a 、b 的值为（ ） A. ⎩⎨⎧==21b a B.
⎩⎨⎧-=-=21b a C. ⎩⎨⎧==11b a D. ⎩⎨⎧-=-=1
2b a 12. 在（1）⎩⎨⎧=+--=-8512115y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-4
32253t x y x （3）⎩⎨⎧=--=1232y x x y （4）⎩⎨⎧-=-=-243234y x y x 中，解是⎩
⎨⎧==22y x 的有（ ） A. （1）和（3） B. （2）和（3）
C. （1）和（4）
D. （2）和（4）
13. 对于方程组⎩⎨
⎧=--=+ 17y 5x 4 19y 7x 4，用加减法消去x ，得到的方程是（ ） A. 2y=－2 B. 2y=－36 C. 12y=－2 D. 12y=－36
14. 将方程－21
x+y=1中x 的系数变为5，则以下正确的是（ ）
A. 5x+y=7
B. 5x+10y=10
C. 5x －10y=10
D. 5x －10y=－10
三. 解答题
15. 用代入法解下列方程组
（1）⎩⎨⎧-=+=+6232y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+56345y x y x （3）⎩⎨⎧=-=+4383y x y x （4）⎩⎨⎧-=-=+73852y x y x
16. 用加减消元法解方程组
（1）⎩⎨⎧-=+=+653334y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+2463247y x y x （3）⎩⎨⎧=-=+1053552y x y x （4）⎩⎨⎧=+=+7
52523y x y x
17. 若方程组⎩⎨
⎧=++-=+ 4y )1k (x )1k ( 1y 3x 2的解中x 与y 的取值相等，求k 的值。
18. 已知方程组⎩⎨⎧=+=-9.1253132b a b a 的解是⎩⎨⎧==2
.13.2b a ，用简洁方法求方程组⎩⎨⎧=++-=+--9
.12)2(5)1(31)2(3)1(2y x y x 的解。
19. 已知：（3x －y －4）2+|4x+y －3|=0；求 x 、y 的值。
20. 甲、乙两人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+232y Cx By Ax 。
甲正确解得⎩⎨⎧-==1
1y x 、乙因抄错C ，解得⎩
⎨⎧-==62y x ，求：A 、B 、C 的值。
21. 已知：2x+5y+4z=15，7x+y+3z=14；求：4x+y+2z 的值。