高中数学不等式知识点总结归纳(教师版)

高中数学不等式专题教师版一、 高考动态 考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 二、不 等 式 知识要点1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义： （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）（对称性）（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加） （5）（异向不等式相减） （6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除） （倒数关系） （11）（平方法则） （12）（开方法则） 3.几个重要不等式（1）（2）（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 （当仅当a=b 时取等号）极值定理：若则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； .0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>-a b b a <⇔>c a c b b a >⇒>>,c b c a b a +>+⇒>d b c a d c b a +>+⇒>>,d b c a d c b a ->-⇒<>,bc ac c b a >⇒>>0,.bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>11(10),0a b ab a b>>⇒<)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且0,0||,2≥≥∈a a R a 则若)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若.2a b ab +≤,,,,x y R x y S xy P +∈+==○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.a=b=c 时取等号） （当仅当a=b 时取等号）（7） 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，（当a = b 时，）幂平均不等式： 注：例如：.常用不等式的放缩法：①（2）柯西不等式：（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则0,2b aab a b>+≥(5)若则2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若2112a ba b+≤+222()22a b a b ab ++≤≤222()22a b a b ab ++==),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++⇒22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++22222()()()ac bd a b c d +≤++21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-==-≥++--111)2n nn n ==≥+-时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,1212,(),x x x x ≠12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解1○2○3 （4）.指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ① ②类似于，③三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。

对于有些题目，可以直接利用公式求解。

但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。

下面是一些常用的变形方法。

一、配凑()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x ab a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当且仅当，即x＝2时取等号。

所以当x＝2时，的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。

解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。

∵∴当且仅当，即时等号成立。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

3. 分离例3. 求的值域。

解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当，即时（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

当，即时（当且仅当x ＝－3时取“＝”号）。

∴的值域为。

评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

二、整体代换例4. 已知，求的最小值。

解法1：不妨将乘以1，而1用a ＋2b 代换。

=+++=++≥+=+12232322322b a a b b a a bb a ab ·当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。

解法2：将分子中的1用代换。

评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。

三、换元例5. 求函数的最大值。

解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，即时取等号。

故。

评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。

四、取平方例6. 求函数的最大值。

解析：注意到的和为定值。

又，所以当且仅当，即时取等号。

故。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

高中数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：基本不等式一、选择题1．若a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8 解析：由a ＞0，b ＞0，ln(a ＋b )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时，上式取等号.答案：C2．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．9D ．16解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋x y ·a ＋y x＋a .∵x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴1＋ax y ＋yx＋a ≥1＋a ＋2a .由9≤1＋a ＋2a ，得a ＋2a －8≥0， ∴(a ＋4)(a －2)≥0.∵a ＞0，∴a ≥2，∴a ≥4，∴a 的最小值为4. 答案：B3．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋45x ＋m 的值域为R ，则m 的取值范围是( )A ．(－4，＋∞) B．[－4，＋∞) C ．(－∞，－4) D ．(－∞，－4]解析：设g (x )＝5x ＋45x ＋m ，由题意g (x )的图像与x 轴有交点，而5x＋45x ≥4，故m ≤－4，故选D.答案：D4．当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．1D ．7解析：方法一：由x ＋3y －2＝0，得3y ＝－x ＋2. ∴3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1＝3x ＋3－x ＋2＋1＝3x＋93x ＋1≥23x·93x ＋1＝7.当且仅当3x ＝93x ，即3x＝3，即x ＝1时取得等号．方法二：3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥23x ·33y ＋1＝232＋1＝7. 答案：D5．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：∵2xy ＝x ·(2y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，∴原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.又∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号． 答案：B6．(2013·苍山调研)已知x ＞0，y ＞0，lg2x ＋lg8y＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：由lg2x＋lg8y＝lg2，得lg2x ＋3y＝lg2.∴x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋x 3y ＋3yx ≥4.答案：C 二、填空题7．设x 、y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为__________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24＝9.当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立. 答案：98．(2013·台州调研)若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a ＞1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为__________．解析：∵ab －4a －b ＋1＝0， ∴b ＝4a －1a －1，ab ＝4a ＋b －1.∴(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1 ＝6a ＋4a －1a －1·2＋1＝6a ＋[4a －1＋3]×2a －1＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1 ＝6(a －1)＋6a －1＋15. ∵a ＞1，∴a －1＞0. ∴原式＝6(a －1)＋6a －1＋15≥26×6＋15＝27. 当且仅当(a －1)2＝1，即a ＝2时等号成立． ∴最小值为27. 答案：279．(2013·聊城质检)经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)，在该时段内，当车流量y最大时，汽车的平均速度v ＝__________千米/小时．解析：∵v ＞0，∴y ＝920v ＋1 600v＋3≤9202v ·1 600v＋3＝92080＋3≈11.08， 当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40千米/小时时取等号.答案：40 三、解答题10．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1. 求证：1x ＋4y ＋9z≥36.解析：∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1，∴1x ＋4y ＋9z＝(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋9x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4z y ＋9y z ≥14＋2y x ·4x y ＋2 z x ·9xz＋2·4z y·9yz＝14＋4＋6＋12＝36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时等号成立．∴1x ＋4y ＋9z≥36.11．某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽．解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ， 中间的矩形区域面积为S m 2， 则半圆的周长为πy 2m.∵操场周长为400 m ，所以2x ＋2×πy2＝400，即2x ＋πy ＝400(0＜x ＜200,0＜y ＜400π)．∴S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋πy 22＝20 000π.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝πy ，2x ＋πy ＝400，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝100，y ＝200π.∴当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝100，y ＝200π时等号成立．即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大． 12．已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0.(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．解析：(1)由x ＋y －3xy ＋5＝0，得x ＋y ＋5＝3xy .∴2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy .∴3xy －2xy －5≥0.∴(xy ＋1)(3xy －5)≥0.∴xy ≥53，即xy ≥259，等号成立的条件是x ＝y .此时x ＝y ＝53，故xy 的最小值是259.(2)方法一：∵x ＋y ＋5＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y22＝34(x ＋y )2，∴34(x ＋y )2－(x ＋y )－5≥0.即3(x ＋y )2－4(x ＋y )－20≥0.即[(x ＋y )＋2][3(x ＋y )－10]≥0.∴x ＋y ≥103.等号成立的条件是x ＝y ，即x ＝y ＝53时取得．故x ＋y 的最小值为103.方法二：由(1)知，x ＋y ＋5＝3xy ，且(xy )min ＝259，∴3(xy )min ＝253.∴(x ＋y )min ＝253－5＝103，此时x ＝y ＝53.。